Étude statique du tire bouchon

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1 Méthodologie MP1 Étude statique Tire-bouchon Étude statique du tire bouchon On s intéresse à l aspect statique du mécanisme représenté en projection orthogonale sur la figure 1. Le tire bouchon réel est proposé en photo sur la figure 2. Figure 2 Photo du tire bouchon breveté Figure 1 Modélisation du tire bouchon On admet que les liaisons en A, B, C, D, E, F,, H et I sont des liaisons pivot d axe z. La base ( x, y, z) est orthonormée directe, et le problème est supposé plan (ce qui est une hypothèse simplificatrice, car le tire bouchon n est pas complètement symétrique vis-à-vis du plan (O, x, y) par exemple). On suppose que le tire bouchon est en phase d utilisation classique; le couvercle 9 est alors en liaison rotule de centre supposé J avec le goulot de la bouteille, qui constituera dans notre étude le bâti fixe. La vis 7 est en liaison encastrement en K avec le bouchon 1

2 supposé lié complétement à la bouteille. Dès lors, l analyse du tire bouchon isolé donne les actions mécaniques extérieures suivantes : action de l utilisateur, localisée en M, réduite à une résultante des forces F = F y, verticale, positive, de norme F = 600N (imposée par le cahier des charges, la sécurité étant incluse dans cette valeur); réaction du goulot sur le couvercle, caractérisée par un torseur exprimé en J, représentatif d une liaison rotule de centre J, dont les composantes non nulles sont inconnues au départ de l étude; réaction du bouchon sur la vis, caractérisée par une unique force verticale, négative, notée = y, avec > 0 et effort inconnu. L action de la pesanteur est négligée devant les efforts mis en jeu (poids du mécanisme à préciser à la fin de l étude). On repère la position du mécanisme à l aide du paramètre indépendant α qui varie de 20 à 70 degrés. L objectif est de déterminer l évolution de l effort transmis au bouchon en fonction de l ouverture du tire bouchon, pour un effort constant F de traction, afin de vérifier l utilité d un tel système. Analyse géométrique L équation de fermeture géométrique sur la figure OACE permet d écrire la relation suivante (On part de la relation OA+ AC+ CE+ EO = 0 que l on projete sur l axe x) : cosβ = 5+62 cosα 66 De même, l équation de fermeture géométrique sur la figure EFHJ fournit la relation : (1) cosγ = 43 cosβ (2) Analyse statique Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3. L isolement du tire bouchon dans son ensemble indique que celui ci est soumis à trois glisseurs, réduits à des forces. Pour deux des glisseurs (actions en M et en K, verticales), les directions des résultantes sont connues et parallèles, par conséquent le troisième glisseur admet un vecteur résultante purement vertical en J, noté R = R y, avec l équation d équilibre en projection sur l axe y : F +R = 0 (3) Ensuite, l équilibre d une biellette indique qu elle est soumise à deux résultantes coplanaires. L équilibre est possible si les efforts sont égaux, opposés et portés par le même support, soit : A 8 2 = C 3 2 (4) 2

3 Par ailleurs, en isolant l ensemble levier, il vient : F + A B 1 8 = 0 (5) ce qui indique que les normes des résultantes en A et B sont identiques (ce qui se déduit aussi par symétrie); on peut alors définir l effort normal sur la poutre constituée par la biellette 2 selon : N 2 = A 8 2 = F (6) 2 sinα L effort normal est positif car la poutre est sollicitée en traction. En outre, avec le vecteur directeur de la biellette 2 selon la direction CA : CA n = (7) CA on obtient : A 8 2 = N 2 n (8) C 3 2 = N 2 n (9) De la même façon, l étude de l équilibre du couvercle 9 puis d une chape (par exemple 5) conduit aux relations : I n = (10) I 3 5 = N 5 m (11) I 9 5 = N 5 m (12) avec l effort normal négatif sur la poutre 5, la chape étant sollicitée en compression, défini par : N 5 = R 2 sinγ L effort en E sur chaque levier n est pas à définir (effort interne), il pourrait se déduire lors de l étude des éléments de réduction du torseur de cohésion sur chaque levier. Une étude de l équilibre de la vis et des deux leviers (ou mieux : d un seul levier) conduit finalement à la relation suivante (si, si : il faut écrire la bonne équation de moment :) à tester) pour l effort sur la vis et la réaction R du goulot : = ( cosβ +cotanα sinβ 43 cosβ +cotanγ sinβ (13) ) F (14) R = 66 cosβ +cotanα sinβ F (15) 43 cosβ +cotanγ sinβ Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3. 3

4 Pour ceux qui sont courageux : la relation (ou loi) entrée sortie du mécanisme ainsi constitué peut être déterminée à l aide d une étude cinématique. En effet, si on suppose qu aucune perte n existe entre l entrée (action de l utilisateur en M) et la sortie (action de la vis sur le bouchon en K), alors la puissance fournie P e en entrée doit égaler la puissance utile en sortie P s (vous connaissez cette relation sous la forme du travail d une force, ici c est la puissance qui est considérée, soit un travail divisé par une variation de temps), soit : P e = V M. F = V M.F (16) P s = V K. = V K. (17) car la vitesse du point M (vitesse absolue) est purement verticale et ascendante donc V M > 0, alors que celle de K est descendante donc V K < 0. Par conséquent, le rapport des efforts est inversement proportionnel au rapport des vitesses (ou des déplacements) des points M et K, soit : F = V M V K (18) Autrement dit, si le point M a une amplitude de déplacement plus élevée que le point K, alors la démultiplication de l effort est assurée. Ainsi, on peut quantifier cette démultiplication à l aide d une analyse en cinématique graphique : on trace le vecteur vitesse (de longueur au choix) pour le point M (donnée d entrée), et on en déduit celui de K (en quelques minutes)... Ou encore : on réalise un assemblage sous Solidworks des pièces, même dessinées très rapidement (ce qui compte étant uniquement les cotes AC, CE, E et I) et on regarde le rapport des déplacements entre les points M et E (plus simple)... Bravo à ceux qui ont lu et travaillé le document jusqu au bout. 4

5 biellette 2 A N 2 n α C N 2 n N 2 n C β E levier 3 N 5 m β +γ N 5 m I chape 5 N 5 m Figure 3 Analyse des efforts sur les pièces principales du tire bouchon (hypothèses N 2 > 0 et N 5 < 0) 5

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