Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable"

Transcription

1 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Annick Valibouze Résumé Cet article développe une vision effective de la théorie de Galois algébrique en apportant des propriétés inhérentes aux idéaux associés àunpolynôme d une variable. Il débouche sur un algorithme de calcul du groupe de Galois d un polynôme et de l idéal des relations entre ses racines. Abstract Galois theory allows us to deal with effective computation in algebraic extensions of fields. In this aim, the present paper is devoted to an inductive construction of a generating system for the ideal of relations among the roots of a univariate polynomial over a field. The idea is to define new ideals between the ideal of symmetric relations and the ideal of relations and to give a correspondence between these ideals and finite sets of permutations. The fundamental tools of this construction are multivariate polynomials called minimal polynomials associated to our ideals. These polynomials characterize the considered ideals and allow to construct a generating system for them. soutenue par le projet Galois du GDR-CNRS MEDICIS et par le Dipartimento di Matematica di la Università dipisa Received by the editors February Communicated by J. Doyen Mathematics Subject Classification : 12F10, 12Y05, 11Y40. Key words and phrases : Galois group, univariate polynomials, resolvents, primitive elements of Galois ideals, computation of the ideal of the relations among the roots of univariate polynomials. Bull. Belg. Math. Soc. 6 (1999),

2 508 A. Valibouze Introduction La recherche du groupe de Galois d un polynôme f d une variable fut d abord motivée par la résolution par radicaux de ses racines, puis par l étude de son corps de décomposition et les manipulations des nombres algébriques qui lui appartiennent. Ce qui est exposé ici suppose que le corps k des coefficients du polynôme f est parfait. La premièreétude fondamentale est due à Lagrange (voir [19]) qui, en introduisant lesrésolvantes, adéfini l outil algébrique fondamental de la théorie de Galois constructive. Il a montré que toutes les méthodes de résolution par radicaux connues alors revenaient à choisir de bonnes résolvantes, à les calculer puis à les factoriser sur le corps k des coefficients du polynôme f. S appuyant sur ces travaux Galois (voir [14]) utilisa une résolvante particulière, connue sous le nom de résolvante de Galois, pourdéfinir un groupe appelé aujourd hui groupe de Galois du polynôme f. Cegroupedécrit le comportement des racines du polynôme f. Lesétudes ultérieuresmirent en évidence la correspondance entre les sous-groupes du groupe de Galois de f et les sous-corps de son corps de décomposition (voir [5]). Par ailleurs, de nombreux auteurs ont trouvé empiriquement des résolvantes permettant de déterminer les groupes de Galois jusqu en degré 7 (voir [7], [8], [13], [21] et [22]). La correspondance entre les résolvantes et les groupes montre qu il est toujours possible de calculer le groupe de Galois d un polynôme à partir des résolvantes et détermine les résolvantes adéquates pour y parvenir (voir [4] et [25]). Une autre façon d aborder la théoriedegaloisestd étudier les relations entre les racines du polynôme f. (Une relation est un polynôme de n variables àcoefficients dans le corps k où n est le degré dupolynôme f.) Lorsque l idéal de toutes les relations entre les racines de f est connu, le groupe de Galois et le corps de décomposition du polynôme f le sont également. Dans [2] est proposé un algorithme de construction d une base de Gröbner de cet idéal (voir aussi [23]) ; il consiste à factoriser le polynôme dans des extensions successives du corps k de base jusqu au corps de décomposition du polynôme f. Un autre idéal étudié jusqu alors est l idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f. Cet article propose une étude approfondie des relations entre les racines du polynôme f à travers des idéaux particuliers contenant l idéal des relations symétriques et inclus dans l idéal (maximal) des relations entre les racines du polynôme f. Les principaux résultats de cette étude sont la correspondance entre les idéaux étudiés et des ensembles de permutations et un algorithme de construction d un système de générateurs de l idéal des relations. Cet algorithme ne nécessite aucune factorisation dans une extension algébrique du corps des coefficients du polynôme f. Il construira une chaîne croissante d idéaux : I 1 I 2 I m où I 1 est l idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f et I m est l idéal des relations entre ces racines. Pour chaque idéal I j de la chaîne sera déterminé unpolynôme R j,appelé polynôme primitif de l idéal I j,vérifiant I j = I j 1 + <R j >. Passons à une présentation plus détailléede cet article. L étude des relations entre les racines du polynôme f nécessite un ordonnancement des ses racines. Un ensemble

3 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 509 ordonné des racines du polynôme f, noté,seradoncfixé afin d étudier les - relations (i.e. les polynômes de n variables qui, évalués en, s annulent). Le premier paragraphe sera consacré auxdéfinitions. Au paragraphe 1.3 seront définis l idéal des -relations, noté I,etlegroupe de Galois,noté G. Au paragraphe 1.4 seront introduits les idéaux des -relations invariantes par des permutations, notés sous la forme I,où L L est un ensemble de permutations. Deux ensembles de permutations associés àunidéal I L seront alors définis : le fixateur, notémax(i L), et le groupe de décomposition, notégr(i). L Les hypothèses générales de l article feront l objet du second paragraphe. Le troisième paragraphe sera consacré auxrésultats théoriques. Les idéaux I L forment une chaîne croissante commençant par l idéal des relations symétriques et terminant par l idéal maximal I. Au paragraphe 3.1 se trouveront des résultats préliminaires. Au paragraphe 3.2 sera montré que pour chaque idéal I L,où L est un groupe, il existe un polynôme qui le caractérise par rapport àunidéal I M,où M est un groupe qui contient les groupes L et G (voir Théorème 3.10). Ce polynôme sera appelé unpolynôme M-primitif de l idéal I L et servira à identifier le fixateur (voir Corollaire 3.12). La correspondance entre les idéaux I L et les fixateurs sera décrite au paragraphe 3.3 (voir Théorème 3.14). Aux paragraphes 3.4 et 3.5 seront exprimésles variétés, les polynômes caractéristiques et minimaux ainsi que les résolvantes associés aux idéaux I. L Au paragraphe 3.6, il sera montré comment obtenir un système de générateurs de l idéal I L à partir d un de ses polynômes M-primitifs (voir Théorème 3.27). Au paragraphe 3.7 sera étudiée l effectivité de l hypothèse d induction de la construction de l idéal des -relations à partir de l idéal des relations symétriques. Cette hypothèse d induction est celle du second paragraphe. Au paragraphe 4 seront rappelés les résultats sur les matrices de groupes et de partitions. Le cinquième paragraphe comportera un algorithme de construction d un système de générateurs de l idéal des -relations. Pour terminer, un exemple explicite sera donné ausixième paragraphe. Ces résultats ont été enseignés en troisième cycle universitaire à Marrakech (Octobre 1996), à Paris (Janvier 1997) et à Pise (Avril 1997). 1 Définitions et notations préliminaires 1.1 Les données Nous nous donnons : - k un corps supposé parfait, - ˆk une clôture algébrique de k, - f un polynôme séparable d une variable àcoefficientsdansk et de degré n, -=(α 1,...,α n ) ˆk n,composé des racines (distinctes) du polynôme f, - x 1,...,x n et T des indéterminées et nous adoptons les notations suivantes : - k[x 1,...,x n ]désigne l anneau des polynômes en x 1,...,x n àcoefficientsdansk, - k(x 1,...,x n )désigne le corps des fractions de k[x 1,...,x n ], - pour un polynôme P de k[x 1,...,x n ], P () = P (α 1,...,α n ).

