Chapitre 6. La mesure de force. 6.1 Introduction

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1 Chapitre 6 La mesure de force 6.1 Introduction La mesure de force est obtenue en mesurant l un des effets de cette grandeur physique sur un corps d épreuve. Ces effets sont : La déformation ; Le changement de la perméabilité magnétique. L effet le plus utilisé étant la déformation du corps d épreuve par une force, la majorité de ce chapitre se consacrera donc en une énumération des diverses façons de mesurer les déformations pour ensuite déduire la force. Les divers corps d épreuve qui disponibles : Les ressorts ; Les poutres encastrées ; Les tiges ou tubes en traction ; Les étriers en flexion ; Les poutres en magnétostriction ; Etc... Les capteurs de force reposent principalement sur la déformation de divers corps d épreuve. Différentes technologies existent pour mesurer cette déformation : La transduction résistive ; Potentiomètre (présenté au Chapitre 3, section 3.2 page 90) ; Jauge extensiométrique (ou jauge de contraintes) ; La transduction piézoélectrique ; 127

2 128 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE La transduction capacitive ; La transduction inductive ; LVDT (présenté au Chapitre 3, en Section 3.3 page 94) ; Courant de Foucault (ou d Eddy chez les anglophones) ; Balance de force ; La transduction électromagnétique (magnétostriction). Ce chapitre traitera de divers corps d épreuves et des types de transduction qui n auront pas été couverts dans d autres chapitres. 6.2 Les corps d épreuves Poutre encastrée Une poutre encastrée soumise à une force F est montrée en Figure 6.1. Figure 6.1 Poutre encastrée La réaction de cette poutre est un fléchissement qui se traduit par un déplacement du bout de la poutre que l on nomme la flèche qui est représentée par la distance y sur la Figure 6.2. Figure 6.2 La flèche d une poutre encastrée La flèche y est calculée de la façon suivante pour une poutre rectangulaire sujette à une force F (Figure 6.1) : y = 4l3 (1 ν) Ebh 3 F (6.1)

3 6.2. LES CORPS D ÉPREUVES 129 avec b la largeur de la poutre, h l épaisseur de la poutre, l la longueur effective, E le module de Young et ν le coefficient de Poisson. Dans ce calcul, on assume que la largeur de la poutre est très supérieure à son épaisseur, i.e., que b >> h. Toutefois, la flèche est une déformation de très faible amplitude, ce qui peut rendre difficile sa mesure. Une autre déformation qui se produit dans une poutre encastrée en flexion, c est l allongement des fibres supérieures et le rétrécissement des fibres inférieures (avec la force orientée vers le bas, comme en Figure 6.1). Cette déformation, bien que très faible, est plus facilement mesurable que la flèche. La mesure de cette déformation est faite en collant une jauge extensiométrique sur la surface de la poutre. Si la jauge est bien collée, elle subira les mêmes déformations que la poutre. La déformation unitaire de la fibre supérieure avec une jauge orientée dans le sens de la longueur (l) et localisée à une distance x du point d encastrement est : 6(l x) ɛ 1 = F (6.2) Ebh 2 La déformation unitaire représente la déformation par unité de longueur de la poutre. La déformation réelle sera simplement le produit de la déformation unitaire par la longueur de la poutre, soit ɛ 1 l. Si la jauge est orienté dans le sens de la largeur (b) de la poutre, l allongement unitaire ɛ 2 est : 6ν(l x) ɛ 2 = F (6.3) Ebh 2 Le signe négatif révèle que la déformation est un rétrécissement plutôt qu un allongement. Cela vient du fait que la section de la poutre en charge se déforme comme le montre la Figure 6.3. Si les jauges étaient installées sous la poutre rectangulaire plutôt que sur le dessus, les déformations unitaires ɛ 1 et ɛ 2 seraient de même amplitude, mais de signes inverses, car la fibre inférieure rétrécit et la largeur du bas de la poutre augmente Tige rectangulaire en traction On peut mesurer une force en mesurant la déformation subie par une tige rectangulaire en traction (Figure 6.4). Cette tige rectangulaire aura tendance à s allonger lorsque sous traction. L allongement unitaire dans le sens de la longueur de la tige (ou le sens

4 130 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE Figure 6.3 Section de la poutre rectangulaire (de la Figure 6.1) à vide vs la même poutre en charge (la force est vers le bas) Figure 6.4 Tige rectangulaire en traction longitudinal, ce que mesure la jauge montrée en Figure 6.4) sera : ɛ 1 = 1 Eae F (6.4) avec a et e les dimensions de la tige montrées en Figure 6.4. Dans le sens transversal, la tige en traction verra sa section diminuer et l allongement unitaire sera : ɛ 2 = ν Eae F (6.5) le signe négatif indiquant le rétrécissement. Si la tige est en compression, la force F aura alors un signe négatif. La tige raccourcit et sa section augmente.

