SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE. Professeur à /' Université de Strasbotirg, Strasbourg, France.

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1 SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE PAR M. MAURICE FRéCHET, Professeur à /' Université de Strasbotirg, Strasbourg, France. INTRODUCTION Dans son ouvrage Introduction à la science actuarielle, M. Du Pasquier obtient quelques formules générales qu'il n'avait trouvées «dans aucun traité et qui renferment comme cas particuliers les formules classiques pour le calcul de la prime unique aussi bien que de la prime échelonnée)). Les formules nouvelles auxquelles il fait ainsi allusion sont des formules dans lesquelles le second membre variant avec le genre d'assurance envisagée ne se distingue pas de celui des formules classiques et représente la valeur actuelle des contrats. La nouveauté consiste dans le premier membre qui a l'expression générale suivante PD x +a(n x -N x+t ) et représente la valeur actuelle des primes (soient une prime unique P, et une prime annuelle a constante, anticipée, temporaire pendant t années) pour l x assurés, à l'époque de leur naissance. Il nous a paru que l'utilité d'une formule générale était beaucoup plus manifeste pour l'expression du second membre, étant donnée la grande variété des engagements pris par les assureurs. Tandis que le paiement des primes ne s'écarte guère des trois types: prime unique, prime constante vie entière; prime constante temporaire. On trouvera dans ce qui suit une formule générale qui s'applique, quelle que soit la forme du contrat (supposé sur une seule tête). L'un des buts poursuivis est celui même de M. Du Pasquier: obtenir une formule générale qu'il suffit de particulariser dans chaque cas concret sans avoir besoin d'imaginer à chaque fois un raisonnement nouveau. La généralité obtenue 'concernant aussi bien les différentes formes d'engagements de l'assureur que les différents modes de paiement des primes est considérablement plus étendue que celle qu'a atteint M. Du Pasquier. Toutes les fois qu'on sera embarrassé par une combinaison nouvelle, on pourra, au lieu de recherqher le prix de revient par une subtile méthode indirecte, remplacer purement et simplement les quantités qui figurent dans la formule générale (7) par celles qui correspondent à la combinaison considérée. Nous ne recommandons pas pourtant particulièrement cette manière de faire. C'est pour d'autres raisons que nous signalons cette formule. D'une 2-55

2 858 MAURICE FRECHET part, en effet, elle montre que toute prime peut s'exprimer en fonction des nombres de commutation, vérité d'expérience qui se trouve ici établie de façon tout à fait générale. Et, d'autre part, elle permet d'écarter, comme nous le verrons plus loin, une objection justifiée portant sur le mode d'établissement des formules particulières. Données et notations. -Nous supposerons d'abord, dans ce qui suit, que l'unité de temps envisagée est l'année. Soit alors x l'âge en années de la tête assurée, au moment de la signature du contrat. On ne sait pas d'avance quelles seront les sommes payées soit par l'assureur, soit par le payeur de primes au cours de la n e année du contrat. Mais on sait d'avance quelles seront ces sommes en cas de vie, et quelles seront ces sommes en cas de décès. C'est cela que doit spécifier le contrat. On sait donc quelle somme V x + n sera payée par l'assureur au momen où l'assuré entre dans l'âge x+n, s'il atteint cet âge et l'on sait quelle somme A x + n paiera l'assureur l'année du décès de l'assuré, si ce décès a lieu à l'âge x + n. Cette dernière somme pouvant être payée à des époques variables suivant le mois du décès, nous supposerons par exemple qu'elle est en moyenne payable en fin d'année de décès. D'autre part, les primes n'étant jamais payables que pendant la vie du payeur de primes, nous savons qu'en entrant dans l'âge x + n celui-ci devra payer une prime p x + n et que l'assureur ne recevra plus rien du chef de ce contrat après le décès du payeur de primes. Bien entendu, dans les cas particuliers, certaines des sommes F x + M, A x+n, px+n pourront être nulles. Calcul du prix de revient du contrat. -Ceci étant, appelons U le prix de revient du contrat, c'est-à-dire la prime pure unique équivalente à l'ensemble des primes convenues. Puisque pour les primes pures, nous faisons abstraction des charges, des bénéfices et des pertes, il est indifférent pour le payeur de primes de s'adresser à un seul assureur qui lui garantira l'ensemble des engagements inscrits dans le contrat, ou de s'adresser à autant d'assureurs qu'il y a de sommes V x+n, A x+n à assurer. Ainsi U est égal à la somme des primes pures relatives aux paiements de chacune de ces sommes prises isolément. Or V x + n est une somme à payer au moment où l'assuré entre dans l'âge x+n et seulement s'il atteint cet âge. La prime afférente à V x + n seul est donc la prime pure unique à payer à l'âge x pour un capital V x+n différé de n années en cas de vie. Cette prime est manifestement proportionnelle à V x + n. Elle est égale à V x + n. ( n E x ) en désignant par la notation ( n E x ) la prime correspondant à un capital assuré de 1. De même, la prime afférente à A x + n est égale à A x+n. ( n F x ) en désignant par ( n F x ) la prime pure unique à payer à l'âge x pour une assurance en cas de

