Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité"

Transcription

1 Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Andreea Grigoriu avec Jean-Michel Coron, Cătălin Lefter and Gabriel Turinici CEREMADE-Université Paris Dauphine Séminaire des doctorants-cermics 7 Juillet 2010

2 Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

3 Introduction Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

4 Introduction Chimie quantique Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

5 Introduction Chimie quantique Biologie Figure: Mieux que nos cellules photo-voltaiques (8% 20%), les plantes savent transformer plus de 95% de l énergie solaire en énergie chimique, qui est à la base de tous les organismes vivants. Une étude récente (Nature 446, ) montre l importance des effets quantiques (cohérence). Source de l image : http ://www.wikipedia.org.

6 Introduction Chimie quantique Médecine Figure: L adenine, une des molécules qui codent l information génétique de notre ADN. Les simulations numériques permettent de prédire la disposition des noyaux et des électrons.

7 Introduction Contrôle quantique Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

8 Introduction Contrôle quantique Contrôle des systèmes quantiques en utilisant le laser affecte la structure des molécules (créer ou briser les liaisons chimiques) obtenir une précision plus grande qu avec les moyens macroscopiques habituels (temperature, pression...) D autres applications de cette technique la conception de portes logiques dans de futurs ordinateurs quantiques investigations dans l imagerie par résonance magnétique nucléaire-irm étude de la dynamique des protéines détection moléculaire orientation et alignement moléculaire construction de lasers ultra-courts

9 Introduction Contrôle quantique Figure: Ici l exemple d un laser optimisé pour choisir entre les réactions possibles. Science, 292 : , 2001

10 Introduction Contrôle quantique Figure: Exemples d états finaux obtenus utilisand un champ laser Science, 292 : , 2001

11 Introduction Contrôle quantique Système quantique évolution modélisée par l équation de Schrödinger (TDSE) { i t Ψ(x, t) = H 0Ψ(x, t) Ψ(x, t = 0) = Ψ 0 (x). Système de contrôle quantique ajout d une interaction externe { i t Ψ(x, t) = (H 0 + u(t)h 1 (x))ψ(x, t) Ψ(x, t = 0) = Ψ 0 (x) Ex. : H 0 = + V (x), domaine non borné Evolution sur la sphère unité : Ψ(t) L 2 = 1, t 0.

12 Introduction Contrôle quantique Motivation le terme de premier ordre u(t)h 1 n a pas assez d influence sur le système pour attendre l objectif de contrôle. le but peut devenir accessible après l ajout de plusieurs termes : i d dt Ψ(t) = [ H 0 + u(t)h 1 + u(t) 2 H 2 ] Ψ(t) i d dt Ψ(t) = [ H 0 + u(t)h 1 + u(t) 2 H 2 + u(t) 3 H 3 ] Ψ(t) i d dt Ψ(t) = [ H 0 + (u 1 (t) 2 + u 2 (t) 2 )H 1 + u 1 (t) 2 u 2 (t)h 2 ] Ψ(t)

13 Introduction Contrôle quantique La controlabilité Le systeme i d dt Ψ(t) = [ H 0 + u(t)h 1 + u(t) 2 H 2 ] Ψ(t) peut etre vu comme un cas particulier de : i d dt Ψ(t) = [H 0 + u(t)h 1 + v(t)h 2 ] Ψ(t) avec v(t) = u 2 (t). La controlabilité peut etre étudiée : en utilisand le critere général d accesibilité basé sur l Algebre de Lie : Sussmann et Jurdjevic (72), Brockett (73) resultats plus specifiques : Turinici (07)

14 Introduction Contrôle quantique Le contrôle la caracterisation de la controlabilité ne prévoit pas en général un moyen simple et efficace pour determiner le contrôle techniques de contrôle optimal : Shi, Woody et Rabitz (88), Maday et Turinici (03), techniques de factorisation du groupe unitaire : Altafini (02), Constantinescu et Ramakrishna (03) techniques Lyapunov Ferrante et all (02), Grivopoulos et Bahiem (03), Maday et Turinici (03), Sugawara (03), Beauchard, Coron, Mirrahimi et Rouchon (07),

