Oscillateurs amortis et forcés - Résonance

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Oscillateurs amortis et forcés - Résonance"

Transcription

1 Année École Nationale d Ingénieurs de Tarbes Enseignements Semestres 5-5 et 7 App Oscillateurs amortis et forcés - Résonance Intervenant Karl DELBÉ La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur.

2 Table des matières Avant-propos Notation 4 1 Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité Le pendule élastique amorti Le circuit RLC en régime libre L équivalence mécanique-électricité Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité Le régime fortement amorti Le régime faiblement amorti - pseudo-période Le régime critique Résumé Les oscillateurs forcés - Résonance 14.1 Le pendule élastique forcé Le circuit RLC en régime forcé Équation des oscillateurs forcées La solution de l équation sans second membre La solution particulière Le régime transitoire Le régime permanent Élongation de l oscillateur L impédance mécanique Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance Résumé Bibliographie 5 1

3 Avant-propos : La préparation d un cours à l ENIT J aime à penser qu étudier est un métier en soit. Ce métier n est pas valorisé dans l immédiat par un salaire ou une récompense, mais c est une épargne intellectuelle que l étudiant fait fructifier durant son cursus, pour en bénéficier au moment le plus opportun et en particulier quand il réalisera son activité professionnelle. Dans les lignes qui suivent, je vous propose une méthode pour optimiser le bénéficie de vos cours et vos travaux dirigés (TD). Il ne s agit que de suggestions et le lecteur est libre de les suivre, de les modifier ou des les éviter. Le cours à venir peut être préparé au préalable par la lecture de la partie qui sera traitée. Des recherches peuvent aussi être faite sur internet pour se familiariser avec le vocabulaire et les thèmes qui seront abordés. Une écoute attentive et active lors de la séance est recommandée. Elle nécessite de la concentration. Elle peut être accompagnée d une prise de notes sur un support qui servira à compléter le fascicule et l ensemble des documents qui constituent le cours. Lorsqu un élément du cours n est pas bien compris, poser des questions. Éviter l installation de doutes dans votre apprentissage. Pour retenir un cours, il est nécessaire de le relire plusieurs fois : une fois quelques heures après la séance ; une fois la semaine suivante ; une fois un mois plus tard (quand cela reste possible) ; et enfin, durant la période de révision proprement dite. Relevez les intitulés et les sujets abordés. Repérez les définitions et le vocabulaire. Vérifiez aussi les démonstrations qui permettent de construire les formules importantes du cours. Vous pouvez construire sur feuille une carte mentale du cours sur laquelle peut apparaître les grandes idées, les définitions, les lois ou encore les formules ainsi que les liens qui existent entre elles. Vous pouvez pareillement utiliser un dictaphone pour enregistrer et ré-écouter le cours. Vous pouvez faire des fiches.

4 Les exercices de TD sont en corrélation directe avec le cours. Il est inévitable de refaire les exercices. Il est possible de trouver et de faire des exercices supplémentaires dans les fascicules qui vous sont fournis, mais aussi sur internet ou à la bibliothèque. Apprenez les formules et si c est envisageable, leurs démonstrations, dans le but d en comprendre le sens. La révision ne se limiter pas à un déchiffrage du cours. Elle peut s étendre à la recherche du sens lié au thème traité. À l approche de l examen, il est possible de s organiser en planifiant votre activité de révision. Une semaine avant la date de l épreuve, le cours est relu. Plusieurs séances d une quinzaine de minutes sont envisagées durant cette période afin de solliciter à plusieurs reprises vos facultés. Éviter les révisions intensives la veille de l évaluation. En cas de difficulté, demandez conseil à vos enseignants. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 3

5 Notation Sauf cas contraire, les symboles utilisés sont issus des recommandations de l AFNOR. a, a C E c E p Accélération d un point A dans R et sa norme Capacité du condensateur Énergie cinétique Énergie potentiel Vecteurs unitaires du repère cartésien Fréquence Centre de gravité Champ de pesanteur et sa norme Intensité Moment d inertie Raideur du ressort Inductance de la bobine Moment cinétique Moment d une force Masse Impulsion, quantité de mouvement Charge électrique Référentiel Résistance Vecteur position d un point A et sa norme Temps Période Vecteur vitesse d un point A et sa norme e x, e z, e z f G g, g i J K L L M m p q R R r, r t T v, v x, y, z Coordonnées cartésiennes de r r, θ, z Coordonnées cylindriques de r r, θ, φ Coordonnées sphériques de r ϕ ω Déphasage Pulsation temporelle

6 Chapitre 1 Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité Les oscillateurs harmoniques non-amortis sont des systèmes conservatifs et idéaux. L expérience montre qu une perte d énergie est à l œuvre au cours de tous les processus physiques que nous étudions 1. Afin de rendre compte de cette dissipation d énergie, nous allons introduire dans les mécanismes qui sont représentés dans ce cours des forces de frottement et, par conséquent dans l équation du mouvement, un terme dissipatif. L introduction de ce terme a des effets sur la nature de la solution. Des régimes de fonctionnement sont distingués en fonction de la qualité du dispositif. Les sections suivantes présentent quelques d oscillateurs amortis ainsi que la notion de facteur de qualité. Les régimes de fonctionnement de ces oscillateurs avec un faible amortissement, un fort amortissement et un amortissement critique seront ensuite décrits. 1.1 Le pendule élastique amorti Les forces de frottement ont été le sujet d étude de nombre de savants souhaitant mieux rendre compte du monde qui les entoure. Parmi eux, Stokes, Coulomb et Newton ont proposé respectivement la description de la force de frottement visqueux, la force de frottement solide 3 et la force de frottement de Newton. La force de frottement de Coulomb met en relation la force nécessaire pour déplacer un objet en fonction de la charge qui lui est appliquée. Cette approche introduit la notion de coefficient de frottement, µ, très utile en tribologie 4. F f = sgn(v) µf N où F f est la force de frottement et F N, la force normale appliquée sur le système considéré. La force de frottement de Newton illustre la dissipation d énergie qui peut apparaître dans les corps où la viscosité est très élevée, tels que le miel, la lave ou les bitumes. Elle 1. Voir le cours de Thermodynamique de l ENIT - semestre.. aussi nommée frottement de Stokes ou frottement fluide. 3. encore appelé frottement de Coulomb. 4. La science qui a pour objet l étude du frottement, de l usure et de la lubrification 5