3 SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE 859 décès temporaire pendant une année, différée de n années et pour un capital de 1. Finalement U= V x + V x+1. (i *) V x + n. ( *)+... +A X. ( 0 F X )+A X+1. (,F X )+... +A x+n. ( n F x )+... Mais U est équivalent à l'ensemble des primes p x + n. C'est-à-dire qu'au lieu de payer ces primes aux époques convenues, l'assuré pourrait en payant U charger un nouvel assureur de lui payer les sommes p x + n - Autrement dit, U est le prix de revient du contrat consistant à substituer aux sommes V x + n les sommes p x + n et à supprimer les paiements des sommes A x + n. Par suite, la formule précédente conviendra à ce nouveau contrat moyennant les modifications indiquées. D'où U^px+Px+i- (ie x )+p x+2. ( 2 E X )+... +p x+n. ( n E x )+... On a donc finalement une première formule générale Px + Px+l-(lEx)+Px+2- (ze x )+... +p x +. ( n E x )+... = (1) V x + V x+l.(,e x )+V x + 2. ( 2 E X ) V x + n.( n E x )+... +A,. (of x ) + A x^. G^.) + A, +2. ( 2 F X )+... +A x+n. ( n F x )+... On peut simplifier cette formule en calculant les ( n F x ) en fonction des ( n E x ), suivant un raisonnement connu. Si un assuré d'âge x paie une prime unique ( n F x ) + ( n+l E x ) l'assureur devra payer 1 à la fin de la (n + l) Q année du contrat, soit au bénéficiaire si l'assuré décède au cours de cette année, soit à l'assuré si celui-ci survit à la fin de la même année. L'assureur ne paie rien dans les autres cas. On voit qu'en somme, l'assureur s'engage à payer 1 à la fin de la (n+l) leme année du contrat, si l'assuré est en vie en entrant dans l'âge x + n. Il revient au même pour l'assureur d'avancer ce paiement de 1 d'une année en escomptant ce paiement, c'est-à-dire en payant IX ou v francs si on pose v, i désignant le taux d'intérêt 1+i 1+i annuel pour un franc. Finalement ( n F x ) + ( n+1 E x ) est la prime pure unique payable à l'âge x pour un capital v différé de n années en cas de vie. D'où: (2) (nf x )=v. ( 1t E x )-( n+l E x ). La formule (1) devient alors: Px + Px+i- (le x )+p x + 2. ( 2 E X )+... +p x +n- (ne x )+.. = (3) V x + V x+1. ( 1 E X ) + V x^. ( 2 E X ) V x+n. ( n E x )+... +v. A x + (va x+1 - A x ) ( X E X ) + (va x A x+1 ) ( 2 E X ) (yax+ n -Ax+n-i)(nE x ) +... Cette formule, s'appliquant à toutes les combinaisons d'assurances sur une seule tête, est indépendante de la théorie des probabilités. Elle suppose seulement que, pour chaque durée n et pour chaque âge x, le prix d'un contrat d'assurances

