Notion de modèle - Processus d analyse Application à la méthode des Eléments finis

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1 Notion de modèle - Processus d analyse Application à la méthode des Eléments finis La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Chapitres 1 et 6 du polycopié de cours. Bonne lecture

2 Qu est-ce qu un modèle? Point de départ : Problème physique Questions : Quelles grandeurs veut-on calculer? Avec quelle précision? Quels sont les moyens disponibles? Le modèle défini le cadre mathématique dans lequel sera effectué l étude L écart avec le réel engendré par le modèle peut être très important Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs.

3 Choix du modèle mathématique Le cadre est défini par des hypothèses de modélisation Idéalisation de la réalité Compromis Hypothèses fortes Modèle simple facile à résoudre (solutions analytiques) Moins d hypothèses Modèle plus complexe solutions numériques Objectifs / Coûts (temps, moyens) Un cadre mal défini ne permet pas à l arrivée d analyser les résultats de l étude.

4 Exemple : un support d étagère Objectifs de l étude : vérifier le dimensionnement & optimiser la forme Cadre général : Géométrie supposée connue Analyse statique Comportement du matériau élastique linéaire Hypothèses simplificatrices sur Conditions aux Limites? Choix des modèles mathématiques?

5 Hypothèses générales sur les CL Rail : supposé infiniment rigide contact parfait avec le support L étagère sera modélisée par une charge dans le plan du support objectif : être en sécurité / dimensionnement & optimisation de forme Modèle 1D : hypothèse poutre Hypothèse forte «section uniforme» équation simple solution analytique (rapide) EI v, x 4 = 0 v( o) = 0 CL : v, x ( o) = 0 et v, x EI v 2, x ( ) = 0 3 ( ) = F

6 Analyse des résultats Pour une section (20 x 2) et une charge de 20 kg à 300 mm Flèche en bout de poutre : Contrainte maxi dans la section A-A 3 F l δ = = 6, 43mm 3 E I F( x) σ max = y = 412 MPa I Loin de la réalité poutre à section variable ou modèle 2D

7 Modèle 2D : contraintes planes Équations : = 0 u σ y = P y σ x. y u. x = = 0 0 div( σ ) = 0 = 0 n σ Pas de solution analytique Modèle éléments finis Pour effectuer l étude il faut préciser les choix dans les zones de conditions aux limites et sur la géométrie à mailler Modèle numérique fiable et performant optimisation de la pièce sur ce modèle

8 Résultats pour un modèle simplifié Maillage fin en Q4 Flèche : 3,81 mm Contrainte max : 508 MPa Pouvez valider ces résultats? Non vous n avez pas d informations sur Convergence du modèle numérique? Influence des CL sur les valeurs numériques obtenues? Répondre à ces questions vous permettra de définir la précision de votre modèle Étude proposée en TP

9 Bilan : Processus d analyse Problème physique Procédure éléments finis hypothèses de modélisation Modèle mathématique hypothèses de discrétisation Modèle numérique - Vérification des hyp. de discrétisation - Estimation de la précision du modèle évolution du modèle numérique évolution du modèle mathématique - Interprétation des résultats - Vérification des hyp. de modélisation Réponse obtenue Nouveau modèle physique

10 Modélisation Analyse Questions essentielles Quels sont les phénomènes physiques les + importants? Quel modèle mathématique utiliser? Moins il y a d hypothèses + on est proche de la réalité + le modèle mathématique est complexe + le coût de résolution est élevé Quelle est l erreur d approximation commise? Quelle est l erreur numérique? Peut-on améliorer le modèle numérique? compromis f ct des objectifs fixés Veiller à la cohérence de l ensemble

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