Macroéconomie M1 : Paris 1 / ENS Cachan Travaux Dirigés Interrogation écrite N 1 - Corrigé

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1 Macroéconomie M : Paris / ENS Cachan Travaux Dirigés Interrogation écrite N - Corrigé Marc Sangnier - Lundi 2 février 20 Durée : h30 Aucun document autorisé Calculatrice interdite Exercice - Investissement et q de Tobin Soit une entreprise dont l'horizon temporel est inni Le prix du bien produit et celui du bien capital sont supposés égaux à l'unité À chaque date t, l'entreprise produit et vend une quantité Y t à l'aide de la fonction de production Y t = A t, où est le stock de capital et A t la productivité du capital En n de période, l'entreprise investit I t pour accroître son stock de capital selon la relation = I t il n'y a donc pas de dépréciation du capital) L'entreprise dispose d'un stock de capital initial K 0 et a accès à un marché nancier parfait sur lequel les fonds s'échangent au taux d'intérêt réel constant r La mise en place de l'investissement I t entraîne un coût d'ajustement C I t ; ), avec C 0; ) = 0, C 0; ) / I = 0, 2 C I t ; ) / 2 I > 0, C I t ; ) / 0 et C I t ; ) = C I t ; ) Question point Interprétez la forme de la fonction de coût d'ajustement du capital Pour un stock de capital xé, le coût d'ajustement est une fonction convexe de l'investissement, nul en lorsque l'investissement est nul et positif pour tout I t 0 : tout ajustement du stock de capital est coûteux, que ce soit une augmentation ou une diminution Enn, dés)investir une quantité I t est moins coûteux lorsque le stock de capital en place est déjà important : c'est la taille relative de l'investissement par rapport à celle de l'entreprise) qui compte Question 2 Écrivez le programme de la rme 0,5 point Le programme de l'entreprise s'écrit : max Kt}t,I t}t 0 r) t A t I t C I t ; )}, sc = I t, t 0

2 Question 3 point Écrivez le Lagrangien associé à ce problème d'optimisation Déterminez les conditions du premier ordre Le Lagrangien associé à ce problème s'écrit : L = r) t A t I t C I t ; )} r) t q t I t ] Les conditions du premier ordre par rapport à et I t sont : A t C I ) t; ) L = 0 t r) t r) t q t A t C I t; ) q t r) q t = 0 q t = A t C I } t; ) q t, r L = 0 I t r) t C I } t; ) I r) t q t C I t; ) I = q t r) t q t = 0 Question 4 point Montrez que le multiplicateur de Lagrange associé à la loi d'accumulation du capital peut s'écrire : q t = r) s A ts C I ] ts; s ) On appelle cette expression le q de Tobin Commentez cette expression s= En reprenant la première condition du premier ordre en en développant vers le futur, il vient : q t = A t C I } t; ) q t r = A t C I t; ) A t2 C I }} t2; 2 ) q t2 r r = A t C I } t; ) r r) 2 A t2 C I } t2; 2 ) r) 2 q t2 = r A t C I t; ) r) 2 r = r = etc } r) 2 A t3 C I t3; 3 ) A t C I t; ) r) 3 } A t3 C I t3; 3 ) r) 2 } A t2 C I t2; 2 ) } q t3 } A t2 C I } t2; 2 ) r) 3 q t3 En raisonnant de proche en proche, on montre facilement que : q t = s= r) s A ts C I ] ts; s ) 2