15 Introduction Contrôle quantique Le contrôle Dans le cas H 0 + u(t)h 1 + u 2 (t)h 2 : adapter l analyse proposée pour le cas bilineaire : H 0 + u(t)h 1 Jurdjevic and Quinn (78), Mirrahimi, Rouchon et Turinici(05) Remarque : le cas bilineaire couplage direct non-nul realisé par H 1 entre l etat cible et tous les autes etats si H 1 a la même proprieté même type de controle si une partie des couplages est realisée par H 2 à la place de H 1 le feedback antérieur ne marche plus nous proposons deux alternatives : feedback discontinuu avec termes de mémoire feedback dependant de temps

16 Techniques de Lyapunov Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

17 Techniques de Lyapunov Cadre général prendre le système quantique de niveau N évoluant selon l équation (NTDSE-Schrödinger non-linéaire) : i d dt Ψ = (H 0 + u(t)h 1 + u 2 (t)h 2 + ω(t))ψ(t) où Ψ S 2n 1 C = {Ψ C n Ψ C n = 1}; H 0, H 1 et H 2 sont des matrices Hermitiennes de dim N N (H 0 = H 0...) ω(t), u(t) R le contrôle ; De point de vue physique, Ψ et e ıθ(t) Ψ décrivent le même état physique avec θ(t) R géométrie non triviale contrôle ω.

18 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

19 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov méthode de Lyapunov introduite par : prenons une fonction V (Ψ, t) : où V (Ψ, t) = Ψ Ψ r Ψ Ψ r.. est le produit scalaire Hermitien correspondant à (u r (t), ω r (t)), nous prenons t (Ψ r (t)) une trajectoire de référence i.e., une solution régulière de NTDSE La fonction V est positive pout tout t > 0 et pout tout Ψ S 2n 1 C, vaut zero quand Ψ = Ψ r.

20 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov La dérivée de V est donnée par : dv dt ( ) = 2(u u r ) Im( H 1 Ψ(t) Ψ r ) + (u + u r )Im( H 2 Ψ(t) Ψ r ) + 2(ω ω r )Im( Ψ(t) Ψ r ), où Im est la partie imaginaire. Lorsque par exemple on prend : u = u r (t) k Im( H 1Ψ(t) Ψ r )+2u rim( H 2 Ψ(t) Ψ r ) 1+kIm( H 2 Ψ(t) Ψ r ) ω = ω r (t) cim( Ψ(t) Ψ r ), avec k, c > 0 nous nous assurons que dv/dt 0, i.e. V est décroissante.

21 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov le cas important : la trajectoire de référence correspond à un état statique : u r = 0, ω r = λ and Ψ r = φ où φ est un vecteur propre H 0 associé à la valeur propre λ R. on note : I 1 = Im( H 1 Ψ(t) φ ) et I 2 = Im( H 2 Ψ(t) φ. puis le feedback devient u = ki 1 /(1 + ki 2 ) ω = λ cim( Ψ(t) φ ).

22 Techniques de Lyapunov Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

23 Techniques de Lyapunov H 0 a un spectre non dégénéré si λ j λ l pour tout j l, j, l = 1,..., n. Théorème Considerons NTDSE avec Ψ S 2n 1 C et une vecteur propre φ S 2n 1 C de H 0 associée à la valeur propre λ. Prenons le feedback enterieur avec c > 0, k < 1 H 2 et supponsons que le spectre de H 0 est non dégénéré. Alors, l assertion suivante est vraie : L ensemble limite du système est à l intersection de S 2n 1 avec l espace E = Rφ α Cφ α où φ α est un vecteur propre de H 0 qui n est pas colinéaire avec φ, tel que φ α H 1 φ = 0.

