Rappel du cours 1 Numérotation dans différentes bases Changements de bases

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Brigitte Brosseau
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1 Rappel du cours 1 Numérotation dans différentes bases Changements de bases Représentation binaire i des nombres Représentation des entiers positifs (rappel) Nombres entiers négatifs Nombres réels Représentation binaire des caractères

Représentation des entiers positifs (rappel) Nombres

2 L humain utilise le système décimal: la base 10 Chiffres: 0..9 Les applications électroniques utilisent le système binaire: la base 2 Chiffres: 0..1 En informatique, on utilise également les bases octale Chiffres: 0..7 et hexadécimale. Chiffres: 0..9 et A..F La valeur décimale d un chiffre s obtient par la formule: valeur = chiffre base position La conversion de la base décimale vers une autre base se fait par divisions La conversion entre les bases 2, 8 et 16 se fait rapidement par groupement

.1 En informatique, on utilise également les bases octale Chiffres: 0..7 et hexadécimale. Chiffres: 0..9 et A.

3 Représentation des entiers positifs On dispose de n bits On peut représenter 2 n valeurs Valeur minimale: 0 Valeur maximale: 2 n -1 Ex. avec 3 bits: Valeur min. : =0 10 Valeur max.: =7 10 Nombre de valeurs: 8 #Bits Min. Max. #Val

avec 3 bits: Valeur min. : 000 2 =0 10 Valeur max.

4 Représentation des entiers non-signés Pas d information de signe Représenté comme un entier positif On dispose de n bits 2 n valeurs : 0 2 n -1 Exemple sur 8 bits à à 255 (2 8 1) #Bits Min. Max. #Val

: 0 2 n -1 Exemple sur 8 bits 00000000 à 11111111 0 à 255 (2 8 1)

5 Représentation des entiers signés Comment représenter des valeurs négatives? Plusieurs représentations possibles: Biaisée Complément à un Complément à deux Signe et valeur Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur

valeur Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur 1 2 3 011 111 011 011 2 010 110 010 010 1

6 Représentation Signe-Valeur: Val 10 Signe Valeur Biaisée Comp 1 Comp 2 On dispose de n bits : 1 bit de signe n-1 bits de valeur n valeurs

011 2 010 110 010 010 1 001 101 001 001 000 000 2 n 0 100 000-1 valeurs

7 Représentation biaisée : Val 10 Signe Valeur Biaisée Comp 1 Comp On dispose de n bits 2 n valeurs Ex. avec 3 bits: Non-signée : 0 7 Biaisé :

avec 3 bits: 000 111 Non-signée : 0 7 Biaisé : -4 3 2 010 110 010 010 1 001

8 Représentation biaisée Comment retrouver la valeur décimale représentée par l information binaire? 1. Changer de base : base 2 base Calculer la valeur du biais: 2 n /2=2 n-1 3. Soustraire le biais Exemple: = = Biais=2 8 /2= 2 7 = = -122

Calculer la valeur du biais: 2 n /2=2 n-1 3.

9 Représentation complément à un : On dispose de n bits Bit de gauche pour le signe 2 n -1 valeurs Décompte binaire positif classique Décompte binaire négatif en valeurs complémentaires Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur

complémentaires Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur 1 2 3 011 111 011 011 2 010 110 010

10 Représentation complément à 1 Comment retrouver la valeur décimale représentée par l information binaire? Déterminer le signe Si le bit de signe est 0 : valeur positive 1. Changer de base (sans considérer le bit de signe) Si le bit de signe est 1 : valeur négative 1. Faire le complément à 1: changer tous les 1 en 0 et vice-versa 2. Changer de base (sans considérer le bit de signe) Exemple: = Valeur négative: g 2 1. Complément à 1: =73 Comp. à

Changer de base (sans considérer le bit de signe) Si le bit de signe est 1 : valeur négative 1.

11 Représentation complément à deux : On dispose de n bits Bit de gauche pour le signe 2 n valeurs Décompte binaire positif classique Décompte binaire négatif en valeurs complément à 2 Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur

2 Signe Comp Comp Val 10 Biaisée Valeur 1 2 3 011 111 011 011 2 010 110 010 010 1 001 101

12 Représentation complément à 2 Comment retrouver la valeur décimale représentée par l information binaire? Déterminer le signe Si le bit de signe est 0 : valeur positive 1. Changer de base (sans considérer le bit de signe) Si le bit de signe est 1 : valeur négative 1. Faire le complément à 1: changer tous les 1 en 0 et vice-versa 2. Faire le complément à 2: Ajouter 1 au complément à 1 3. Changer de base (sans considérer le bit de signe) 2 10 Exemple: = Valeur négative: Complément à 1: Ajouter 1: = Comp. à 1 Comp. à =

Faire le complément à 1: changer tous les 1 en 0 et vice-versa 2. Faire le complément à 2: Ajouter 1 au complément à 1 3.

13 Ex que vaut : Val 10 Signe Valeur Signe-Valeur: -3 Biaisée: 3 Comp 1: 0 Biaisée Comp 1 Comp Comp 2:

010 110 010 010 Comp 2:-1 1 001 101 001 001 000 000 0 100 000

14 Nombre réels: représentation à virgule fixe La précision est fixée en choisissant un nombre de bits pour représenter la partie décimale. Exemple avec 4 bits pour la partie décimale: représente la partie entière 1100 représente la partie décimale Partie entière Partie décimale

Exemple avec 4 bits pour la partie décimale: 00011100 0001 représente la

15 Nombres réels: représentation à virgule fixe Comment faire le changement de base? Pour les chiffres de la partie entière et de la partie décimale: valeur = chiffre base position Exemple avec 4 bits pour la partie décimale: * * * ,75 10 Partie entière Partie décimale

base position Exemple avec 4 bits pour la partie décimale: 00011100 2 0001 1100 2 1*2

16 Nombres réels: représentation à virgule flottante On utilise la notation scientifique: e s M b s est le signe (±1) M est la mantisse b est la base (B=2 pour la représentation binaire) e est l exposant Exemple en base 10: 124,5 = 124,5 X 10 0 = 1,245 X 10 2 Exemple en base 2: 101,1111 = 101,11 11 X 2 0 = 1,0111 X 2 2

pour la représentation binaire) e est l exposant Exemple en base 10: 124,5 =

17 Nombres réels: représentation à virgule flottante Simple précision (norme IEEE-754): 32 bits 1 bit pour le signe (1:négatif, 0:positif) 8 bits pour l exposant signé: représentation biaisée bits pour la mantisse de la forme 1,XX..X X Permet de représenter des valeurs réelles de à ± exposant mantisse 8 bits 23 bits s ( 1) 1. M e 127 b

représentation biaisée + 1 23 bits pour la mantisse de la forme 1,XX.

18 Nombres réels: représentation à virgule flottante Double précision (norme IEEE-754): 64 bits 1 bit pour le signe (1:négatif, 0:positif) 11 bits pour l exposant signé: représentation biaisée bits pour la mantisse de la forme 1,XX..X X Permet de représenter des valeurs réelles de à ± exposant mantisse 11 bits 52 bits s ( 1) 1. M e 1023 b

représentation biaisée + 1 52 bits pour la mantisse de la forme 1,XX.

19 Nombres réels: représentation à virgule flottante Exemple en simple précision (32 bits): = = 1.11 * bit pour le signe (1:négatif, 0:positif): 0 8 bits pour l exposant (rep. Biaisée i - 1): bits pour la mantisse: = ± exposant mantisse

11 * 2 1 1 bit pour le signe (1:négatif, 0:positif): 0 8 bits pour l exposant (rep.

20 Nombres réels: représentation à virgule flottante Exemple en simple précision (32 bits): = = * bit pour le signe (1:négatif, 0:positif): 0 8 bits pour l exposant (rep. Biaisée i - 1): bits pour la mantisse: = ± exposant mantisse

00011 * 2 5 1 bit pour le signe (1:négatif, 0:positif): 0 8 bits pour l exposant (rep.

21 Nombres réels: représentation à virgule flottante Exemple en simple précision (32 bits): = = * bit pour le signe (1:négatif, 0:positif): 1 8 bits pour l exposant (rep. Biaisée i - 1): bits pour la mantisse: = ± exposant mantisse

22 Caractères Cette catégorie de données représente Les caractères alphabétiques minuscules et majuscules Les caractères 0 à 9 Les symboles de ponctuation ti Les touches de contrôles du clavier (f1, f2, esc, ) Certains caractères spéciaux (nul, cloche, )

23 Représentation en mémoire Un code numérique est associé à chaque caractère Les codes les plus connus sont : American Standard Code for Information Interchange ASCII (8 bits) 128 caractères ISO (16 bits) 256 caractères Unicode (21 bits minimum) 1,114,112 caractères

24 Représentation en mémoire C est la valeur numérique qui est conservée en mémoire. Exemple : Le code de A est donc en mémoire C est le programmeur qui détermine si la valeur représente un nombre ou un caractère. Il faut comprendre que 1 1

25 nul soh stx etx eot enq ack bel bs tab 01 lf vt ff rc so si dle dc1 dc2 dc3 02 dc4 nak syn etb can em sub esc fs gs 03 rs us espace! # $ % & 04 ( ) * +, -. / : ; 06 < = A B C D E 07 F G H I J K L M N O 08 P Q R S T U V W X Y 09 Z [ \ ] ^ _ a b c 10 d e f g h i j k l m 11 n o p q r s t u v w 12 x y z { } ~ del

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