3 q t est la valeur actualisée que rapporte une unité d'investissement en t Cette valeur se décompose en deux termes à chaque date t s : A ts est la productivité marginale du capital, C I ts ; s ) / 0 est la réduction du coût d'ajustement lorsque l'entreprise est plus grosse car l'ajustement futur est plus petit relativement à la taille de l'entreprise) Question 5,5 point Déterminez le lien entre l'investissement et le q de Tobin Reprenons la seconde condition du premier ordre : C I t ; ) I = q t Le terme de gauche est le coût marginal du capital Supposons que q t >, c'est à dire q t > 0 Cela implique qu'à l'optimum l'expression C I t ; ) / I doit être positive L'investissement doit donc être positif De même, si q t < 0, l'investissement doit être négatif, on doit dé-investir Par ailleurs, compte tenu de l'expression de q t que nous venons de commenter, il est clair que c'est la valeur actualisée des rendements futurs du capital qui détermine l'investissement courant Question 6 point On suppose maintenant que le coût d'ajustement s'écrit : C I t ; ) = φ It avec φ 0) = 0, φ 0) = 0 et φ > 0 On en déduit facilement : C I t ; ) ) It = φ I ) t φ It < 0 car la fonction φ ) est convexe On se place donc dans le cas où les rendements d'échelle sont constants la production est proportionnelle au stock de capital ) et les coûts d'échelle aussi coût d'ajustement proportionnel à ) Montrez que la solution du programme de maximisation de est proportionelle à K 0 Compte tenu de ce qui précède, on sait que la solution optimale vérie : C I t ; ) I = s= En utilisant l'expression de C I t ; ) donnée ici, il vient : ) φ It = s= ), r) s A ts C I ] ts; s ), t 0 ) Its r) s A ts φ I )] ts φ Its, t 0 s s s La solution doit également vérier la relation = I t pour t 0 Supposons que la quantité K 0 soit multipliée par un constante On voit alors aisément que les deux conditions seront vériées pour tout t 0 si tous les I t, t 0 et tous les, t sont multipliés par la même constante 3

4 Question 7 point Calculez la valeur V 0 de l'entreprise au début de la période 0 et montrez qu'elle est proportionnelle à K 0 La valeur de l'entreprise au début de la période 0 est donnée par la valeur actualisée de l'ensemble des prots futurs qu'elle va engendrer : V 0 = )] It r) t A t I t φ Supposons que l'ensemble des I t et sont multipliés par une constante δ On a alors : V 0 = = δ δit r) t A t δ δi t δ φ δ )] = δv 0 r) t A t I t φ Si tout les I t et sont multipliés par une constante δ, la valeur de l'entreprise l'est aussi On peut donc en déduire, d'après la question précédente, que la la valeur de l'entreprise est proportionnelle à K 0 It )] Question 8 point Le multiplicateur de Lagrange mesure de combien la fonction objectif augmente lorsque la contrainte qui lui est associée est relâchée d'une unité Le q de Tobin est donc égal au rendement marginal du capital, en particulier, pour t = 0, on a q 0 = V 0 / 0 En déduire que : q t = V t, où V t est la valeur de la rme au début de la période t q t est la valeur marginale du capital Or, V t / est la valeur moyenne du capital On a donc montré que dans le cas où les rendements d'échelle sont constants et les coûts d'échelle aussi la valeur marginale et la valeur moyenne du capital sont égales La question précédente nous permet d'écrire V 0 = δk 0, avec δ une constante On en déduit V 0 = δ 0 et donc : V 0 = V 0 K 0 0 Or, q 0 = V 0 / 0, on peut donc écrire : q 0 = V 0 K 0 Ce raisonnement peut être fait pour n'importe quelle date en décalant l'origine des temps On en déduit donc : q t = V t 4

5 Exercice 2 - Modèle à générations imbriquées On s'intéresse à une économie dans laquelle chaque agent vit deux périodes Lorsqu'il est jeune, un agent né en t reçoit un salaire réel w t, consomme une quantité c t et dégage une épargne s t qui sera rémunérée au taux d'intérêt réel r t lors de la période suivante Lorsqu'il est vieux, l'agent ne travaille pas et consomme d t Son utilité intertemporelle est représentée par la fonction suivante : U = u c t ) βu d t ), avec 0 < β <, où u > 0 et u < 0 Le nombre d'individus qui naissent à la date t est N t Le taux de croissance de la population est n On suppose que le secteur productif est en situation de concurrence parfaite et utilise une fonction de production à rendements d'échelle constants Y t = F N t ; ), croissante et concave en N t et Il n'y a pas de dépréciation du capital Question point Écrire la contrainte budgétaire intertemporelle d'un agent né en t Donnez le programme d'optimisation d'un agent né en t Résolvez-le et déduisez-en l'expression suivante : u c t ) = β r t ) u d t ) La contrainte budgétaire de l'agent en première période est : En période âgée, on a : c t s t = w t s t r t ) = d t On peut donc en déduire la contrainte budgétaire intertemporelle : c t d t r t = w t Le programme de l'agent est de choisir c t et d t an de maximiser U sous la contrainte budgétaire intertemporelle Le Lagrangien associé à ce problème est : L =u c t ) βu d t ) λ c t d } t w t r t Les deux conditions du premier ordre par rapport à c t et d t s'écrivent : u c t ) = λ et βu d t ) = λ r t En faisant disparaître λ, on obtient immédiatement l'équation d'euler : u c t ) = β r t ) u d t ) Question 2 0,5 point Ré-écrivez l'expression précédente à l'aide de s t Par la suite, on notera s w t ; r t ) la solution de cette équation En utilisant les contraintes budgétaires en période de jeunesse et de vieillesse, on peut réécrire l'équation d'euler de la façon suivante : u w t s t ) = β r t ) u r t ) s t ) 5