5 6.2. LES CORPS D ÉPREUVES Tube cylindrique en traction Un autre corps d épreuve pour mesurer la force est le tube cylindrique (Figure 6.5). Figure 6.5 Tube cylindrique en traction Le comportement du tube cylindrique, sera identique à celui de la tige rectangulaire. Ainsi, la déformation unitaire dans le sens longitudinal d un tube cylindrique soumis à une force de traction F est : ɛ 1 = 4 πe(d 2 d 2 ) F (6.6) avec E le module de Young, ν le coefficient de Poisson, D le diamètre extérieur du tube et d le diamètre intérieur du tube. La déformation unitaire dans le sens tangentiel est : 4ν ɛ 2 = πe(d 2 d 2 ) F (6.7) et est négative, car la section du tube diminue lorsqu il est étiré par une force de traction. En compression, la force F est négative. La tige raccourcit et sa section augmente.

6 132 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE Étrier en flexion Figure 6.6 Étrier en flexion Un autre corps d épreuve pour mesurer la force est l étrier en flexion. L étrier est une pièce en forme de C (Figure 6.6). La mesure de la déformation peut se faire sur la face extérieure (flèche bleue du coté droit) ou la face intérieure (flèche rouge du coté gauche). Lorsque l on mesure la déformation unitaire sur la face extérieure et dans le sens longitudinal (selon la direction de b) de l étrier, on utilise la relation suivante : ɛ 1 = 1 ( ) 6c Eae e 1 F (6.8) avec a, c et e les dimensions montrées en Figure 6.6. La déformation unitaire dans le sens transversal (selon la direction de a) est : ɛ 2 = ν ( ) 6c Eae e 1 F (6.9) La déformation unitaire sur la face intérieure et dans le sens longitudinal

7 6.2. LES CORPS D ÉPREUVES 133 est représentée par : ɛ 1 = 1 ( ) 6c Eae e + 1 F (6.10) et celle dans le sens transversal est : ɛ 2 = ν ( ) 6c Eae e + 1 F (6.11) Si la force F est appliquée en sens inverse, elle sera de signe négatif Poutre en magnétostriction Certains matériaux ferromagnétiques ont un effet magnétomécanique lorsque ces matériaux sont soumis à des contraintes mécaniques. Cet effet se traduit par une modification de la susceptibilité magnétique χ et de la perméabilité relative puisque µ r = 1 + χ. Pour détecter la variation de susceptibilité (ou de perméabilité) magnétique, il suffit de mettre ce matériaux au centre d une bobine de fil. Il sera donc le noyau de la bobine de fil qui constitue une inductance. En effet, une bobine de fil possède une inductance L calculée comme suit : L = N 2 µ 0 µ r A l (6.12) avec N, le nombre de spires ; µ 0 = 4π 10 7 H/m, la perméabilité magnétique du vide ; µ r, la perméabilité relative du noyau ; l, la longueur du circuit magnétique et A, la surface de la section de la bobine. A titre d indication, la perméabilité magnétique relative de l air est µ r = , celle du Permalloy 45 (Alliage avec 55 % de fer et 45 % de Nickel) est µ r = et celle du Permalloy 65 (Alliage avec 35 % de fer et 65 % de Nickel) est µ r = La mesure de l inductance L permet de déduire la force appliquée sur la poutre, via les variations de la perméabilité magnétique relative. Pour la suite de ce chapitre, nous ne considérons que les corps d épreuves qui réagissent par des déformations. Les éléments de transduction pour mesurer ces déformations sont maintenant présentés.

