Concours blanc Epreuve de mathématiques Corrigé

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1 Cocours blac Epreuve de mathématiques Corrigé Lycée Staislas Classes de PCSI, & 3 Mercredi 5//7 Quatre heures Calculatrice INTERDITE Développemet de Cator Partie A Costructio de l epoetielle O fie u élémet a de [, [ et o raisoe par récurrece sur. Iitialisatio : o a : a a a Hérédité : o suppose que, pour u certai etier aturel o ul, o a : a a Par hypothèse, o a : a a a a aa aaa a a a La récurrece est doc établie et ceci est vrai pour tout élémet a de [, [ doc : N a [, [ a a a Par hypothèse, est o ul doc u est bie défii et : O e déduit que : > u > b Par hypothèse, est strictemet supérieur à doc aussi doc u est bie défii. D après a, le quotiet de u par u est égalemet bie défii et : u u O pose doc : a D après les calculs précédets, o a : u u a De plus, est strictemet supérieur à doc le déomiateur de a est strictemet positif. Premier cas : est égatif ou ul. O a doc : a a [, [ Secod cas : est strictemet positif. O a doc : > > > > < O a doc établi que : c O a : a < a > a [, [ a [, [ > > < > D après b et, o a doc : u a u

2 De plus, o a : O e déduit que : > > u u b D après 3, u > est croissate et v > est décroissate doc majorée. O a établi à la questio a que v > est miorée par doc elle est borée doc : v 3 D après a et c, o a : u > N ], [ u u u u Doc, d après a et d après le thorème d ecadremet, la suite v u > coverge doc vers doc les suites u > et v > sot adjacetes doc : Aisi : La suite u > est croissate. A ouveau d après a, e appliquat ceci à qui a la même valeur absolue que, o obtiet : N ], [ v v v v Les suites u > et v > coverget vers la même limite. 5 a Pour tout etier aturel o ul doc strictemet supérieur à, o a : u Aisi : La suite v > est décroissate. Par défiitio de l applicatio ep, o a doc : 4 a Soit u etier strictemet supérieur à. O a : v u v Aisi : ep lim u lim ep De plus, o a : De plus, d après a, la suite u est strictemet positif doc v aussi doc ceci etraîe que : v u A ouveau car est supérieur ou égal à et d après, o a : O a établi précédemmet que v est strictemet positif doc ceci etraîe que : v u v b Soit u réel. Par défiitio, ep est la limite de u > qui est croissate et à termes das R d après a doc : ep > Aisi, si est iférieur ou égal à alors : ep O suppose désormais que est supérieur ou égal à. D après 3, u > est croissate et, d après 4 b, elle coverge vers ep doc pour tout etier strictemet supérieur à, o a : ep u

3 D après, pour tout etier strictemet supérieur à, o a : u ep Ceci est vrai pour tout réel doc : ep > R ep c Soit u réel strictemet iférieur à. D après 3, la suite v > est décroissate et, d après 4 b, elle coverge vers ep doc pour tout etier strictemet supérieur à, o a : ep v D après, pour tout etier strictemet supérieur à, o a : > Par décroissace de l applicatio iverse sur R, o e déduit que pour tout etier strictemet supérieur à, o a : v Ceci est vrai pour tout réel strictemet iférieur à doc : ], [ ep 6 a La suite ε coverge vers doc : α R N N N N ε < α E preat α égal à qui est bie strictemet positif, o obtiet : N N N N ε < b O a établi à la questio 5 b que, pour tout réel et pour tout etier strictemet supérieur à, o a : u ep Par défiitio de N, pour tout etier supérieur ou égal à N, o a : > ε D après et 5 c, pour tout etier supérieur ou égal à N, o a doc : ε ε ε uε epε ε La suite ε coverge vers doc les membres de gauche et de droite de ces iégalités tedet vers quad ted vers doc d après le théorème d ecadremet : La suite u ε N coverge vers. c Soit u etier strictemet supérieur à y. Il s agit bie d u etier strictemet supérieur à et à y. O a établi à la questio a que u et u y sot strictemet positifs doc le quotiet étudié est bie défii. De plus, o a : u y y y u u y y y O pose : y y y y y u y y y y y y N y ε y y y y y La suite ε N coverge vers doc, d après b et avec la otatio N de b, la suite u ε N coverge vers doc : u y La suite coverge vers. u u y > y Partie B Equatio foctioelle et régularité 7 a Par défiitio de l applicatio ep et car celle-ci est à valeurs strictemet positives d après 5 b doc : ep y ep epy lim u y u u y D après 6 c, cette limite est égale à doc : ep y ep epy b E preat y égal à das le résultat de a, d après 5 a, o a : ep ep ep D après 5 b, ep est o ul doc ceci etraîe que : ep 8 a D après 5 a et 5 b, o a : R De même, o a : R ep ep ep ep D après 5 a et 5 c, o a : ], [ ep ep ep ep ep ep 3