6 Question 3,5 point Supposons que la fonction u ) est de la forme : u c) = c σ σ avec σ > 0, σ, où σ est l'élasticité de substitution intertemporelle Déterminez s w t ; r t ) et discutez de l'eet du taux d'intérêt sur l'épargne On obtient : w t s t ) σ =β r t ) r t ) s t ) σ w t s t ) =β σ r t ) σ r t ) s t w t s t ) =β σ r t ) σ s t ] w t = β σ r t ) σ s w t ; r t ) = Si l'on dérive cette expression par rapport à r t, il vient : s w t ; r t ) r t w t ] β σ r t ) σ s t = w tβ σ σ) r t ) σ ] 2 β σ r t ) σ Le signe de cette expression dépend du signe de σ Le taux d'intérêt a deux eets opposés sur l'épargne Lorsqu'il augmente, cela réduit le prix du bien à la période t relativement au prix du bien à la période t, ce qui amène l'agent à davantage consommer en seconde période, c'est à-dire à accroître son épargne eet substitution) Cela réduit également le prix du bien à la période t en termes absolus, tandis que le prix du bien à la période t est inchangé, donc l'agent est plus riche l'agent est ici emprunteur net) et veut davantage consommer à chaque période, ce qui tend à réduire l'épargne eet revenu) Lorsque les agents ont une forte préférence pour lisser leur consommation au cours du temps faible élasticité de substitution intertemporelle, σ < ), l'eet revenu domine et une augmentation du taux d'intérêt réduit l'épargne A l'inverse, si l'élasticité de substitution intertemporelle est forte, σ >, l'eet substitution domine et une augmentation du taux d'intérêt augmente l'épargne Question 4 point Écrire le programme de l'entreprise représentative En déduire r t et w t en fonction du stock de capital par tête k t = /L t On notera ces valeurs r k t ) et w k t ) On dénira par ailleurs la fonction f ) de la façon suivante : f k t ) F ; k t ) L'objectif de l'entreprise est de choisir et L t an de maximiser son prot : Le prot par tête peut s'écrire : π = F L t ; ) w t L t r t π L t = f k t ) w t r t k t L'entreprise choisit alors k t La condition du premier ordre correspondante est alors : r t = f k t ) r k t ) Comme le prot est nul à l'équilibre concurrentiel, on en déduit : w t = f k t ) f k t ) k t w k t ) 6

7 Question 5 point A l'équilibre sur le marché du capital pour la période t, l'épargne des ménages, N t s t, est égale à la demande de capital des entreprises, Montrez que la loi d'évolution du stock de capital par tête peut s'écrire : n) k t = s w k t ) ; r k t )] L'équilibre du marché du capital s'écrit : = N t s t = N t s w t ; r t ) = N t s w t ; r t ) N t N t k t = n s w k t) ; r k t )] n) k t = s w k t ) ; r k t )] Question 6 0,5 point Quelle relation le capital par tête à l'état stationnaire,k, doit-il vérier? Le capital par tête à l'état stationnaire,k, doit vérier la relation suivante : n) k = s w k ) ; r k )] Question 7 0,5 point Supposons que la fonction u ) est de la forme : et que la fonction de production est Déterminez k u c) = ln c) cas où σ = ), F ; N t ) = K α t N α t avec 0 < α < En reprenant l'équation d'euler écrite à l'aide de l'épargne, il vient : La fonction de production par tête s'écrit : On peut en déduire : et β r t ) u r t ) s t ) w t s t =β r t ) w t s t = β f k t ) = k α t r k t ) = αk α t, r t ) s t w k t ) = k α t αk α t = k α t α) 7