8 134 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE 6.3 Les éléments de transduction Mesure de la déformation d un ressort La mesure de la déformation d un ressort peut être faite en utilisant un potentiomètre ou un LVDT. Ces techniques de mesures furent présentées au chapitre sur la mesure de déplacement et de distance Jauge extensiométrique La déformation des fibres inférieures ou supérieures d une poutre soumise à une contrainte étant de très faible amplitude, il faut recourir à des jauges extensiométriques (ou jauges de contraintes) pour en faire la mesure. Figure 6.7 Jauges extensiométriques Une jauge de contrainte est une résistance dans une pellicule plastifiée que l on colle soigneusement sur la poutre dont on doit mesurer la déformation. L emplacement et l orientation de la jauge peut avoir un effet sur la qualité de la mesure. Le principe de fonctionnement de la jauge de contrainte repose sur le changement de résistance que subit un conducteur électrique soumis à une déformation. Un conducteur électrique de résistivité ρ (en ohm-m), d une longueur l (en mètres) et d une section A (en m 2 ) possède une résistance électrique définie par : R = ρ l A (6.13) La valeur de la résistance change lorsque le conducteur électrique est soumis à une contrainte entrainant sa déformation.

9 6.3. LES ÉLÉMENTS DE TRANSDUCTION 135 Lorsque le conducteur se déforme d une longueur l (solidairement avec le corps rigide sur lequel elle est collée), plusieurs effets se superposent. Premièrement, la résistance changera de valeur en raison de l allongement l. L effet de l allongement est représenté par : R R = l (6.14) l avec R, la variation de résistance résultant de la variation de la longueur l. Ce que cette équation nous indique, c est que si cet effet était le seul à avoir lieu, un changement de longueur de 1 % entraîne un changement de résistance de 1 % puisque les variations unitaires sont les même. Deuxièmement, l allongement du conducteur d une longueur l entraine la diminution de la section du conducteur. C est un phénomène bien connu en résistance des matériaux, lorsqu une barre subit une force de traction, elle s allonge, mais en vertu de la loi de Poisson, sa section diminue. Comme un élastique que l on étire. Le rapport entre l allongement unitaire, qui est définit par le rapport l/l, et le changement de surface est défini par la loi de Poisson : A l = 2ν (6.15) A l où le paramètre ν est le coefficient de Poisson. Le signe moins indique que la section diminue avec l allongement. Troisièmement, un autre effet dû à la déformation de la jauge, c est l effet piézoélectrique. Cet effet est provoqué par le changement de la mobilité des électrons dans le conducteur, car la contrainte affecte la structure du conducteur. Cela entraine un changement de la résistivité du conducteur. On exprime cet effet par la relation suivante : ρ ρ = C V V (6.16) avec C la constante de Bridgman. Comme le volume du conducteur est égal au produit de la section A par la longueur l, la relation devient alors : ρ ρ = C(1 2ν) l l (6.17) La combinaison des trois effets causés par une contrainte dans un conducteur se résume par cette équation : R R l = (1 + 2ν + C(1 2ν)) l (6.18)

10 136 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE Le terme (1 + 2ν + C(1 2ν)) dépend du conducteur électrique utilisé et il est désigné sous le vocable facteur de jauge. C est une spécification importante du manufacturier. Le facteur de jauge G est ainsi définit par : G = 1 + 2ν + C(1 2ν) (6.19) ce qui mène à : R R = G l (6.20) l Divers matériaux peuvent être utilisés dans les jauges extensiométriques. Les conducteurs ont généralement des facteurs de jauge G de l ordre de 1.8 à 2.4 environ. Les semi-conducteurs ont des facteurs de jauge plus élevés, de l ordre de 50 à 200. Les jauges à semi-conducteurs sont donc plus sensibles. Toutefois, les matériaux semi-conducteurs sont beaucoup moins ductiles que les matériaux conducteurs. Pour donner un ordre de grandeur, définissons tout d abord le strain. Cette unité représente la déformation par unité de longueur, que l on connait sous le vocable déformation unitaire. Normalement, la déformation unitaire ne comporte pas d unités, mais certains auteurs préfèrent utiliser le strain. Comme les déformations des matériaux sont d une très faible amplitude, on utilise habituellement le micro-strain, ce qui correspond à une déformation unitaire de 1 micro-mètre par mètre de longueur du conducteur 1. Les jauges de contrainte utilisant des conducteurs tolèrent des extensions maximales de 0.1 à micro-strains. Ceux utilisant des semi-conducteurs tolèrent des extensions maximales de à micro-strain. Les spécifications des manufacturiers à considérer pour la sélection d une jauge de contrainte sont : Le facteur de jauge ; La déformation maximale acceptable ; La durée de vie utile ; La résistance de la jauge au repos. La jauge de contrainte possède une valeur de résistance au repos. La résistance change avec l allongement du conducteur due à la contrainte que la jauge subit. Supposons une jauge de contrainte métallique avec un facteur de jauge G = 2.4 et une déformation unitaire maximale de micro-strains. 1. Ce pourrait aussi être un micro-pied par pied.