4 De même, o a : ], [ ep ep O a doc : ], [ Efi, o a : ], [ ep ep ep ep ep lim D après le théorème d ecadremet, le tau d accroissemet de ep etre et admet doc pour limite à gauche et à droite quad ted vers doc : L applicatio ep est dérivable e, de ombre dérivé. b D après 5 a, 7 et 8 a, o a : R h R Aisi : ep h ep h ep eph h ep eph ep h ep h L applicatio ep est dérivable sur R, de dérivée ep. c Démotros par récurrece sur que ep est de classe C sur R. Iitialisatio : d après b, ep est dérivable doc cotiue sur R. Hérédité : o suppose que ep est de classe C sur R. D après b, ep est égale à ep doc ep de classe C sur R doc ep est de classe C sur R. La récurrece est doc établie doc : Aisi : N ep C R L applicatio ep est de classe C sur R. d D après 5 b, l applicatio ep est à termes strictemet positifs doc, d après b, sa dérivée aussi doc ep est strictemet croissate sur R. D après c, ep est cotiue sur R doc, d après le théorème de la bijectio, ep défiit ue bijectio de R das epr. D après 5 b, o a : R ep Ce miorat ted vers quad ted vers doc : ep D après 5 b et 5 c, o a : ], [ < ep Ce majorat ted vers quad ted vers doc, d après le théorème d ecadremet : ep Aisi, epr est u itervalle de bores et et, d après 5 b, ep est à valeurs strictemet positives doc : O a doc établi que : epr R L applicatio ep défiit ue bijectio de R das R. 9 O rappelle que, d après 8 b, ep est sa propre dérivée et que, d après 5 a, ep est égal à. O raisoe par récurrece sur. Iitialisatio : o a : R t t ept dt! t ep ep ep ept dt [ept] t t R ep ept dt t! k k t ept dt t! Hérédité : o suppose le résultat vrai au rag. O a doc : R ep k k t ept dt t! O itègre par parties e itégrat la partie polyomiale et e dérivat l epoetielle. O obtiet aisi pour tout réel : ep k ] k [ t! ept t ept dt t t! k k!! t ept dt t! k La récurrece est doc établie et : N R ep k t ept dt t! k k t ept dt t! 4

5 Partie C Etude d u eemple a E preat égal à das la questio 9, o obtiet : N e α N e α t t ept dt! t t ept dt! D après 5 b, l applicatio itégrée ci-dessus est à valeurs positives doc, par positivité de l itégratio, o a : N e α Par croissace de l itégratio et car ep est croissate d après 8 d, o a doc : N e α e α t e! dt e! Ce majorat ted vers quad ted vers doc : La suite α coverge vers e. b Pour tout etier aturel, o a : Aisi, α est croissate. α α Pour tout etier aturel, o a : β β α α!!!!!!!! Aisi, β est décroissate. Efi, o a : O a doc établi que : N β α! Les suites α et β sot adjacetes. c D après a et b, les suites α et β coverget vers e et : De plus, o a : N!β!α!! p!! p O a doc : O rappelle que : N p!e p, y R y y cos cosy si si O e déduit que : y si y N cos cosy si y si L applicatio sius ted vers e doc : y O e déduit que : y O pose : D après c, o a : si y cos cosy N!πe y p π N y y 4π N y 4π Ce majorat ted vers quad ted vers doc, d après le théorème d ecadremet, o a : y O pose doc : N α e β N!α!e!β N p!α D après, o a doc : cos cosy Or, pour tout etier aturel, p est u etier doc : O a : Aisi : N p k! N p N k jk j N O e déduit que : cosy cosp π La suite cos!πe coverge vers. 5

6 3 a D après c, o a : De plus, o a : N p k!! N\, } k,! jk k j jk Pour tout etier aturel, l etier est pair car ou est pair doc : N k! N N p N j Partie D Eistece d u développemet 4 Pour tout etier k supérieur ou égal à, est u etier aturel doc : N λ a λ a a! Aisi, la suite λ a est croissate. De plus, pour tout etier k supérieur ou égal à, est majoré par k doc : N µ a µ a λ a λ a a!!! a! Aisi, la suite µ a est décroissate.!! Aisi, pour tout etier aturel, p est impair doc : Pour tout etier aturel, p a la parité iverse de. Efi, o a : N µ a λ a! b O pose : N!πe y p π O démotre de la même maière qu à la questio que y coverge vers. D après, o a doc : Aisi : 5 O pose : Les suites λ a et µ a sot adjacetes. a N\, } a De plus, d après a, o a : cos cosy O a bie : k N k k a C N cosy cosp π p Aisi, la suite cosy diverge doc la suite cos aussi e tat que somme d ue suite covergete et d ue suite divergete doc : La suite cos!πe diverge. O suppose que e est ratioel. Il est strictemet positif doc : a, b N e a b O a établi à la questio a que! est u etier pair dès que est b supérieur ou égal à b doc, pour tout etier supérieur ou égal à b, o a : k Z! b k cos!πe cosπka Ceci cotredit la divergece de la suite cos!πe doc : e / Q Avec cette otatio et avec les otatios de la partie C, o a : N λ a Aisi, d après a, o a : O a doc établi que : k α!! α La e U atécédet de e par L est la suite a défiie par : a N\, } a 6 a L applicatio partie etière iférieure est à valeurs etières doc la suite a est à termes das Z. D après les propriétés de la partie etière iférieure, pour tout etier k supérieur ou égal à, o a : > k k! kk! > Z ], [ N 6

7 A ouveau d après les propriétés de la partie etière iférieure, pour tout etier k supérieur ou égal à, o a : k k! > kk! k < k k N ], k[, k O a doc établi que : b Par défiitio de a, o a : N λ a a C k k Cette somme est télescopique doc : N λ a!! O a doc : k k! k! k!!! N λ a!!!! D après les propriétés de la partie etière iférieure, o a doc : N!!! < λ a!! Ce miorat ted vers quad ted vers doc, d après le théorème d ecadremet, λ a coverge vers doc : La Le réel état quelcoque, o viet d établir que : Ceci sigifie que : R a C La L applicatio L est surjective. c O ote a le développemet de Cator de. O suppose que a est statioaire à. Aisi : N N N N a Avec cette otatio, pour tout etier supérieur ou égal à N, o a : λ a N k kn λn a λn a Aisi, la suite λ a est costate à partir du rag N. D après b, elle coverge vers doc : λ N a Or, λ N a est ue somme fiie de ratioels doc u ratioel doc : Q O suppose que est ratioel. Il eiste doc u etier relatif p et u etier aturel o ul q tels que : p q Pour tout etier k supérieur ou égal à q doc à, o a : k k! q j j j q k! Z Z k k! kk! Aisi, la suite a est statioaire à doc : Le réel est ratioel si et seulemet si so développemet de Cator statioe à. Partie E Nombre d atécédets par L 7 a Par hypothèse sur a et b, l esemble E est o vide. Par défiitio, il est iclus das N doc : L esemble E admet u plus petit élémet. b D après 4, la suites λ a et λ b sot croissates alors que les suites µ a et µ b sot décroissates. Par hypothèse, toutes ces suites coverget vers doc : N λ a µ a λ b µ b De plus, par défiitio de p, o a : λ p a λ p b O a doc : λ p a ap λ p a bp µ p a µ p b λp a ap λp a bp λ p a bp ap λp a b p a p Par hypothèse, a p et b p sot deu etiers tels que b p est strictemet supérieur à a p doc : b p a p O a doc établi que : b p a p 7

