Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable

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1 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Annick Valibouze Résumé Cet article développe une vision effective de la théorie de Galois algébrique en apportant des propriétés inhérentes aux idéaux associés àunpolynôme d une variable. Il débouche sur un algorithme de calcul du groupe de Galois d un polynôme et de l idéal des relations entre ses racines. Abstract Galois theory allows us to deal with effective computation in algebraic extensions of fields. In this aim, the present paper is devoted to an inductive construction of a generating system for the ideal of relations among the roots of a univariate polynomial over a field. The idea is to define new ideals between the ideal of symmetric relations and the ideal of relations and to give a correspondence between these ideals and finite sets of permutations. The fundamental tools of this construction are multivariate polynomials called minimal polynomials associated to our ideals. These polynomials characterize the considered ideals and allow to construct a generating system for them. soutenue par le projet Galois du GDR-CNRS MEDICIS et par le Dipartimento di Matematica di la Università dipisa Received by the editors February Communicated by J. Doyen Mathematics Subject Classification : 12F10, 12Y05, 11Y40. Key words and phrases : Galois group, univariate polynomials, resolvents, primitive elements of Galois ideals, computation of the ideal of the relations among the roots of univariate polynomials. Bull. Belg. Math. Soc. 6 (1999),

2 508 A. Valibouze Introduction La recherche du groupe de Galois d un polynôme f d une variable fut d abord motivée par la résolution par radicaux de ses racines, puis par l étude de son corps de décomposition et les manipulations des nombres algébriques qui lui appartiennent. Ce qui est exposé ici suppose que le corps k des coefficients du polynôme f est parfait. La premièreétude fondamentale est due à Lagrange (voir [19]) qui, en introduisant lesrésolvantes, adéfini l outil algébrique fondamental de la théorie de Galois constructive. Il a montré que toutes les méthodes de résolution par radicaux connues alors revenaient à choisir de bonnes résolvantes, à les calculer puis à les factoriser sur le corps k des coefficients du polynôme f. S appuyant sur ces travaux Galois (voir [14]) utilisa une résolvante particulière, connue sous le nom de résolvante de Galois, pourdéfinir un groupe appelé aujourd hui groupe de Galois du polynôme f. Cegroupedécrit le comportement des racines du polynôme f. Lesétudes ultérieuresmirent en évidence la correspondance entre les sous-groupes du groupe de Galois de f et les sous-corps de son corps de décomposition (voir [5]). Par ailleurs, de nombreux auteurs ont trouvé empiriquement des résolvantes permettant de déterminer les groupes de Galois jusqu en degré 7 (voir [7], [8], [13], [21] et [22]). La correspondance entre les résolvantes et les groupes montre qu il est toujours possible de calculer le groupe de Galois d un polynôme à partir des résolvantes et détermine les résolvantes adéquates pour y parvenir (voir [4] et [25]). Une autre façon d aborder la théoriedegaloisestd étudier les relations entre les racines du polynôme f. (Une relation est un polynôme de n variables àcoefficients dans le corps k où n est le degré dupolynôme f.) Lorsque l idéal de toutes les relations entre les racines de f est connu, le groupe de Galois et le corps de décomposition du polynôme f le sont également. Dans [2] est proposé un algorithme de construction d une base de Gröbner de cet idéal (voir aussi [23]) ; il consiste à factoriser le polynôme dans des extensions successives du corps k de base jusqu au corps de décomposition du polynôme f. Un autre idéal étudié jusqu alors est l idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f. Cet article propose une étude approfondie des relations entre les racines du polynôme f à travers des idéaux particuliers contenant l idéal des relations symétriques et inclus dans l idéal (maximal) des relations entre les racines du polynôme f. Les principaux résultats de cette étude sont la correspondance entre les idéaux étudiés et des ensembles de permutations et un algorithme de construction d un système de générateurs de l idéal des relations. Cet algorithme ne nécessite aucune factorisation dans une extension algébrique du corps des coefficients du polynôme f. Il construira une chaîne croissante d idéaux : I 1 I 2 I m où I 1 est l idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f et I m est l idéal des relations entre ces racines. Pour chaque idéal I j de la chaîne sera déterminé unpolynôme R j,appelé polynôme primitif de l idéal I j,vérifiant I j = I j 1 + <R j >. Passons à une présentation plus détailléede cet article. L étude des relations entre les racines du polynôme f nécessite un ordonnancement des ses racines. Un ensemble

3 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 509 ordonné des racines du polynôme f, noté,seradoncfixé afin d étudier les - relations (i.e. les polynômes de n variables qui, évalués en, s annulent). Le premier paragraphe sera consacré auxdéfinitions. Au paragraphe 1.3 seront définis l idéal des -relations, noté I,etlegroupe de Galois,noté G. Au paragraphe 1.4 seront introduits les idéaux des -relations invariantes par des permutations, notés sous la forme I,où L L est un ensemble de permutations. Deux ensembles de permutations associés àunidéal I L seront alors définis : le fixateur, notémax(i L), et le groupe de décomposition, notégr(i). L Les hypothèses générales de l article feront l objet du second paragraphe. Le troisième paragraphe sera consacré auxrésultats théoriques. Les idéaux I L forment une chaîne croissante commençant par l idéal des relations symétriques et terminant par l idéal maximal I. Au paragraphe 3.1 se trouveront des résultats préliminaires. Au paragraphe 3.2 sera montré que pour chaque idéal I L,où L est un groupe, il existe un polynôme qui le caractérise par rapport àunidéal I M,où M est un groupe qui contient les groupes L et G (voir Théorème 3.10). Ce polynôme sera appelé unpolynôme M-primitif de l idéal I L et servira à identifier le fixateur (voir Corollaire 3.12). La correspondance entre les idéaux I L et les fixateurs sera décrite au paragraphe 3.3 (voir Théorème 3.14). Aux paragraphes 3.4 et 3.5 seront exprimésles variétés, les polynômes caractéristiques et minimaux ainsi que les résolvantes associés aux idéaux I. L Au paragraphe 3.6, il sera montré comment obtenir un système de générateurs de l idéal I L à partir d un de ses polynômes M-primitifs (voir Théorème 3.27). Au paragraphe 3.7 sera étudiée l effectivité de l hypothèse d induction de la construction de l idéal des -relations à partir de l idéal des relations symétriques. Cette hypothèse d induction est celle du second paragraphe. Au paragraphe 4 seront rappelés les résultats sur les matrices de groupes et de partitions. Le cinquième paragraphe comportera un algorithme de construction d un système de générateurs de l idéal des -relations. Pour terminer, un exemple explicite sera donné ausixième paragraphe. Ces résultats ont été enseignés en troisième cycle universitaire à Marrakech (Octobre 1996), à Paris (Janvier 1997) et à Pise (Avril 1997). 1 Définitions et notations préliminaires 1.1 Les données Nous nous donnons : - k un corps supposé parfait, - ˆk une clôture algébrique de k, - f un polynôme séparable d une variable àcoefficientsdansk et de degré n, -=(α 1,...,α n ) ˆk n,composé des racines (distinctes) du polynôme f, - x 1,...,x n et T des indéterminées et nous adoptons les notations suivantes : - k[x 1,...,x n ]désigne l anneau des polynômes en x 1,...,x n àcoefficientsdansk, - k(x 1,...,x n )désigne le corps des fractions de k[x 1,...,x n ], - pour un polynôme P de k[x 1,...,x n ], P () = P (α 1,...,α n ).

4 510 A. Valibouze 1.2 Action du groupe symétrique Fixons, pour ce paragraphe, une fraction Θ dans le corps k(x 1,...,x n )etdeux sous-groupes L et H du groupe symétrique de degré n qui sera noté S n. Supposons que H soit inclus dans L. Le groupe symétrique de degré n agit naturellement sur le corps k(x 1,...,x n ). Pour σ S n, l action de σ sur Θ, notée σ.θ ou(σ.θ), est définie ainsi : σ.θ(x 1,...,x n )=Θ(x σ(1),...,x σ(n) ). L action de σ sur, notée σ., est définie par σ. =(α σ(1),...,α σ(n) ). Définition 1.1. L orbite de Θ sous l action d un groupe L est définie par : L.Θ ={σ.θ σ L}. La fraction Θ est appelée un invariant de L (ou un L-invariant) si L.Θ ={Θ}. Le corps des L-invariants sera noté k(x 1,...,x n ) L. Définition 1.2. Le stabilisateur de Θ dans L, notéstab L (Θ), est défini par : Stab L (Θ) = {σ L Θ=σ.Θ}. Le stabilisateur du groupe H dans le groupe L sera noté Stab L (H). Définition 1.3. La fraction Θ est appelée un H-invariant L-primitif si Θ est un polynôme et H =Stab L (Θ). Des méthodes efficaces permettent de calculer des H-invariants L-primitifs (voir [1] ou [17]). Exemple 1.4. Soit A n,legroupealternédanss n, alors le déterminant de Vandermonde δ n := 1 i<j n(x i x j )estuna n -invariant S n -primitif. Définition 1.5. Soit Θ un H-invariant L-primitif. Le polynôme Θ est dit séparable pour sih = {σ L Θ() = (σ.θ)()}. Lorsque le corps k est infini, il est toujours possible de construire pour chaque polynôme des H-invariant L-primitifséparables (voir [3]). Il existeaussi pour certains groupes des invariants universels qui sont séparables pour tous les polynômes. Exemple 1.6. Comme le polynôme f est séparable (i.e. ses racines sont distinctes), le déterminant de Vandermonde est séparable. En effet S n.δ n = {δ n, δ n } et le discriminant non nul de f est à une constante près δn(). 2 Si δ n () = δ n () alors δ n () = 0 et le discriminant du polynôme f est nul. Exemple 1.7. L invariant de Cayley qui est un invariant S 5 -primitif du groupe métacyclique est séparable pour tous les polynômes séparables (voir [4]). Définition 1.8. Soit {σ 1 H,...,σ e H} l ensemble des classes à gauche (resp. àdroite) de L mod H, noté(l/h) g. L ensemble {σ 1,...,σ n } est appelé une transversale à gauche de L mod H (resp. àdroite). Notation 1.9. Pour G et H deux sous-groupes de S n, la notation GH désigne le sous-ensemble {gh g G, h H} de S n.

5 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Idéal des relations et groupe de Galois Cet article se propose d étudier les racines du polynôme f par les relations qui existent entre elles. Pour ce faire, l ordre des racines a été fixédans. Définition Un polynôme P k[x 1,...,x n ]estappelé une -relation si P () = 0. Définition L idéal I de k[x 1,...,x n ]défini par I = {R k[x 1,...,x n ] R() = 0} (1) est connu sous le nom d idéal des -relations. Définition Le groupe de Galois de est le sous-groupe G de S n défini par G = {σ S n ( R I ) σ.r I }. (2) Le lemme 3.4 assure que G est effectivement un groupe. Ce groupe est communément appelé legroupedegaloisdupolynôme f car il est isomorphe au groupe des k- automorphismes de k(), le groupe de Galois de l extension k() de k. De par sa définition, le groupe de Galois G agit sur l anneau quotient A I := k[x 1,...,x n ]/I de la manière suivante : G A I A I (σ, P ) (σ.p )() = P (σ.). Comme A I est k-isomorphe au corps k(), le corps de décomposition du polynôme f, cette action induit une action, notée, deg sur k(). C est ce qui, avec la correspondance galoisienne, rend essentielle la connaissance du groupe de Galois ou mieux encore celle de l idéal I. 1.4 Idéal invariant par un ensemble de permutations L étude de l idéal des-relations va être abordée avec celled une familled idéaux particuliers définis ci-dessous : Définition Soit un sous-ensemble L de S n, l idéal I L = {R k[x 1,...,x n ] ( σ L) (σ.r)() = 0} est appelé idéal des -relations invariantes par L. En particulier l idéal des relations, I,estdéfini comme l idéal des -relations invariantes par l identité et l idéal I Sn est connu sous le nom d idéal des relations symétriques entre les racines du polynôme f. Remarque 1. L idéal des relations symétriques ne dépend pas de l ordre donné aux racines du polynôme f. Il peut aussi être noté I Sn f. Définition Soit L un sous-ensemble du groupe symétrique S n.leplusgrand des sous-ensembles, G, des n qui vérifient : est appelé lefixateur de l idéal I L et sera noté Max(I L ). I L = I G (3)

6 512 A. Valibouze Le fixateur existe puisqu il s exprime sous la forme : Max(I L )= G S n I L =IG G et que pour tout ensemble G d ensembles de permutations : G G I = G G I G. Définition Le groupe de décomposition d un idéal I k[x 1,...,x n ], notégr(i), est défini par : Gr(I) ={σ S n σ(i)=i}. (4) Cette terminologie est choisie en référence à la théorie des nombres. (Le lemme 3.4 assure que le groupe de décomposition est effectivement un groupe.) 2 Hypothèses générales Désormais, deux sous-groupes M et L du groupe symétrique S n seront fixés. Le groupe L et le groupe de Galois G seront inclus dans le groupe M. La situation est la suivante (voir Lemme 3.3) : I Sn I M I L I. (5) Pour s assurer de l existence d invariants primitifs séparables, le corps k est supposé infini. Le polynôme Θ k[x 1,...,x n ]désignera un L-invariant M-primitif séparable pour. Lui seront associés θ k()etlepolynôme R L,M de k[x 1,...,x n ]définis par : θ := Θ() et R L,M := Min θ,k (Θ) où Min θ,k désigne le polynôme minimal de θ sur k. Exemple 2.1. Supposons le polynôme f unitaire et notons (f) son discriminant. Choisissons M = S n et L = A n,legroupealternédanss n.ledéterminant de Vandermonde, noté δ n, est toujours un A n -invariant S n -primitif séparable puisque f n a que des racines simples. Il est alors possible de choisir Θ := δ n.silegroupe de Galois est pair alors θ k (voir Lemme 3.7) et R L,M =Θ θ. Sinon Min θ,k (T )=T 2 θ 2 = T 2 (f) etdonc R L,M =Θ 2 (f).

7 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Résultats théoriques 3.1 Premières propriétés La notation σ.p () n est pas ambiguë :σ.p () = (σ.p )(). Néanmoins, le lemme suivant précise cette notation : Lemme 3.1. Soit σ, τ S n et P k(x 1,...,x n ),alors(σ.p )(τ.) = P (τσ.). Démonstration. Soit σ, τ S n et P k(x 1,...,x n ). En appliquant les notations et définitions il vient : (σ.p )(x 1,...,x n )(τ.) = P (x σ(1),...,x σ(n) )(α τ (1),...,α τ (n) ) = P (τσ.) car l évaluation de x j est α τ (j) pour tout j [1,n] et donc celle x σ(i) est α τσ(i) pour tout i [1,n](enposantj := σ(i)). Lemme 3.2. Pour chaque ensemble de permutations H inclus dans le groupe symétrique S n, l idéal I H est radical. Démonstration. Soit n un entier positif non nul et P k[x 1,...,x n ]telquep n I H. Soit σ L, alors0=(σ.p ) n () = (σ.p ()) n et, puisque k est un corps parfait, σ.p () = 0. D où P I. L Lemme 3.3. Soient H et G deux sous-ensembles de S n tels que H G. Alors I G I H. En particulier, si G contient l identité alorsi G I. Démonstration. Supposons que H soit inclus dans G. SoitR I G.Nousavons σ.r I pour tout σ G et ce en particulier pour tout σ H. DoncR I H. Remarque 2. La réciproque du lemme 3.3 n est pas toujours vraie (voir Théorème 3.14). Lemme 3.4. Soit I un idéal de k[x 1,...,x n ] et H l ensemble de permutations défini par : H := {σ S n σ(i) I}. Alors H estungroupeetdonch = {σ S n σ(i)=i} =Gr(I). Démonstration. Pour σ et τ H, alorsτσ H puisque τσ.i τ.i I. DoncH est stable par composition et puisqu il est fini, c est un groupe. Les idéaux I et I Sn sont égaux si et seulement si le groupe de Galois G est identique au groupe symétrique S n puisque G = Max(I )=Gr(I ) et que (6) S n = Max(I Sn )=Gr(I Sn ). (7) Les propositions 3.5 et 3.6 montrent ce qu il en est pour les idéaux I L intermédiaires entre l idéal des -relations et l idéal des relations symétriques.

8 514 A. Valibouze Proposition 3.5. Si L est un sous-groupe de S n,alors: L Gr(I L ) et (8) I Gr(IL ) I L. (9) Démonstration. Pour prouver (8), prenons τ L et R I.D après L le lemme 3.4, il suffit de prouver que τ(i) L I. L Pour tout σ L, lepolynôme στ.r appartient à l idéal I puisque στ L. D où τ.r I L (i.e. τ Gr(I L )). L inclusion (9) découle du lemme 3.3. Proposition 3.6. Soit I un idéal de k[x 1,...,x n ]. (i) Si I I alors I I Gr(I). (ii) Si I = I L,où L est un sous-groupe de S n,alors I L = I Gr(I) = I Max(I) et (10) L Gr(I L ) Max(I L ). (11) (iii) Si, de plus, Max(I) L est un groupe alors Gr(I)=Max(I L ). L Démonstration. Montrons d abord (i). Soit R k[x 1,...,x n ]. Si R I alors, par définition du groupe de décomposition, σ Gr(I) σ.r I I. Finalement, R I Gr(I). Maintenant, prenons L un sous-groupe de S n et posons I := I L qui est contenu dans l idéal I puisque L contient l identité. Montrons (ii). D après (i), I L I Gr(IL ). Réciproquement, par la proposition 3.5, puisque L est un groupe, il est inclus dans le groupe de décomposition Gr(I)etdoncI L Gr(IL ) I,d après L le lemme 3.3. Si, de plus, le fixateur Max(I) est un groupe, alors la proposition 3.5, appliquée àmax(i) àlaplacedel, implique Max(I) Gr(I). L inclusion inverse est la conséquence de la définition de Max(I) etde(10). 3.2 Polynôme primitif d un idéal Ce paragraphe montre que le polynôme R L,M caractérise l idéal I L relativement à l idéal I M et identifie le fixateur avec le groupe de Galois G. Rappelons ce résultat standard (voir, par exemple, [22]) : Lemme 3.7. Soit Θ L un L-invariant M-primitif. Alors : (i) si G L alors Θ L () k ; (ii) si Θ L () k et si Θ L est M-séparable pour alors G L. Démonstration. Le (i) estévident. Montrons le (ii). Si θ =Θ L () k, alorsr L := Θ L θ I L I puisque L contient l identité. S il existe σ G tel que σ L alors σ.r L () = σ.θ L θ 0, puisque σ M et Θ L est M-séparable pour. Ce qui aboutit à la contradiction R L I G = I. Mais que dire lorsque le groupe de Galois G n est pas inclus dans le groupe L? Le lemme suivant permet d aborder la situation générale. Lemme 3.8. Soit H un sous-ensemble de S n.alors,ilexisteunpolynôme R M I M tel que la condition R M I H soit équivalente à H M.

9 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 515 Démonstration. Prenons Θ M un M-invariant S n -primitif séparable pour. Comme le groupe M contient le groupe de Galois G,d après le lemme 3.7, le polynôme R M =Θ M Θ M () appartient à I M.Soitσ S n.siσ M alors σ.θ M Θ M et donc σ.θ M () Θ M () puisque Θ M est séparable pour. Proposition 3.9. Soit H un sous-ensemble de S n.sii M I H alors H Max(I H ) M. Si, de plus, H est un sous-groupe de S n alors Gr(I H ) M. Démonstration. Il suffit de montrer que H M puisque I H = I Max(IH ) et que si H est un sous-groupe de S n alors I H = I Gr(IH ).SoitR M le polynômedela démonstration du lemme 3.8. Par hypothèse, R M I H et par conséquent H M. Théorème Soient M et L deux sous-groupes du groupe symétrique S n tels que M contienne le groupe L et le groupe de Galois G.SoitΘ un L-invariant M-primitif séparable pour. Posons θ := Θ() et R L,M :=Min θ,k (Θ). Alors a) R L,M I L ; b) {σ M σ.r L,M () = 0} = G L. Démonstration. a) Pourσ L, commeθ est un L-invariant M-primitif, nous avons : σ.r L,M =Min θ,k (σ.θ) = Min θ,k (Θ) = R L,M. Par conséquent, σ.r L,M () =Min θ,k (θ) =0. b) Parlathéorie de Galois, le polynôme minimal de θ sur k est donné par: Min θ,k (x) = (x φ) = (x φ). (12) φ G θ φ {τ.θ() τ G } Posons A := {σ M σ.r L,M () = 0}. D après (12), A = {σ M ( τ G ) σ.θ() = τ.θ()} = {σ M ( τ G ) τ 1 σ.θ() = Θ()} puisque τ 1 G. Finalement, comme Θ est M-séparable pour et τ 1 σ M, A = {σ M ( τ G ) τ 1 σ L} = G L. Définition Le polynôme R L,M est appelé unpolynôme M-primitif de l idéal I L. Cette terminologie est justifiée par le corollaire suivant : Corollaire Le fixateur de l idéal I L est donné par: Max(I)=G L L = {σ M σ.r L,M () = 0}. (13) Démonstration. Soient R I, L τ G et l L. Puisque l.r I et par définition de G, τ.(l.r) I.Parconséquent, τl Max(I L). Inversement, soit σ Max(I L). D après la proposition 3.9, σ M. D après le a) duthéorème 3.10, R L,M (σ.θ)() = 0et,d après le b) duthéorème 3.10, σ G L. Corollaire Si τ S n alors Max(I τl )=G τ. L. Démonstration. Puisque I τl = I L τ..

10 516 A. Valibouze 3.3 Correspondance entre idéaux et les fixateurs Nous aboutissons à cette correspondance entre les fixateurs et les idéaux de relations invariantes par des permutations : Théorème Soit H un sous-groupe de S n,alors (i) la condition H Max(I) L est équivalente à I L I H. (ii) H Max(I) L est équivalent àmax(i H )=G H G L =Max(I). L Démonstration. L équivalence de (ii) avec l hypothèse est évidente ainsi que la condition nécessairede(i) (voir Lemme 3.3). Montrons la condition suffisante de (i) :pourh H, h.r L,M (Θ)() = 0 car R L,M (Θ) I L I H. Comme I M I H,par la proposition 3.9, H M. Finalement, h Max(I L ), d après le corollaire Le groupe de décomposition de l idéal I L n est pas nécessairement égal au fixateur. C est le cas lorsque le groupe de Galois G est inclus dans le groupe de décomposition et que L est un groupe puisque L est inclus dans le groupe de décomposition. La proposition suivante donne une condition suffisante pour que cela ait lieu : Proposition Si le groupe L est inclus dans le normalisateur dans S n du groupe de Galois G alors G Gr(I L).Parconséquent, le fixateur Max(I L)=G L est un groupe et est identique au groupe de décomposition Gr(I). L Démonstration. Supposons que L vérifie les hypothèses de la proposition Pour σ G et R I, L il faut montrer que σ.r I.Pourl L L, ilexisteσ G tel que l.(σ.r) =lσ.r = σ l.r puisque L est inclus dans le normalisateur de G.Ainsi,avec l.r() = 0 et, par définition du groupe de Galois G,0=σ.(l.R)() = l.(σ.r()). La première assertion est prouvée. Lorsque L est un groupe, le groupe de décomposition Gr(I L ) est inclus dans le fixateur Max(I)=G L L.Si,parhypothèse, G et L sont des sous-groupes du groupe Gr(I), L alors le fixateur G L est inclus dans Gr(I). L La proposition 3.34 donnera des conditions nécessaires et suffisantes pour que le fixateuretlegroupededécomposition soient égaux. 3.4 Variétés La détermination de la variété de l idéal I L, utilisera celle de l idéal des relations symétriques qui sera rappelée dans la proposition Notons V (I) la variété dans ˆk n d un idéal I de k[x 1,...,x n ]. Proposition La variété del idéal des relations symétriques I Sn f par : est donnée V (I Sn f )={σ. σ S n }. (14) Comme le polynôme f est séparable, son cardinal est card(v (I Sn f )) = card(s n )=n!. Démonstration. Posons W := {σ. σ S n }. Notons e i la i-ème fonction symétrique élémentaire. Sans perte de généralité, il est possible de supposer le polynôme f unitaire qui s écrit alors sous la forme f(x) =x n e 1 ()x n 1 + +( 1) n e n () = ni=1 (x α i ). Ainsi, β Wsi et seulement si e i (β) e i () = 0 pour tout i

11 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 517 [1,...,n]. Autrement dit, W = V (e 1 e 1 (),...,e n e n ()). Comme pour i [1,n] le polynôme e i e i () appartient à l idéal I Sn f,lavariété V (I Sn f )estinclusedans W. Réciproquement, prenons σ S n et R I Sn f.alorsr(σ.) = σ.r() = 0, par définition de l idéal I Sn f.d où W V (I Sn f ). Proposition Soit H un sous-ensemble du groupe symétrique S n,lavariété de son idéal associé est donnée par : En particulier, si H est un groupe V (I H )={σ. σ Max(I H )}. (15) V (I H ) = {σ. σ G H} et aussi (16) V (I ) = {σ. σ G }. (17) Démonstration. Un élément β de la variété V (I H ) s exprime sous la forme β = σ., où σ S n, puisque V (I H ) V (I Sn ).Soitσ S n.pardéfinition du fixateur Max(I H), la condition ( P I H) σ.p () = 0 est équivalente à σ Max(I H). 3.5 Polynôme caractéristique, polynôme minimal et résolvante Soit Ψ k[x 1,...,x n ]. Notons - A L l anneau quotient k[x 1,...,x n ]/I L ; - Ψ la classe de Ψ dans A L ; - ˆΨ l endomorphisme de multiplication par ΨdansA L ; - C Ψ,I L le polynôme caractéristique de ˆΨ; - M Ψ,I L le polynôme minimal de ˆΨ. L idéal I L étant radical et f étant séparable, d après la proposition 3.17, le polynôme caractéristique s exprime sous la forme : C Ψ,I L (T ) = (T σ.ψ()). (18) σ G L Comme l idéal I L est radical et que le corps k est parfait, le polynôme minimal de l endomorphisme ˆΘ est la forme sans facteur carré sur k de son polynôme caractéristique : M Ψ,I L (T ) = φ {σ.ψ() σ G L} (T φ). (19) Par l algèbre linéaire ou la théorie de Galois, les coefficients de ces deux polynômes appartiennent au corps k. L intérêt du calcul de ces polynômes est qu ilsont chacun comme facteur irréductible sur k le polynôme minimal de Ψ() sur k. Ils permettent donc de déterminer des polynômes minimaux d idéaux. Il faudrait pouvoir calculer le polynôme minimal M Ψ,I L qui est de degré inférieur à celui du polynôme caractéristique. Dans une démarche inductive de recherche du groupe de Galois, G, le fixateur Max(I) L

12 518 A. Valibouze est connu (voir le paragraphe 5). Ainsi, le calcul du polynôme caractéristique est réalisable alors que celui du polynôme minimalne l estpas. L idée est donc d introduire un polynôme de degré inférieur à celui du polynôme caractéristique et qui puisse être calculé sans connaître le groupe de Galois G. Cet autre polynôme est défini ci-dessous : Définition La résolvante (de Lagrange) par Ψ associée à l idéal I,notée L L Ψ,I L, est le polynôme de k[t ]défini par : L Ψ,I L (T ) = (T Φ()). (20) Φ G L.Ψ Le polynôme caractéristique est une puissance de la résolvante, dont les coefficients appartiennent au corps k puisqu il est parfait. La résolvante a été introduite par Lagrange (voir [19]) dans le cas où L = S n et par Stauduhar (voir [22]) dans celui où L est un groupe contenant le groupe de Galois G.Ladéfinition donnée ici est plus globale. Son degré étant inférieur à celui du polynôme caractéristique, elle constitue l outil fondamental de la théorie de Galois constructive (voir [4]). Remarque 3. Lorsque L = S n,larésolvante L Ψ,I Sn est indépendante de l ordre de choisi pour les racines du polynôme f. Elle est appelée résolvante absolue et peut être aussi notée L Ψ,f. Exemple Soit V un I n -invariant S n -primitif. La résolvante L V,f est la résolvante de Galois du polynôme f. Galois l utilisa pour démontrer l existence du groupe de Galois. Exemple Soit D 4 le groupe diédral de S 4 dont Ψ = x 1 x 2 + x 3 x 4 est un D 4 - invariant S 4 -primitif. La résolvante L Ψ,f =(T (α 1 α 2 + α 3 α 4 ))(T (α 1 α 3 + α 2 α 4 ))(T (α 1 α 4 + α 2 α 4 )) est connue sous le nom de résolvante diédrale du polynôme f. Définition Si Ψ est un H-invariant L-primitif alors la résolvante L Ψ,I L est appelée une H-résolvante L-relative de. Remarque 4. Soit Ψ H un H-invariant L-primitif. L invariant Ψ H est L-séparable pour si et seulement si Ψ H () est une racine simple de la résolvante L ΨH,I L.Dans ce cas, le polynôme minimal de Ψ H () sur k est un facteur (irréductible) simple de la résolvante L ΨH,I L.SiΨ H est H-séparable pour (le groupe H suffit) alors L ΨH,I H = M Ψ H,I H =Min Ψ H (),k. Lemme Soit Ψ L un L-invariant M-primitif et ψ L =Ψ L (). Alors le polynôme minimal de l endomorphisme ˆΨ L de A L et le polynôme minimal de ψ L sur k sont identiques : M ΨL,I L = Min ψ L,k = (T φ). (21) φ G ψ L Démonstration. Évidente. Lemme Soit Ψ k[x 1,...,x n ] et ψ := Ψ(). Alors Min ψ,k = M Ψ,I. Démonstration. Évidente.

13 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable Générateurs de l idéal I L Rappelons que M et L sont deux sous-groupes de S n tels que M contienne le groupe L et le groupe de Galois G.Lepolynôme Θ est un L-invariant M-primitif séparable pour et θ = Θ(). Le polynôme minimal de θ sur k est un facteur irréductible simple sur k de la résolvante M-relative L Θ,I M. Notation Pour un ensemble E k[x 1,...,x n ], l idéal engendré pare dans k[x 1,...,x n ]seranoté <E>. Dans [6], il est montré que l idéal I M est engendré par un système triangulaire séparable de n polynômes. À partir de ces générateurs, il est aisé de calculer des résolvantesm-relatives. Ce paragraphe propose une méthode explicitepour calculer, sous certaines conditions, un système de générateurs de l idéal I. L Le résultat connu jusqu alors s applique au cas où L = G (voir [3]) : Si Ψ est un G -invariant S n -primitif séparable pour alors I = I Sn + < Ψ Ψ() > = I M + < Ψ Ψ() >. Le lemme suivant donne une première approche du résultat cherché : Lemme Soit F un polynôme M-primitif de l idéal I. L Nous avons l identité suivante : I G L = I I L = M + <F >. (22) Démonstration. Nous avons I I L = M et que l idéal I L est radical. + <F >puisque les variétés sont identiques Lemme Si Q k[x 1,...,x n ] M alors Q = Q() mod I M et Q() k. Démonstration. Puisque G M. Théorème Supposons que f k[x] soit un polynôme séparable de degré n. Soient L et M deux sous-groupes du groupe symétrique S n vérifiant G Gr(I L ) M, où Gr(I L) estlegroupededécomposition de l idéal I L.SoitF un polynôme M- primitif de l idéal I L (i.e. G L = {σ M σ.f () = 0}). Alors En particulier, si L G alors I L = I M + <F >. (23) I = I L = I M + <F >. (24) Démonstration. Si le théorème est vrai dans le cas où Gr(I) L = L alors il l est également pour tout groupe L vérifiant les hypothèses du théorème puisque I L = I Gr(IL ). Nous pouvons donc supposer que Gr(I L)=L, etdoncl = G L puisque G est supposé être un sous-groupe du groupe de décomposition Gr(I). L

14 520 A. Valibouze Choisissons des permutations τ 1 = id,...,τ e constituant une transversale àdroite de M mod L, et posons e e I := I L et J := I Lτ i i=2 = I Lτ i. i=2 D après le lemme 3.28, les idéaux I et J sont comaximaux puisque les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe sont deux à deux comaximaux. Par ailleurs, un polynôme g est un polynôme M-primitive de I L si et seulement si g I\J. D après le lemme 3.25, il existe un entier l>0vérifiant : I l I M + <F > I. Comme les idéaux I et J sont comaximaux, les idéaux I l et J le sont aussi. Maintenant, prenons x dans I. Ilexistedoncu I l et v J tels que x = xu + xv. Nous avons xu I M + <F >et xv IJ = M car les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe deux à deux comaximaux et donc IJ = e i=1 I Lτ i = e i=1 I Lτ i = M. Lemme Sous les hypothèses du théorème 3.27, choisissons τ 1,...,τ e une transversale àdroitedem mod L et supposons que L vérifie G L = L. Lorsquele polynôme f est séparable, les idéaux I Lτ 1,...,I Lτe sont deux à deux comaximaux. Démonstration. Soient i, j [1,n]. La variété de chaque l idéal I Lτ i V (I Lτ i )={στ i. σ L} puisque G L = L. Lorsque le polynôme f est séparable, nous avons V (I Lτ i V (I Lτ i ) V (I Lτ j )=. Lesidéaux I Lτ i sont est donnée par +I Lτ j )= et I Lτ j sont donc comaximaux. Nous en déduisons le corollaire suivant : Corollaire Sous les hypothèses du théorème 3.27, nous considérons un sousgroupe H du groupe M. Alors la conditions I H = I M + <F >est équivalente à L G H = G L. Démonstration. Triviale puisque chacune des conditions est équivalente à I H = I. L La proposition ci-dessous donne des conditions nécessaires et suffisantes dans lesquelles le groupe de décomposition Gr(I) L contient le groupe de Galois G. Proposition Il existe un groupe G tel que I G = I L et G contient le groupe de Galois G si et seulement si l une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) G L est un groupe ; (ii) LG G L ; (iii) Gr(I)=G L L ; (iv) G Gr(I L). En particulier, lorsque G est un sous-groupe de L, G est aussi un sous-groupe du groupe de décomposition Gr(I). L

15 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 521 Démonstration. Comme Gr(I) L contient tous les groupes G tels que I G = I, L l hypothèse de la proposition est équivalente à(iv). Prouvons que (i) estéquivalente à(ii). Si (i) estvérifiée, le groupe G L est stable par composition et contient le groupe de Galois G.Ainsi(G L)G G L et comme G est un groupe alors LG G L et (ii) estvraie.réciproquement, si (ii) estvérifiée, alors (i) aussi puisque (G L)(G L) G (G L)L G L. Supposons que (iv)soitvérifiée et montrons qu alors (iii) l est également. Comme L Gr(I), L le fixateur G L est inclus dans G Gr(I) L qui lui-même est identique au groupe de décomposition Gr(I L ), d après (iv). L assertion (iii) est donc vraie puisque l inclusion inverse est vérifiée dès que L est un groupe. Pour les autres équivalences, voir la proposition 3.6. Remarque 5. La proposition 3.15 donne une condition suffisante pour que G L soit un groupe. Nous connaissons maintenant des conditions nécessaires et suffisantes. 3.7 Construction de l idéal des relations I Il s agit de préparer l algorithme aboutissant au calcul d un système de générateurs de l idéal I des -relations. Un idéal I L sera dit connu lorsqu un système de générateurs de cet idéal a pu être déterminé à partir du polynôme f. Exemple L idéal I Sn est connu. Les polynômes e 1 e 1 (),...,e n e n () forment un système de générateurs bien connu de l idéal I Sn. De plus, les n polynômes appelés modules de Cauchy du polynôme f forment une base de Gröbner réduite pour l ordre lexicographique de l idéal des relations symétriques (voir [9]). Il existe des chaînes croissantes finies d idéaux : I Sn = I 1 I 2 I m = I où chaqueidéal I j (j [1,m]) est un idéal de la forme I H avec H un sous-ensemble de S n. L idée est de construire une telle chaîne par le calcul inductif de systèmes de générateurs des idéaux I 2,...,I m.lethéorème 3.27 sera utilisé pour calculer un système de générateurs des idéaux I H. Considérons M notre sous-groupe de S n contenant le groupe de Galois G et un sous-groupe L de S n.legroupem vérifie donc les hypothèses du théorème Supposons que l idéal I M soit connu. Au départ, le seul idéalconnuquicontienne le groupe de Galois est l idéal des relations symétriques, If Sn. La situation est la suivante : I Sn f I M I L I. (25) Il faut chercher les conditions (minimales) dans lesquelles la construction de cette chaîne d idéaux peut être poursuivie jusqu à connaître l idéal des -relations. La condition minimale est que le groupe de décomposition Gr(I L ) contienne le groupe de Galois G. Ainsi, si nous savons calculer F un polynôme M-primitif de l idéal I L alors, d après le théorème 3.27, I L = I M + <F >

16 522 A. Valibouze et, de plus, Gr(I L ) peut remplacer le groupe M. Remarque 6. Rappelons que Θ est un L-invariant M-primitif séparable pour et que R L,M := Min Θ(),k (Θ). Le polynôme R L,M est un polynôme M-primitif de l idéal I L (voir Définition 3.11). Le polynôme minimal Min Θ(),k de Θ() sur k est un facteur irréductible (simple) de la résolvante L Θ,I M. L idéal I M étant connu, cette résolvante est calculable (voir [6]). D après la proposition 3.30, si le fixateur G L n est pas un groupe (i.e. Gr(I)ne L contient pas le groupe de Galois), il n est pas possible de poursuivre la construction en remplaçant l idéal I M par l idéal I. L Le proposition suivante permet de tester cette condition dans certains cas particuliers : Proposition Soit Θ un L-invariant M-primitif séparable pour. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) I L = I M (ii) G L = M ; et dans ce cas, Gr(I)=G L L ; (iii) la résolvante L Θ,I M est irréductible sur k ; et dans ce cas, elle est égale à Min Θ(),k. Supposons que L soit un sous-groupe maximal du groupe M. Il existe un groupe H conjugué dugroupel dans M tel que G H soit un groupe si, et seulement si, une des conditions suivante est vérifiée : (a) la résolvante L Θ,I M est irréductible sur k ; et, dans ce cas, Gr(I)=G L L = M ; (b) la résolvante L Θ,I M aunfacteurlinéaire dans k[x]. Démonstration. Prouvons d abord les trois premières équivalences. Si I L = I M alors G L = G M = M (et Gr(I)=Gr(I L M )=M). Réciproquement, si G L = M alors, par définition du fixateur, I L = I M.Donc(i) estéquivalente à(ii). Si G L = M alors L Θ,I M = L Θ,I L =Min Θ(),k car Θ est M-séparable pour. Réciproquement, si (iii) est vraie alors G Θ() = {Ψ() Ψ M.Θ}. Soit m M. Ilexisteg m G tel que g m.θ() = m.θ(). Comme gm 1 G, gm 1m.Θ() = Θ(). Nous avons m G L puisque le polynôme L-invariant M- primitif Θ est M-séparable pour et que gm 1 m M. D où G L = M puisque l inclusion inverse est toujours vraie. En conclusion, (ii) estéquivalente à(iii). Maintenant, supposons que L soit un sous-groupe maximal du groupe M. Nous savons que l égalité Gr(I G )=G G = M est équivalente à(a) pour tout sous-groupe G de M. Supposons donc que Gr(I L)=G L M. Comme L Gr(I L ) M et L est un sous-groupe maximal de M, L =Gr(I L)=G L. DoncG L et (b) estvérifiée. Réciproquement, si (b) estvraiealorsg τlτ 1 avec τ M (voir Lemme 3.7).

17 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 523 Dans le cas où L n est pas un sous-groupe maximal du groupe M, silarésolvante L Θ,I M est réductible sur k et n a pas de facteur linéaire dans k[x] alors il n est pas possible de tester si l un des conjugués de L dans M vérifie l hypothèse du théorème 3.27 (i.e. l une des conditions de la proposition 3.30). Omettons ce problème pour le moment et travaillons sur les facteurs irréductibles sur k de la résolvante L Θ,I M. Soient τ 1,...,τ e des permutations d une transversale à gauche de M mod L telles que : - O := (τ 1.Θ,...,τ e.θ) soit la G -orbite de l invariant Θ et - L =(τ 1 L,...,τ e L)soitlaG -orbite du groupe L dans (M/L) g, l ensemble des classes à gauche de M mod L (la correspondance entre ces deux ensembles est dans [7]). Les e éléments distincts (car Θ est séparable pour ) de ˆk contenus dans O() = (τ 1.Θ(),...,τ e.θ()) sont les conjugués de θ =Θ()surk (i.e. les racines du polynôme minimal de θ sur k) etlag -orbite de θ est donc : G θ= O() = (τ 1.Θ(),...,τ e.θ()). Notons S le sous-groupe de M ainsi défini : S := Stab M (O) =Stab M (L) =Stab M (G L). Dans [3], avec M = S n il est prouvé que: e G S τ i L = L i. i=1 L i L Le lemme suivant étend ce résultat àtoutgroupem contenant le groupe de Galois G. Lemme Soient L un sous-groupe de S n et S = Stab M (G L). Alors G S G L et donc I L = I G L I S I. (26) Nous avons L Gr(I L ) G L et S =Gr(I S )=G S = Max(I S ) puisque G S est un groupe. Démonstration. Comme l ensemble L est stable sous l action du groupe de Galois G, G S. EtS G L car SL SG L G L et L est un groupe. Avec le groupe S, nous pouvons compléter la proposition 3.30 pour tester si, dans la construction inductive de la chaîne(25),le groupe M peut être remplacé par le groupe de décomposition Gr(I L ):

18 524 A. Valibouze Proposition Le fixateur G L est un groupe si et seulement si une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : (i) L S ; (ii) I L = I S ; (iii) G L = S ; (iv) S =Gr(I) L. Démonstration. Évidente. Remarque 7. Lorsque l ensemble L est réduit àunélémentalors le groupe L contient le groupe de Galois. Donc G L = L est un groupe et L = S. Pourlevérifier, il suffit de prouver que Θ() k.maisilsepeutqueg L soit un groupe sans que les groupes L et S soient égaux. En effet, supposons que f ne se factorise pas entièrement sur k (G est donc différent du groupe identité). Prenons pour L le groupe identité I n. Alors I L = I G = I et S = G L. Cette remarque nous amène à la proposition suivante utilisée comme test d arrêt de la construction de la chaîne (25) : Proposition Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) G = S = G L ; (ii) L G ; (iii) I = I M+ <R L,M >. (L équivalence entre (i) et (iii) est démontrée dans [3] dans le cas où S = S n.) Démonstration. Soit F un polynôme M-primitive de l idéal I L. La condition G L =Max(I L)=G est équivalente à I = I L = I M + <F > qui est elle-même équivalente à L G (voir Corollaire 3.29). Remarque 8. Avec V un I n -invariant primitif séparable pour, l idéal des -relations s obtient en une étape : I = I M f + < Min V (),k (V ) >. (27) Mais le problème est de calculer la résolvante de Galois L V,I M de degré card(m) dont le polynôme minimal de V () sur k est un facteur (irréductible) simple sur k. Au départ comme M = S n,larésolvante de Galois est de degré n!. À partir de l idéal I L, nous avons trouvé ungroupes contenant le groupe de Galois et permettant de poursuivre (théoriquement) notre construction d une chaîne croissante d idéaux : I M I L I S = I M + <R S,M > I, (28) pour tout polynôme M-primitif R S,M de l idéal I S. Posons A G = k[x 1,...,x n ]/I G pour tout sous-ensemble G de S n. Cette chaîne se traduit ainsi sur ces algèbres : A Sn A M A S A G = k(),

19 Étude des relations algébriques entre les racines d un polynôme d une variable 525 avec d après les inclusions de (28) et l article [26] : A S = k[x 1,...,x n ]/(I M + <R S,M >) = A M / ˆR S,M A M. Nous constatons que les polynômes primitifs des idéaux jouent également des rôles d éléments primitifs des algèbres associées. Si l une des conditions de la proposition 3.34 est vérifiée alors le groupe S est identique au fixateur G L de l idéal I L et I L = I S = I M + <R L,M >. Sinon, il reste encore à calculer un polynôme M-primitif R S,M de l idéal I S. Soit Θ S,M un S-invariant M-primitif séparable pour. Comme le polynôme minimal de Θ S,M () sur k est T Θ S,M () (le groupe de Galois G est inclus dans le groupe S), le polynôme R S,M := Θ S,M Θ S,M () est un polynôme M-primitif de l idéal I. S Pour calculer un S-invariant M-primitif, A. Colin propose de choisir pour Θ S,M une fonction symétrique sur O, lag -orbite de l invariant Θ (voir [11]). Le calcul de Θ S,M () est alors réalisé aveclethéorème fondamental des fonctions symétriques appliqué aux racines du polynôme Min θ,k (voir [24] pour les calculs de polynômes symétriques). Il existe nécessairement une fonction symétrique élémentaire ou une fonction symétrique puissance qui soit M- séparable pour (voir [20]). Nous avons en théorie une méthode pour construire une chaîne croissante d idéaux partant de l idéal I Sn et arrivant à l idéal I. Mais il faut savoir identifier le groupe S sans connaître le groupe de Galois G. Avec la remarque 7, nous savons que S = L si T θ est un facteur simple sur k de la résolvante L Θ,I M. En dehors de ce cas, nous n avons aucun moyen d identifier le groupe S. L algorithme effectif de calcul de l idéal I du paragraphe 5 introduira l utilisation des matrices de groupes. Ces matrices permettent non seulement de calculer le groupe G (et donc l idéal I ) plus rapidement mais aussi de remplacer le groupe S par un autre groupe qui est calculable. 4 Matrices de groupes et de partitions Dans [4] et [25] sont définies les matrices de groupes et de partitions. Ces matrices permettent toujours de calculer le groupe de Galois d un polynôme à partir des degrés ou des groupes des facteurs simples irréductibles sur k des résolvantes. Leur utilisation est brièvement rappelée dans ce paragraphe. Soit la résolvante F = L Ψ,I M où M contient le groupe de Galois et un groupe H de S n et Ψ est un H-invariant M-primitif. Il est montré quelesdegrés et les groupes de Galois sur k des facteurs simples irréductibles sur k de la résolvante F ne dépendent que des classes de conjugaison des groupes H et G dans M. Les formules permettant de calculer ces groupes et ces degrés sont aisées à programmer dans un logiciel comme GAP (voir [15]). Donnons une définition (qui est en fait un théorème) de ces matrices :

20 526 A. Valibouze Définition 4.1. La matrice de groupes (resp. de partitions) relative au groupe M est la matrice telle que : 1- les lignes et les colonnes sont indicées par toutes les classes de conjugaison de sous-groupes de M ; les classes de conjugaison des lignes sont appelées les classes candidates et celles des colonnes les classes tests ;legroupem est appelé quantà lui le groupe de référence ; 2- soient G et H deux classes de conjugaison dans M de deux sous-groupes G et H de M ;soientψunh-invariant M-primitif et g un polynôme de k[x] telqueg = G g (si g existe) ; alors à l intersection de la ligne de G et de la colonne de H se trouve la liste des groupes de Galois sur k (resp. des degrés) des facteurs irréductibles de la résolvante L Ψ,k si elle est séparable. Si la résolvante n est pas séparable, la définition s applique aux facteurs simples de la résolvante. Comme il est montré dans [4], les lignes de la matrice de partitions (et donc de groupes) étant toutes distinctes, il est toujours possible de déterminer le groupe de Galois d un polynôme avec ces matrices. La méthode consiste à utiliser les classes tests pour éliminer des classes candidates. Supposons que l on ait déterminé un groupe M contenant le groupe de Galois. Ou bien les calculs sont toujours effectués avec le mêmegroupederéférence M et la même matrice de groupes (resp. partitions) relative à M, ou bien, si un sous-groupe S de M est déterminé comme contenant le groupe de Galois G, il est possible de prendre S comme nouveau groupe de référence. Le choixde changement de groupe de référenceest dépendant des temps de calculs. Au départ, le groupe de référence est S n qui est le seul groupe M contenant de façon certaine le groupe de Galois et tel que l idéal I M soit connu. 5 Construction de l idéal des relations : algorithme 5.1 Préparation de l algorithme Dans la pratique, nous combinons la recherche du groupe de Galois par la méthode des matrices de groupes et de partitions avec celle de l idéal des relations. Nous n utiliserons en fait que les matrices de groupes qui incluent les informations des matrices de partitions. Dans le paragraphe 3.7 nous avions une méthode théorique pour construire l idéal des -relations nécessitant le calcul impossible d une G -orbite. Nous cherchons à contourner cette difficulté. Nous supposons toujours que nous avons déterminé ungroupem contenant le groupe de Galois G et que nous connaissons un systèmedegénérateurs de l idéal I M. Nous avons choisi un sous-groupe L du groupe M et nous avons calculé la résolvante F = L Θ,I M oùθestunl-invariant M-primitif séparable pour. Nous supposons également disposer d un ensemble S M de groupes candidats à être le groupe de Galois (un par classe de conjugaison dans M). Par exemple, lorsque M = S n et qu aucune résolvante n a été calculée, l ensemble S Sn contient toutes les classes de conjugaison de sous-groupes de S n.legroupedegaloisétant contenu dans le groupe M, tous les groupes non inclus dans M n appartiennent pas à S M.

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