24 Techniques de Lyapunov Remarque 1 la recherche de φ marche bien lorsque tous les vecteurs propres de H 0, φ 2,..., φ n (sauf φ) sont couplées avec φ par H 1, i.e. φ k, H 1 φ 0, k = 2,..., n. Remarque 2 nous ne savons pas ce qui se passe lorsque les couplages sont réalisés par H 2 (le théorème ne s applique pas, mais le système est toujours contrôlable). Remarque 3 on utilise le modèle H 0 + u(t)h 1 + u 2 (t)h 2 pour les cas où le couplage de H 1 n est pas suffisant pour contrôler (sinon prendre des intensités laser u(t) plus faibles, faire H 0 + u(t)h 1 hamiltonien effectif à la place de H 0 + u(t)h 1 + u 2 (t)h 2 et H 2 n est plus utilisée pour modéliser le sytème).

25 Techniques de Lyapunov Idées principales de la preuve le principe de LaSalle s dit que les trajectoires du système convergent aù plus grand ensemble invariant contenu dans dv/dt = 0 l équation dv/dt = 0 signifie que ainsi u = 0 et ω = 0. I 1 = Im( H 1 Ψ φ ) = Im( Ψ φ ) = 0, L invariance implique : i d dt Ψ = H d 0Ψ, dt Im( H 1Ψ φ ) = 0 et d dtim( Ψ φ ) = 0.

26 Techniques de Lyapunov On note B = H 1 ensuite le plus grand ensemble invariant est caractérisé par Im( Ψ φ ) = 0 avec les conditions suivantes : Im( H 1 Ψ φ ) = 0 Re( [H 0, H 1 ]Ψ φ ) = 0 Im( [H 0, [H 0, H 1 ]]Ψ φ ) = 0,...

27 Techniques de Lyapunov Exemples et simulations numériques Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

28 Techniques de Lyapunov Exemples et simulations numériques Exemples et simulations simulations numériques pour un système à trois niveaux avec H 0, H 1 et H 2 donnés par : H 0 = 0 1 0, H 1 = 1 0 0, H 2 = La fonction d onde est Ψ = (Ψ 1, Ψ 2, Ψ 3 ) T. on utilise le contrôle de Lyapunov à attiendre le premier vecteur propre φ = φ 1 = (1, 0, 0) d énergie λ = 0, au temps final T. remarque : Φ 2 H 1 φ 0 et Φ 3 H 1 φ 0.

29 Techniques de Lyapunov Exemples et simulations numériques Exemples et simulations Figure: Evolution de la fonction de Lyapunov V (Ψ) (ligne verte) et du contrôle u (ligne bleue) ; contition initiale Ψ(t = 0) = (0, 1/ 2, 1/ 2) ; soit k = 0.2, c = 0.8, t = 0.1.

30 Techniques de Lyapunov Exemples et simulations numériques Exemples et simulations simulations numériques pour un système à trois niveaux avec H 0, H 1 and H 2 donnés par : H 0 = 0 1 0, H 1 = 1 0 0, H 2 = on utilise le contrôle de Lyapunov pour atteindre le premier vecteur propre φ = φ 1 = (1, 0, 0) d énergie λ = 0, au temps final T. remarque : Φ 3 H 1 φ = 0.

