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1 École de techologie supérieure Mat Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours (cours #1 et T.P. #1) Nous jugeos importat de commecer la sessio e e suivat pas immédiatemet le livre de Stewart sauf la sectio 9.1 que ous préseteros au tout début mais e se promeat plutôt à travers les 4 premières pages de ce documet. Nous allos doer ue vue d esemble de cours Mat 165 et teter de faire u bo usage de la calculatrice TI-Nspire CX CAS. Coservez les pages 5 et 6 de ce documet. Exercice 1 : e Mat 145, vous avez travaillé avec des foctios d ue variable réelle à valeurs réelles, f :, dot le graphique est ue courbe das. E Mat 165, o va gééraliser cela, otammet avec des foctios des types suivats : r :, ("applicatio vectorielle d'ue variable réelle") f :, ("champ scalaire") m F : ("champ vectoriel") E pratique, et m serot égaux à ou à 3. L exercice cosiste à défiir chacue des foctios suivates sur votre calculatrice et à appredre à tracer les graphiques représetés das les figures qui suivet. Cet appretissage se fera tout au log de la sessio. a) : r( t) cos t,si t. Voir le graphique de l image de cette foctio plus bas r défiie par (c est le cercle uité das le pla des xy; o a choisi 0t ). 3 t b) r : défiie par r( t),cos t,sit. Voir le graphique de l image de cette foctio plus 4 bas (c est ue hélice das l espace; o a choisi 0t 8 ). Figure pour l exercice 1a) Figure pour l exercice 1b) c) f : défiie par f ( x, y) x v1 y avec v1 u etier compris etre 5 et 5. Les 3 figures suivates doet u aperçu du graphique de cette foctio pour certaies valeurs du paramètre v1 (ce sot des surfaces das l espace dot les oms serot doés évetuellemet).

2 d) Différetes figures pour l exercice 1c) F : défiie par F( x, y) x 3 y, x 4y. Commet peut-o représeter graphiquemet cette foctio? E pesat à u champ de forces ou des liges de courat (où l o a ormalisé les vecteurs), e voici ue représetatio : Figure pour l exercice 1d) Exercice : o fera semaies d algèbre matricielle à la fi de la sessio. E Mat 145, u exercice cosistait à trouver le volume d u tore (u solide de révolutio). Ici, o va géérer u tore e faisat tourer u cercle autour d u axe (ue «matrice de rotatio» sera utilisée) : e faisat tourer le cercle de la figure de gauche autour de l axe des z, o egedre le tore de la figure de droite. Figures pour l exercice

3 Exercice 3 : mathématiques fiacières a) Défiissez sur la calculatrice symbolique TI la formule de remboursemet d u prêt persoel. Il s agit p r (1 r) de la formule suivate : remb( p, r, ). Ici p est le motat du prêt, r le taux d itérêt par (1 r) 1 période et le ombre de périodes pour rembourser. b) Utilisez esuite cette formule pour calculer combie vous coûterait e tout et partout u prêt persoel de 7 000$ que vous rembourseriez au mois, au taux auel de 8.5% amorti sur 4 as. Vérifiez esuite votre répose avec le meu Foctios fiacières sur Nspire CAS. c) E utilisat ue série géométrique (vue e Mat 145), ous motreros commet obteir cette formule. C est u exemple de foctio à plusieurs variables et o pourra regarder ce qui arrive lorsqu o fait varier ue seule variable à la fois (otio de «dérivée partielle»). Exercice 4 : l objectif est d appredre à dessier des courbes paramétriques D sur la calculatrice et d utiliser le «solve» adéquatemet. De plus, o s itroduit à la otio de systèmes d équatios liéaires das certais cas (qui serot vus ultérieuremet). Et, surtout, o appred à paramétrer u segmet de droite (utile pour l aveir). Dessiez les courbes paramétriques D suivates et vérifiez s il y a collisio ou simplemet itersectio des trajectoires (vous devez doc choisir des feêtres adéquates). x 7t x 3 9s a) D1: 0 t 1 D: 0 s 1 y 9t y 9 10s Motrez qu il s agit bie de segmet de droite et trouvez les équatios sous la forme habituelle «y mx b». Voici u autre exemple de segmets de droite qui se recotret : x 3 9t x s b) D3: 0 t 1 D4: 0 s 1 y 9 10t y s Voici maiteat u exemple de courbes qui se recotret : s t x si 1 x si t c) C5: 8 0 t 3.5 C6: 0 s 3.5 y t 3cos( t) y s 1 Ici, le système d équatios est pas liéaire (l utilisatio du «solve» avec poits de départ est fortemet suggérée si l o veut obteir les coordoées du poit d itersectio des courbes). d) Sur votre calculatrice, dessiez le cercle x 6x y y 1 0 et esuite l ellipse ( x) ( y4) 1. Révisez la complétio du carré et la première idetité trigoométrique. Quel 4 16 mode graphique allez-vous utiliser? Foctio? Paramétrique? Sur Nspire CAS, il y a même u mode graphique «Equatio» qui permet de dessier otammet des ellipses. 3

