Restauration d images

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1 Restauration d images

2 Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes.

3 Problème général Un système d imagerie fait subir à la scène originale des transformations. Le plus souvent l image observée est entachée d erreur. Le but de la restauration et de retrouver l image originale à partir de l observation.

4 Modélisation Le processus direct qui mène à la formation de l image est modélisé par: g = Af + b L opérateur A est linéaire et b représente le bruit.

5 Problème inverse Une première idée consiste à appliquer l opérateur inverse de A à l équation précédente. f = A 1 g Original Bruité Inverse

6 Explication du phénomène Objet recherché L ellipsoïde représente les images qui vérifient Af g 2 < ɛ 2 (norme du bruit) Son centre est donné par A 1 g

7 Problème mal posé L excentricité de l ellipsoïde est due aux petites valeurs propres de A. Un petit bruit sur les données observées se traduit par un grand bruit sur l inverse calculé.

8 Analyse du problème générique et inverse généralisée En général A n est pas surjective, ce qui implique que l on ne peut pas forcément trouver f tel que g=af. On cherche alors un f tel que Af-g soit de norme minimale. Si en plus A n est pas injective alors, on choisit un f de norme minimale.

9 pour que Af-g soit minimale il faut que f soit solution de A t Af = A t g f est dite solution aux moindres carrés. (A t A) 1 A t Pseudo-inverse de A Si A t A n est pas inversible on remplace par l inverse généralisées qui renvoi l élément de plus petite norme qui vérifie la première équation. (Les f qui vérifient l équation diffèrent d un élément du noyau de A t A, il suffit de projeter sur l orthogonal du noyau pour obtenir un élément de norme minimale.)

10 L inverse généralisée est une fausse piste pour la restauration, elle souffre des mêmes problèmes qui touchent l inversion. Elle n est qu un artifice mathématique pour donner un sens à l inversion d un système linéaire qui n a pas de solution.

11 Introduction d une connaissance sur le signal Dans le problème que l on s est posé tout-à l heure, si l on injecte la connaissance que le signal est une juxtaposition de deux segments de droites: Inversion simple Recherche de paramètres optimaux

12 On obtient cette solution par résolution d un problèmes aux moindres carrés dont les paramètres sont les paramètres des deux droites, a1,a2,b1,b2. s = (B t B) 1 B t g s est le vecteur colonne des solutions et B est une matrice à quatre colonnes dont les colonnes sont données par A 11 x1; A 21 x2 A 12 x2; A 22 x2 A 11 ( ); A 21 (11... ) A 12 ( ); A 22 (11... )

13 Les méthodes de régularisation Nous avons vu qu il était indispensable d introduire une information sur l image d origine pour espérer obtenir une estimation correcte de celle-ci. Les méthodes de régularisation imposent à la fonction recherchée une certaine régularité ce qui rend le résultat plus acceptable. Dans le cas général on ne dispose pas d informations aussi précises que ce qui précède.

14 Définition On cherche à minimiser une fonctionnelle du type Af g 2 + λ f 2 λ est un paramètre strictement positif. Le premier terme s appelle terme d attache aux données. Le second est le terme de régularisation.

15 Interprétation géométrique Inverse généralisé Zone d attache aux données Contrainte d énergie Zone des images acceptables Af g 2 + λ f 2

16 Evolution en fonction du paramètre Quand lambda est proche de zéro, la minimisation de la fonctionnelle revient à chercher une solution aux moindres carrés. Quand lambda devient grand le terme de régularisation devient prépondérant, et à la limite la solution de la régularisation est l image nulle (très régulière).

17 Chemin suivi par le minimiseur lorsque lambda varie entre l infini et 0

18 Détermination du paramètre Si on connaît l énergie du signal, on peut faire varier le paramètre jusqu à ce que l énergie de la solution coïncide avec la valeur connue. Si on connaît avec précision la variance du bruit, on agit de même pour obtenir une attache aux données qui égale la norme du bruit. Cependant, dans la pratique on règle le paramètre de manière ad hoc.

19 La solution s approche puis s éloigne de la vraie image. On appelle cette propriété la semi-convergence.

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22 Exemples de fonctionnelles classiques: Af g 2 + λ f 2 Af g 2 + λ f 2 Af g 2 + λ f 2 + γ f 2

23 Résolution effective Nous allons voir différentes méthodes, des plus spécifiques aux plus génériques, pour résoudre les problèmes d optimisation que pose les méthodes de régularisation.

24 Le gradient Nous considérons des fonctionnelles à valeurs réelles. Leur différentielle est une forme linéaire. Le théorème de Riesz nous permet de mettre en correspondance les formes linéaire et l espace de Hilbert lui-même. Le gradient d une fonctionnelle est le vecteur de l espace qui représente la différentielle en ce point.

25 Cas de la minimisation de l énergie Dans le cas où la fonctionnelle est Af g 2 + λ f 2 Le minimum est réalisé lorsque le gradient est nul f = (λi + A t A) 1 A t g Ceci existe dès que lambda est assez grand (en raison de la norme matricielle finie de AtA). La régularisation rend le problème inverse stable.

26 Utilisation de la transformée de Fourier Dans le cas d une convolution, la base de fourier forme une base orthonormée de vecteurs propres de l opérateur A. Ceci permet de simplifier les calculs, et les coefficients de fourier du minimiseur ne dépendent que de leur analogue dans Atg.

27 ω Résolution par TF L identité de Parceval nous permet de dire que la fonctionelle Af g 2 + λ f 2 est égale à ˆK(ω) ˆf(ω) ĝ(ω) 2 + λ ˆf(ω) 2 On minimise alors chaque terme de la somme en posant ˆK ˆf = ˆK 2.ĝ + λ

28 Différentielles d ordre supérieur Si on veut minimiser la fonctionnelle Af g 2 + λ f 2 On prends de la même manière ˆK ˆf = ˆK 2 + λω 2.ĝ

29 Descentes de gradient Les descentes de gradient consistent à faire évoluer une image dans une direction opposée à celle du gradient. Le gradient représente localement la ligne de plus grande pente. Deux stratégies principales existent pour la descente.

30 Descente à pas optimal On initialise u0. On calcule u(k+1) a partir de u(k) par la formule u k+1 = u k ρ k J(u k ) rho_k est choisi de manière à ce que J(u_k) soit minimal

31 Descente à pas constant le paramètre de descente est fixé au départ. Il existe des majorations du paramètres qui garantissent la convergence (dans le cas des fonctionnelles elliptiques).

32 Gradient conjugué Il s agit d une méthode très efficace dans le cas des fonctionnelles elliptiques. On prouve qu elle converge en n itérations, où n est la dimension de l espace. Cependant il faut bien se souvenir que dans le cas des images l espace est d une dimension de l ordre de

33 Schéma du gradient conjugué Si J est de la forme: J(v) = 1 2 d k = J(u k ) + J(u k) 2 J(u k 1 ) 2 d k 1 r k = ( J(u k), d k ) (Bd k, d k ) u k+1 = u k r k d k (Bv, v) + (b, v)

34 Résumé On a montré qu il fallait impérativement introduire une connaissance sur l image de départ. Une fois choisie la fonctionnelle appropriée, il reste à trouver la bonne valeur du paramètre. Pour chaque valeur du paramètre nous avons vu comment minimiser la fonctionnelle et obtenir une estimée de f.

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