4 860 MAURICE FRÉCHET de capital différé de n années en cas de vie a une valeur déterminée proportioneile au montant du capital assuré. Le prix ( n E x ) de ce contrat pour un capital assuré de 1 franc pourrait, par exemple, être déterminé expérimentalement au moment où les opérations de l'assureur atteindraient la stabilité. Il est d'avance évident que ce prix doit être inférieur à la valeur actuelle v n d'un paiement certain de 1 franc différé de n années. On aurait donc à déterminer expérimentalement le coefficient k tel que ( n E x )=k.v\ Introduction de la probabilité de survie. -Pour calculer ne x le raisonnement ordinairement usité peut se présenter sous la forme suivante: Supposons qu'au même moment, un certain nombre L x d'assurés d'âge x souscrivent chacun une assurance pour un capital de 1 franc différé de n années en cas de vie. A moins que certains assurés présentent des risques spéciaux tarifés à part, l'assureur est obligé de leur demander à chacun la même prime (pure unique) ne x. Il reçoit donc au total la somme L x. ( n E x ). Au bout de n années, cette somme placée à intérêts composés est devenue L x.( n E x ).(l+i) n et elle devrait compenser le versement que l'assureur doit faire aux survivants. Si donc le nombre de ceux-ci est désigné par L x+n on voit qu'il n'y aurait ni bénéfice, ni perte si l'on avait ou en posant encore v- 1 1+i L x. ( n E x ). (l+ï) n ~R n^x T xj r n = L x + n Mais l'assureur ne connait pas d'avance la valeur de L x+n ) il sait seulement que si le nombre L x des contractants est assez grand, le rapport ^^-est, pratiquement, I>x voisin d'un nombre donné par les tables de survie sous la forme-^*, et qu'on lx appelle probabilité de survie de l'âge x à l'âge x+n. Dans l'ignorance de la valeur précise de valeur précise de x+n x+n. pour ceux de ses assurés qui ont contracté à l'âge x une pour ceux de ses assurés qui ont contracté l'âge une I>x l différé de n années, l'assureur adopte la solution équit< assurance d'un capital différé de années, l'assureur adopte la solution équitable consistant à remplacer ce rapport inconnu par sa valeur moyenne connue ^t^ et il prend ne x =^.v n. lx Objection. Le raisonnement précédent repose soir l'hypothèse que L x est grand. Or, même pour une grosse entreprise d'assurance, le nombre de ceux lx

5 SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE 861 qui contractent une assurance de capital différé, précisément à l'âge x et précisément pour une durée de n années n'est pas très considérable. Réfutation. La formule (2) permet de réfuter l'objection, ou, plutôt d'en diminuer la portée en étendant celle du raisonnement. En effet, la formule (3) montre qu'on peut considérer toute combinaison d'assurance comme se ramenant à une combinaison d'assurances de capitaux différés de diverses durées. De sorte que tout assuré d'âge x peut être considéré comme ayant contracté une assurance d'un capital différé de n années pourvu que l'un des montants correspondants px+m Vx+n ou va x+n A x+n^ ne soit pas nul. Il suffira pour cela qu'il ait à payer une prime à l'âge x+n ou qu'il soit couvert par une assurance soit en cas de vie, soit en cas de décès jusqu'à l'âge x+n. On voit alors que le groupe sur lequel portait le raisonnement précédent est beaucoup plus étendu que celui considéré tout d'abord et par suite qu'il n'est plus excessif d'admettre que le rapport observé ^*est voisin du rapport l'x prévue. h Introduction des nombres de commutation. Oh peut maintenant remplacer dans la formule (2) les nombres ne x par leurs valeurs. On a vu que (4) JE x = v" l *±». On évitera l'emploi simultané de deux tables, une de survie, une d'intérêts, en calculant d'avance les quantités D x = l x v x et en remarquant qu'alors (5) «*=% Ji - U X Au lieu de remplacer directement ( n E x ) par cette valeur dans la formule (3) il vaut mieux se servir de la formule (1) après avoir calculé nf x au moyen des formules (2) et (4) : OU t'x «+1 lx+n+i \ t x h w-f-l *F~ = v en appelant d x+n le nombre de décès l x+n l x + n+1 à l'âge x+n donné par la table de survie. En posant C x = d x.v x on aura (6) nf*=v C -^. DX Il ne reste plus qu'à remplacer dans (1) les quantités ne x et nf x au moyen des formules (5) et (6). On obtient ainsi la formule finale a x-{~n h p X 'D x +p x+1.d x+1 +p x j r2.d x p x+n.d x+n +... = (7) V x.d x +V x+1.d x+1 +V x + i.d x V x + H.D x+h v[a x. C Ä + A Ä+1. C x + x + A x + 2. C Ä+2 + +A*+ M. C x + n +... ].