31 Techniques de Lyapunov Exemples et simulations numériques Exemples et simulations (a) (b) Figure: (a) Evolution de la fonction de Lyapunov V (Ψ) (ligne verte) et du contrôle u (ligne bleue) ; (b) Evolution de I 1 et I 2 ; avec k = 0.2, c = 0.8, t = 0.1 et la condition initiale Ψ(t = 0) = (0, 1/ 2, 1/ 2)

32 Feedback discontinuu Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

33 Feedback discontinuu Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

34 Feedback discontinuu Afin de surmonter le manque de convergence pour les cas similaires à ceux préséntés ci-dessus, nous définissons les régions A, B, C : A = {Ψ I 1 (Ψ) < δ et I 2 (Ψ) < δ} B = {Ψ I 1 (Ψ) < δ et I 2 (Ψ) > δ} C = {Ψ I 1 (Ψ) > δ/2 ou I 2 (Ψ) < 2 δ} sachant que : dv /dt = u(i 1 + ui 2 ) = u 2 I 2 + ui 1 et nous définissons le contôle (DLFdiscontinuu Lyapunov feedback) : 8 < u(i 1, I 2 ) = : k 1 I 2, en A \ C 0, en B \ C k 2 I 1 /(1 + k 2 I 2 ), en C \ (A B) ω = λ cim( Ψ(t) φ ). avec δ une constante positive petite. Figure: Overlapping regions A, B, C

35 Feedback discontinuu Plus précisément, dans notre situation nous pouvons définir le propagateur S 1 (t)ψ 0 en résolvant l équation du feedback tel que : si l état initial Ψ 0 A C, nous initialisations avec le feedback correspondant à C si l état initilal Ψ 0 B C, nous initialisations aussi avec le feedback correspondant à C. le propagateur S 2 (t)ψ 0 en résolvant l équation du feedback tel que : si l état initial Ψ 0 A C, nous initialisations avec le feedback correspondant àa si l état initial Ψ 0 B C, nous initialisations avec le feedback correspondant à B. Figure: Overlapping regions A, B, C

36 Feedback discontinuu Remarque 1. ni S 1 ni S 2 ne définissent un système dynamique classique (pas de propriété de semigroupe). Remarque2. à la place on a : S 1 (t + s)ψ 0 = S 1 (t)s 1 (s)ψ 0 ou S 1 (t + s)ψ 0 = S 2 (t)s 1 (s)ψ 0. Remarque 3. S 1 (t)ψ 0 et S 2 (t)ψ 0 sont solutions au sens de Carathéodory et dépendent continuement de la donnée initiale.

37 Feedback discontinuu Soit k 1 > 0 et 0 < k 2 < 1 H 2 fixés Puisque dv/dt = u(i 1 + ui 2 ), nous avons les possibilités suivantes 1 Si Ψ(t) A \ C alors u = k 1 I 2 et dv /dt = k 1 I 2 (I 1 + k 1 I 2 2 ) k 2 1 δ I 2 + k 1 δ I 2 < 0. 2 Si Ψ(t) B \ C alors u = 0 et dv /dt = 0. 3 If Ψ(t) C \ (A B) alors u = k 2 I 1 /(1 + k 2 I 2 ) (le dénominateur ne s annule pas grâce à la restriction imposée à k 2 ) alors dv /dt = k 2 I 2 1 /(1 + k 2I 2 ) Si Ψ(t) A C or B C nous sommes dans une des situations précédentes selon quel feedback est utilisé au moment donné t. Figure: Overlapping regions A, B, C

38 Feedback discontinuu Théorème Considérons NTDSE avec Ψ S 2n 1 C et un vecteur propre φ S 2n 1 C de H 0 associé à la valeur propre λ. Soit le feedback (DLF) avec k 1 > 1, k 2 < 1 H 2 et c, δ > 0. Si H 0 est non dégénéré et pour tout k avec φ k φ soit φ k H 1 φ 0 ou φ k H 2 φ 0, alors l ensemble limite de Ψ(t) est reduit à une solution du système non contrôlé, avec I 1 < δ, 2 δ I 2 C δ, C une constante dependente seulement de H 0.

39 Feedback discontinuu Idées principales de la preuve Ω δ est invariant soit à S 1 soit à S 2, cela signifie que si Ψ 1 Ω δ alors S 1 (t)ψ 1 Ω δ, t > 0 ou S 2 (t)ψ 1 Ω δ, t > 0. l ensemble limite Ω δ est une reunion de trajectoires correspondant soit au propagateur S 1 soit au propagateur S 2. Sur l ensemble limite Ω δ, V est constante alors dv/dt = 0, ce qui implique : u(i 1 + ui 2 ) = 0, Im Ψ, φ = 0.

