Examen du cours MOPSI 11 février 2011, 08h30-12h00.
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- Valérie Rancourt
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1 Examen du cours MOPSI février, 8h3-h. Corrigé. Exercice : un principe de réflexion pour la marche aléaoire sur Z. Soi x,..., x n Z n+. PΣ = x,..., Σ n = x n = { n si x = e i {,..., n}, x i+ x i =, sinon. onc Σ n, n N es une chaîne de Markov issue de e de marice de ransiion P x, y = { y x =}, x, y Z. Les processus Σ n, n N, Σ n, n N e Σ n+p Σ p, n N, son ous des chaînes de Markov de marice de ransiion P issus de, ils on donc la même loi. 3 Comme k N, Σ k Z e σ =, on a que Σ = supσ k N = N {+ }. k N En écrivan que pour k, Σ k = ε + Σ k Σ, il vien que supσ k = maxσ, sup Σ k = max, ε + sup Σ k Σ. k N k N k N Comme Σ n Σ, n N a même loi que Σ n, n N e es indépendane de ε, on obien l égalié en loi. Pour k N, on a : P Σ = k = Pε + Σ = k = P Σ = k + P Σ = k +, e donc P Σ = k P Σ = k = P Σ = k + P Σ = k =: ce. Ainsi P Σ = k = P Σ = + ce k e comme il s agi d une loi de probabilié, on a nécessairemen P Σ = k =. Cela implique P Σ = + =. 4 {τ k n} = n i= {Σ i = k} F n, puisque {Σ i = k} F i F n. Clairemen, {τ k = + } = { Σ k } e Pτ k < + = P Σ > k =. 5 En uilisan la propriéé de Markov fore, Σ τk +n, n N es une chaîne de Markov issue de k de marice de ransiion P e es indépendane de Σ,..., Σ τk. Elle es donc en pariculier indépendane de τ k. Ainsi, Σ τk +n k, n N es une chaîne de Markov de même loi que Σ n, n N e qui es indépendane de τ k. Enfin, en uilisan la quesion, Σ τk +n + k, n N es une chaîne de Markov qui a même loi que Σ τk +n k, n N e elle es égalemen indépendane de τ k. 6 Soien l k. Comme { Σ n l} = {τ l n}, on a P Σ n l, Σ n k = Pτ l
2 n, Σ n k. Ensuie, on a Pτ l n, Σ n k = Pτ l n, Σ τl +n τ l Σ τl k l = Pτ l n, Σ τl +n τ l + Σ τl k l grâce à la quesion 5 = Pτ l n, Σ n l k = PΣ n l k, car l k k. Ainsi, P Σ n k = P Σ n k, Σ n k + P Σ n k, Σ n k + = PΣ n k + PΣ n k + = PΣ n k PΣ n = k. 7 Σ n + n/ sui une loi binomiale de paramères n, /. Clairemen, pour k < ou k > n, P Σ n = k =. Pour k {,..., n}, P Σ n = k = P Σ n k P Σ n k + = PΣ n = k + PΣ n = k + = PΣ n + n/ {n + k/, n + k + /}. Selon la parié de n + k une seule de ces deux évenualiés peu se produire. Si n + k es pair, P Σ n = k = C n n+k/ n e si n + k es impair, P Σ n = k = C n n+k+/ n. Ainsi, Exercice : P Σ n = k = C n+k/ n n. On a en développan, e en uilisan l indépendance de W W s avec F s : E[W 3 F s ] = Ws 3 + 3Ws E[W W s F s ] + 3W s E[W W s F s ] + E[W W s 3 F s ] = Ws sw s. Par ailleurs, M es bien inégrable e on a par Fubini : E[M F s ] = Ws sw s 3 E[W u F s ]du = Ws 3 3 s W udu = M s. On applique la Formule d Iô à W 3 = 3 W s dw s + 3 W sds, ce qui donne M = 3 W s dw s. Comme pour ou >, E[ W s 4 ds] = 3 s ds = 3 <, l inégrale sochasique es une maringale par rappor à F. 3 On procède comme pour les emps d aeine du mouvemen brownien : {τ a } = s [,] {M s a} = n N s [,] {M s > a /n} = n N s [,] Q {M s > a /n} F, où nous avons uilisé, pour la deuxième e la roisième égalié que M, es un processus coninu. 4 Par l absurde. Si K >, Pτ a K =, alors on aurai par le héorème d arrê que E[M τa ] =. Or puisque τ a es fini p.s., on a M τa = a p.s. ce qui es conradicoire. 5 Par la propriéé d échelle du mouvemen brownien W, loi = λ / W λ,, on a M, loi = λ 3/ Wλ 3 3 λ / W λs ds,. Comme λ / W λs ds = λ λ 3/ W s ds, on en dédui que M, loi = λ 3/ loi M λ, puis que sup M = λ 3/ sup M. Ainsi pour ou K > e λ >, Psup M K = Psup M Kλ 3/. En faisan endre λ +, on obien que Psup M K =, quelque soi K >, ce qui donne que sup M = + p.s. e donc Pτ a < =. 6 Le veceur W, W sds es la limie presque sûre e donc en loi des veceurs gaussiens W, n i= n W i/n e es donc un veceur gaussien. Il es clairemen cenré, e on a
3 E[ W sw s dsds ] = s s dsds = s / + s sds = 3 /3, E[W W sds] = sds = /, ce qui donne pour marice de covariance : [ ] / / 3 /3 La corrélaion vau 3, e W, W sds a donc même loi que W, 3 /3 3 W + W W W / =, 3/ 3 3W W 6. Ainsi, M a même loi que 3/ W 3 3 3W + 3 W. Exercice 3 : Eude de deux équaions aux dérivées parielles couplées. I. On obien cee formulaion variaionnelle à parir de de manière sandard, en muliplian l équaion sur φ par la foncion es ψ, l équaion sur φ par la foncion es ψ, en ajouan les deux équaions obenues, puis en inégran sur. Les condiions aux limies de Neumann homogènes son uilisées pour l inégraion par paries du erme de diffusion. Réciproquemen, si on considère une soluion de la formulaion variaionnelle, on obien le sysème d équaion aux dérivées parielles au sens des disribuions en prenan successivemen comme foncions ess ψ C c e ψ =, puis ψ = e ψ C c. Les condiions aux limies de Neumann homogènes son ensuie obenues comme expliqué dans le cours pour le laplacien de Neumann, en admean que la soluion es en fai dans H. I. L éape essenielle consise à monrer une esimée a priori sur le sysème. En prenan ψ = φ, e ψ = φ,, on obien : d φ d + φ + a φ + a φ + λφ φ =. Comme λ e que les a i son minorés uniformémen, on en dédui, après inégraion en emps : [, T ], T φ + φ + où C es une consane qui dépend de T, α e φ + φ C φ + φ. Ces esimées monren que les foncions φ i son a priori bornées en norme L [, T ], L e L [, T ], H. Remarquer que l esimaion en norme L [, T ], L es une conséquence de l esimaion en norme L [, T ], L. La démarche suivie dans le polycopié pour l équaion de la chaleur convergence d une approximaion de Galerkin, puis unicié s applique ensuie elle quelle à ce sysème d équaion, puisque le problème es linéaire. En pariculier, on obien facilemen l unicié de la soluion en uilisan l esimée a priori sur la différence de deux soluions. 3
4 I.3 Nous avons vu en cours que pour une foncion ψ H, ψ + = ψ> ψ où ψ + = maxψ,. Comme ψ = ψ + ψ, on a ψ = ψ + ψ = ψ> ψ = ψ ψ. Par conséquen, on a ψ = ψ ψ = ψ ψ. En prenan comme foncions ess dans la formulaion variaionnelle ψ = φ, e ψ = φ, e en uilisan le résula précéden, on obien donc d φ d + φ + a φ a φ + λφ φ φ φ =. Noer que φ φ φ φ car x x es décroissane. Par conséquen, on a d φ d + φ + a φ a φ, e donc en inégran en emps, pour ou emps, φ + φ φ, + φ, =, puisque les condiions iniiales son supposées posiives. Ceci monre que φ = φ = e donc φ e φ. I.4 Il suffi de prendre comme foncions ess ψ = ψ = e d uiliser l hypohèse sur la condiion iniiale : φ + φ =. I.5 On raisonne par l absurde, comme dans la démonsraion de l inégalié de Poincaré vue en cours. Si cee propriéé n es pas vérifiée, on peu rouver une suie de foncions ψ n, ψn V el que ψ n + ψ n = a ψ n + a ψ n + λψ n ψ n n. En pariculier comme λ e a i α >, ψ n e ψn son des suies bornées dans H. Quie à exraire une sous-suie, on en dédui qu il exise ψ e ψ dans H elle que ψi n converge quand n vers ψi i =, faiblemen dans H e foremen dans L on uilise ici le fai que le domaine es borné. Le fai que ψn e ψn convergen vers monre que la suie es de Cauchy dans H e donc que la convergence es en fai fore dans H. En pariculier, on a donc i ψ, ψ V, ii ψ + ψ =, iii ψ = ψ = e iv λψ ψ =. La propriéé iii monre que ψi = C i es une foncion consane. La propriéé iv monre que C = C, puisque λ es non nul sur un ensemble de mesure non nulle. La propriéé i implique alors que C = C =, ce qui es en conradicion avec ii. On obien ensuie la deuxième inégalié sur les foncions de V s en considéran, pour ψ, ψ V s les foncions ψ, ψ = ψ s, ψ s V e en appliquan le résula précéden à ψ, ψ. 4
5 I.6 On noe c =. On a en prenan dans la formulaion variaionnelle ψ i = φ i, c : d φ c + φ c = φ φ c + φ φ c d = a φ φ c a φ φ c λφ φ [φ c φ c] = a φ a φ λφ φ λ φ c + φ c, en uilisan le résula de la quesion précédene, e le fai que φ, φ, V. On en dédui que pour ou, φ c + φ c exp λ φ c + φ c, ce qui monre la converge exponenielle de φ, φ, vers c, c dans la limie. II. C es une formule d Iô pour les deux premiers ermes quand la différenielle en emps es appliquée sur X. Il fau ensuie appliquer la différenielle en emps sur N, qui es un processus croissan donc à variaion finie. Le fai que dn soi nul sauf aux emps de sau de N, qui coïnciden avec les emps où I change de valeur jusifie le roisième erme. II. On noe Z = fī, X fi, X. Noer que Z es F -adapé. On a donc : h E Z N +h N EN +h N F = E Z. h Par convergence dominée comme f es une foncion bornée, Z es bornée p.s., on a donc On en dédui que lim h h E Z N +h N = λ EZ. +h lim h h E Z s dn s = λ EZ. II.3 On vérifie facilemen que φ i puisque pour ou f, i= fi, x φ i, x dx = EfI, X e φ i= i, x dx = en prenan f = dans la relaion qui défini les φ i. En inégran la relaion obenue en II. enre e + h, on a : fi +h, X +h fi, X = + +h +h En prenan l espérance, on a donc EfI +h, X +h EfI, X = x fi s, X s σ Is X s dw s + f Ī s, X s fi s, X s dn s. +h +h Ea Is X s x,x fi s, X s ds + E 5 a Is X s x,x fi s, X s ds +h f Ī s, X s fi s, X s dn s.