4 510 A. Valibouze 1.2 Action du groupe symétrique Fixons, pour ce paragraphe, une fraction Θ dans le corps k(x 1,...,x n )etdeux sous-groupes L et H du groupe symétrique de degré n qui sera noté S n. Supposons que H soit inclus dans L. Le groupe symétrique de degré n agit naturellement sur le corps k(x 1,...,x n ). Pour σ S n, l action de σ sur Θ, notée σ.θ ou(σ.θ), est définie ainsi : σ.θ(x 1,...,x n )=Θ(x σ(1),...,x σ(n) ). L action de σ sur, notée σ., est définie par σ. =(α σ(1),...,α σ(n) ). Définition 1.1. L orbite de Θ sous l action d un groupe L est définie par : L.Θ ={σ.θ σ L}. La fraction Θ est appelée un invariant de L (ou un L-invariant) si L.Θ ={Θ}. Le corps des L-invariants sera noté k(x 1,...,x n ) L. Définition 1.2. Le stabilisateur de Θ dans L, notéstab L (Θ), est défini par : Stab L (Θ) = {σ L Θ=σ.Θ}. Le stabilisateur du groupe H dans le groupe L sera noté Stab L (H). Définition 1.3. La fraction Θ est appelée un H-invariant L-primitif si Θ est un polynôme et H =Stab L (Θ). Des méthodes efficaces permettent de calculer des H-invariants L-primitifs (voir [1] ou [17]). Exemple 1.4. Soit A n,legroupealternédanss n, alors le déterminant de Vandermonde δ n := 1 i<j n(x i x j )estuna n -invariant S n -primitif. Définition 1.5. Soit Θ un H-invariant L-primitif. Le polynôme Θ est dit séparable pour sih = {σ L Θ() = (σ.θ)()}. Lorsque le corps k est infini, il est toujours possible de construire pour chaque polynôme des H-invariant L-primitifséparables (voir [3]). Il existeaussi pour certains groupes des invariants universels qui sont séparables pour tous les polynômes. Exemple 1.6. Comme le polynôme f est séparable (i.e. ses racines sont distinctes), le déterminant de Vandermonde est séparable. En effet S n.δ n = {δ n, δ n } et le discriminant non nul de f est à une constante près δn(). 2 Si δ n () = δ n () alors δ n () = 0 et le discriminant du polynôme f est nul. Exemple 1.7. L invariant de Cayley qui est un invariant S 5 -primitif du groupe métacyclique est séparable pour tous les polynômes séparables (voir [4]). Définition 1.8. Soit {σ 1 H,...,σ e H} l ensemble des classes à gauche (resp. àdroite) de L mod H, noté(l/h) g. L ensemble {σ 1,...,σ n } est appelé une transversale à gauche de L mod H (resp. àdroite). Notation 1.9. Pour G et H deux sous-groupes de S n, la notation GH désigne le sous-ensemble {gh g G, h H} de S n.

5 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Idéal des relations et groupe de Galois Cet article se propose d étudier les racines du polynôme f par les relations qui existent entre elles. Pour ce faire, l ordre des racines a été fixédans. Définition Un polynôme P k[x 1,...,x n ]estappelé une -relation si P () = 0. Définition L idéal I de k[x 1,...,x n ]défini par I = {R k[x 1,...,x n ] R() = 0} (1) est connu sous le nom d idéal des -relations. Définition Le groupe de Galois de est le sous-groupe G de S n défini par G = {σ S n ( R I ) σ.r I }. (2) Le lemme 3.4 assure que G est effectivement un groupe. Ce groupe est communément appelé legroupedegaloisdupolynôme f car il est isomorphe au groupe des k- automorphismes de k(), le groupe de Galois de l extension k() de k. De par sa définition, le groupe de Galois G agit sur l anneau quotient A I := k[x 1,...,x n ]/I de la manière suivante : G A I A I (σ, P ) (σ.p )() = P (σ.). Comme A I est k-isomorphe au corps k(), le corps de décomposition du polynôme f, cette action induit une action, notée, deg sur k(). C est ce qui, avec la correspondance galoisienne, rend essentielle la connaissance du groupe de Galois ou mieux encore celle de l idéal I. 1.4 Idéal invariant par un ensemble de permutations L étude de l idéal des-relations va être abordée avec celled une familled idéaux particuliers définis ci-dessous : Définition Soit un sous-ensemble L de S n, l idéal I L = {R k[x 1,...,x n ] ( σ L) (σ.r)() = 0} est appelé idéal des -relations invariantes par L. En particulier l idéal des relations, I,estdéfini comme l idéal des -relations invariantes par l identité et l idéal I Sn est connu sous le nom d idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f. Remarque 1. L idéal des relations symétriques ne dépend pas de l ordre donné aux racines du polynôme f. Il peut aussi être noté I Sn f. Définition Soit L un sous-ensemble du groupe symétrique S n.leplusgrand des sous-ensembles, G, des n qui vérifient : est appelé lefixateur de l idéal I L et sera noté Max(I L ). I L = I G (3)

6 512 A. Valibouze Le fixateur existe puisqu il s exprime sous la forme : Max(I L )= G S n I L =IG G et que pour tout ensemble G d ensembles de permutations : G G I = G G I G. Définition Le groupe de décomposition d un idéal I k[x 1,...,x n ], notégr(i), est défini par : Gr(I) ={σ S n σ(i)=i}. (4) Cette terminologie est choisie en référence à la théorie des nombres. (Le lemme 3.4 assure que le groupe de décomposition est effectivement un groupe.) 2 Hypothèses générales Désormais, deux sous-groupes M et L du groupe symétrique S n seront fixés. Le groupe L et le groupe de Galois G seront inclus dans le groupe M. La situation est la suivante (voir Lemme 3.3) : I Sn I M I L I. (5) Pour s assurer de l existence d invariants primitifs séparables, le corps k est supposé infini. Le polynôme Θ k[x 1,...,x n ]désignera un L-invariant M-primitif séparable pour. Lui seront associés θ k()etlepolynôme R L,M de k[x 1,...,x n ]définis par : θ := Θ() et R L,M := Min θ,k (Θ) où Min θ,k désigne le polynôme minimal de θ sur k. Exemple 2.1. Supposons le polynôme f unitaire et notons (f) son discriminant. Choisissons M = S n et L = A n,legroupealternédanss n.ledéterminant de Vandermonde, noté δ n, est toujours un A n -invariant S n -primitif séparable puisque f n a que des racines simples. Il est alors possible de choisir Θ := δ n.silegroupe de Galois est pair alors θ k (voir Lemme 3.7) et R L,M =Θ θ. Sinon Min θ,k (T )=T 2 θ 2 = T 2 (f) etdonc R L,M =Θ 2 (f).