40 Feedback discontinuu par la définition de u, l ensemble limite Ω δ consiste en effet des trajectoires du système non contrôlé i Ψ = H 0 Ψ. avec les solutions de la forme : Ψ = n b j e iλjt φ j. j=1 Nous obtenons que l ensemble limite Ω δ est caractérisé par Ω δ {I 1 = 0 et I 2 < 2 δ} { I 1 < δ et I 2 > δ}.

41 Feedback discontinuu Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

42 Feedback discontinuu Exemples et simulations soit un système quantique à 5-niveaux H 1 = H 0 = , H 2 =, Nous utilisons le contrôle (DLF) pour attendre le premier vecteur propre φ = (1, 0, 0, 0, 0, 0) d énergie λ = 1, au temps final T. Remarquons que H 2 = 1.

43 Feedback discontinuu Exemples et simulations (a) (b) Figure: (a) Evolution de la fonction de Lyapunov V (Ψ) (ligne verte) et du contrôle u (ligne blue) ; (b) Evolution de I 1 et I 2 ; avec k 1 = 1.1, k 2 = c = 0.8, δ = 10 4, t = 0.1 et la condition initiale Ψ(t = 0) = (0, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4).

44 Feedback discontinuu Exemples et simulations Figure: Zoom sur l évolution de u entre t = 410 et t = 490.

45 Feedback dependant du temps Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

46 Feedback dependant du temps Resultat théorique Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

47 Feedback dependant du temps Resultat théorique Feedback dependant du temps trouver un feedback periodique dependant du temps u(t, Ψ) = α(ψ(t)) + β(ψ(t)) sin(t/ε). pour stabiliser NTDSE à l état fondamental φ. l idée générale on utilise une méthode de moyennisation pour comparer le comportement asymptotique du système (NTDSE) avec le comportement du système moyenné. On identifie les coefficients α et β tels que le système moyenné soit asymptotiquement stable

48 Feedback dependant du temps Resultat théorique Remarque Pour un système differentiel ẋ = f(t, x) f une fonction T periodique, f(t + T, x) = f(t, x) le système moyenné est défini par ẋ av = f av (x) où f av (x) = 1 T T 0 f(t, x)dt

49 Feedback dependant du temps Resultat théorique Système moyenné nous remplacons TDPF dans l équation de NTDSE et nous obtenons le sytème : i Ψ(t) ( = H 0 + α(ψ(t))h 1 + β(ψ(t)) sin(t/ε)h 1 +α 2 (Ψ(t))H 2 + 2α(Ψ(t))β(Ψ(t)) sin(t/ε)h 2 ) +β 2 (Ψ(t)) sin 2 (t/ε)h 2 + ω(t) Ψ(t). dans notre cas le système moyenné (A v S) est donné par : i d dt Ψ av = (H 0 + αh 1 + α 2 H β2 H 2 + ω)ψ av.

50 Feedback dependant du temps Resultat théorique Fonction de Lyapunov pour le système moyenné on utilise une technique de Lyapunov pour stabiliser le système moyenné A v S autour de l état fondamental φ. soit V av = V av (Ψ) : V av (Ψ) = Ψ av φ Ψ av φ la dérivée de V av autour d une trajectoire du système moyenné : dv av dt = 2αIm( H 1 Ψ av (t) φ ) + 2α 2 Im( H 2 Ψ av (t) φ) + 2( 1 2 β2 )Im( H 2 Ψ av (t) φ ) + 2(ω + λ)im( Ψ av (t) φ )

51 Feedback dependant du temps Resultat théorique On note : I 1 av = Im( H 1 Ψ av (t) φ ) et I 2 av = Im( H 2 Ψ av (t) φ ). Lorsque par exemple on prend α = ki 1 av β = (I 2 av) ω = λ cim( Ψ av (t) φ ) nous obtenons : dv av dt = 2 (k(i av) 1 2 (1 ki 2 ) + ((I2 av) ) 3 ) + bim 2 ( Ψ av (t) φ ) 2 et nous assurons que dv/dt 0, avec k > 0 et b > 0, i.e. V av est decroissante le long de la trajectoire du système moyenné.