4 Exercice 5 : l objectif est d itroduire la otatio matricielle afi que le «solve» fasse mois «boîte oire». Ce faisat, ous allos e profiter (de ouveau) pour défiir ue foctio et ecore utiliser le solve à plusieurs variables. a) Trouvez u polyôme de degré iférieur ou égal à 3 passat par les 4 poits suivats : (6, 4), (, 5), (3, ) et (8, 4). Tracez esuite so graphique et vérifiez qu il passe bie par les 4 poits... b) Preos pour acquis (preuve à veir e utilisat les vecteurs) qu ue équatio liéaire à 3 variables du gere Ax By Cz D doe u pla das l espace. Faites résoudre les systèmes liéaires suivats et tetez d expliquer géométriquemet la solutio doée par la calculatrice : i) x y 3z 5 x 5y 6z 4 ii) x y z 5 x y z 4 x y 0 x y z 6 iii) x y z 4 x y 0 Exercice 6 : «le graphique représeté par ue équatio déped de la dimesio de l espace»... Avez-vous ue idée du graphique (D ou 3D selo le cas) représeté par les équatios suivates? Attetio! ). E 3D, il faut bie compredre qu ue équatio du type x + y = e sigifie pas qu il y a pas de z E effet, il y e a sauf que le coefficiet devat z est 0 : x + y + 0z =. Doc e 3D, le graphique de x + y = sera u pla puisqu o est das la forme Ax By Cz D (e D, le graphique de x + y = est évidemmet ue droite). a) x b) y c) z d) x3y 6 e) z x f) z y g) y x h) x y 4 x y 3z 5 i) z 3si( x y) j) y cos x k) les plas x 5y 6z 4 Nous traceros chacue des courbes/surfaces précédetes e utilisat Nspire CAS (ous auros besoi du mode graphique paramétrique 3D das certais cas et il sera itroduit dès le début de la sessio)

5 T.P. pour les cours # à #13 Livre de Stewart (Aalyse, cocepts et cotextes, Vol., foctios de plusieurs variables, 3 ième éditio) et otes de cours (Élémets d algèbre matricielle) Note : sauf si idiqué, uméros impairs seulemet Chapitre 9 : Sectio 9.1 #5, 9, 11, 1, 13, 15, 1 à 3 (y compris les pairs) et 38 Sectio 9. #19, 1, 3, 6 et 7 Sectio 9.3 #15, 1 à 33 Sectio 9.4 #19, 1, 7, 9 et 34 Sectio 9.5 #3 à 61 Sectio 9.6 #3, 9, 11, 13, 15, 1 et 5 Sectio 9.7 #3 à 3 Chapitre 10 : Sectio 10.1 # 5 à 17, 19 à 4 (y compris les pairs), 5 et 7 Sectio 10. #1 à 31, 39 Sectio 10.3 #1,, 3, 4 et 5 (pour le #5, utilisez l itégrateur de votre calculatrice) Sectio 10.5 #1 à 7 (y compris les pairs) et 3 Chapitre 11 : Sectio 11.1 # 9, 31 à 34 (y compris les pairs), 35 à 40 (y compris les pairs) Sectio 11.3 # 1, 15 à 1, 39, 45, 47, 57, 71, 75 et 79 Sectio 11.4 # 1 à 5, 19, 3, 9 à 33 Sectio 11.5 # 1 à 13, 7 Sectio 11.6 #1,11 à 31, 50, 51 et 5 Sectio 11.7 # 1 à 47 Sectio 11.8 # 1 à 11, 40 et 41 Des foctios utiles e optimisatio serot défiies sur la calculatrice, otammet l ue permettat de classifier les poits critiques d ue foctio de variables. Pour la calculatrice Npsire CAS, u fichier maiso est dispoible e suivat le lie suivat : Chapitre 1 : Sectio 1. # 1 à 31 Sectio 1.3 # 1 à 31, 41 à 51 Sectio 1.4 # 1 à 31, 36 et 37 Sectio 1.5 #1 à 13 Sectio 1.6 # 1 à 5 (cette sectio e fait pas partie de l exame fial) Sectio 1.7 # 3 à 1 et trouvez la masse seulemet aux #37 et 39 Sectio 1.8 #1 à 1, 31 (masse seulemet) et 33 Sectio 1.9 # 15 à 19 (cette sectio e fait pas partie de l exame fial) Chapitre 13 : Sectio 13.1 # 1, 3, 11, 1, 13, 14, 19, 9 à 35 Sectio 13. # 15 à 7, 39 à 43 Sectio 13.3 # 1 à 7, 35 Sectio 13.4 # 1 à 19 5

6 Matrices et systèmes d équatios liéaires (otes de cours de R. Michaud et K. Pieau) Au début, faites quelques opératios matricielles et opératios élémetaires de lige à la mai; esuite preez votre calculatrice. Ce qui demeure otammet importat, c est d iterpréter la matrice écheloée trouvée par le calculateur et de savoir décrire l esemble-solutio d u système d équatios liéaires. Page 10 #1 à 11 Page 4 #, 3, 4, 5 et 6 Page 44 #1 à 17 Les évaluatios durat la sessio : u exame itra, devoirs et u exame fial. La documetatio permise à l exame itra est u résumé persoel de 3 feuilles 8 ½ 11 (recto-verso) et la calculatrice (doc idetique à ce qu o retrouve das le pla de cours cocerat l exame fial). Chacu des devoirs est d ue podératio de 15% et devra se faire e équipe de 3 à 4 persoes : des devoirs assez logs, exigeats et préparatoires aux exames. Mat (cours vedredi AM, T.P. mercredi PM) Devoir #1 (15%) Ex. itra (35%) Devoir # (15%) Ex. fial (35%) Doé vers le 18 septembre 015. À remettre le mercredi 14 octobre au début du T.P. à 13:30. Portat sur les 6 premiers cours, le vedredi 16 octobre de 9:00 à 1:00. Doé vers le 11 ovembre. À remettre avat 17:00 le jeudi 3 décembre au SEG (B-500). Mardi 8 décembre AM Portat sur les cours 8 à 13. 6

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