6 862 MAURICE FRECHET Telle est la formule générale qui permet le calcul des primes p x + n payables en entrant dans Vage x+n pour une assurance contractée à Vage x et qui garantit le paiement de sommes telles que V x + n payables au n e anniversaire du contrat si Vassuré est en vie à cette époque, et de sommes telles que A x + n payables en moyenne en fin d'année de décès si l'assuré meurt à l'âge x + n. Méthode dite eulérienne. -Une fois légitimée la formule (7), on peut la retrouver d'une façon plus rapide en écrivant que si l x assurés du même âge contractent la même assurance, la valeur actuelle, à une époque quelconque des engagements des l x assurés est égale à la valeur actuelle, à la même époque, des engagements de l'assureur en supposant que les décès des contractants suivent exactement la loi de mortalité exprimée par la table dressée d'avance des nombres l x. En prenant pour époque de base leur naissance, la valeur actuelle des primes p x + n payées par les l x + n survivants à l'âge x+n sera égale à la somme p x+n.l x+n escomptée de x+n années, soit Px+n-lx+n-V == Px+n-I'x+if De même, la valeur actuelle des capitaux V x+n sera V x+n.d x + n. la valeur actuelle des capitaux A* +w payés à d x + n bénéficiaires sera, années auparavant: A x+n. d x+n. v x+n+1 = va x+n. C x+n. D'où la formule (7). Enfin, x+n+1 Seulement, cette façon de procéder constitue plutôt un moyen mnémotechnique qu'une méthode de démonstration. Les nombres réels des survivants et des décès sont très différents des nombres l x, d x. Ce sont les rapports de ces nombres qui sont voisins des rapports correspondants. Ce qui fait que l'équation obtenue par ce second moyen est cependant valable, c'est que cette équation est homogène par rapport aux l x. Dans Je cas particulier envisagé par M. Du Pasquier on a: p x = P+a, p x+1 = a,..., p x+t^ = a, p x + t = p x+t+1 =... =0; le premier membre de (7) devient (P+a)D x ad x+i 1 = PD x +a(d x D x+t^) ou PD x +a(n x -N x + t ) en posant (8) N x = D x +D x + x +... On retrouve ainsi l'expression de M. Du Pasquier. REMARQUES I. D'après ce qui précède, nous avons appelé p r, V r les sommes à payer respectivement par l'assuré et par l'assureur, si l'assuré est en vie en entrant dans l'âge r. Et nous avons supposé ces sommes payables au r ième anniversaire, ou comptées pour leurs valeurs à cette époque. Si l'existence de l'assuré, en entrant dans l'âge r déterminait le paiement de sommes payables à d'autres

7 SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE 863 époques, nous aurions donc à prendre pour p r, V r les valeurs actuelles de ces sommes (respectivement dues par l'assuré et par l'assureur) capitalisées ou escomptées au r ieme anniversaire. De même, A r dans notre notation désigne la valeur capitalisée ou escomptée à la fin de l'année du décès lorsque ce décès a lieu à l'âge r. Si donc, par exemple, on admet que les paiements en cas de décès ont lieu immédiatement après le décès et que comme les décès se répartissent assez régulièrement tout le long de l'année, les paiements ont lieu en moyenne au milieu de l'année du décès, alors si l'on appelle ô r la valeur effective du capital assuré en cas de décès à l'âge r on devra prendre pour A r A r = (l+«) i 8 r =-^= Vv et comme les termes en A dans la formule (7) sont multipliés par v, il faudra remplacer dans cette formule A r par ô r et v par Vv. IL Le raisonnement et les formules obtenues ne seraient pas altérées si l'unité de temps était, non pas l'année, mais le semestre, le trimestre, le mois,... Seulement, les notations x, i, v... se rapporteraient à la nouvelle unité de temps. Comme les tables de mortalité se rapportent, en général, au cas où l'unité de temps est l'année, il faudrait interpoler selon les méthodes développées dans les traités d'assurances pour obtenir les valeurs des l x, D x,... relatives aux semestres, trimestres,... APPLICATIONS I. Traitons, d'abord, à titre d'exemple, une des combinaisons usuelles d'assurances: rente viagère à jouissance différée et à capital réservé. Soit à calculer la prime annuelle P à payer à partir de l'âge x pour assurer le paiement d'une rente viagère de 1, différée de n années, étant entendu qu'au décès de la personne assurée, les ayants-droit recevront la totalité des primes versées, sans intérêt. Le premier terme de la rente sera payé à l'entrée de l'assuré dans l'âge x+n et suivra d'une année le versement de la dernière prime. On a évidemment, dans ce cas: Px^Px+i =... =Px+n-l ^P) Px+n = Px+n+l =. =0, Vx= Vx+i^.. = Vx+n-i ~0; V x+n V x + n + l =... =1, A* = P; A* +1 = 2P;...A x+n^ = wp = A* +n = A Ä+n+1 En portant dans la formule (7) les valeurs des p x +i, V x +j, A x+k, indiquées ci-dessus, celle-ci devient: ou P(D X +D X D x + n - 1 )=D x+n +D x + n + l vp(c x +2C x j rl nc x + n - i +nc x+n +nc x+n ) P(N x -N x+n ) =N x+n +vp(r x -R x + n ),