52 Feedback dependant du temps Resultat théorique Stabilité du système moyenné Théorème Sous les hypothèses (i) λ j λ l pour j l, (ii) pout tout j = 2,.., n : H 1 φ j φ 0 ou H 2 φ j φ 0, le système moyenné est globalement asymptotiquement stable sur S 2n 1 C \{ φ}, au sens que toute solution Ψ av de A v S avec un état initial autre que φ converge vers φ quand t tend vers +.

53 Feedback dependant du temps Resultat théorique Stabilité approximative pour l équation NTDSE Théorème Supposons que les hypothèses (i) and (ii) ont lieu, soit V un voisinage de φ et δ un nombre positif. Il existe un temps T > 0 et ɛ 0 > 0 (dependent à la fois de δ et V) tels que toute solution Ψ(t) de NT DSE avec ɛ (0, ɛ 0 ) qui satisfait Ψ(τ) S 2n 1 C \ V pour un τ > 0, satisfait aussi Ψ(t) φ < δ pout tout t τ + T. Remarque : le théorème peut etre considéré soit comme un résulat de stabilité ou un résultat de contrôlabilité approximative

54 Feedback dependant du temps Resultat théorique Schema de la preuve toute trajectoire du système moyenné A v S, autre que φ converge vers l état cible φ. les trajectoires du système periodique sont à proximité des trajectoires du système moyenné Lemme Soit T > 0. Il existe C et ε 0 > 0 tels que, pour tout τ R et pour tout ε (0, ε 0 ), si Ψ : [τ, τ +T ] S 2n 1 est une solution du système periodique et Ψ av est une solution du système moyenné, avec Ψ av (τ) = Ψ(τ), alors Ψ(t) Ψ av (t) < Cε, t [τ, τ + T ].

55 Feedback dependant du temps Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

56 Feedback dependant du temps Simulation numériques Figure: Evolution de la fonction de Lyapunov V (Ψ)(ligne verte) et du contrôle u (ligne bleue) ; condition initiale : Ψ(t = 0) = (0, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4) ; avec ε = 10 3, k = 0.8, c = 0.5, t = 0.1.

57 Feedback dependant du temps Resultats numériques Figure: Evolution de la fonction Ψ(ligne blue) et de la fonction Ψ av (ligne verte) ; condition initiale : Ψ(t = 0) = (0, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4, 1/ 4) ; avec ε = 10 3, k = 0.8, c = 0.5, t = 0.1.

58 Conclusions et travail en cours Outline 1 Introduction Chimie quantique Contrôle quantique 2 Techniques de Lyapunov Construction du contrôle Lyapunov Exemples et simulations numériques 3 Feedback discontinuu 4 Feedback dependant du temps Resultat théorique 5 Conclusions et travail en cours

59 Conclusions et travail en cours Conclusions et travail en cours conclusions Techniques de Lyapunov couplage dipolaire et polarisé feedback discontinu avec termes de mémoire, feedback dependant du temps perspectives stabilité exacte au sens de Filippov champs laser plus réguliers techniques de Lyapunov implicites homogénéisation feedback dépendant du temps cas dégénérés

Simulations numériques et réalité expérimentale en chimie quantique: qui croire?