8 E réijectat cette égalité das le système d iégalités précédet, o obtiet : λ p a ap λ p a bp λ p a ap O a doc établi que : λ p a bp λp b bp λpb λ p a ap λpa λ pa λpb c D après 4, la suite λ b est croissate et coverge vers doc pour tout etier supérieur ou égal à p, o a : λ pb λ b D après b, λ pb est égal à doc, pour tout etier supérieur ou égal à p, o a : λ b λ pb λ b λ pb kp Il s agit d ue somme de termes positifs doc chacu des termes de cette somme est ul et ceci est vrai pour tout etier supérieur ou égal à p doc : k N [p, [ b k b k Ceci est vrai pour tout etier q supérieur ou égal à p doc : k N [p, [ k 8 D après 7, si u réel admet deu atécedets par L alors l u de ces atécédets est statioaire à et o démotre de la même maière qu à la questio 6 c que est alors ratioel. D après 6 b, tout réel admet au mois u atécédet par L doc : Tout irratioel admet eactemet u atécédet par L. Soit u ratioel. O ote b so développemet de Cator, qui est u atécédet de par L d après 6 b. O suppose que admet u atécédet a par L distict de b. D après 7 a, l esemble E suivat admet u plus petit élémet, que l o ote p. O suppose que : E N a b } b p < a p D après 7 c et e échageat les rôles joués par a et b, o a doc : k N [p, [ b k k Or, d après 6 c, b est statioaire à. Ces deu résultats sot cotradictoires doc écessairemet : A ouveau d après 4 et d après b, pour tout etier supérieur ou égal à p, o a : λ a λ pa kp kp De plus, pour tout etier k supérieur ou égal à p doc à, o a : k O fie u etier q supérieur ou égal à p. D après l iégalité ci-dessus, pour tout etier supérieur ou égal à q, o a : λ a q kp kp kp k k aq q! kq aq q q! k k! aq q q! Cette somme état telescopique, o e déduit que pour tout etier supérieur ou égal à, o a : λ a p! aq q aq q! q!! q! La suite λ a coverge vers et la suite des iverses des factorielles coverge vers doc ceci etraîe que : aq q q! aq q q! a q q b p > a p D après 7 b et 7 c, o a doc : k, p b k a p b p k N [p, [ k Ceci défiit etièremet a doc a est uique et admet au plus deu atécédets par L qui sot a et b. Réciproquemet, pour cet élémet a de C et pour tout etier supérieur ou égal à p, o a : p k λ a p k p k b k bp b k bp ap kp kp kp k k! Cette somme est télescopique doc, pour tout tel etier, o a : λ a p k A ouveau d après 7 b, o a : b k bp! λpb! λ pb 8

9 Aisi, pour tout etier supérieur ou égal à p, o a : λ a! Aisi, a est bie u atécédet de par L doc : Tout ratioel admet eactemet deu atécédets par L. 9 D après 8, tout ratioel admet eactemet deu atécédets a et b par L et, quitte à permuter leurs oms, b statioe à et a statioe à doc tout ratioel admet aucu atécédet das D doc : a D La R\Q De plus, d après 6 c et d après les calculs faits à la questio 8, tout irratioel admet u atécédet a das C tel que a et a e statioet pas à car sio est ratioel. Cet atécédet est doc das D. Efi, d après 8, cet atécédet est uique doc : La restrictio de L à D défiit ue bijectio de D das R\Q. O a : N p! k k jk La suite a N est à termes das Z doc ceci etraîe que : N p Z Efi, avec ces otatios, la double iégalité précédete s écrit : N p a a!la p 3 D après et avec les otatios de, o a : N π!la πp π a π j Partie F Applicatio au suites cos!π Par défiitio, la suite a N est à termes etiers. Le réel θ est u élémet de [, π] doc : N a θ π π π De plus, pour tout etier supérieur ou égal à, o a : a, O a doc établi que : a C D après les propriétés de la partie etière, pour tout etier aturel, o a : θ θ < a π π θ π < π a θ Ce miorat coverge vers θ doc, d après le théorème d ecadremet : La suite π a coverge vers θ. D après 4, pour tout etier aturel o ul, o a : λ a La µ a λ a!!λ a!la!λ a a!λ!!!la!λa! a! Ce majorat ted vers quad ted vers doc, d après le théorème d ecadremet, o a : D après, o a doc : π!la πp π a cosπ!la cos πp π a Par défiitio, la suite p N est à termes etiers et l applicatio cosius est π périodique doc : N D après, o a : cos πp π a cos π a π a θ L applicatio cosius est cotiue sur R doc ceci etraîe que : cos π a cosθ cosarccosy y cos π a y Efi, πla est égal à doc ceci etraîe que : O pose : N p!λ La suite cos! coverge vers y. 9