7 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Résultats théoriques 3.1 Premières propriétés La notation σ.p () n est pas ambiguë :σ.p () = (σ.p )(). Néanmoins, le lemme suivant précise cette notation : Lemme 3.1. Soit σ, τ S n et P k(x 1,...,x n ),alors(σ.p )(τ.) = P (τσ.). Démonstration. Soit σ, τ S n et P k(x 1,...,x n ). En appliquant les notations et définitions il vient : (σ.p )(x 1,...,x n )(τ.) = P (x σ(1),...,x σ(n) )(α τ (1),...,α τ (n) ) = P (τσ.) car l évaluation de x j est α τ (j) pour tout j [1,n] et donc celle x σ(i) est α τσ(i) pour tout i [1,n](enposantj := σ(i)). Lemme 3.2. Pour chaque ensemble de permutations H inclus dans le groupe symétrique S n, l idéal I H est radical. Démonstration. Soit n un entier positif non nul et P k[x 1,...,x n ]telquep n I H. Soit σ L, alors0=(σ.p ) n () = (σ.p ()) n et, puisque k est un corps parfait, σ.p () = 0. D où P I. L Lemme 3.3. Soient H et G deux sous-ensembles de S n tels que H G. Alors I G I H. En particulier, si G contient l identité alorsi G I. Démonstration. Supposons que H soit inclus dans G. SoitR I G.Nousavons σ.r I pour tout σ G et ce en particulier pour tout σ H. DoncR I H. Remarque 2. La réciproque du lemme 3.3 n est pas toujours vraie (voir Théorème 3.14). Lemme 3.4. Soit I un idéal de k[x 1,...,x n ] et H l ensemble de permutations défini par : H := {σ S n σ(i) I}. Alors H estungroupeetdonch = {σ S n σ(i)=i} =Gr(I). Démonstration. Pour σ et τ H, alorsτσ H puisque τσ.i τ.i I. DoncH est stable par composition et puisqu il est fini, c est un groupe. Les idéaux I et I Sn sont égaux si et seulement si le groupe de Galois G est identique au groupe symétrique S n puisque G = Max(I )=Gr(I ) et que (6) S n = Max(I Sn )=Gr(I Sn ). (7) Les propositions 3.5 et 3.6 montrent ce qu il en est pour les idéaux I L intermédiaires entre l idéal des -relations et l idéal des relations symétriques.

8 514 A. Valibouze Proposition 3.5. Si L est un sous-groupe de S n,alors: L Gr(I L ) et (8) I Gr(IL ) I L. (9) Démonstration. Pour prouver (8), prenons τ L et R I.D après L le lemme 3.4, il suffit de prouver que τ(i) L I. L Pour tout σ L, lepolynôme στ.r appartient à l idéal I puisque στ L. D où τ.r I L (i.e. τ Gr(I L )). L inclusion (9) découle du lemme 3.3. Proposition 3.6. Soit I un idéal de k[x 1,...,x n ]. (i) Si I I alors I I Gr(I). (ii) Si I = I L,où L est un sous-groupe de S n,alors I L = I Gr(I) = I Max(I) et (10) L Gr(I L ) Max(I L ). (11) (iii) Si, de plus, Max(I) L est un groupe alors Gr(I)=Max(I L ). L Démonstration. Montrons d abord (i). Soit R k[x 1,...,x n ]. Si R I alors, par définition du groupe de décomposition, σ Gr(I) σ.r I I. Finalement, R I Gr(I). Maintenant, prenons L un sous-groupe de S n et posons I := I L qui est contenu dans l idéal I puisque L contient l identité. Montrons (ii). D après (i), I L I Gr(IL ). Réciproquement, par la proposition 3.5, puisque L est un groupe, il est inclus dans le groupe de décomposition Gr(I)etdoncI L Gr(IL ) I,d après L le lemme 3.3. Si, de plus, le fixateur Max(I) est un groupe, alors la proposition 3.5, appliquée àmax(i) àlaplacedel, implique Max(I) Gr(I). L inclusion inverse est la conséquence de la définition de Max(I) etde(10). 3.2 Polynôme primitif d un idéal Ce paragraphe montre que le polynôme R L,M caractérise l idéal I L relativement à l idéal I M et identifie le fixateur avec le groupe de Galois G. Rappelons ce résultat standard (voir, par exemple, [22]) : Lemme 3.7. Soit Θ L un L-invariant M-primitif. Alors : (i) si G L alors Θ L () k ; (ii) si Θ L () k et si Θ L est M-séparable pour alors G L. Démonstration. Le (i) estévident. Montrons le (ii). Si θ =Θ L () k, alorsr L := Θ L θ I L I puisque L contient l identité. S il existe σ G tel que σ L alors σ.r L () = σ.θ L θ 0, puisque σ M et Θ L est M-séparable pour. Ce qui aboutit à la contradiction R L I G = I. Mais que dire lorsque le groupe de Galois G n est pas inclus dans le groupe L? Le lemme suivant permet d aborder la situation générale. Lemme 3.8. Soit H un sous-ensemble de S n.alors,ilexisteunpolynôme R M I M tel que la condition R M I H soit équivalente à H M.

9 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 515 Démonstration. Prenons Θ M un M-invariant S n -primitif séparable pour. Comme le groupe M contient le groupe de Galois G,d après le lemme 3.7, le polynôme R M =Θ M Θ M () appartient à I M.Soitσ S n.siσ M alors σ.θ M Θ M et donc σ.θ M () Θ M () puisque Θ M est séparable pour. Proposition 3.9. Soit H un sous-ensemble de S n.sii M I H alors H Max(I H ) M. Si, de plus, H est un sous-groupe de S n alors Gr(I H ) M. Démonstration. Il suffit de montrer que H M puisque I H = I Max(IH ) et que si H est un sous-groupe de S n alors I H = I Gr(IH ).SoitR M le polynômedela démonstration du lemme 3.8. Par hypothèse, R M I H et par conséquent H M. Théorème Soient M et L deux sous-groupes du groupe symétrique S n tels que M contienne le groupe L et le groupe de Galois G.SoitΘ un L-invariant M-primitif séparable pour. Posons θ := Θ() et R L,M :=Min θ,k (Θ). Alors a) R L,M I L ; b) {σ M σ.r L,M () = 0} = G L. Démonstration. a) Pourσ L, commeθ est un L-invariant M-primitif, nous avons : σ.r L,M =Min θ,k (σ.θ) = Min θ,k (Θ) = R L,M. Par conséquent, σ.r L,M () =Min θ,k (θ) =0. b) Parlathéorie de Galois, le polynôme minimal de θ sur k est donné par: Min θ,k (x) = (x φ) = (x φ). (12) φ G θ φ {τ.θ() τ G } Posons A := {σ M σ.r L,M () = 0}. D après (12), A = {σ M ( τ G ) σ.θ() = τ.θ()} = {σ M ( τ G ) τ 1 σ.θ() = Θ()} puisque τ 1 G. Finalement, comme Θ est M-séparable pour et τ 1 σ M, A = {σ M ( τ G ) τ 1 σ L} = G L. Définition Le polynôme R L,M est appelé unpolynôme M-primitif de l idéal I L. Cette terminologie est justifiée par le corollaire suivant : Corollaire Le fixateur de l idéal I L est donné par: Max(I)=G L L = {σ M σ.r L,M () = 0}. (13) Démonstration. Soient R I, L τ G et l L. Puisque l.r I et par définition de G, τ.(l.r) I.Parconséquent, τl Max(I L). Inversement, soit σ Max(I L). D après la proposition 3.9, σ M. D après le a) duthéorème 3.10, R L,M (σ.θ)() = 0et,d après le b) duthéorème 3.10, σ G L. Corollaire Si τ S n alors Max(I τl )=G τ. L. Démonstration. Puisque I τl = I L τ..

10 516 A. Valibouze 3.3 Correspondance entre idéaux et les fixateurs Nous aboutissons à cette correspondance entre les fixateurs et les idéaux de relations invariantes par des permutations : Théorème Soit H un sous-groupe de S n,alors (i) la condition H Max(I) L est équivalente à I L I H. (ii) H Max(I) L est équivalent àmax(i H )=G H G L =Max(I). L Démonstration. L équivalence de (ii) avec l hypothèse est évidente ainsi que la condition nécessairede(i) (voir Lemme 3.3). Montrons la condition suffisante de (i) :pourh H, h.r L,M (Θ)() = 0 car R L,M (Θ) I L I H. Comme I M I H,par la proposition 3.9, H M. Finalement, h Max(I L ), d après le corollaire Le groupe de décomposition de l idéal I L n est pas nécessairement égal au fixateur. C est le cas lorsque le groupe de Galois G est inclus dans le groupe de décomposition et que L est un groupe puisque L est inclus dans le groupe de décomposition. La proposition suivante donne une condition suffisante pour que cela ait lieu : Proposition Si le groupe L est inclus dans le normalisateur dans S n du groupe de Galois G alors G Gr(I L).Parconséquent, le fixateur Max(I L)=G L est un groupe et est identique au groupe de décomposition Gr(I). L Démonstration. Supposons que L vérifie les hypothèses de la proposition Pour σ G et R I, L il faut montrer que σ.r I.Pourl L L, ilexisteσ G tel que l.(σ.r) =lσ.r = σ l.r puisque L est inclus dans le normalisateur de G.Ainsi,avec l.r() = 0 et, par définition du groupe de Galois G,0=σ.(l.R)() = l.(σ.r()). La première assertion est prouvée. Lorsque L est un groupe, le groupe de décomposition Gr(I L ) est inclus dans le fixateur Max(I)=G L L.Si,parhypothèse, G et L sont des sous-groupes du groupe Gr(I), L alors le fixateur G L est inclus dans Gr(I). L La proposition 3.34 donnera des conditions nécessaires et suffisantes pour que le fixateuretlegroupededécomposition soient égaux. 3.4 Variétés La détermination de la variété de l idéal I L, utilisera celle de l idéal des relations symétriques qui sera rappelée dans la proposition Notons V (I) la variété dans ˆk n d un idéal I de k[x 1,...,x n ]. Proposition La variété del idéal des relations symétriques I Sn f par : est donnée V (I Sn f )={σ. σ S n }. (14) Comme le polynôme f est séparable, son cardinal est card(v (I Sn f )) = card(s n )=n!. Démonstration. Posons W := {σ. σ S n }. Notons e i la i-ème fonction symétrique élémentaire. Sans perte de généralité, il est possible de supposer le polynôme f unitaire qui s écrit alors sous la forme f(x) =x n e 1 ()x n 1 + +( 1) n e n () = ni=1 (x α i ). Ainsi, β Wsi et seulement si e i (β) e i () = 0 pour tout i

11 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 517 [1,...,n]. Autrement dit, W = V (e 1 e 1 (),...,e n e n ()). Comme pour i [1,n] le polynôme e i e i () appartient à l idéal I Sn f,lavariété V (I Sn f )estinclusedans W. Réciproquement, prenons σ S n et R I Sn f.alorsr(σ.) = σ.r() = 0, par définition de l idéal I Sn f.d où W V (I Sn f ). Proposition Soit H un sous-ensemble du groupe symétrique S n,lavariété de son idéal associé est donnée par : En particulier, si H est un groupe V (I H )={σ. σ Max(I H )}. (15) V (I H ) = {σ. σ G H} et aussi (16) V (I ) = {σ. σ G }. (17) Démonstration. Un élément β de la variété V (I H ) s exprime sous la forme β = σ., où σ S n, puisque V (I H ) V (I Sn ).Soitσ S n.pardéfinition du fixateur Max(I H), la condition ( P I H) σ.p () = 0 est équivalente à σ Max(I H). 3.5 Polynôme caractéristique, polynôme minimal et résolvante Soit Ψ k[x 1,...,x n ]. Notons - A L l anneau quotient k[x 1,...,x n ]/I L ; - Ψ la classe de Ψ dans A L ; - ˆΨ l endomorphisme de multiplication par ΨdansA L ; - C Ψ,I L le polynôme caractéristique de ˆΨ; - M Ψ,I L le polynôme minimal de ˆΨ. L idéal I L étant radical et f étant séparable, d après la proposition 3.17, le polynôme caractéristique s exprime sous la forme : C Ψ,I L (T ) = (T σ.ψ()). (18) σ G L Comme l idéal I L est radical et que le corps k est parfait, le polynôme minimal de l endomorphisme ˆΘ est la forme sans facteur carré sur k de son polynôme caractéristique : M Ψ,I L (T ) = φ {σ.ψ() σ G L} (T φ). (19) Par l algèbre linéaire ou la théorie de Galois, les coefficients de ces deux polynômes appartiennent au corps k. L intérêt du calcul de ces polynômes est qu ilsont chacun comme facteur irréductible sur k le polynôme minimal de Ψ() sur k. Ils permettent donc de déterminer des polynômes minimaux d idéaux. Il faudrait pouvoir calculer le polynôme minimal M Ψ,I L qui est de degré inférieur à celui du polynôme caractéristique. Dans une démarche inductive de recherche du groupe de Galois, G, le fixateur Max(I) L

12 518 A. Valibouze est connu (voir le paragraphe 5). Ainsi, le calcul du polynôme caractéristique est réalisable alors que celui du polynôme minimalne l estpas. L idée est donc d introduire un polynôme de degré inférieur à celui du polynôme caractéristique et qui puisse être calculé sans connaître le groupe de Galois G. Cet autre polynôme est défini ci-dessous : Définition La résolvante (de Lagrange) par Ψ associée à l idéal I,notée L L Ψ,I L, est le polynôme de k[t ]défini par : L Ψ,I L (T ) = (T Φ()). (20) Φ G L.Ψ Le polynôme caractéristique est une puissance de la résolvante, dont les coefficients appartiennent au corps k puisqu il est parfait. La résolvante a été introduite par Lagrange (voir [19]) dans le cas où L = S n et par Stauduhar (voir [22]) dans celui où L est un groupe contenant le groupe de Galois G.Ladéfinition donnée ici est plus globale. Son degré étant inférieur à celui du polynôme caractéristique, elle constitue l outil fondamental de la théorie de Galois constructive (voir [4]). Remarque 3. Lorsque L = S n,larésolvante L Ψ,I Sn est indépendante de l ordre de choisi pour les racines du polynôme f. Elle est appelée résolvante absolue et peut être aussi notée L Ψ,f. Exemple Soit V un I n -invariant S n -primitif. La résolvante L V,f est la résolvante de Galois du polynôme f. Galois l utilisa pour démontrer l existence du groupe de Galois. Exemple Soit D 4 le groupe diédral de S 4 dont Ψ = x 1 x 2 + x 3 x 4 est un D 4 - invariant S 4 -primitif. La résolvante L Ψ,f =(T (α 1 α 2 + α 3 α 4 ))(T (α 1 α 3 + α 2 α 4 ))(T (α 1 α 4 + α 2 α 4 )) est connue sous le nom de résolvante diédrale du polynôme f. Définition Si Ψ est un H-invariant L-primitif alors la résolvante L Ψ,I L est appelée une H-résolvante L-relative de. Remarque 4. Soit Ψ H un H-invariant L-primitif. L invariant Ψ H est L-séparable pour si et seulement si Ψ H () est une racine simple de la résolvante L ΨH,I L.Dans ce cas, le polynôme minimal de Ψ H () sur k est un facteur (irréductible) simple de la résolvante L ΨH,I L.SiΨ H est H-séparable pour (le groupe H suffit) alors L ΨH,I H = M Ψ H,I H =Min Ψ H (),k. Lemme Soit Ψ L un L-invariant M-primitif et ψ L =Ψ L (). Alors le polynôme minimal de l endomorphisme ˆΨ L de A L et le polynôme minimal de ψ L sur k sont identiques : M ΨL,I L = Min ψ L,k = (T φ). (21) φ G ψ L Démonstration. Évidente. Lemme Soit Ψ k[x 1,...,x n ] et ψ := Ψ(). Alors Min ψ,k = M Ψ,I. Démonstration. Évidente.

13 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Générateurs de l idéal I L Rappelons que M et L sont deux sous-groupes de S n tels que M contienne le groupe L et le groupe de Galois G.Lepolynôme Θ est un L-invariant M-primitif séparable pour et θ = Θ(). Le polynôme minimal de θ sur k est un facteur irréductible simple sur k de la résolvante M-relative L Θ,I M. Notation Pour un ensemble E k[x 1,...,x n ], l idéal engendré pare dans k[x 1,...,x n ]seranoté <E>. Dans [6], il est montré que l idéal I M est engendré par un système triangulaire séparable de n polynômes. À partir de ces générateurs, il est aisé de calculer des résolvantesm-relatives. Ce paragraphe propose une méthode explicitepour calculer, sous certaines conditions, un système de générateurs de l idéal I. L Le résultat connu jusqu alors s applique au cas où L = G (voir [3]) : Si Ψ est un G -invariant S n -primitif séparable pour alors I = I Sn + < Ψ Ψ() > = I M + < Ψ Ψ() >. Le lemme suivant donne une première approche du résultat cherché : Lemme Soit F un polynôme M-primitif de l idéal I. L Nous avons l identité suivante : I G L = I I L = M + <F >. (22) Démonstration. Nous avons I I L = M et que l idéal I L est radical. + <F >puisque les variétés sont identiques Lemme Si Q k[x 1,...,x n ] M alors Q = Q() mod I M et Q() k. Démonstration. Puisque G M. Théorème Supposons que f k[x] soit un polynôme séparable de degré n. Soient L et M deux sous-groupes du groupe symétrique S n vérifiant G Gr(I L ) M, où Gr(I L) estlegroupededécomposition de l idéal I L.SoitF un polynôme M- primitif de l idéal I L (i.e. G L = {σ M σ.f () = 0}). Alors En particulier, si L G alors I L = I M + <F >. (23) I = I L = I M + <F >. (24) Démonstration. Si le théorème est vrai dans le cas où Gr(I) L = L alors il l est également pour tout groupe L vérifiant les hypothèses du théorème puisque I L = I Gr(IL ). Nous pouvons donc supposer que Gr(I L)=L, etdoncl = G L puisque G est supposé être un sous-groupe du groupe de décomposition Gr(I). L

14 520 A. Valibouze Choisissons des permutations τ 1 = id,...,τ e constituant une transversale àdroite de M mod L, et posons e e I := I L et J := I Lτ i i=2 = I Lτ i. i=2 D après le lemme 3.28, les idéaux I et J sont comaximaux puisque les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe sont deux à deux comaximaux. Par ailleurs, un polynôme g est un polynôme M-primitive de I L si et seulement si g I\J. D après le lemme 3.25, il existe un entier l>0vérifiant : I l I M + <F > I. Comme les idéaux I et J sont comaximaux, les idéaux I l et J le sont aussi. Maintenant, prenons x dans I. Ilexistedoncu I l et v J tels que x = xu + xv. Nous avons xu I M + <F >et xv IJ = M car les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe deux à deux comaximaux et donc IJ = e i=1 I Lτ i = e i=1 I Lτ i = M. Lemme Sous les hypothèses du théorème 3.27, choisissons τ 1,...,τ e une transversale àdroitedem mod L et supposons que L vérifie G L = L. Lorsquele polynôme f est séparable, les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe sont deux à deux comaximaux. Démonstration. Soient i, j [1,n]. La variété de chaque l idéal I Lτ i V (I Lτ i )={στ i. σ L} puisque G L = L. Lorsque le polynôme f est séparable, nous avons V (I Lτ i V (I Lτ i ) V (I Lτ j )=. Lesidéaux I Lτ i sont est donnée par +I Lτ j )= et I Lτ j sont donc comaximaux. Nous en déduisons le corollaire suivant : Corollaire Sous les hypothèses du théorème 3.27, nous considérons un sousgroupe H du groupe M. Alors la conditions I H = I M + <F >est équivalente à L G H = G L. Démonstration. Triviale puisque chacune des conditions est équivalente à I H = I. L La proposition ci-dessous donne des conditions nécessaires et suffisantes dans lesquelles le groupe de décomposition Gr(I) L contient le groupe de Galois G. Proposition Il existe un groupe G tel que I G = I L et G contient le groupe de Galois G si et seulement si l une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) G L est un groupe ; (ii) LG G L ; (iii) Gr(I)=G L L ; (iv) G Gr(I L). En particulier, lorsque G est un sous-groupe de L, G est aussi un sous-groupe du groupe de décomposition Gr(I). L

15 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 521 Démonstration. Comme Gr(I) L contient tous les groupes G tels que I G = I, L l hypothèse de la proposition est équivalente à(iv). Prouvons que (i) estéquivalente à(ii). Si (i) estvérifiée, le groupe G L est stable par composition et contient le groupe de Galois G.Ainsi(G L)G G L et comme G est un groupe alors LG G L et (ii) estvraie.réciproquement, si (ii) estvérifiée, alors (i) aussi puisque (G L)(G L) G (G L)L G L. Supposons que (iv)soitvérifiée et montrons qu alors (iii) l est également. Comme L Gr(I), L le fixateur G L est inclus dans G Gr(I) L qui lui-même est identique au groupe de décomposition Gr(I L ), d après (iv). L assertion (iii) est donc vraie puisque l inclusion inverse est vérifiée dès que L est un groupe. Pour les autres équivalences, voir la proposition 3.6. Remarque 5. La proposition 3.15 donne une condition suffisante pour que G L soit un groupe. Nous connaissons maintenant des conditions nécessaires et suffisantes. 3.7 Construction de l idéal des relations I Il s agit de préparer l algorithme aboutissant au calcul d un système de générateurs de l idéal I des -relations. Un idéal I L sera dit connu lorsqu un système de générateurs de cet idéal a pu être déterminé à partir du polynôme f. Exemple L idéal I Sn est connu. Les polynômes e 1 e 1 (),...,e n e n () forment un système de générateurs bien connu de l idéal I Sn. De plus, les n polynômes appelés modules de Cauchy du polynôme f forment une base de Gröbner réduite pour l ordre lexicographique de l idéal des relations symétriques (voir [9]). Il existe des chaînes croissantes finies d idéaux : I Sn = I 1 I 2 I m = I où chaqueidéal I j (j [1,m]) est un idéal de la forme I H avec H un sous-ensemble de S n. L idée est de construire une telle chaîne par le calcul inductif de systèmes de générateurs des idéaux I 2,...,I m.lethéorème 3.27 sera utilisé pour calculer un système de générateurs des idéaux I H. Considérons M notre sous-groupe de S n contenant le groupe de Galois G et un sous-groupe L de S n.legroupem vérifie donc les hypothèses du théorème Supposons que l idéal I M soit connu. Au départ, le seul idéalconnuquicontienne le groupe de Galois est l idéal des relations symétriques, If Sn. La situation est la suivante : I Sn f I M I L I. (25) Il faut chercher les conditions (minimales) dans lesquelles la construction de cette chaîne d idéaux peut être poursuivie jusqu à connaître l idéal des -relations. La condition minimale est que le groupe de décomposition Gr(I L ) contienne le groupe de Galois G. Ainsi, si nous savons calculer F un polynôme M-primitif de l idéal I L alors, d après le théorème 3.27, I L = I M + <F >

16 522 A. Valibouze et, de plus, Gr(I L ) peut remplacer le groupe M. Remarque 6. Rappelons que Θ est un L-invariant M-primitif séparable pour et que R L,M := Min Θ(),k (Θ). Le polynôme R L,M est un polynôme M-primitif de l idéal I L (voir Définition 3.11). Le polynôme minimal Min Θ(),k de Θ() sur k est un facteur irréductible (simple) de la résolvante L Θ,I M. L idéal I M étant connu, cette résolvante est calculable (voir [6]). D après la proposition 3.30, si le fixateur G L n est pas un groupe (i.e. Gr(I)ne L contient pas le groupe de Galois), il n est pas possible de poursuivre la construction en remplaçant l idéal I M par l idéal I. L Le proposition suivante permet de tester cette condition dans certains cas particuliers : Proposition Soit Θ un L-invariant M-primitif séparable pour. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) I L = I M (ii) G L = M ; et dans ce cas, Gr(I)=G L L ; (iii) la résolvante L Θ,I M est irréductible sur k ; et dans ce cas, elle est égale à Min Θ(),k. Supposons que L soit un sous-groupe maximal du groupe M. Il existe un groupe H conjugué dugroupel dans M tel que G H soit un groupe si, et seulement si, une des conditions suivante est vérifiée : (a) la résolvante L Θ,I M est irréductible sur k ; et, dans ce cas, Gr(I)=G L L = M ; (b) la résolvante L Θ,I M aunfacteurlinéaire dans k[x]. Démonstration. Prouvons d abord les trois premières équivalences. Si I L = I M alors G L = G M = M (et Gr(I)=Gr(I L M )=M). Réciproquement, si G L = M alors, par définition du fixateur, I L = I M.Donc(i) estéquivalente à(ii). Si G L = M alors L Θ,I M = L Θ,I L =Min Θ(),k car Θ est M-séparable pour. Réciproquement, si (iii) est vraie alors G Θ() = {Ψ() Ψ M.Θ}. Soit m M. Ilexisteg m G tel que g m.θ() = m.θ(). Comme gm 1 G, gm 1m.Θ() = Θ(). Nous avons m G L puisque le polynôme L-invariant M- primitif Θ est M-séparable pour et que gm 1 m M. D où G L = M puisque l inclusion inverse est toujours vraie. En conclusion, (ii) estéquivalente à(iii). Maintenant, supposons que L soit un sous-groupe maximal du groupe M. Nous savons que l égalité Gr(I G )=G G = M est équivalente à(a) pour tout sous-groupe G de M. Supposons donc que Gr(I L)=G L M. Comme L Gr(I L ) M et L est un sous-groupe maximal de M, L =Gr(I L)=G L. DoncG L et (b) estvérifiée. Réciproquement, si (b) estvraiealorsg τlτ 1 avec τ M (voir Lemme 3.7).

17 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 523 Dans le cas où L n est pas un sous-groupe maximal du groupe M, silarésolvante L Θ,I M est réductible sur k et n a pas de facteur linéaire dans k[x] alors il n est pas possible de tester si l un des conjugués de L dans M vérifie l hypothèse du théorème 3.27 (i.e. l une des conditions de la proposition 3.30). Omettons ce problème pour le moment et travaillons sur les facteurs irréductibles sur k de la résolvante L Θ,I M. Soient τ 1,...,τ e des permutations d une transversale à gauche de M mod L telles que : - O := (τ 1.Θ,...,τ e.θ) soit la G -orbite de l invariant Θ et - L =(τ 1 L,...,τ e L)soitlaG -orbite du groupe L dans (M/L) g, l ensemble des classes à gauche de M mod L (la correspondance entre ces deux ensembles est dans [7]). Les e éléments distincts (car Θ est séparable pour ) de ˆk contenus dans O() = (τ 1.Θ(),...,τ e.θ()) sont les conjugués de θ =Θ()surk (i.e. les racines du polynôme minimal de θ sur k) etlag -orbite de θ est donc : G θ= O() = (τ 1.Θ(),...,τ e.θ()). Notons S le sous-groupe de M ainsi défini : S := Stab M (O) =Stab M (L) =Stab M (G L). Dans [3], avec M = S n il est prouvé que: e G S τ i L = L i. i=1 L i L Le lemme suivant étend ce résultat àtoutgroupem contenant le groupe de Galois G. Lemme Soient L un sous-groupe de S n et S = Stab M (G L). Alors G S G L et donc I L = I G L I S I. (26) Nous avons L Gr(I L ) G L et S =Gr(I S )=G S = Max(I S ) puisque G S est un groupe. Démonstration. Comme l ensemble L est stable sous l action du groupe de Galois G, G S. EtS G L car SL SG L G L et L est un groupe. Avec le groupe S, nous pouvons compléter la proposition 3.30 pour tester si, dans la construction inductive de la chaîne(25),le groupe M peut être remplacé par le groupe de décomposition Gr(I L ):

18 524 A. Valibouze Proposition Le fixateur G L est un groupe si et seulement si une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) L S ; (ii) I L = I S ; (iii) G L = S ; (iv) S =Gr(I) L. Démonstration. Évidente. Remarque 7. Lorsque l ensemble L est réduit àunélémentalors le groupe L contient le groupe de Galois. Donc G L = L est un groupe et L = S. Pourlevérifier, il suffit de prouver que Θ() k.maisilsepeutqueg L soit un groupe sans que les groupes L et S soient égaux. En effet, supposons que f ne se factorise pas entièrement sur k (G est donc différent du groupe identité). Prenons pour L le groupe identité I n. Alors I L = I G = I et S = G L. Cette remarque nous amène à la proposition suivante utilisée comme test d arrêt de la construction de la chaîne (25) : Proposition Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) G = S = G L ; (ii) L G ; (iii) I = I M+ <R L,M >. (L équivalence entre (i) et (iii) est démontrée dans [3] dans le cas où S = S n.) Démonstration. Soit F un polynôme M-primitive de l idéal I L. La condition G L =Max(I L)=G est équivalente à I = I L = I M + <F > qui est elle-même équivalente à L G (voir Corollaire 3.29). Remarque 8. Avec V un I n -invariant primitif séparable pour, l idéal des -relations s obtient en une étape : I = I M f + < Min V (),k (V ) >. (27) Mais le problème est de calculer la résolvante de Galois L V,I M de degré card(m) dont le polynôme minimal de V () sur k est un facteur (irréductible) simple sur k. Au départ comme M = S n,larésolvante de Galois est de degré n!. À partir de l idéal I L, nous avons trouvé ungroupes contenant le groupe de Galois et permettant de poursuivre (théoriquement) notre construction d une chaîne croissante d idéaux : I M I L I S = I M + <R S,M > I, (28) pour tout polynôme M-primitif R S,M de l idéal I S. Posons A G = k[x 1,...,x n ]/I G pour tout sous-ensemble G de S n. Cette chaîne se traduit ainsi sur ces algèbres : A Sn A M A S A G = k(),

19 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 525 avec d après les inclusions de (28) et l article [26] : A S = k[x 1,...,x n ]/(I M + <R S,M >) = A M / ˆR S,M A M. Nous constatons que les polynômes primitifs des idéaux jouent également des rôles d éléments primitifs des algèbres associées. Si l une des conditions de la proposition 3.34 est vérifiée alors le groupe S est identique au fixateur G L de l idéal I L et I L = I S = I M + <R L,M >. Sinon, il reste encore à calculer un polynôme M-primitif R S,M de l idéal I S. Soit Θ S,M un S-invariant M-primitif séparable pour. Comme le polynôme minimal de Θ S,M () sur k est T Θ S,M () (le groupe de Galois G est inclus dans le groupe S), le polynôme R S,M := Θ S,M Θ S,M () est un polynôme M-primitif de l idéal I. S Pour calculer un S-invariant M-primitif, A. Colin propose de choisir pour Θ S,M une fonction symétrique sur O, lag -orbite de l invariant Θ (voir [11]). Le calcul de Θ S,M () est alors réalisé aveclethéorème fondamental des fonctions symétriques appliqué aux racines du polynôme Min θ,k (voir [24] pour les calculs de polynômes symétriques). Il existe nécessairement une fonction symétrique élémentaire ou une fonction symétrique puissance qui soit M- séparable pour (voir [20]). Nous avons en théorie une méthode pour construire une chaîne croissante d idéaux partant de l idéal I Sn et arrivant à l idéal I. Mais il faut savoir identifier le groupe S sans connaître le groupe de Galois G. Avec la remarque 7, nous savons que S = L si T θ est un facteur simple sur k de la résolvante L Θ,I M. En dehors de ce cas, nous n avons aucun moyen d identifier le groupe S. L algorithme effectif de calcul de l idéal I du paragraphe 5 introduira l utilisation des matrices de groupes. Ces matrices permettent non seulement de calculer le groupe G (et donc l idéal I ) plus rapidement mais aussi de remplacer le groupe S par un autre groupe qui est calculable. 4 Matrices de groupes et de partitions Dans [4] et [25] sont définies les matrices de groupes et de partitions. Ces matrices permettent toujours de calculer le groupe de Galois d un polynôme à partir des degrés ou des groupes des facteurs simples irréductibles sur k des résolvantes. Leur utilisation est brièvement rappelée dans ce paragraphe. Soit la résolvante F = L Ψ,I M où M contient le groupe de Galois et un groupe H de S n et Ψ est un H-invariant M-primitif. Il est montré quelesdegrés et les groupes de Galois sur k des facteurs simples irréductibles sur k de la résolvante F ne dépendent que des classes de conjugaison des groupes H et G dans M. Les formules permettant de calculer ces groupes et ces degrés sont aisées à programmer dans un logiciel comme GAP (voir [15]). Donnons une définition (qui est en fait un théorème) de ces matrices :

20 526 A. Valibouze Définition 4.1. La matrice de groupes (resp. de partitions) relative au groupe M est la matrice telle que : 1- les lignes et les colonnes sont indicées par toutes les classes de conjugaison de sous-groupes de M ; les classes de conjugaison des lignes sont appelées les classes candidates et celles des colonnes les classes tests ;legroupem est appelé quantà lui le groupe de référence ; 2- soient G et H deux classes de conjugaison dans M de deux sous-groupes G et H de M ;soientψunh-invariant M-primitif et g un polynôme de k[x] telqueg = G g (si g existe) ; alors à l intersection de la ligne de G et de la colonne de H se trouve la liste des groupes de Galois sur k (resp. des degrés) des facteurs irréductibles de la résolvante L Ψ,k si elle est séparable. Si la résolvante n est pas séparable, la définition s applique aux facteurs simples de la résolvante. Comme il est montré dans [4], les lignes de la matrice de partitions (et donc de groupes) étant toutes distinctes, il est toujours possible de déterminer le groupe de Galois d un polynôme avec ces matrices. La méthode consiste à utiliser les classes tests pour éliminer des classes candidates. Supposons que l on ait déterminé un groupe M contenant le groupe de Galois. Ou bien les calculs sont toujours effectués avec le mêmegroupederéférence M et la même matrice de groupes (resp. partitions) relative à M, ou bien, si un sous-groupe S de M est déterminé comme contenant le groupe de Galois G, il est possible de prendre S comme nouveau groupe de référence. Le choixde changement de groupe de référenceest dépendant des temps de calculs. Au départ, le groupe de référence est S n qui est le seul groupe M contenant de façon certaine le groupe de Galois et tel que l idéal I M soit connu. 5 Construction de l idéal des relations : algorithme 5.1 Préparation de l algorithme Dans la pratique, nous combinons la recherche du groupe de Galois par la méthode des matrices de groupes et de partitions avec celle de l idéal des relations. Nous n utiliserons en fait que les matrices de groupes qui incluent les informations des matrices de partitions. Dans le paragraphe 3.7 nous avions une méthode théorique pour construire l idéal des -relations nécessitant le calcul impossible d une G -orbite. Nous cherchons à contourner cette difficulté. Nous supposons toujours que nous avons déterminé ungroupem contenant le groupe de Galois G et que nous connaissons un systèmedegénérateurs de l idéal I M. Nous avons choisi un sous-groupe L du groupe M et nous avons calculé la résolvante F = L Θ,I M oùθestunl-invariant M-primitif séparable pour. Nous supposons également disposer d un ensemble S M de groupes candidats à être le groupe de Galois (un par classe de conjugaison dans M). Par exemple, lorsque M = S n et qu aucune résolvante n a été calculée, l ensemble S Sn contient toutes les classes de conjugaison de sous-groupes de S n.legroupedegaloisétant contenu dans le groupe M, tous les groupes non inclus dans M n appartiennent pas à S M.

La Théorie de Galois en Informatique

La Théorie de Galois en Informatique 1/28 La Théorie de Galois en Informatique Anniversaire du Bicentenaire de la Naissance d Évariste Galois Annick Valibouze LIP6 - LSTA - Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, France Bourg-la-Reine

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Théorème de Cayley

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Théorème de Cayley Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck Théorème de Cayley Le (ou plutôt un des nombreux) théorème(s) de Cayley assure que tout groupe G s identifie de façon naturelle à un sous-groupe du groupe

Plus en détail

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat

SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS. par. Stef Graillat SUR LA SIGNATURE DE L AUTOMORPHISME DE FROBENIUS par Stef Graillat Résumé. Dans cette note, nous calculons la signature de l automorphisme de Frobenius dans un corps fini. Nous serons amené pour cela à

Plus en détail

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure ACTA ARITHMETICA LXXVII.2 (1996) Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Groupes symétriques et alternés

Groupes symétriques et alternés Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe S n 2 2 Cycles 4 2.1 Dénition.................................. 4 2.2 Décomposition d'une permutation..................... 5 3 Classes de conjugaison

Plus en détail

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012.

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012. Université Paris 6 Année universitaire 011-01 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 1 mai 01 Exercice 1 Questions de cours Soit G un groupe fini et soit p un nombre

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Structures Algébriques Groupes : exercices

Structures Algébriques Groupes : exercices Institut Galilée Université Paris XIII Structures Algébriques Groupes : exercices L3 semestre 5 2012-2013 Exercice 1 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

COURS ET DM AR4 : GROUPE SYMÉTRIQUE II, ACTION DE GROUPE

COURS ET DM AR4 : GROUPE SYMÉTRIQUE II, ACTION DE GROUPE COURS ET DM AR4 : GROUPE SYMÉTRIQUE II, ACTION DE GROUPE FRANÇOIS MAUCOURANT 1. Signature d une permutation Définition 1.1. Soit σ S n une permutations, k le nombre de σ-orbites. On définit la signature

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Cours d algèbre. M1 Mathématiques et applications. M1 Mathématiques et enseignement

Cours d algèbre. M1 Mathématiques et applications. M1 Mathématiques et enseignement Cours d algèbre M1 Mathématiques et applications M1 Mathématiques et enseignement 2012/2013 Table des matières Chapitre I. Quelques rappels sur les groupes 1 Chapitre II. Action d un groupe sur un ensemble

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck Action de groupes L idée centrale de cette note est de mettre en évidence le fait fondamental suivant une action d un groupe G sur un ensemble X, «c est»

Plus en détail

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012 2013 Olivier Debarre TABLE DES MATIÈRES I. Extensions de corps......................................................................

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Seul document autorisé : le polycopié du cours Examen du 3 juin 2009 Durée : 3 heures

Seul document autorisé : le polycopié du cours Examen du 3 juin 2009 Durée : 3 heures Université P. et M. Curie (Paris VI) Master de sciences et technologies ère année - applications Spécialité : Mathématiques Fondamentales code UE : MMAT4020 Mention : Mathématiques et MO : (2 ECTS) code

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits. Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs et autres appareils électroniques similaires, ainsi que les documents sont interdits 1 La qualité de la rédaction est un facteur important dans l appréciation

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

(ii) pour tout x X, on a e x = x.

(ii) pour tout x X, on a e x = x. COURS DE LICENCE 2014/15 4 Groupes agissant sur un ensemble Définition 4.1. Soit G un groupe, X un ensemble non vide, S(X) le groupe des bijections de X. Une action de G sur X ou une opération de G sur

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 Michel Goze, Elisabeth Remm 1. Edité par Ramm Algebra Center 2 Introduction Ce cours s adresse aux étudiants

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Equations polynomiales modulaires et Conjecture de Goldbach

Equations polynomiales modulaires et Conjecture de Goldbach Equations polynomiales modulaires et Conjecture de Goldbach Denise Vella-Chemla 5/2/2013 La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. 1 Modéliser

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Théorie de Galois. Exercices corrigés de Algebra 1, Hungerford, Thomas W.

Théorie de Galois. Exercices corrigés de Algebra 1, Hungerford, Thomas W. Théorie de Galois Exercices corrigés de Algebra 1, Hungerford, Thomas W. Adem Öztürk et Fabien Trihan 2 avril 2004 1 Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer- Verlag, New

Plus en détail

Nombres de Bell et somme de factorielles

Nombres de Bell et somme de factorielles Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 6 2004, 7 Nombres de Bell et somme de factorielles par Daniel BARSKY et Bénali BENZAGHOU Résumé. Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair,

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions Exo7 Polynômes Vidéo partie 1. Définitions Vidéo partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polynômes Exercices

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Introduction à la Cryptologie

Introduction à la Cryptologie Introduction à la Cryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Année 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis à jour

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster.

Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster. Dimension de Krull explicite. Application aux théorèmes de Kronecker, Bass, Serre et Forster. Henri Lombardi et Claude Quitté. Notes de cours. Juillet 2008, avec quelques changements de détails en 2012,

Plus en détail

Sur l algorithme RSA

Sur l algorithme RSA Sur l algorithme RSA Le RSA a été inventé par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C est l exemple le plus courant de cryptographie asymétrique, toujours considéré comme sûr, avec la technologie actuelle,

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition

Matrices. 1. Définition. Exo7. 1.1. Définition Exo7 Matrices Vidéo partie 1 Définition Vidéo partie 2 Multiplication de matrices Vidéo partie 3 Inverse d'une matrice : définition Vidéo partie 4 Inverse d'une matrice : calcul Vidéo partie 5 Inverse

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Université Rennes 1, Master de Mathématiques, 2015-2016. Introduction à la Géométrie Algébrique. Le langage des schémas. Cours du 7 septembre 2015

Université Rennes 1, Master de Mathématiques, 2015-2016. Introduction à la Géométrie Algébrique. Le langage des schémas. Cours du 7 septembre 2015 Université Rennes 1, Master de Mathématiques, 2015-2016 Matthieu Romagny Introduction à la Géométrie Algébrique. Le langage des schémas Cours du 7 septembre 2015 Références [Pour la géométrie] [EH] D.

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT 1. Introduction La multiplication est une opération élémentaire qu on utilise évidemment très souvent, et la rapidité des nombreux algorithmes qui l utilisent dépend

Plus en détail

1 Première section: La construction générale

1 Première section: La construction générale AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

1 Comptage de solutions et escaliers

1 Comptage de solutions et escaliers Licence Informatique Systèmes polynomiaux, que signifie : résoudre? Feuille de TD numéro 11 1 Comptage de solutions et escaliers Question 1. On considère le système suivant p1 := 2*x*y^2 + 3*x^2-5*y^3

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES. Préface...

TABLE DES MATIÈRES. Préface... TABLE DES MATIÈRES Préface......................................................... iii G. Henniart Représentations linéaires de groupes finis..... 1 1. Caractères des groupes abéliens finis.......................

Plus en détail

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS

EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS EXERCICES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS Dans les exercices suivants (G,.) est un groupe dont l élément neutre est noté e. 1. Soient x, y, z trois éléments de G tels que x 3 = y 2, y 3 = z 2, z 3 = x 2. (a)

Plus en détail

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr Géométrie Cours de Licence Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1 Version du 19 janvier 2004 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr 2 Table des matières Table des matières 4 Introduction 5 1 Rappels d algébre

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles Cours élémentaire d arithmétique Valentin Vinoles décembre 2009 Introduction «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» (Nous devons savoir. Nous saurons.) David Hilbert Voici un document présentant les principales

Plus en détail

Les mots de Sturm. Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008

Les mots de Sturm. Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008 Les mots de Sturm Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008 1 Objectifs Dans cette présentation, nous donnerons quelques résultats de combinatoire des mots. Avant tout, il est nécessaire d introduire quelques notations

Plus en détail

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne Exo7 Arithmétique Vidéo partie 1. Division euclidienne et pgcd Vidéo partie 2. Théorème de Bézout Vidéo partie 3. Nombres premiers Vidéo partie 4. Congruences Exercices Arithmétique dans Z Préambule Une

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail