Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

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1 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires A. Généralités sur les variables aléatoires réelles B. Séries doubles C. Compléments sur les V.A.R. discrètes D. Compléments sur les couples de V.A.R. discrètes E. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans n L essentiel, mise en œuvre Chapitre 2 Variables aléatoires à densité A. Généralités B. Sommes de V.A.R C. Lois usuelles L essentiel, mise en œuvre Chapitre 3 Convergences et approximations A. Convergence en probabilité B. Convergence en loi C. Approximations L essentiel, mise en œuvre Chapitre 4 Statistiques A. Analyse statistique de deux variables B. Estimation Chapitre 5 Extraits de problèmes de concours Index

2 CHAPITRE 1 Variables et vecteurs aléatoires A. Généralités sur les variables aléatoires réelles Définition Opérations Fonction de répartition Variables aléatoires indépendantes B. Séries doubles Convergence des séries doubles à termes positifs Séries doubles absolument convergentes C. Compléments sur les V.A.R. discrètes Espérance et conditionnement Simulations informatiques D. Compléments sur les couples de V.A.R. discrètes Rappels du cours de première année Loi d une V.A.R. fonction de deux V.A.R. discrètes Espérance d une V.A.R. fonction de deux V.A.R. discrètes Covariance Coefficient de corrélation linéaire E. Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans n Généralités V.A.R. mutuellement indépendantes Méthodes : L essentiel, mise en œuvre Exercices niveau Exercices niveau Solutions des exercices

3 Chapitre 1 : Variables et vecteurs aléatoires A. Généralités sur les variables aléatoires réelles 1. Définition { /X( ) I} est aussi noté X 1 () I. Dans les énoncés on donne souvent : soit X une V.A.R. On sait alors que pour tout intervalle I de, [ X I] est un événement. Voir le tome de probabilités 1 re année, chapitre 4, proposition 2. Définition 1 Soit (, ) un espace probabilisable. On appelle variable aléatoire réelle définie sur (, ), toute application X de dans, telle que pour tout intervalle I de, { /X( ) I}. Notations On note [ X I] l événement { /X( ) I} V.A.R. pour variable aléatoire réelle Événements liés à une variable aléatoire réelle Si I ]a, b], on note [ a X b] pour [ X ]a, b] ]. Si I ], x ], on note [ X x ] pour [ X ], x ]]. Si I { x }, on note [ X x ] pour [ X { x }]. Dans le tome de probabilités de 1 re année, on a appelé V.A.R. discrète toute application X de dans telle que : 1) X( ) { x j j J} avec J partie de ou de. 2) Pour tout x X( ), X 1 ({ x }). On a démontré que pour tout intervalle I de, X 1 () I. Il n y a donc pas de contradiction avec la définition 1 qui est la définition générale de la notion de V.A.R. Sup( X, et Inf( X, sont aussi notés Max( X, et Min X, Y ( ). 2. Opérations Soit X et Y deux V.A.R. définies sur (, ) et un nombre réel. Par définition, on pose pour tout : ( X ( ) X( ) Y( ) ; ( X) ( ) X( ) ; Sup( X, Sup( X( ), Y( ) ); Inf( X, Inf( X( ), Y( ) ). En général sup ( X, n est ni égale à X, ni égale à Y. Pour certains : ( sup ( X, )( ) X( ), et pour les autres ( sup ( X, )( ) Y( ). Par exemple : on lance un dé cubique, on appelle X le numéro obtenu et Y son complément à 6. { ,,,,, } X( ) Y( ) ( sup ( X, )( )

4 Généralités sur les variables aléatoires réelles Ce résultat est admis. Proposition 1 Soit X et Y deux V.A.R. définies sur (, ) et un nombre réel. X Y, X, XY, sup ( X,, inf ( X, sont des V.A.R. définies sur (, ). F est définie sur car [ X x ] pour tout x. 3. Fonction de répartition Définition 2 Soit (,, P) un espace probabilisé. Soit X une V.A.R. sur (, ). On appelle fonction de répartition de X l application : F : x F( x ) PX ( x ) Proposition 2 (1) x, F( x ) [ 01, ]. (2) F est croissante sur. (3) lim F( x ) 0 et lim F( x ) 1 et F est continue à droite en tout point de. (4) ( a, b) 2, P( a X b) F( b) F( a ). Démonstration (1) x, [ X x ], donc F( x ) PX ( x ) [ 01, ]. (2) ( x, x ) 2, si x x, [ X x ] [ X x ]. D où PX ( x ) PX ( x ) et F( x ) F( x ). F est donc croissante sur. (3) F est croissante sur et bornée par 0 et par 1, donc F admet une limite l en +, une limite l en, et une limite à droite en tout point x 0 de. De plus : l lim F( x ) 1, l lim F( x ) 0, et 0 lim F( x ) 1. x x 0 + Soit A n [ X n]. ( A n ) n est une suite croissante d événements et Voir le tome de probabilités 1 re année proposition 8 du chapitre 3. Attention : lim F( n) 1 ne permet pas d affirmer que lim F( x ) 1, c est pourquoi nous avons au préalable justifié que F a une limite en +. = [ X ]. Donc lim PA ( n ) = P( )= 1, c est-à-dire lim F( n) 1. A n n Or lim F( n) l, donc l 1. En utilisant la suite décroissante d événements ( B n ) n où B n [ X n] on montre de manière analogue que lim F( x ) 0. 1 Soit C n X x ( C est une suite décroissante d événements et n n ) n C n = [ X x 0 ]. n 1 Donc lim PC ( n ) = PX ( x 0 ), c est-à-dire lim F x = F( x n 0 ). On en déduit lim F( x ) F( x 0 ) et F est continue à droite en tout point x 0 de. x x 0 + (4) ( a, b) 2, [ a X b] [ X b] [ X a ] donc P( a X b) PX ( b) b] [ X a ]) PX ( b) PX ( a ) F( b) F( a ). 7

5 Chapitre 1 : Variables et vecteurs aléatoires 4. Variables aléatoires indépendantes Définition 3 On dit que deux V.A.R. X et Y définies sur (,, P) sont indépendantes lorsque pour tout ( x, y) 2, x ] [ Y y] ) PX ( x )PY ( y). Voir le tome de probabilités 1 re année, chapitre 5, proposition 3. A = ], x] B = ], y]. s L indépendance des deux V.A.R. X et Y dépend de la probabilité P. Dans le tome de probabilités de 1 re année, on a dit que deux V.A.R. discrètes X et Y sont indépendantes lorsque leurs -algèbres associées X et Y le sont. On a démontré que l on a alors pour toutes les parties A et B de, A] [ Y B] ) PX ( A)PY ( B). Par suite, pour tout ( x, y) 2, x ] [ Y y] ) PX ( x )PY ( y). Il n y a donc pas de contradiction avec la définition 3 qui est la définition générale de la notion : X et Y sont indépendantes. Définition 4 On dit que les n V.A.R. X 1,, X n sont mutuellement indépendantes lorsque pour tout ( x 1,, x n ) n, n n P [ X k x k ] PX ( k x k ). k =1 k =1 Comme précédemment, on montre qu il n y a pas de contradiction avec la définition 8 du chapitre 5 du tome de probabilités 1 re année. Définition 5 On dit que ( X n ) n est une suite de V.A.R. mutuellement indépendantes lorsque pour tout n, les V.A.R. X 0,, X n sont mutuellement indépendantes. On démontre qu alors pour toute partie finie I incluse dans, ( X i ) i I V.A.R. mutuellement indépendantes. est une famille de Définition 6 On dit que ( X i ) i I, (I fini ou infini) est une famille de V.A.R. deux à deux indépendantes lorsque pour tout ( i, j) I 2 tel que i j, X i et X j sont indépendantes. Si des V.A.R. sont mutuellement indépendantes, alors elles sont deux à deux indépendantes, mais la réciproque est fausse comme on l a vu dans le tome de 1 re année. 8

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