8 864 MAURICE FRECHET en posant conformément à l'usage D'où enfin M X =C X +C X ; R x = M x +M x+l +... N x+n N x -N x+n -v(r x -R x + n ) IL Mais il est surtout intéressant d'appliquer la formule (7) à des combinaisons peu courantes, pour lesquelles les Traités d'assurances n'offrent pas une formule toute faite et qui cependant se présentent à l'occasion aux actuaires. Nous conseillons, pour éviter toute erreur, sur l'interprétation des indices des quantités p r, V r, A r et de leurs dates de paiement, de rétablir directement dans chaque cas la formule (7) en employant le raisonnement abrégé indiqué plus haut. A titre d'exemple, nous traiterons un problème posé aux examens de VInstitut des Actuaires français. En novembre 1905, on demandait aux candidats de calculer la prime pure P à verser viagèrement pendant n' années pour garantir le paiement par l'assureur en cas de décès de l'assuré des annuités restant dues pour amortir un emprunt A que l'assuré a contracté à l'âge x en même temps que sa police d'assurance au taux t pour 1 avec remboursement en n années. Les annuités sont payables en fin d'année. Escomptons les engagements de l'assureur et de l x assurés à l'époque de la naissance, en supposant que la mortalité des assurés se conforme à une table de survie donnant d'avance les valeurs des l r survivants à l'âge r, et désignons par i le taux technique (pour 1) de l'assurance. La valeur actuelle des primes 1 est, en posant v= -. 1+i (11) Pl x v x +Pl x+l v x Pl x+n,_ 1 f+»'-*=p(d x +.. +ZW-i) =P(N x -N x + n >). Le seul engagement de l'assureur consiste à payer en cas de décès à l'âge r et en fin d'année de décès une certaine somme A r. De sorte que la valeur actuelle des engagements de l'assureur est: (12) A x d x v x A x+1 d x+1 v x =v[a x C x + A x^c x+l +... ]. Calculons les A; A x + r est la somme des valeurs escomptées en fin d'âge x + r des annuités (que nous appellerons a) restant à payer. Soit, en posant w : L+t A x+r = a+aw+aw aw n ~ l ~ r = (l-w n ~ r ). tw La valeur de l'expression (12) est donc ^{(l-w n )C x (l-w n ~ r )C x^r+... tw +(l-w)c x^n^} = ~{M x -M x + n -(w n C x w *-'C, +r wc x + n - x )}. tw

9 At l-w n SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE 865 On a donc l'expression de P: P= **V \M x -M x+n -(w«c x +...+w n ~ r C x+r +...+wc x+n^)}. tw(n x -N x+n >) Si on donne, non pas a, mais le capital A à amortir, on remplacera a par n De sorte que P- ^ \M x -M x+n -(w n C x +.. +w n - r C x + r +.. +wc x+n l )}. w(l-w )(N x -N x + n >) et Dans le cas particulier où i t, la formule se simplifie: w n C x w n ~ r C x+r wc x+n - 1 = v n d x v x v «~'d x+r v x+r vd x + n 1 v x+n ~ 1 =v x+n (l x -l x+n ) =v n D x ~D x + n Pss A JM x ~M x + n +D x + n -v n D x l~v n \ N x -N x + n <

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