8 Le capital par tête à l'état stationnaire,k, doit vérier la relation suivante : n) k = k ) α α) β k ) α α = β ) n) } k α α = β ) n) 8

9 Exercice 3 - Retraite par capitalisation obligatoire On s'intéresse à une économie dans laquelle les agents vivent deux périodes modèle à générations imbriquées) Le nombre d'individus né à la date t est N t En période de jeunesse, les agents perçoivent un revenu w t, consomment une quantité c t et épargnent un montant e t déterminé librement En période de vieillesse, les individus consomment d t et perçoivent le fruit de leur épargne Il existe une retraite par capitalisation obligatoire nancée de la façon suivante : lorsqu'ils sont jeunes les individus sont taxés sur leur revenu w t au taux τ, l'état place ce montant sur un marché nancier au taux r supposé constant et leur reverse la somme initiale augmentée des intérêts lorsque les agents sont vieux L'utilité intertemporelle d'un agent né à la date t est représentée par la fonction suivante : U = ln c t ) ρ ln d t) Question point Déterminez la consommation optimale d'un ménage jeune en fonction de w t En déduire l'épargne privée optimale La contrainte budgétaire d'un ménage jeune est : Celle d'un ménage âgé est : c t e t = τ) w t d t = r) e t τw t ) On en déduit la contrainte budgétaire intertemporelle : c t d t r = w t Le Lagrangien correspondant au programme d'un agent né en t est : L = ln c t ) ρ ln d t) λ c t d } t r w t Les conditions du premier ordre par rapport à c t et d t donnent : On en déduit immédiatement : c t = λ et = λ ρ d t r d t = r ρ c t En réutilisant la contrainte budgétaire intertemporelle, il vient : L'épargne privée est donc : c t d t r = w t c t ρ c t = w t c t = ρ 2 ρ w t e t = τ) w t c t = τ) w t ρ = 2 ρ w t τ ρ ) w t 2 ρ 9

10 Question 2 point Donnez l'expression de D t, le montant placé sur le marché nancier à la date t la demande de titres) Le montant placé se compose de l'épargne privée de chaque individu et de l'épargne forcée : D t = N t e t τw t ) = N t τ ρ 2 ρ = N t ρ 2 ρ = N t 2 ρ w t ) w t ) w t τw t ] Question 3 point Donnez l'expression de O t, la quantité de titres retirés du marché nancier à la date t l'ore de titres) Les titres retirés à la date t sont ceux qui ont été placés à la date t : O t = D t = N t 2 ρ w t Question 4 point Expliquez pourquoi la condition d'équilibre sur le marché des titres s'écrit : r) O t = D t Les titres retirés doivent avoir été rémunéré au taux d'intérêt r qui égalise ore et demande de titres Une autre façon de lire cette égalité est que le demande de titre doit être susamment importante que pour les porteurs de titres soient rémunérés au taux r Question 5 point En supposant que le taux de croissance de la population est constant et égal à n et que le taux de croissance de la productivité du travail est également constant et égal à g, déterminez le taux d'intérêt d'équilibre En utilisant les expressions précédentes, il vient r) O t = D t r) N t 2 ρ w t = N t 2 ρ w t r) = Or, comme w t = g) w t et N t = n) N t, on obtient : N t N t r) = n) g) w t w t 0

11 Question 6 point Commentez On s'aperçoit que si l'on prend en compte l'équilibre sur le marché nancier, alors le taux d'intérêt est égal au taux de croissance de la population multiplié par le taux de croissance de la productivité du travail Or, n) g) est le rendement théorique d'un système de retraite par répartition Dès lors, ce résultat montre que, la retraite par capitalisation n'est pas plus avantageuse que la retraite pas répartition si l'on tient compte des eets d'équilibre général

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