7 s exprime en fonction du carrée de la vitesse de déplacement du système : où h est le facteur d amortissement 5. F f = h v Cette partie traite uniquement de la force de frottement visqueux proposée par Stockes. Son rôle est exprimé en fonction du freinage qu elle provoque sur la trajectoire du mobile étudié. Ainsi, elle est écrite telle que : F f = h v L étude du pendule élastique équipé d un dispositif d amortisseur réalise un système amorti (Fig. 1.1). La mise en équation de ce problème va ainsi permettre de comprendre l effet de cette force de frottement sur un système mécanique. h k g R x O Fr L1 m P Figure 1.1 Pendule élastique constitué d un ressort accompagné par un dispositif d amortissement. Le système est représenté par le centre d inertie de la masselotte. Le référentiel est R Ox. L axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire. Le poids P, la force de rappel F r et la force de frottement visqueux F f agissent sur le système. Le poids vaut : P = m g = mg e x La force de rappel est définit telle que : La force de frottement vaut : F R = K (x L 0 ) e x F f = h v = h d x dt e x 5. La désignation de coefficient de frottement est aussi utilisée. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 6

8 D après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l accélération : P + F R + F f = m a mg e x K (x L 0 ) e x h d x dt e x = m d x e x (1.1) Un changement de variable approprié permet de réécrire cette équation sans le terme relatif au poids par un raisonnement analogue à celui employé pour le pendule élastique non amorti (Sec.??). Ainsi l équation 1.1 devient : d X K X h d X dt + h m = m d X d X dt + K m X = 0 (1.) Comme dans le cas de l oscillateur harmonique non-amorti, la pulsation propre du système ω 0 est définit comme égale à : K ω 0 = m Il apparaît un nouveau terme associé au paramètre d amortissement. L analyse dimensionnel de ce terme montre qu il est équivalent à l inverse d une durée, ainsi, on définit la durée de relaxation, τ e, telle que : τ e = h m Cette durée de relaxation est le temps pour lequel l amplitude des oscillations est divisée par 1, 5. L équation différentielle du pendule élastique amorti peut alors s écrire sous forme canonique : ou encore d X d X + 1 τ e d X dt + ω 0 X = 0 + µ d X dt + ω 0 X = 0 (1.3) Le paramètre µ est parfois introduit car il contribue à simplifier la résolution de l équation différentielle. 1. Le circuit RLC en régime libre le circuit RLC (Fig.??) qui a est présenté dans le paragraphe?? ne contient pas de résistance et ne dissipe donc pas d énergie. Si cette résistance est réintroduite dans le circuit alors la loi des mailles associé au circuit RLC devient : u c + R C d u c dt + L C d u c = u e Si on souhaite que le régime soit libre, il faut annuler la tension u e dans le circuit, d où : d u c + R L d u c dt + 1 L C u c = 0 La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 7

9 avec la pulsation propre ω 0 et le temps de relaxation τ e : ω 0 = 1 L C et µ = 1 τ e = R L La forme canonique de l équation des oscillateurs libres amortis est ainsi retrouvée, cette fois appliquée au circuit RLC : d u c + µ d u c dt + ω 0 u c = 0 (1.4) Cette équation peut aussi être écrite en fonction de la charge q du condensateur comme dans le paragraphe?? : d q + µ d q dt + ω 0 q = 0 (1.5) 1.3 L équivalence mécanique-électricité Si l on considère l équation du pendule élastique amorti (eq. 1.3) et celle du circuit RLC (eq. 1.5), on peut faire apparaître des équivalences entre les différents termes. d X + h m dt + K m X = 0 d q dt + R L d q dt + 1 LC q = 0 Dans ces cas, la grandeur vibratoire est soit la position de la masselotte, soit la charge Mécanique x v h m k Électricité q i R L C 1 Table 1.1 Termes équivalents entre la mécanique et l électricité. du condensateur. La vitesse de la masselotte est corrélée au déplacement des charges dans le circuit, c est-à-dire le courant électrique. Le coefficient de frottement est ainsi relié à la résistance du circuit, la raideur du ressort à l inverse de la charge du condensateur, l inertie 6 à l inductance de la bobine. Cette équivalence est très pratique dans le cadre de la simulation des systèmes mécaniques par des dispositifs électriques. 1.4 Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité Les systèmes présentés dans les parties précédentes sont régies par des équations différentielles linéaires du second ordre dont la forme générale est semblable. Si la grandeur vibratoire 7 est notée X(t) alors d une manière commune, on a : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = 0 (1.6) 6. La masse du système. 7. Il faut adapter la grandeur vibratoire en fonction du problème à analyser. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 8

10 La résolution de cette équation, une fois posée sous sa forme canonique, consiste établir une solution dont la forme générale est : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) (1.7) dans laquelle r 1 et r sont les racines de l équation caractéristique (eq. 1.8) apparentée à l équation différentielle linéaire du second ordre (eq 1.6) : Le déterminant de l équation 1.8 est égale à : r + µ r + ω 0 = 0 (1.8) = ( µ) 4 ω0 = 4 ( ) µ ω0 (1.9) Trois situations sont distinguées en fonction du signe du déterminant. C est-à-dire, si est positif, négatif ou nul. Ces 3 situations permettent de déduire 3 régimes de fonctionnement de l oscillateur amorti. il est possible d introduire un facteur de qualité, noté Q, pour des raisons de commodité. Il est définit tel que : Q = ω 0 τ e = ω 0 µ (1.10) Ce paramètre contient à la fois le terme lié à la pulsation temporelle du système et celui associé à l amortissement, c est un nombre sans dimension. Ce facteur permet d identifier si le régime est fortement amorti, faiblement amorti ou critique. La description de ces 3 régimes est proposé à partir de l étude des racines de l équation caractéristique et des solutions de l équation du mouvement oscillant qui en découlent Le régime fortement amorti Si > 0, alors Q < 1. Ainsi, l équation caractéristique admet deux solutions réelles : r 1, = µ ± = µ ± µ ω 0 (1.11) dans le cas où le facteur de qualité est supérieur à 1, le système subit un fort amortissement. Le retour à la position d équilibre se réalise très lentement et sans oscillation. En effet : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) [( ) = A exp µ + µ ω0 = exp( µ t) [A exp (β t) + B exp ( β t)] ] [( ) ] t + B exp µ i µ ω0 t D après l équation de X(t), le mouvement est apériodique. Le terme β 8 vaut : β = µ ω0 8. Le terme β n est pas considéré comme une pulsation puisque dans le cas d un régime fortement amorti, il n y a pas d oscillation autour de la position d équilibre. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 9

11 X(t) exp(-µt) [A exp(βt)+ B exp(-βt)] t Figure 1. Exemple de solution en régime fortement amorti. Le système retourne à sa position d équilibre très lentement. Compte tenu de ce résultat, il est possible de représenter la solution sous les formes généralisées suivantes : X(t) = C exp( µ t) sinh(β t + ϕ) ou X(t) = C exp( µ t) cosh(β t + ϕ ) ou encore X(t) = C exp( µ t) [cosh(β t) + sinh(β t)] 1.4. Le régime faiblement amorti - pseudo-période si < 0, alors Q > 1. Les racines de l équation du second degré sont complexes : r 1, = µ ± i = µ ± i ω0 µ (1.1) Par conséquent, la solution de l équation 1.6 peut s écrire sous la forme suivante : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) ( ) = A exp µ + i ω 0 µ avec ω, la pseudo pulsation : = exp( µ t) [A exp (iω t) + B exp ( iω t)] ω = ( ) t + B exp µ i (ω0 µ ) t ω 0 µ D un manière générale, la solution associée à ce régime peut être représentée par une fonction sinusoïdale dont l amplitude décroît en fonction d un terme exponentiel, exp( µ t) : X(t) = C exp( µ t) cos(ω t + ϕ) ou X(t) = C exp( µ t) sin(ω t + ϕ ) ou encore X(t) = C exp( µ t) [cos(ω t) + cos(ω t)] La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 10

12 X(t) C exp(-µt) C exp(-µt) cos(ω t+φ) t C exp(µt) Figure 1.3 Exemple de solution en régime faiblement amorti. X(t) est enveloppé par les courbes d équation C exp( µ t) et C exp( µ t). La pseudo-période et la pseudo fréquence des oscillations peuvent être définies à partir de la pseudo-pulsation. T = π et f = 1 = ω ω T π La décroissance de l amplitude des oscillations peut être quantifiée. Soit une vibration X(t) et soit cette même vibration après n pseudo-périodes T, notée X(t + nt ) et dont l expression est : X(t + n T ) = C exp [ µ (t + n T )] cos [ω (t + n T ) ϕ] Le rapport entre la vibration à l instant t + n T et celle à l instant t donne : X(t + n T ) X(t) = C exp [ µ (t + n T )] cos [ω (t + n T ) ϕ] C exp( µ t) cos(ω t + ϕ) = exp ( n µ T ) et donc ( ) X(t + n T n µ T ) = ln X(t) Un paramètre évaluant la décroissance de l amplitude peut être proposé, il s agit du décrément logarithmique. Il est noté Λ et est égale à : Λ = µ T = 1 ( ) n ln X(t) X(t + n T ) Ce décrément logarithmique Λ peut également être exprimé en fonction de la pseudopulsation, ω ou du temps de relaxation, τ e : Λ = π µ ω = T τ e La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 11

13 1.4.3 Le régime critique Il est possible de faire évoluer un oscillateur d un régime à l autre en modifiant les paramètres de fonctionnement du système. Il existe un régime intermédiaire entre le régime fortement amorti et celui faiblement amorti. Il s agit du régime critique. Il correspond à la situation pour laquelle = 0, et le facteur de qualité, Q est égale à 1. Il y a alors une racine double réelle. r = µ (1.13) X(t) exp(-µt) (A + Bt) t Figure 1.4 Exemple de solution en régime critique. Le retour à la position d équilibre est le plus rapide dans cette situation. La solution qui décrit le mouvement de l oscillateur est alors : V (t) = A exp( µ t) (1.14) Cependant, une autre solution est valable pour résoudre l équation du mouvement (Eq. 1.6) de la forme : V (t) = B t exp( µ t) (1.15) Il est possible de fabriquer une solution à partir de la combinaison linéaire des précédentes. V (t) = (A + B t) exp( µ t) (1.16) Cette solution est considérée comme la solution générale de l équation 1.6 en régime critique. 1.5 Résumé L introduction d un terme dissipatif dans l équation du mouvement des système vibratoire conduit au retour de l oscillateur à sa position d équilibre au bout d un temps plus ou moins long. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 1

14 Le facteur de qualité permet de distinguer 3 régimes de fonctionnement des oscillateurs libres amortis. Q = ω 0 τ e = ω 0 µ Le régime faiblement amorti, pour lequel le système retourne à sa position d équilibre après plusieurs mouvements alternatifs autour de sa position d équilibre avec une pseudo période ω. ω = ω0 µ Le régime critique. Dans ce cas, le système revient à sa position d équilibre en un temps le plus court possible sans oscillations. Le régime fortement amorti, qui est apériodique, comme le régime critique. Selon l objectif que l on considère, il est possible d ajuster les caractéristiques de l oscillateur et d obtenir le régime adéquat. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 13

15 Chapitre Les oscillateurs forcés - Résonance.1 Le pendule élastique forcé Soit une masselotte de masse m reliée à un moteur excitateur par l intermédiaire d un ressort de raideur K, d une poulie et d une bielle. Cette masselotte est plongée dans un liquide, qui produit une résistance vis-à-vis du mouvement de la masselotte. Le coefficient d amortissement associé à la force de frottement est h. Le moteur produit sur la masselotte une force excitatrice dépendant du temps, périodique et est nommée F e (t), telle que : F e (t) = F e cos(ω t + ϕ e ) e x où F e est l amplitude de la force excitatrice, ω, sa pulsation temporelle 1 et ϕ e, sa phase à l origine. ω L g x R O m Fr P Figure.1 Pendule élastique forcé, entraîné par une force excitatrice F e (t). Le système est représenté par le centre d inertie de la masselotte. Le référentiel est R Ox. L axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire. 1. ou vitesse angulaire. 14

16 Le système est soumis à l action du poids P, de la force de rappel F r, de la force de frottement visqueux F f et de la force excitatrice F e. Le poids vaut : P = m g = mg e x La force rappel est définit telle que : La force de frottement vaut : F R = K (x L 0 ) e x F f = h v = h d x dt e x Et comme cela à déjà été écrit, la force excitatrice est égale à : F e (t) = F e cos(ω t + ϕ e ) e x D après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l accélération : P + F R + F f + F e (t) = m a mg e x K (x L 0 ) e x h d x dt e x + F e cos(ω t + ϕ e ) e x = m d x dt e x Avec le changement de variable adéquat, la forme canonique de l équation du mouvement s écrit : d X + µ d X dt + ω 0 X = F e m cos(ω t + ϕ e) (.1) Cette équation est celle d un oscillateur forcé à un degré de liberté.. Le circuit RLC en régime forcé En considérant le circuit RLC (Fig.??) qui a est présenté dans le paragraphe?? non plus en régime libre mais relié à une source de tension alors l expression de la loi des mailles conduit à : u c + R C d u c dt + L C d u c = u e avec u e = u m cos(ω t + ϕ e ) ou encore avec la forme canonique : d u c + µ d u c dt + ω 0 u c = u e (.) dans laquelle on rappelle que la pulsation propre ω 0 et le temps de relaxation τ e valent : ω 0 = 1 L C et µ = 1 τ e = R L En fonction de la charge q du condensateur cela donne : d q + µ d q dt + ω 0 q = u m L cos(ω t + ϕ e) (.3) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 15

17 .3 Équation des oscillateurs forcées Les équations.1 et.3 sont des équations différentielles linéaires du second ordre avec un second membre. Si l on considère que la grandeur vibratoire est X(t) alors l équation de l oscillateur forcé s écrit : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m (.4) Le cas qui sera traité dans ce fascicule est celui pour lequel F e (t) est une fonction générale du temps harmonique, périodique. Il existe solutions à l équation différentielle de X(t) (Eq..4) : La première partie représente la solution de l équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre ; La seconde représente la solution particulière de l équation complète. Théorème 1 (Principe de superposition) Si, pour un système linéaire, il existe solutions x 1 (t) et x (t), toute combinaison linéaire ou superposition linéaire de ces solutions est encore solution du système. X(t) résulte ainsi de la combinaison linéaire de X e (t) avec X p (t). X(t) = X e (t) + X p (t).3.1 La solution de l équation sans second membre Cette solution est celle de l équation sans second membre qui décrit le comportement d un oscillateur amorti (eq. 1.6) : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = 0 Ce cas a été étudié dans le paragraphe 1.4. Cette solution décroît de façon exponentielle au cours du temps compte tenu du terme exponentiel de la forme exp( µ t) qui apparaît quelque soit le régime. Au bout d un temps suffisamment long, cette solution s annule..3. La solution particulière Une solution avec une forme similaire à l excitatrice F e (t) est également valable pour résoudre l équation complète. Ainsi, X p (t) = D cos(ω t + ϕ x ) dans laquelle ω est la pulsation temporelle de l excitateur. L étude de la solution générale X(t) montre qu il apparaît régimes de fonctionnement pour l oscillateur forcé, le régime transitoire dès le démarrage de la sollicitation puis le régime permanent.. Le régime permanent est aussi appelée le régime forcé ou le régime établi. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 16

18 .3.3 Le régime transitoire Sachant que X(t) est l addition de la solution particulière X p (t) avec la solution de l équation sans second membre X e (t), le mouvement résultant de cette addition pourra prendre diverse forme et dépendre du régime d amortissement du système. La présence du terme exponentiel conduit à une extinction de la solution X e (t) au cours du temps et à l évanouissment du régime transitoire au profit d un régime permanent pour lequel il ne semeure que la solution X p (t). Si toutefois, l amortissement est négligeable, la solution X e se maintien au cours du temps et il n y a pas de régime transitoire, alors la solution est de la forme : X(t) X e (t) + X p (t) A cos(ω 0 t ϕ x) + D cos(ω t + ϕ x ) Selon la situation, cela correspond à l addition de vibrations isochrones, de vibrations avec des fréquences proches ou de vibrations avec des fréquences différentes vues au paragraphe?? : Par conséquent, si X e (t) et X p (t) sont isochrones, les amplitudes des oscillations dépendent de la différence de phase entre X e (t) et X p (t). Si les pulsations temporelles de X e (t) et X p (t) sont différentes, les vibrations sont anharmoniques. Si elle sont proches, des battements apparaissent..3.4 Le régime permanent Au cours du régime permanent, il n existe plus que la solution particulière X p (t) et donc : X(t) X p (t) D cos(ω t + ϕ x ) Dans les prochains paragraphes, nous considéreront uniquement ce régime établi afin d étudier une particularité des oscillateurs forcés : le phénomène de résonance..4 Élongation de l oscillateur Soit l équation d un oscillateur forcé : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m La résolution de cette équation dans le cas d un régime permanent est proposée en utilisant la représentation complexe de la fonction X(t). Cela conduit à écrire l équation du mouvement telle que : ainsi d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m X(t) = X m exp(j ω t) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 17

19 avec l amplitude complexe X m égale à : X m = X m exp(j ϕ x ) On rappelle que X m est l amplitude et varphi x le déphasage qui sont associés à l élongation. Pour utiliser cette solution dans l équation du mouvement, la solution X(t) est dérivée une première fois puis une seconde fois. On calcule ainsi d X(t) et d X(t) : dt d X(t) dt = j ω X(t) (.5) En utilisant ces résultats dans l équation.4, cela donne : avec d X(t) = ω X(t) (.6) ( ω + j µ ω + ω0) F e X(t) = m exp [j (ω t + ϕ e)] ( ω + j µ ω + ω0) Xm exp(j ω t) = F e exp(j ω t) m F e = F e exp(j ϕ e ) où F e et ϕ e désignent respectivement l amplitude et le déphasage de la force excitatrice. À partir de ce résultat, l amplitude complexe est alors calculée : X m = F e exp(j ϕ e ) m [(ω 0 ω ) + j µ ω] (.7) La solution réelle de cet oscillateur forcé en régime permanent peut s écrire : où l amplitude de l élongation X m vaut : X(t) = X m cos(ω t + ϕ x ) X m = X m = X m X m ainsi, X m F m m 1 (ω 0 ω ) + ( µ ω) (.8) et la différence de phase entre l élongation et la force excitatrice est : tan(ϕ x ϕ e ) = µ ω ω ω 0 (.9) L amplitude et la phase de la vibration produite suite à l excitation du système par une force extérieure est dépendante de la pulsation imposée ω. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 18

20 L amplitude et le déphasage dépendent également de l amortissement du système compte tenu de l expression de V m et de ϕ qui contient le terme τ e. ω Par commodité, le terme de pulsation réduite, ω 0 est introduit dans les expressions précédentes. De plus, le facteur de qualité est utilisé pour mettre en évidence l influence de l amortissement sur les expressions de l élongation X m et du déphasage (ϕ x ϕ e ) entre l élongation et l excitatrice, ainsi : X m = F m K Q 1 [ ω ω Q ( ω ω 0 ω 0 ω ] 1 et tan(ϕ ϕ e ) = 1 Q( ω ω 0 ω 0 ω ) 100 Q= π φ Q=0,001 Q=10 Q=5 Q=3 10 Q=0,1 Q=0, Q=0,3 Q=0,4 Q= Q=0,5 Q=0,707 Q=1,5 Q=1 Q=1,5 Q=1 0,1 Q=0,707 1 Q=0, Q=0,3 Q=0,4 Q=0,5 Q=0,1 Q= Q=3 Q=5 Q=10 Q=1000 Figure. Évolution de l amplitude en fonction de ω ω 0 pour différentes valeurs de Q. Apparition du phénomène de résonance. 0,1 ω 0 Figure.3 Déphasage entre l oscillateur et la force excitatrice en fonction de la pulsation réduite ω ω 0. Les élongations de l oscillateur forcée évoluent en fonction de la pulsation réduite 3 (Fig..). On note que le facteur de qualité agit également sur les élongations. Lorsque la pulsation de l excitatrice est faible, l oscillation est de faible amplitude. C est aussi le cas, lorsque la pulsation de l excitatrice est élevée. Si le facteur de qualité est suffisament élevé, on remarque que l amplitude passe par un maximum. Ce maximum est observé pour une pulsation réduite approximativement égale à 1 et est équivaut à : X max = F m K Q Dans le cas où le facteur de qualité est important, les élongations deviennent considérables. Concernant le déphasage entre l élongation et la force excitatrice (Fig..3), on note que : si la pulsation réduite est faible, alors le déphasage est nul ; au contraire, quand la pulsation réduite est égale à 1, le déphasage entre le mouvement de l oscillateur et la force excitatrice est de π. Cette différence de phase dépend également du facteur de qualité : 3. et donc de la pulsation, ou encore de la fréquence de l excitarice. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 19

21 si Q tend vers 0, la différence de phase évolue rapidement vers la valeur de π ; alors que, si Q tend vers, le déphasage de π est atteint plus tard et la pulsation réduite est proche de 1..5 L impédance mécanique L impédance mécanique Z est un nombre complexe. Elle est définit par le rapport de l amplitude complexe de la force excitatrice 4, F m sur l amplitude complexe de la vitesse de l oscillateur 5. Z = F m V m (.10) L impédance mécanique représente la manière avec laquelle l oscillateur va s opposer au passage du phénomène période associé à la force excitatrice. La partie réelle de l impédance est nommée la résistance R et la partie imaginaire, la réactance, X 6. Pour déterminer une expression de l impédance, il est nécéssaire de calculer l amplitude complexe de la vitesse, d après l équation.5, la vitesse et telle que : v = d X(t) dt = j ω X(t) = j ω X m exp(ω t + ϕ x ) = ω X m exp(ω t + ϕ x + π ) ( π ) ( π ) ( π ) puisque j = cos + j sin = exp Comme la vitesse des oscillations peuvent s exprimer comme suit : v(t) = V m exp(j ω t) avec V m = V m exp(j ϕ v ) = j ωx m alors on déduit que l amplitude de la vitesse vaut : V m = ω X m et que la vitesse est en avance de phase de π par rapport à l élongation, soit : ϕ v = ϕ x + π L expression de l impédance peut alors être développée : Z = F m V m = F m j ω X m (.11) 4. La cause. 5. L effet. 6. En électricté, on définit également l inverse de l impédance : l admitance, Y = 1 Z La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 0

22 En employant l équation.7 qui explicite l amplitude complexe des élongations de l oscillateur X m, il vient : Z = m [ω 0 ω + j µ ω] j ω ( = h + j m ω K ) ω (.1) sachant que µ = h m et ω 0 = K m À partir de cette dernière expression, il est possible de représenter dans un référentiel de Fresnel l impédance de l oscillateur forcé avec la composante réelle, h, et la composante imaginaire, mω K ω. Im K/ω IZI mω O h φ Re Figure.4 Impédance mécanique représentée dans un repère de Fresnel. Dans ces conditions, le module de l impédance est : Z = [ h + ( m ω K ) ] 1 ω (.13) De plus, le déphasage entre la forcve excitatrice et la vitesse, noté ϕ = ϕ e ϕ v, est donné par l expression suivante : tan ϕ = m ω K ω h (.14) Si on considère la puslation réduite ω ω 0 et le facteur de qualité, Q : Q = ω 0 τ e = m ω 0 h on peut alors exprimer l impédance autrement : [ ( ω Z = h 1 + j Q ω )] 0 ω 0 ω (.15) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 1

23 Il est également possible de déterminer le module Z et la phase ϕ de l impédance : Z = [ h + ( m ω K ) ] 1 ω = h { 1 + [ ( ω Q ω )] } 1 0 ω 0 ω (.16) tan ϕ = m ω K ω h = Q ( ω ω ) 0 ω 0 ω (.17).6 Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance Par définition, la puissance dissipée dans l oscillateur peut être calculée à partir du produit scalaire de la force excitatrice F par la vitesse V. P = F V Comme F = Fm cos(ω t + ϕ e ) e x et que V = Vm cos(ω t + ϕ v ) e x D après l équation.11, on montre que : par conséquent : V m = F m Z P = F m cos(ω t + ϕ e ) V m cos(ω t + ϕ v ) = F m Z [ cos(ω t + ϕ e + ϕ v ) + cos(ϕ)] (.18) puisque ϕ = ϕ e ϕ v La puissance varie donc de façon sinusoïdale autour d une valeur moyenne. Cette valeur moyenne < P > est égale à : < P >= F m cos ϕ (.19) Z À partir de la représentation de Fresnel, on est en mesure de déduire le cosinus de Z : cos ϕ = h Z (.0) la valeur moyenne de la puissance est alors : < P >= h F m Z (.1) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur.

24 en tenant compte de l expression de Z (Eq..16), on exprime la valeur moyenne en fonction du facteur de qualité et de la pulsation réduite : < P >= F m h 1 + [ Q 1 ( ω ω 0 ω 0 ω )] (.) On note que lorsque la pulsation réduite est égale à 1 et la puisance moyene passe par un maximum : P max = F m h (.3) Figure.5 Évolution de la puissance moyenne < P > en fonction de la pulsation réduite ω ω 0. Le phénomène de résonance se produit quand la pulsation réduite vaut 1. Figure.6 La puissance dissipée dans l oscillateur dépend de aussi du facteur de qualité. Le phénomène de résonance est défini à partir de la puissance dissipée dans l oscillateur qui est maximale lorsque la pulsation propre de l excitatrice est égale à la pulsation propre de l oscillateur : ω = ω 0 On remarque que l analyse de la courbe de l élongation en fonction de la pulsation réduite (Fig..) ne permet pas de faire le même constat, car le maximum de l élongation ne se retrouve pas précisément en ω ω 0 = 1, mais autour de cette valeur. Le maximum l élongation coincide avec le maximum de la puissance dissipée 7 lorsque le facteur de qualité est élevé. On indique que la résonance est aigüe quand le facteur de qualité Q est élevé. Au contraire on dit qu elle est floue quand le facteur de qualité est faible. Pour plus de précision, on définit la notion de finesse de résonance, ω 1, qui consiste à calculer la largeur à mi hauteur du pic de résonance, c est-à-dire les valeurs de la pulsation réduite, ωω 0, pour lesquelles P = Pmax. On montre que : ω 1, = Q ω 0 7. et donc quand ω ω 0 = 1 La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 3

25 .7 Résumé L introduction d une force excitatrice dans l équation d un dispositif vibratoire permet de contruire un oscillateur forcé, dont l équation horaire est : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m (.4) le mouvement vibratoire de l oscillateur forcé se décompose en temps : 1 er temps Le régime transitoire, au cours duquel coexiste la solution particulière et la solution générale de l équation sans second membre. Ce régime n est pas approfondi en cours ; e temps Le régime établi ou régime forcé, dont la forme 8 est semblable à celle de la force excitatrice qui impose sa pulsation au système ; Cas particulier Si le dispositif n est pas amorti, la solution de l équation est une combinaison linéaire la solution particulière et de la solution de l équation sans second membre. Lorsque la pulsation de l excitatrice coïncide avec la pulsation propre de l oscillateur, la puissance reçue par l oscillateur est maximale. C est le phénomène de résonance. Durant ce phénomène les élongation et la vitesse de l oscillateur deviennent parfois impressionnants. Le facteur de qualité influence le phénomène de résonance : Si Q est élévé, la résonnance est aigüe ; si Q est faible, la résonance est flou. 8. Elle ne présente plus la solution de l éqation sans second membre, qui disparaît au bout d un temps suffisament long, compte tenu de l amortissement de l oscillateur La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 4

26 Bibliographie [1] J.-P. Pérez. Mécanique : fondements et applications. Masson, Paris (1997). 5 e édition. [] R. F. J.-P. Pérez, R. Carles. Paris (006). 3 e édition. Électromagnétisme : fondements et applications. Masson, [3] J.-Y. F. S. B. J.-P. Pérez, C. Lagoute. Électronique : fondements et applications. Masson, Paris (006). [4] Bergson. Évolution créatrice. Paris (1907), p

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique

Plus en détail

TP 7 : oscillateur de torsion

TP 7 : oscillateur de torsion TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

pendule pesant pendule élastique liquide dans un tube en U

pendule pesant pendule élastique liquide dans un tube en U Chapitre 2 Oscillateurs 2.1 Systèmes oscillants 2.1.1 Exemples d oscillateurs Les systèmes oscillants sont d une variété impressionnante et rares sont les domaines de la physique dans lesquels ils ne jouent

Plus en détail

Cours d électricité. Étude des régimes alternatifs. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie

Cours d électricité. Étude des régimes alternatifs. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie Cours d électricité Étude des régimes alternatifs Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Plan du chapitre s sur les

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

harmonique CHAPITRE 1 Oscillateur Introduction Plan du chapitre1

harmonique CHAPITRE 1 Oscillateur Introduction Plan du chapitre1 CHAPITRE 1 Oscillateur harmonique Introduction L oscillateur harmonique est un concept important en physique car il permet notamment de décrire le comportement autour d une position d équilibre de nombreux

Plus en détail

Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal

Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 1 Introduction Dans les premiers chapitres d électrocinétique, nous avons travaillé sur les régimes transitoires des circuits comportant conducteur ohmique,

Plus en détail

Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n 2. Résonance magnétique : approche classique

Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n 2. Résonance magnétique : approche classique PGA & SDUEE Année 008 09 Interaction milieux dilués rayonnement Travaux dirigés n. Résonance magnétique : approche classique Première interprétation classique d une expérience de résonance magnétique On

Plus en détail

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011 EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 200-20 Examen 4.0.20 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Les seuls objets autorisés sont: Le formulaire "résumé mécanique" disponible sur le moodle une feuille

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA UE3-1 : Physique Chapitre 4 : Les ondes Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. IV- Les ondes Finalité du chapitre Pour

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement Chapitre 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d un ressort et d une masse. Cet exemple simple permettra L oscillateur d introduire le concept

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES «Génie Électronique» Session 2012 Épreuve : PHYSIQUE APPLIQUÉE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 5 Dès que le sujet vous est

Plus en détail

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015 Projet d Investigation et d Intégration 215-216 1/5 4 OPTIMISTION DU FONCTIONNEMENT D UN SCENSEUR Mini-projet guidé 9 Octobre 17 Décembre 215 Introduction : Le projet «Optimisation du fonctionnement d

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Premier principe : bilans d énergie

Premier principe : bilans d énergie MPSI - Thermodynamique - Premier principe : bilans d énergie page 1/5 Premier principe : bilans d énergie Table des matières 1 De la mécanique à la thermodynamique : formes d énergie et échanges d énergie

Plus en détail

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B Chapitre 4 Polarisation du transistor bipolaire à jonction 4.1 Le problème de la polarisation 4.1.1 Introduction Dans le chapitre 3, nous avons analysé un premier exemple de circuit d amplification de

Plus en détail

ÉLECTRICITÉ 1/5. En rotation : W = M.q. M = F.r. P = W t. eo. Q S W = VAB. Q VA - VB AB. I = Q t W = U. Q. P = U. I I : intensité ( ampère )

ÉLECTRICITÉ 1/5. En rotation : W = M.q. M = F.r. P = W t. eo. Q S W = VAB. Q VA - VB AB. I = Q t W = U. Q. P = U. I I : intensité ( ampère ) ÉLECTRICITÉ / Travail ( W ) en joule En translation : W = F.d Puissance mécanique ( P ) en watt Champ électrique uniforme ( e ) en volt/mètre Travail de la force électrique ( W ) en joule Champ et potentiel

Plus en détail

Introduction aux vibrations

Introduction aux vibrations Introduction aux vibrations Human Induced Vibration of Steel Structures 11/4/28 RFS2-CT-27-33 Vue d ensemble Vue d ensemble Les bases Equation du mouvement Fréquence propre Masse modale Amortissement Vibrations

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S Concours EPIT 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette MW K1200S Durée : 2h. Calculatrices autorisées. Présentation du problème Le problème

Plus en détail

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes

Plus en détail

1 Introduction. CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF

1 Introduction. CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF PHYSQ 126: Circuits RLC 1 CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF 1 Introduction. Le but de cette expérience est d introduire le concept de courant alternatif (en anglais, Alternating Current ou AC) et d étudier

Plus en détail

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge

Plus en détail

Série 7 : circuits en R.S.F.

Série 7 : circuits en R.S.F. Série 7 : circuits en R.S.F. 1 Documents du chapitre Action d un circuit du 1er ordre sur un échelon de tension et sur une entrée sinusoïdale : Déphasage de grandeurs sinusoïdales et représentation de

Plus en détail

TABLE DES MATIERES. PREAMBULE : Objectif et Motivations. CHAPITRE I : Cinématique du point matériel

TABLE DES MATIERES. PREAMBULE : Objectif et Motivations. CHAPITRE I : Cinématique du point matériel TABLE DES MATIERES I PREAMBULE : Objectif et Motivations CHAPITRE I : Cinématique du point matériel I.1 : Introduction I.2 : Cinématique à 1 dimension I.2.1 : Repérage du mobile I.2.2 : La vitesse moyenne

Plus en détail

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert DISQUE DUR Le sujet est composé de 8 pages et d une feuille format A3 de dessins de détails, la réponse à toutes les questions sera rédigée sur les feuilles de réponses jointes au sujet. Toutes les questions

Plus en détail

1 Description de la maquette C 591 SUJET C 590 SIMULATION ÉLECTRONIQUE D UNE MESURE DE PUISSANCE. 1.1 Schéma général. Concours Centrale-Supélec

1 Description de la maquette C 591 SUJET C 590 SIMULATION ÉLECTRONIQUE D UNE MESURE DE PUISSANCE. 1.1 Schéma général. Concours Centrale-Supélec Exemple de sujet de travaux pratiques de physique proposé au concours Centrale- Supélec. La colonne de gauche donne le texte tel qu il est soumis au candidat. En regard, à droite, figurent les savoir-faire

Plus en détail

Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE. (Durée : 5 heures ; Coefficient : 2)

Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE. (Durée : 5 heures ; Coefficient : 2) CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEURS DE LYCEE PROFESSIONNEL AGRICOLE Enseignement Maritime SESSION 2015 Concours : EXTERNE Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE

Plus en détail

Chapitre 3: Dynamique

Chapitre 3: Dynamique Introduction Le mot dynamique désigne ou qualifie ce qui est relatif au mouvement. Il est l opposé du mot statique. Le mouvement d un point matériel est liée à son interaction avec le monde extérieur ce

Plus en détail

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S ETUDE DES VIBRATIONS 1 Chapitre I - Présentation et définitions 2 Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques

Plus en détail

1 Exercices d introduction

1 Exercices d introduction Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD 4 : accélération, mouvement parabolique, mouvement oscillant 1 Exercices d introduction 1. Evolution de la population mondiale Année (1er janvier) 1500 1600

Plus en détail

ONDES & ELECTROMAGNETISME

ONDES & ELECTROMAGNETISME ONDES & ELECTROMAGNETISME M. NICOLAS ondes mécaniques 10h ME, MT, GC H. TORTEL ondes électromagnétiques 10h ME, MT 2009 / 2010 Plan du cours 1. Domaines d application 2. Définitions et rappels 3. L oscillateur

Plus en détail

Équations différentielles en physique

Équations différentielles en physique Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012 Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des

Plus en détail

TD : Oscillateur harmonique

TD : Oscillateur harmonique TD : Oscillateur harmonique Observation du chromosome X par microscopie à force atomique. À gauche : nanoparticules observées par microscopie à force atomique (AFM, SP1-P2). Image du Dr. K. Raghuraman

Plus en détail

Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux

Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologie Interaction matière-rayonnement Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux Introduction On considère un système atomique

Plus en détail

Cours d électricité. Dipôles simples en régime alternatif. Mathieu Bardoux. 1 re année: 2011-2012

Cours d électricité. Dipôles simples en régime alternatif. Mathieu Bardoux. 1 re année: 2011-2012 Cours d électricité Dipôles simples en régime alternatif Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année: 2011-2012 Plan du

Plus en détail

Etude d'un monte-charge

Etude d'un monte-charge BTS ELECTROTECHNIQUE Session 1998 3+

Plus en détail

Rappels et compléments :

Rappels et compléments : CHAPITRE 6 MECANIQUE DES FLUIDES VISQUEUX Pr. M. ABD-LEFDIL Université Mohammed V- Agdal Département de Physique Année universitaire 05-06 SVI-STU Rappels et compléments : Un fluide est un milieu matériel

Plus en détail

Mesure de la dépense énergétique

Mesure de la dépense énergétique Mesure de la dépense énergétique Bioénergétique L énergie existe sous différentes formes : calorifique, mécanique, électrique, chimique, rayonnante, nucléaire. La bioénergétique est la branche de la biologie

Plus en détail

P11B1 - PHYSIQUE - Semestre 1

P11B1 - PHYSIQUE - Semestre 1 P11B1 - PHYSIQUE - Semestre 1 Outils de la Physique 1 Jacques LEQUIN Nombre heures Cours 4,5 Nombre heures TD 6 Grandeurs scalaires et vectorielles. Calcul différentiel, systèmes de coordonnées. Définir

Plus en détail

Concours d entrée en Ingénierie, 2012

Concours d entrée en Ingénierie, 2012 Concours d entrée en Ingénierie, 2012 Nom : Prénom : Test des connaissances professionnelles en électricité-électronique TCP-E Durée : 3 heures 1. Cocher la réponse exacte 1 En continu, une capacité se

Plus en détail

Puissance en monophasé : mesure des puissances active et réactive consommées par un récepteur

Puissance en monophasé : mesure des puissances active et réactive consommées par un récepteur Puissance en monophasé : mesure des puissances active et réactive consommées par un récepteur 16 2006 Bibliographie L. Quaranta, JM Donnini, Dic. physique tome 4 nouvelle édition, Pierron H. Prépa Electronique

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

Chapitre IV : Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

Chapitre IV : Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Chapitre IV : Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé I Le régime sinusoïdal forcé (ou permanent) I-1) Présentation I-2) Exemple du circuit R-L II Grandeurs complexes : notations et exemples II-1)

Plus en détail

Vibrations des systèmes à 1 degré de liberté

Vibrations des systèmes à 1 degré de liberté MSX Vibrations Vibrations des systèmes à degré de liberté Quelques exemples de modélisation Le système à degré de liberté constitue le modèle le plus simple d une structure. En réalité les structures ne

Plus en détail

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe

Plus en détail

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation.

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation. Comment régler la vitesse d un moteur électrique?. Comment régler la vitesse d un moteur à courant continu? Capacités Connaissances Exemples d activités Connaître le modèle équivalent simplifié de l induit

Plus en détail

M5 Oscillateur harmonique et régime forcé

M5 Oscillateur harmonique et régime forcé M5 Oscillateur harmonique et régime forcé Rappels des épisodes précédents... Au cours de la première période, nous avons rencontré le modèle de l Oscillateur Harmonique Amorti Cf Cours M4). Nous allons

Plus en détail

LP25. Traitement analogique d un signal électrique. Étude spectrale. Exemples et applications.

LP25. Traitement analogique d un signal électrique. Étude spectrale. Exemples et applications. LP5. Traitement analogique d un signal électrique. Étude spectrale. Exemples et applications. Antoine Bérut, David Lopes Cardozo Bibliographie Physique tout en 1 première année, M.-N. Sanz, DUNOD Électronique

Plus en détail

CH12 : Solide en mouvement de translation

CH12 : Solide en mouvement de translation BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées CH12 : Solide en mouvement de translation Motorisation des systèmes Enjeu : Problématique : En tant que technicien supérieur, il vous revient

Plus en détail

I- Transfert d énergie par travail mécanique Doc 1. Un homme pousse sa voiture en panne Doc 2. Un parachutiste saute en chute libre

I- Transfert d énergie par travail mécanique Doc 1. Un homme pousse sa voiture en panne Doc 2. Un parachutiste saute en chute libre Chapitre P 9 : Travail d une force constante et énergie Correction Dans le chapitre précédent, nous avons étudié l évolution temporelle de différents systèmes mécaniques en exploitant la seconde loi de

Plus en détail

Donner les limites de validité de la relation obtenue.

Donner les limites de validité de la relation obtenue. olutions! ours! - Multiplicateur 0 e s alculer en fonction de. Donner les limites de validité de la relation obtenue. Quelle est la valeur supérieure de? Quel est le rôle de 0? - Multiplicateur e 0 s alculer

Plus en détail

Le moteur asynchrone triphasé

Le moteur asynchrone triphasé Cours d Electricité 2 Électrotechnique Le moteur asynchrone triphasé I.U.T Mesures Physiques Université Montpellier 2 Année universitaire 2008-2009 Table des matières 1 Définition et description 2 2 Principe

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

I. Les oscillateurs mécaniques.

I. Les oscillateurs mécaniques. Chapitre 9 : Comment exploiter des phénomènes périodiques pour accéder à la mesure du temps? I. Les oscillateurs mécaniques. On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système pouvant évoluer, du

Plus en détail

DEVOIR DE SYNTHESE N 2. Les solutions tampons

DEVOIR DE SYNTHESE N 2. Les solutions tampons MINESTERE DE L EDUCATION DIRECTION REGIONALE DE NABEUL LYCÉE TAIEB MEHIRI MENZEL TEMIME PROPOSÉ PAR : MOHAMED CHERIF, AHMED RAIES, SALWA RJEB. EPREUVE : SCIENCES PHYSIQUES NIVEAU: 4 EME SECTION : SC.EXPERIMENTALES

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques

ANNEXE 1 BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques ANNEXE BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL Programme de mathématiques L'enseignement des mathématiques dans les sections de techniciens supérieurs Agencement de l'environnement architectural

Plus en détail

Induction électromagnétique

Induction électromagnétique Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs Cours de mécanique M13-Oscillateurs 1 Introduction Nous étudierons dans ce chapitre en premier lieu l oscillateur harmonique solide-ressort horizontale, nous introduirons donc la force de rappel du ressort

Plus en détail

Partiel PHY121 Mécanique du point

Partiel PHY121 Mécanique du point Université Joseph Fourier Grenoble Licence Partiel PHY2 Mécanique du point Vendredi 23 mars 202 Durée h30 Calculatrices et documents non-autorisés Pour chaque question, 4 réponses sont proposées dont ou

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

Chapitre 4 : Etude Energétique

Chapitre 4 : Etude Energétique Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 4 : Energétique SMPC1 Chapitre 4 : Etude Energétique I Travail et Puissance d une force I.1)- Puissance d une force Soit un point matériel M de vitesse!!/!,

Plus en détail

EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES

EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES FERME-PORTE (ou «groom») Un «groom» est un système hydro-mécanique de fermeture automatique de porte. Description du fonctionnement La figure montre le dispositif

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Éléments de correction

Éléments de correction Éléments de correction Sujet zéro de l'épreuve informatique et modélisation de systèmes physiques Étude d un capteur de modification de fissure : fissuromètre Q1. Déterminer sa masse linéique. Masse linéique

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

Cours préparatoires de physique

Cours préparatoires de physique Cours préparatoires de physique Août 2012 L. Dreesen LA DYNAMIQUE, LES LOIS DE NEWTON Août 2012 L. Dreesen 1 Table des matières Introduction Force La première loi de Newton La troisième loi de Newton La

Plus en détail

Fascicule d exercices

Fascicule d exercices UE4 : Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Analyse Fascicule d exercices Christelle MELODELIMA Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB MODÉLISATION D UNE SUSPENSION ET ÉTUDE DE SON COMPORTEMENT DYNAMIQUE La suspension d une automobile est habituellement assurée par quatre systèmes

Plus en détail

Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09-09-2015

Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09-09-2015 1 DM1 Sciences Physiques MP 20152016 Devoir de Sciences Physiques n 1 pour le 09092015 Problème n o 1 Capteurs de proximité E3A PSI 2013 Les capteurs de proximité sont caractérisés par l absence de liaison

Plus en détail

Mécanique du Point Matériel

Mécanique du Point Matériel (1) (1) Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département de Physique Année universitaire 2013/2014 Chapitre VII : Oscillateur harmonique 1 Introduction 2 3 Chapitre VII: Oscillateur harmonique

Plus en détail

Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 )

Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 ) Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 ) Présentation du sujet La recherche de miniaturisation est actuellement un domaine important dans

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g. PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les

Plus en détail

Devoir de synthèse N 1 Décembre 2011

Devoir de synthèse N 1 Décembre 2011 Lycée Privé Alfarabi SFAX Devoir de synthèse N 1 Décembre 2011 2011 / 2012 Section : Sciences de l informatiques Coefficient : 3 EPREUVE : SCIENCES PHYSIQUES Durée : 3 heures M. Abdmouleh Nabil Le devoir

Plus en détail

4 TP CCP régulièrement donné : Etude d un circuit RLC série

4 TP CCP régulièrement donné : Etude d un circuit RLC série Précision des appareils Appliquer une amplitude s 0 de 800 mv à l oscillo. Déterminer la précision à laquelle on connaît s 0. Est-ce suffisant? Rép L oscillo donne une amplitude qui bouge d environ 2 pour

Plus en détail

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre

Plus en détail

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010 ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles Édition: 0/06/00 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

TP Méthodes Numériques

TP Méthodes Numériques ENSIMAG 1ère année, 2007-2008 TP Méthodes Numériques Objectifs Les objectifs de ce TP sont : de revenir sur les méthodes de résolution des équations différentielles vues en cours de MN ; d utiliser un

Plus en détail

1 Systèmes triphasés symétriques

1 Systèmes triphasés symétriques 1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système

Plus en détail

L oscilloscope Cathodique

L oscilloscope Cathodique Modèle de compte-rendu de TP L oscilloscope Cathodique Ce document a été publié pour l unique but d aider les étudiants, il est donc strictement interdit de l utiliser intégralement en temps que compte-rendu

Plus en détail

2 CIRCUITS ÉLECTRIQUES

2 CIRCUITS ÉLECTRIQUES Circuits électriques 1 2 CIRCUITS ÉLECTRIQUES 2.1 COMPOSANTES D UN CIRCUIT La série d expériences qui suit va vous permettre d étudier le comportement de plusieurs circuits électroniques dans lesquels

Plus en détail

Les régimes périodiques (Chap 2)

Les régimes périodiques (Chap 2) Les régimes périodiques (Chap 2)! Révisé et compris! Chapitre à retravaillé! Chapitre incompris 1. Propriétés des grandeurs physiques : La période T, est le plus petit intervalle de temps, au bout duquel

Plus en détail

Utilisation de python pour le calcul numérique

Utilisation de python pour le calcul numérique Utilisation de python pour le calcul numérique Résumé L objectif de ce TP est de découvrir quelques possibilités de python pour le calcul numérique. Il pourra également vous servir de référence si vous

Plus en détail

PY401os (2011-2012) Vous pouvez prévisualiser ce test, mais s'il s'agit d'une tentative réelle, vous serez bloqué en raison de : Navigation du test

PY401os (2011-2012) Vous pouvez prévisualiser ce test, mais s'il s'agit d'une tentative réelle, vous serez bloqué en raison de : Navigation du test Navigation PY401os (2011-2012) Collège École de Commerce PER Université Impressum Connecté sous le nom «Bernard Vuilleumier» (Déconnexion) Réglages Outils de travail Outils de travail Accueil Cours Collège

Plus en détail

MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE

MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE MATIE RE DU COURS DE PHYSIQUE Titulaire : A. Rauw 5h/semaine 1) MÉCANIQUE a) Cinématique ii) Référentiel Relativité des notions de repos et mouvement Relativité de la notion de trajectoire Référentiel

Plus en détail

Laboratoire N 3. Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil

Laboratoire N 3. Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil Chapitre 3 Laboratoire N 3 Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil 1. But du travail L étude des machines asynchrones à cage d écureuil. 2. Les indications pour l exécution du travail

Plus en détail