Simulations numériques et réalité expérimentale en chimie quantique: qui croire? Simulations numériques et réalité expérimentale en chimie quantique: qui croire? Gabriel Turinici Université Paris Dauphine Fondation Sciences Mathématiques de Paris, Sept. 2007 Pourquoi la chimie Biologie

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Population étudiante en médecine vétérinaire : projections

Population étudiante en médecine vétérinaire : projections Population étudiante en médecine vétérinaire : projections Assemblée Générale des étudiants de Louvain 17 juin 2015 1 Avant-propos Depuis quelques semaines, la question de la surpopulation dans les filières

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion

Plus en détail

La dynamique du système est donnée par (1)

La dynamique du système est donnée par (1) Master d Ingénierie Mathématique Contrôle des systèmes non-linéaires Examen, durée 3h Sujet donné par Pierre Rouchon, tous les documents sont autorisés. Comme le montre la figure ci-contre, ce robot marcheur

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques

Plus en détail

Premier projet (Thèse) : Étude des mécanismes dinteraction protéineligand par une approche couplant la simulation moléculaire et la chimie quantique

Premier projet (Thèse) : Étude des mécanismes dinteraction protéineligand par une approche couplant la simulation moléculaire et la chimie quantique Parmi les projets en cours sur la thématique Bioinformatique du Laboratoire de Biochimie et Génétique Moléculaire (LBGM), deux d entre eux seront présentés ici et sont orientés uniquement vers l utilisation

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux

Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologie Interaction matière-rayonnement Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux Introduction On considère un système atomique

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

INITIATION AUX SIMULATIONS DES CONTRAINTES ET DEFORMATIONS D UNE STRUCTURE

INITIATION AUX SIMULATIONS DES CONTRAINTES ET DEFORMATIONS D UNE STRUCTURE DOSSIER : CHARIOT PORTE PALAN INITIATION AUX SIMULATIONS DES CONTRAINTES ET DEFORMATIONS D UNE STRUCTURE ATELIER CATIA V5: GENERATIVE STRUCTURAL ANALYSIS OBJECTIFS : L objectif de cette étude consiste

Plus en détail

CHAPITRE VI ALEAS. 6.1.Généralités.

CHAPITRE VI ALEAS. 6.1.Généralités. CHAPITRE VI ALEAS 6.1.Généralités. Lors de la synthèse des systèmes logique (combinatoires ou séquentiels), nous avons supposé, implicitement, qu une même variable secondaire avait toujours la même valeur

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Placement optimal de capteurs sur des modèles EDP

Placement optimal de capteurs sur des modèles EDP Placement optimal de capteurs sur des modèles EDP E. Trélat Univ. Paris 6 (Labo. J.-L. Lions) et Institut Universitaire de France Lancement du DIM RDM-IdF, 8 décembre Motivations Problème Placer des capteurs

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

Analyse et Commande des systèmes linéaires

Analyse et Commande des systèmes linéaires Analyse et Commande des systèmes linéaires Frédéric Gouaisbaut LAAS-CNRS Tel : 05 61 33 63 07 email : fgouaisb@laas.fr webpage: www.laas.fr/ fgouaisb September 24, 2009 Présentation du Cours Volume Horaire:

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Physique quantique et physique statistique

Physique quantique et physique statistique Physique quantique et physique statistique 7 blocs 11 blocs Manuel Joffre Jean-Philippe Bouchaud, Gilles Montambaux et Rémi Monasson nist.gov Crédits : J. Bobroff, F. Bouquet, J. Quilliam www.orolia.com

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010 27 octobre 2010 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

L INTERFEROMETRE DE MICHELSON

L INTERFEROMETRE DE MICHELSON L INTERFEROMETRE DE MICHELSON Chappuis Emilie (chappue0@etu.unige.ch) Fournier Coralie (fournic0@etu.unige.ch) . Introduction.. But de la manipulation. INTERFEROMETRE DE MICHELSON Lors de ce laboratoire,

Plus en détail

Projet de modélisation des réseaux biologiques et complexes par équations différentielles

Projet de modélisation des réseaux biologiques et complexes par équations différentielles Projet de modélisation des réseaux biologiques et complexes par équations différentielles GIRAUD Sandra MERLET-BILLON Maryvonne 1 Partie I : Etude d un mode le de l ope ron lactose Introduction Le système

Plus en détail

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1 Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST Extrait du programme I. Les grandeurs en sciences physiques Définition : une grandeur est une observable du système On peut la mettre en évidence a.

Plus en détail

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010 ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles Édition: 0/06/00 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Contrôle en chimie quantique : conception et analyse de schémas d optimisation

Contrôle en chimie quantique : conception et analyse de schémas d optimisation Université Pierre et Marie Curie, Paris VI École doctorale des Sciences Mathématiques de Paris Centre UFR 921 Contrôle en chimie quantique : conception et analyse de schémas d optimisation THÈSE présentée

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/83 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

ANNUITES. Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. -annuités non constantes

ANNUITES. Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. -annuités non constantes ANNUITES I Notions d annuités a.définition Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. Le processus de versements dépend du montant de l annuité,

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE. Active Contours without Edges for Vector-Valued Images. Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa

Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE. Active Contours without Edges for Vector-Valued Images. Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE Active Contours without Edges for Vector-Valued Images Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa Page 1 sur 14 Abstract Pour ce projet, nous implémentons un algorithme de

Plus en détail

K W = [H 3 O + ] [OH - ] = 10-14 = K a K b à 25 C. [H 3 O + ] = [OH - ] = 10-7 M Solution neutre. [H 3 O + ] > [OH - ] Solution acide

K W = [H 3 O + ] [OH - ] = 10-14 = K a K b à 25 C. [H 3 O + ] = [OH - ] = 10-7 M Solution neutre. [H 3 O + ] > [OH - ] Solution acide La constante d autoprotolyse de l eau, K W, est égale au produit de K a par K b pour un couple acide/base donné : En passant en échelle logarithmique, on voit donc que la somme du pk a et du pk b d un

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT

CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT TP CIRCUITS ELECTRIQUES R.DUPERRAY Lycée F.BUISSON PTSI CARACTERISTIQUE D UNE DIODE ET POINT DE FONCTIONNEMENT OBJECTIFS Savoir utiliser le multimètre pour mesurer des grandeurs électriques Obtenir expérimentalement

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

Erreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition

Erreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

6. Ondes électromagnétiques et rayons lumineux

6. Ondes électromagnétiques et rayons lumineux 6. Ondes électromagnétiques et rayons lumineux Ce chapitre contient des rappels d optique géométrique et vise à faire le lien entre les notions d ondes étudiées au début du cours et l optique géométrique.

Plus en détail

NOTICE DOUBLE DIPLÔME

NOTICE DOUBLE DIPLÔME NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Processus Markoviens Déterministes par Morceaux et Fiabilité Dynamique

Processus Markoviens Déterministes par Morceaux et Fiabilité Dynamique Processus Markoviens Déterministes par Morceaux et Fiabilité Dynamique Karen Gonzalez Benoîte de Saporta et François Dufour IMB, Université Bordeaux Neuvième Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens

Plus en détail

Développement de méthodes multi-grilles dans le cadre de l intéraction pastille/gaine

Développement de méthodes multi-grilles dans le cadre de l intéraction pastille/gaine Développement de méthodes multi-grilles dans le cadre de l intéraction pastille/gaine January 25, 2011 Ce n est le bon chemin que si la flèche vise le coeur, R.Hauser Intéraction Pastille/Gaine Fonctionnement

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Chapitre 4 : Identification

Chapitre 4 : Identification Chapitre 4 : Identification 1- Généralités - Identification en boucle ouverte.1 Méthodologie. Méthode directe : confrontation de la réponse théorique et expérimentale.3 Méthode de Strejc.4 Méthode de Broida.5

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail