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1 Approche sismique par une Lattice Method, code Mka3D. Christian Mariotti, Françoise Le Piver Laboratoire de Détection et de Géophysique CEA/DAM/DASE BP Bruyères le Châtel RÉSUMÉ. Le code Mka3D permet d aborder par la méthode numérique des Lattice certains problèmes essentiels de la physique ; on citera en particulier la mécanique de la rupture, la fragmentation, le comportement sous choc, le comportement en sollicitation dynamique, la compaction, le frottement. Le code permet de traiter aussi les problèmes en grands déplacements. Nous pouvons en voir des applications au domaine sismique. ABSTRACT. The Lattice code Mka3D offers a new numerical method to simulate cracks, compaction under dynamic solicitation. Some applications in the seismic domain are presented. MOTS-CLÉS: Lattice method, fracturation, interaction sol-structure, Mka3D. KEYWORDS: Lattice method, fracturation, Mka3D. 1. Introduction Le code Mka3D a été développé initialement pour traiter des problèmes de fracturation sous choc de matériaux géologiques [Camborde et al]. Dans le cas d un séisme fort, les phénomènes s écartent du comportement élastodynamique. Le code Mka3D peut alors apporter une physique supplémentaire par rapport aux codes purement élastodynamiques. Celle-ci peut intervenir aux différents niveaux du problème : la source, la propagation, l effet de site. Mka3D peut également apporter des réponses dans le problème plus spécifique de l interaction sol-structure car la structure est peut être traitée avec ce type d éléments. Le code étant capable de traiter les grands déplacements, il est aussi possible de suivre un glissement de terrain ou un effondrement de falaise. 2. Cas test de Lamb Afin de valider cette approche numérique dans le domaine élastodynamique [Mariotti], nous avons réalisé un certain nombre de tests et en particulier le test de Lamb [Lamb]. Le problème de Lamb (Lamb, 1904) est un test classique qui est souvent utilisé pour mesurer la précision d une méthode numérique dans la propagation des ondes élastiques linéaires. 7 ème Colloque National AFPS 2007 Ecole Centrale Paris

2 2 7 ème Colloque National AFPS 2007 Ecole Centrale Paris Une force verticale est appliquée ponctuellement sur un demi espace homogène en considérant une géométrie 2D plane. Dans ce cas, on peut voir se développer trois types d ondes : une onde P, une onde S et une onde de Rayleigh en surface (figure 1). La particularité de ce test est d avoir une onde de Rayleigh qui se propage sans atténuation et sans dispersion à la surface libre. Figure 1. Module de la vitesse des particules pour le code Mka3D. On peut voir les ondes P, S et Rayleigh en surface, ainsi que l onde de coin Dans cette application, nous prenons un milieu ayant une masse volumique de 2200 kg/m 3, une vitesse d onde P de 3202 m/s et une vitesse d onde S de 1849 m/s. La force appliquée est un Ricker (dérivée seconde d une Gaussienne) de fréquence centrale de 14,5 Hz, ce qui nous donne une fréquence maximale de l ordre de 40 Hz.

3 Approche sismique par le code Mka3D 3 Le maillage utilisé est défini par des mailles de 5 m de côté ce qui représente environ 10 points par longueur d onde, ce qui est une définition classique de maillage. Le domaine fait 4 km de long sur 2 km d épaisseur, soit mailles. Il existe une solution semi analytique pour ce problème, calculée par la méthode de Cagniard [De Hoop], nous la comparons aux résultats du code Mka3D (figure 2) pour un capteur placé sur la surface (capteur en position n 3 sur la figure 1). Nous pouvons constater qu il n y a pas de diffusion numérique de l onde Rayleigh qui se translate à la surface libre sans se transformer et ceci sur plusieurs dizaines de longueurs d onde. Figure 2. Composante horizontale et verticale du capteur (à 1000 m de la source) 3. Application à l interaction sol-structure. Il s agit de montrer ici les potentialités de la méthode par une application. Lors du séisme de San Francisco du 17 octobre 1989, une autoroute à deux niveaux s est effondrée (autoroute des cyprès) (figure 3). Nous avons réalisé une modélisation très sommaire d une partie de cette autoroute (figure 4). Le ferraillage a été intégré globalement dans le matériau en prenant des propriétés moyennes du béton avec ferraillage. Par contre, nous avons essayé de respecter les dimensions des poteaux de la structure. En particulier, les poteaux de la structure supérieure qui ont rompu sont moins épais que ceux de la structure inférieure. La gravité est prise en

4 4 7 ème Colloque National AFPS 2007 Ecole Centrale Paris compte puis nous soumettons la structure au séisme en imposant un mouvement au sol la supportant (essai similaire à une table vibrante). La simulation permet de restituer la rupture du niveau supérieur par rupture des poteaux (figures 5 et 6). Le plateau supérieur tombe alors en chute libre et vient impacter le niveau inférieur sans l effondrer ce qui a été le cas sur la majeure partie de cette autoroute. Figure 3. Rupture d une autoroute à deux niveaux à Loma Prieta (San Francisco 17 octobre 1989)

5 Approche sismique par le code Mka3D 5 Figure 4. Modélisation par Mka3D d un tronçon de l autoroute à deux niveaux à Loma Prieta (San Francisco 17 octobre 1989)

6 6 7 ème Colloque National AFPS 2007 Ecole Centrale Paris Figure 5. Modélisation par Mka3D de la rupture d une autoroute à deux niveaux à Loma Prieta (San Francisco 17 octobre 1989) (nb-fraci de la légende indique le nombre de liaisons cassés pour une particule)

7 Approche sismique par le code Mka3D 7 Figure 6. Modélisation par Mka3D de la rupture d une autoroute à deux niveaux à Loma Prieta (San Francisco 17 octobre 1989) (nb-fraci de la légende indique le nombre de liaisons cassés pour une particule) 3. Conclusion. Le code Mka3D utilisant la méthode numérique «Lattice method» est un outil complémentaire aux codes existants dans le domaine sismique. On peut avec cette méthode suivre la résistance de structures pendant séisme et également suivre un effondrement partiel de celles-ci. Dans les développements en cours, nous réalisons un couplage de ce code avec un code aux éléments finis afin de limiter l usage de Mka3D à des zones d intérêt et propager les ondes sismiques avec une méthode numérique moins coûteuse en temps CPU.

8 8 7 ème Colloque National AFPS 2007 Ecole Centrale Paris Bibliographie Camborde F., Mariotti C., Donzé F., «A discrete element model to simulate the dynamic behaviour of rock», Computers and Geotechnics, vol. 27, 2000, p De Hoop A. T., «A modification of Cagniard s method for solving seismic pulse problem», Applied Science Research, ser. B 8, 1960, p Lamb H., «On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid», Phil. Trans. R; Soc. London, ser. A 203, 1904, p Mariotti C., «Lamb s problem with the lattice model Mka3D», article submitted to Geophysical Journal International.

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