BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

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1 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l appréciation des copies. Le barème est précisé, à titre indicatif, exercice par exercice.

2 Exercice Cet exercice se compose de deux parties et avec chacune un type de QCM. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L absence de réponse n apporte et n enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l exercice est 0. ( points) Partie On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ ; ], et on donne sa courbe représentative C f dans un repère orthogonal (O, ı, j), figure ci-dessous. C B D A j ı F E On sait que la courbe C f passe par les points : A( ; 0,5), B(0 ; ), C( ;,5), D(,5 ; ), E(7,5 ; 0) et F( ; 0,75). Les tangentes à la courbe C f aux points A, B, C, D et F sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions. Pour chacune des questions de cette re partie, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.. f (0) est égal à : A : B : C :. f (x) est strictement positif sur l intervalle : A : ]0 ; [ B : ]0 ; 7,5[ C : ] ; [. Une équation de la tangente à la courbe C f au point D est : A : y = x+6,5 B : y = x 6,5 C : y = x+. Une primitive F de la fonction f sur l intervalle [ ; ] : A : admet un maximum en x =. B : est strictement croissante sur l intervalle [ ; 7,5]. C : est strictement décroissante sur l intervalle ] ; [.

3 Partie Pour chacune des quatre affirmations de cette e partie, indiquer sur votre copie, sans justifier votre choix : «vrai» ou «faux» ou «Les informations données ne permettent pas de répondre».. Un capital est placé en banque au taux annuel de,5 % (de façon à ce que chaque année, les intérêts s ajoutent au capital pour produire des intérêts). Ce capital aura au moins doublé au bout de 6 ans.. Une hausse de 5 % est compensée par une baisse de 5 %.. Soit f une fonction définie sur R telle que lim f(x) = 0. Alors lim x + x + f(x) = +.. Le nombre A = ln(e +e) est égal à +ln(e+). Exercice Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes. (6 points) On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ dont on donne la représentation graphique (C) dans le repère ci-dessous. (C) A O e 5 (T) On admet que : le point A de coordonnées ( ; ) appartient à la courbe (C) ; la tangente (T) en A à la courbe (C) passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe (C) admet une tangente horizontale au point d abscisse ; l axe des ordonnées est asymptote à la courbe de la fonction f.

4 Partie. Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l énoncé, les valeurs def(), f () et f (), où f est la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [.. On admet que l expression de f(x) sur ]0 ; + [ est : où a, b et c sont des nombres réels. f(x) = ax+b+clnx (a) Calculer f (x) en fonction de x et de a, b et c. (b) Démontrer que les réels a, b et c vérifient le système a+b = a+c = a+ c = 0 (c) Déduire de la question précédente les valeurs de a, b et c, puis l expression de f(x). Partie Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à ]0 ; + [ par : f(x) = x lnx.. Justifier que l axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.. (a) Calculer la dérivée g de la fonction g définie pour tout réel x ]0 ; + [ par : g(x) = xlnx x. (b) En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0 ; + [. (c) Calculer e f(x) dx. Rappel : Soit f une fonction et [a ; b] un intervalle sur lequel f est définie et admet une primitive F. L intégrale de f sur un l intervalle [a ; b], est le nombre noté b a f(x) dx égal à F(b) F(a).

5 Exercice (6 points) Lors de sa création au er janvier 000, un club de sport a 00 adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 0 nouveaux membres adhèrent. Pour tout nombre entier naturel n, on appelle a n le nombre d adhérents du club, exprimé en centaines, n années après la création du club. Question préliminaire En supposant que le nombre d adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes, montrer que la situation peut être modélisée par : a 0 = et pour tout entier naturel n par la relation : a n+ = 0,75a n +,. Partie : Étude graphique de la suite (a n ) n N Dans le repère donné en ANNEXE, à rendre avec la copie, on a représenté la droite D d équation y = 0,75x+, et la droite d équation y = x pour les abscisses comprises entre 0 et 6.. Placer a 0 sur l axe des abscisses et, en utilisant les droites D et, placer sur l axe des abscisses les valeurs a, a, a, a (laisser apparents les traits de construction).. Quelle semble être la limite de la suite (a n ) n N? Partie : Étude numérique de la suite (a n ) n N On considère la suite (u n ) n N définie par u n = a n,8 pour tout nombre entier naturel n.. (a) Calculer u 0. (b) Démontrer que la suite (u n ) n N est une suite géométrique de raison 0,75. (c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, a n =,8,8 (0,75) n. (d) Déterminer lim n + a n.. Si l évolution du nombre d adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année? Pourquoi? 5

6 Exercice On rappelle que pour tout événement A et B d un univers : l événement «A et B» est noté A B, la probabilité de l événement A est notée P(A), si P(A) 0, alors la probabilité conditionnelle de B sachant A est notée P A (B). ( points) Lors de l année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l année scolaire. Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d obtenir son bac s il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0, s il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire. Un candidat est dit surpris s il est admis alors qu il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire ou bien s il est refusé et qu il a travaillé sérieusement pendant l année scolaire. On note : T l événement «le candidat a travaillé sérieusement» A l événement «le candidat est admis au baccalauréat ES» S l événement «Le candidat est surpris». On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES. Dans tout l exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.. Sur l ANNEXE, à l aide des données procurées par l énoncé, compléter l arbre pondéré traduisant la situation.. Déterminer la probabilité des événements suivants : (a) T A (b) «Le candidat a travaillé sérieusement et n est pas admis.». (a) Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis. (b) Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l année scolaire.. Calculer la probabilité de l événement S. F n i i n F 6

7 Feuille annexe : à rendre avec la copie Nom : Prénom : Annexe (Exercice ) : graphique 8 y D x Annexe (Exercice ) : arbre des probabilités T A Ā T A Ā 7

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