6 En divisan par h e en passan à la limie h, on en dédui : d d EfI, X = Ea I X x,x fi, X + λ E fī, X fi, X. On en dédui l équaion d d i= fi, x φ i, x dx = i= a i x x,x fi, x φ i, x dx+λ i= fī, x fi, x φ i, x. On remarque alors que cee équaion es exacemen la formulaion variaionnelle donnée dans la quesion I. du problème iniial avec comme foncions ess ψ i x = fi, x. Auremen di, on peu inerpréer le couple de soluions φ, φ du problème en erme de loi du processus couplé I, X, ce qui explique en pariculier les hypohèses que nous avions faies sur les condiions iniiales φ, φ. Exercice 4 : Méhode de ir pour une équaion différenielle ordinaire. Soi x, x les coordonnées de x. On vérifie que le problème se réécri sous la forme d x d = b pour [, T ], x = f e x T = f, avec x = dx d, qui es un problème en dimension de Poisson avec condiions aux limie de irichle sur x e qui adme donc une unique soluion. On sai que l équaion différenielle ẋ = Ax + b avec comme condiion iniiale x en = adme une unique soluion x = R, x + Rs, bs ds. C es la formule de uhamel. On en dédui la réécriure du problème 3 sous la forme T B R, x Rs, bs ds + B T R, T x + Rs, T bs ds = f. 3 L équaion précédene se réécri T E x = f + B Rs, bs ds B T Rs, T bs ds. C es un problème linéaire en x, qui adme donc une unique soluion x si E es inversible. Par ailleurs, la relaion : E = B R, + B T R, T = ER, 6
7 qui se dédui des relaions de flo R, = R, R, e R, T = R, T R, monre que si E es inversible alors E aussi puisque R, es inversible. 4 On inrodui le flo associé à l équaion différenielle ordinaire 4 : Φ, x ; es soluion de dx = g, x, d x = x. Noer que les hypohèses sur g garanissen l exisence d une soluion pour ou emps. Le problème 4 se réécri : pour fixé, rouver x el que : B Φ, x, + B T Φ, x, T = f. C es un problème non-linéaire. On suppose dans l énoncé qu il adme une soluion x. On obien donc l unicié de la soluion à condiion que l applicaion ψ : x B Φ, x, + B T Φ, x, T f adme une différenielle en x inversible. On noe W, R d d la différenielle de x Φ, x, prise au poin x. Noer que W, es soluion de dr d R = Id. = g x, x R La foncion W, joue le rôle de la résolvane R, dans le cas linéaire. On défini donc comme précédemmen E = B W, + B T W, T. Si E es inversible, alors il exise une unique soluion x au problème ψx = e donc une unique soluion x à 4. Comme précédemmen, on vérifie aussi que si E es inversible pour un =, alors elle es inversible pour ou emps. 5 Pour résoudre le problème 3, il suffi donc de choisir un emps [, T ], de consruire E, puis de résoudre le problème linéaire inrodui dans la Quesion. Ceci nécessie de consruire expliciemen la résolvane, ce qui peu êre coûeux en praique. Pour le problème non-linéaire 4, il fau cee fois adoper une méhode iéraive, de ype Newon par exemple, pour résoudre le problème non-linéaire. Là aussi, la consrucion de la marice E peu s avérer coûeuse. es méhodes de différeniaion auomaique peuven êre uiles. On observe en praique sur si les poins e T son éloignés, la marice E es rès mal condiionnée, e il peu êre uile d inroduire des poins inermédiaires enre e T, e de résoudre le problème sur chacun des inervalles, en imposan la coninuié aux bornes : c es la méhode de ir muliple. Pour plus dinformaions, on renvoie par exemple au chapire 8 de [P. euflhard e F. Bornemann, Scienific compuing wih ordinary differenial equaions, Springer, ]. 7
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