11 6.3. LES ÉLÉMENTS DE TRANSDUCTION 137 Le changement maximal de résistance lorsque la jauge est en traction est : R R = G L L = = Ce qui implique un changement de résistance de 9.6 % à l allongement maximum. En répétant cet exercice avec une jauge de contrainte à semi-conducteur, avec G = 200 et L/L = , on trouve un changement maximal de résistance de %. Ces faibles variations de résistance électrique mènent à la question suivante : comment les mesurer? Un pont de Wheatstone permet de mesurer ces variations de résistance de jauge. Généralement, la jauge au repos est de 350 Ohms ou 1200 Ohms, selon le manufacturier. Les jauges de contraintes possèdent une durée de vie limite indiquée sous forme du nombre de cycles (extension/compression) que peut subir la jauge Pont de Wheatstone Pour détecter les faibles variations de résistances, on peut utiliser un pont de résistance dit pont de Wheatstone (Figure 6.8). Figure 6.8 Pont de Wheatstone En analysant le circuit en Figure 6.8, on peut calculer la tension en sortie du pont V m comme suit : ( Rc V m = V cc R ) 3 (6.21) R 1 + R c R 2 + R 3

12 138 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE avec V cc la tension d alimentation du pont, R c la résistance de la jauge et R 1, R 2 et R 3 les autres résistances du pont. Pour simplifier le montage, on choisi les trois résistances du pont toutes identiques, i.e., R 1 = R 2 = R 3 = R. De plus, la valeur de la résistance R est la valeur de la résistance nominale de la jauge au repos. Ce qui permet de réécrire la tension en sortie du pont V m : ( Rc V m = V cc R ) R + R c R + R = V cc ( Rc R + R c 1 2 ) (6.22) Pour simplifier encore plus l analyse, on définit que la résistance de la jauge en déformation est R c = R + R avec R la variation de la résistance de la jauge par rapport à sa valeur au repos (R). La tension en sortie du pont V m devient : ( R + R V m = V cc R + R + R 1 ) 2 ( R + R = V cc 2R + R 1 ) (6.23) 2 ( ) R = V cc 2(2R + R) Il est évident que la relation entre V m et R est non-linéaire. On peut linéariser la relation en remplaçant la résistance R 1 par une résistance de jauge se comportant à l inverse de la résistance de jauge R c, i.e. R 1 = R R. Ainsi, la tension en sortie du pont V m serait : ( R + R V m = V cc R R + R + R 1 ) 2 ( R + R = V cc 2R 1 ) (6.24) 2 ( ) R = V cc 2R La relation entre V m et R est maintenant linéaire. Et, en prime, la sensibilité est doublée.

13 6.3. LES ÉLÉMENTS DE TRANSDUCTION 139 On peut s intéresser au ratio entre la tension de sortie et la tension d alimentation V m /V cc. Ou plus exactement à la différence entre le ratio en contrainte et le ratio au repos que l on identifie par V r : V r = V m V m (6.25) contrainte repos V cc Ainsi pour le pont avec une seule jauge, lorsque la jauge est au repos, R = 0 Ohm ce qui implique que V m = 0 V. En charge, avec un allongement unitaire ɛ, comme R = RGɛ alors V m s écrit : ( ) RGɛ V m = V cc (6.26) 2(2R + RGɛ) et la différence des ratios V r est : V cc V r = RGɛ 2(2R + RGɛ) (6.27) La courbe de la relation entre V r et ɛ est montrée en Figure 6.9 pour une jauge métallique. Bien que la fonction soit non-linéaire, cela ne se voit pas trop sur la figure. Figure 6.9 Relation V r vs ɛ pour une jauge de 350 Ohms ayant un facteur de jauge de G = 2.4

14 140 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE A partir de cette équation, on peut trouver la déformation unitaire correspondant à une valeur V r donnée : ɛ = 4V r G(1 2V r ) Dans le cas du montage à deux jauges (R c et R 1 ), l équation serait : (6.28) ɛ = 2V r G À titre d exercice, vous pouvez en faire la démonstration. (6.29) Jauge à deux fils Il peut arriver que la jauge ne soit pas à proximité du pont de Wheatstone. La jauge de contrainte est alors reliée au pont par une paire de fils qui introduisent leur résistance (R f par fil) en série avec la résistance de la jauge (Figure 6.10). Ce qui implique que la résistance de jauge vue par le pont est R c + 2R f = R + R + 2R f. Figure 6.10 Pont de Wheatstone avec jauge à deux fils Dans cette configuration, la tension en sortie du pont V m est : ( Rc V m = V cc 1 ) R + R c 2 ( R + R + 2Rf = V cc 1 ) 2R + R + 2R f 2 ( ) R + 2R f = V cc 2(2R + R + 2R f ) (6.30)

15 6.3. LES ÉLÉMENTS DE TRANSDUCTION 141 Maintenant, lorsque la jauge est au repos ( R = 0), le rapport V m /V cc n est plus nul, mais plutôt égal à : V m V cc = repos R f 2(R + R f ) (6.31) et la déformation est calculée de la façon suivante : ɛ = 4V ( r ) R G R+R f 2V r ( 1 + R ) f R ( 4V r 1 + R ) f G (1 2V r ) R (6.32) puisque R >> R f Jauge à trois fils Pour réduire l erreur induite par une jauge à deux fils, on peut en utiliser une à trois fils (Figure 6.10). Dans ce cas, la résistance de jauge vue par le pont est R c = R + R + R f et la résistance R 1 devient R + R f. Le troisième fils introduit aussi une résistance R f, mais il est en série avec l impédance d entrée du système qui mesure la tension V m. Comme cette impédance d entrée est normalement très élevée, l effet de la résistance de ce troisième fil est négligé. Figure 6.11 Pont de Wheatstone avec jauge à trois fils

16 142 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE Avec la jauge à trois fils, la tension en sortie du pont V m est : ( R c V m = V cc 1 ) R + R f + R c 2 ( R + R + Rf = V cc 1 ) 2R + R + 2R f 2 ( ) R = V cc 2(2R + R + 2R f ) et la déformation est calculée à partir de V r comme suit : ( 4V r ɛ = 1 + R ) f G(1 2V r ) R (6.33) (6.34) 6.4 Bilan La mesure de force peut être obtenue par la mesure de la déformation d une jauge de contrainte collée sur l élément dont on mesure la déformation. Les jauges métalliques présentent les caractéristiques suivantes : Bonne précision ; Plage d utilisation en température étendue ; Électronique de traitement simple (pont de résistance) ; Facteur de Jauge faible ; Problème de vieillissement de la colle. Les jauges à semi-conducteurs présentent les caractéristiques suivantes : Très bonne précision ; Facteur de jauge élevé (gain) ; Intégration possible des circuits de traitement ; Miniaturisation possible ; Dérive importante avec la température ; Problème de vieillissement de la colle. Heureusement, nous n avons que rarement à fabriquer un capteur de force complet en choisissant son corps d épreuve et la jauge de contrainte. En dimensionnant le corps d épreuve en fonction de l étendue de mesure de la force et la déformation maximale que peut supporter la jauge. Il existe des capteurs de forces ou le montage complet est fait. On les désigne sous le nom de cellules de charges (en anglais load cell ). Il reste simplement à choisir la cellule de charge en fonction de l étendue de mesure

17 6.4. BILAN 143 de la force à mesure, de la nature de cette force (traction, compression) et de l espace disponible. Certaines cellules de charges sont plus encombrantes que d autres. Bien sûr, l aspect budgétaire est un autre élément important, comme la précision requise pour la mesure de la force.

18 144 CHAPITRE 6. LA MESURE DE FORCE

19 Chapitre 7 La mesure de couple La mesure de couple n est pas une mesure facile à faire, en particulier sur des pièces en rotation. La mesure du couple est basée principalement sur la mesure d une force, puisque le couple T peut être considéré comme une force F appliquée sur un bras de levier de longueur l : T = F l (7.1) Quatre approches peuvent être utilisées pour mesurer le couple : Mesure de couple par jauges ; Mesure du couple par torsion ; Mesure du couple par réaction ; Mesure du couple par le courant. 7.1 Mesure du couple par jauge La mesure du couple peut être faite en utilisant des jauges de contraintes. Elle se fait en insérant une pièce mécanique entre la partie sur laquelle un couple est appliqué et une autre partie qui reçoit ce couple (Figure 7.1). L effort est transmit par les deux plaques métalliques trouées reliant les deux sections de la pièce. Un gros plan de l une de ces plaques est montré en Figure 7.2. Un trou est percé pour provoquer des concentrations de contraintes (et ainsi augmenter la sensibilité) et des jauges de contraintes y sont installées. Les contraintes mesurées sont proportionnelles au couple entre les deux éléments connectés à cette pièce mécanique. Généralement, ce système ne 145

20 146 CHAPITRE 7. LA MESURE DE COUPLE Figure 7.1 Pièce mécanique pour la mesure de couple par jauge Figure 7.2 Détail de la pièce mécanique transmettant l effort

21 7.2. MESURE DU COUPLE PAR TORSION 147 Figure 7.3 Capteur de couple par jauge de Futek 1 permet pas de grande rotation, puisque les jauges de contraintes doivent être connectées avec un système d acquisition. Toutefois, la compagnie Futek vend un capteur de couple par jauge (Figure 7.3) en mesure de fonctionner sur un système tournant, en utilisant un système de balais et de bagues pour transmettre les signaux des jauges. 7.2 Mesure du couple par torsion La mesure du couple par torsion est basée sur la torsion subie par un arbre soumis à un couple (Figure 7.4). À chaque extrémité de l arbre sont installés des roues dentées métalliques et deux détecteurs de proximité inductifs. Lorsque l arbre tourne et qu aucun couple n est présent, il n y a pas de torsion et le déphasage entre les deux sorties des détecteurs est égal à 0. Lorsque l arbre subit un couple T, l arbre subit une torsion et un déphasage apparait entre les deux sorties des détecteurs. La relation entre le couple T (Newton-mètre) et le déphasage θ (en radians) est : T = GJθ ln (7.2) où G représente le module en cisaillement du matériau de l arbre, J représente son moment d inertie, l représente la distance entre les capteurs et N le nombre de dents des roues dentées métalliques. Ce qui est intéressant avec cette approche, c est que la mesure peut être faite sur une machine tournante. 1. Source de l image en Figure 7.3 :

22 148 CHAPITRE 7. LA MESURE DE COUPLE Figure 7.4 Mesure du couple par torsion 7.3 Mesure du couple par réaction Cette technique de mesure utilise le fait que lorsqu un moteur électrique applique un couple sur une charge, il subit en réaction un couple de même intensité, mais en sens contraire. Ainsi, pour mesurer le couple par réaction, il est nécessaire de monter le moteur sur une base avec des roulements à billes. Donc, la base ne peut recevoir le couple de réaction du moteur en raison de ces roulements à billes (si on néglige le frottement de ces roulements). Si le moteur était laissé libre, sans attaches (autre que les roulements à billes), il entrerait en rotation en raison de ce couple de réaction. Le moteur est maintenu fixe en installant une pièce métallique empêchant sa rotation (Figure 7.5). Cette pièce subit alors une force de réaction F R proportionnelle au couple de réaction T R. La relation est : T R = F R L (7.3) avec L la longueur du bras de levier (voir Figure 7.5). Toutefois, l accélération angulaire du moteur peut venir altérer cette mesure. Pour le montrer, commençons par dessiner le diagramme des corps libres du moteur électrique. Ce diagramme est montré en Figure 7.6.

23 7.4. MESURE DU COUPLE PAR LE COURANT 149 Figure 7.5 Mesure du couple par réaction La Figure 7.6 montre que le rotor du moteur subit plusieurs couples : Le couple moteur T m que ce moteur applique ; Les couples de frottement au niveau des roulements à bille T f1 et T f2 ; Le couple de charge T L. La relation mathématique entre ces divers couples est : J θ = T m T f1 T f2 T L (7.4) avec J qui est le moment d inertie du moteur et θ son accélération angulaire. Le stator (boitier du moteur) subit le couple de réaction T R et doit être fixé pour ne pas être entrainé en rotation en sens inverse du rotor. La relation mathématique entre les couples au stator est : T R + T f1 + T f2 T m = 0 (7.5) En combinant les deux dernières équations, on obtient : T L = T R + J θ = F R L + J θ (7.6) Cette équation montre qu il est nécessaire de mesurer l accélération angulaire du moteur, en plus de la force de réaction F R, pour pouvoir calculer le couple que le moteur envoie à la charge T L. 7.4 Mesure du couple par le courant Dans le cas des moteurs à courant continu (CC), le couple moteur T m est calculé par le produit du courant d armature i a, du courant du champ i f et

24 150 CHAPITRE 7. LA MESURE DE COUPLE Figure 7.6 Diagramme des corps libres du moteur électrique une constante k : T m = ki a i f (7.7) ou dans le cas d un moteur à CC à aimants permanents (avec K une constante) : T m = Ki a (7.8) Cela implique donc de mesurer les courants que le moteur à CC consomme au rotor et au stator. Cette façon de faire est utilisée en robotique.

25 Chapitre 8 La mesure de pression La mesure de pression est une mesure fondamentale, car plusieurs grandeurs physiques sont mesurées par la variation de pression qu elles entraînent. Par exemple, le niveau dans un réservoir peut être mesuré par un capteur au bas du réservoir mesurant la pression hydrostatique. De même, le débit peut être mesuré par la chute de pression que cause un obstacle dans une conduite. Autre exemple, la température peut être mesurée en observant la pression d un gaz soumis à cette température. Bien sûr, la mesure de pression peut être utilisée pour mesurer la grandeur physique de pression. 8.1 Introduction Notions de base Avant d aller plus avant, rappelons quelques notions de base. En premier lieu, la pression P d un fluide est la force que ce fluide exerce F, par unité de surface A, perpendiculairement à cette surface : P = F/A. Si le fluide est immobile, ou si la normale de la surface est perpendiculaire au déplacement du fluide (Figure 8.1), cette pression est dite pressions statique. Si le fluide est en mouvement, il y a apparition de la pression dynamique. La somme de la pression statique et dynamique est appelée pression totale. La pression totale est appliquée sur une surface dont la normale est parallèle au mouvement du fluide (Figure 8.2). Pour donner une image claire, imaginez une personne au volant d une 151

26 152 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.1 La pression statique Figure 8.2 La pression totale et dynamique

27 8.1. INTRODUCTION 153 Figure 8.3 Le principe de Pascal voiture circulant sur l autoroute. Si elle garde sa main gauche dans la voiture, celle-ci subit la pression atmosphérique qui est une pression statique. Si, elle sort la main par la fenêtre avec la paume vers l avant, alors la pression ressentie sur la paume est la pression atmosphérique auquel vient s additionner une pression dynamique due au mouvement de l air étant donné que la voiture est en mouvement. Cette pression dynamique exige de la personne qu elle doive user de ses muscles pour que sa main ne change pas de position Principe de Pascal Le principe de Pascal est un autre élément à connaitre lorsque l on aborde le sujet de la mesure de pression. Ce principe se base sur le fait que la pression exercée sur un fluide est transmise dans tous les sens et est appliquée perpendiculairement à la surface du fluide. Ainsi, supposons qu une force de 125 livres est appliquée à un piston ayant une section de 2 pouces carrés (Figure 8.3). L ensemble du volume de fluide est donc soumis à une pression de 62.5 livres par pouce carré (P = F/A = 125 lbs/2 po 2 ). Si ce fluide est en contact avec un autre piston de 20 pouces carrés, alors la pression appliquée sur ce piston sera de 1250 livres (F = P A = 62.5

28 154 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.4 Vérins hydraulique 1 lbs/po 2 20 po 2 ). En termes mathématiques, puisque la pression est égale partout et qu une pression est le rapport d une force sur une surface, alors on peut écrire : P 1 = P 2 F 1 = F 2 (8.1) A 1 A 2 et ainsi, on peut déduire la force au point 2 à partir de la force au point 1 et du rapport des surfaces : F 2 = A 2 A 1 F 1 (8.2) Ce principe est utilisé pour amplifier une force, car si la surface A 2 est égale à ka 1, alors la force F 2 résultante sera k fois la force F 1. Un vérin hydraulique (Figure 8.4) utilise ce principe pour permettre à une personne de soulever des charges élevées Unités de mesure Les unités de mesures utilisées pour quantifier la pression sont diverses et exigent d être expliquées. Tout d abord, il est nécessaire de distinguer entre : la pression absolue, la pression relative et la pression différentielle. 1. Source de l image de la Figure 8.4 :

29 8.1. INTRODUCTION 155 La pression absolue est la pression thermodynamique, par rapport au vide absolu. La pression ne peut être qu une valeur positive ou égale à 0 dans le vide absolu. Puisque nous vivons sur une planète dotée d une atmosphère, cette dernière exerce une pression dite atmosphérique. Lorsque la pression est mesurée par rapport à la pression atmosphérique, on l identifie sous le nom de pression relative. La pression relative peut prendre une valeur positive ou négative. La pression relative est négative lorsque l on mesure la pression d un vacuum. Dans certaines applications, on désire connaître la différence de pression. C est le cas d un débitmètre à organe déprimogème, ou ce qui est mesuré c est la chute de pression provoquée par un obstacle intentionnellement introduit dans la conduite. Dans ce cas, la mesure en est une de pression différentielle. Passons maintenant aux unités de mesure de pression. Dans le système impérial, l unité la plus couramment utilisée est la livre par pouce carré, que l on identifie par l acronyme psi (pound per square inch). Pour distinguer si la pression est relative ou absolue, un suffixe est ajouté. Un psig identifie une pression relative (psi gage) alors qu un psia identifie une pression absolue (psi absolute). La pression atmosphérique est de 14.7 psia ou 0 psig. Dans le système métrique, la pression est mesurée en Pascal. Toutefois, le Pascal est une très petite unité, car elle correspond à une force de 1 Newton appliquée sur une surface de 1 mètre carré. Ainsi, les pressions du système métrique sont souvent exprimées en kilopascal ou en mégapascal. La pression atmosphérique est de Pa ou kpa. Un psi équivaut à Pa. D autres unités de mesure sont aussi utilisées : La pression en millimètre de mercure (Hg) ou en torr : 1 mm Hg = 1 torr = 133 Pa ; La pression en pouce de mercure : 1 po Hg = 0.49 psi = Pa ; La pression en pouce d eau : 1 psi = 27.7 po. H 2 O ; La pression en bar : 1 bar = 100 kpa ; La pression en atmosphère. Du coté impérial, la pression est aussi souvent identifié par une hauteur manométrique dite tête d eau dans le langage populaire. Quand on indique qu une pompe à une tête d eau de 200 pieds, cela implique que la pression fournie par la pompe équivaut à la pression hydrostatique qu une colonne d eau d une hauteur de 200 pieds. Sachant qu il y a 12 pouces dans un pied et qu un psi est égal à 27.7 pouces d eau, il est donc possible de convertir une hauteur manométrique en psi, ou en tout autre unité de mesure.

30 156 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION La hauteur manométrique représente en fait une pression dite hydrostatique. Cette pression est représentée par l expression mathématique suivante : P = ρgh (8.3) La pression dépend de la masse volumique du fluide ρ, de l accélération de la pesanteur g et de la hauteur de fluide h au dessus du point de mesure. Et, cette pression est indépendante du volume de liquide au dessus du point de mesure. Un plongeur nageant à 3 mètres de profondeur ressentira la même pression qu il soit dans une piscine ou dans un lac (en assumant une masse volumique identique à ces deux endroits pour l eau). On peut convenir qu une piscine a un volume d eau largement inférieur à celui d un lac. Le fonctionnement des capteurs de pression est basé principalement sur la mesure de la déformation de corps d épreuve. Les capteurs pression couverts dans ce chapitre sont énumérés dans la liste suivante : Manomètre à section uniforme ; Manomètre à réservoir ; Tube de Bourdon ; Capsule anéroïde ; Soufflet ; Membranes. 8.2 Manomètres à section uniforme Le manomètre à section uniforme (Figure 8.5) est représenté par un tube en U, de section constante A, dont chaque branche reçoit une pression : P 1 d un coté et P 2 de l autre coté. On suppose que P 1 P 2. Le tube est rempli d un liquide uniforme de masse volumique ρ. La pression P 1 appliquée sur la surface A donne une force F 1 = P 1 A. De même, la pression P 2 appliquée sur la surface A donne une force F 2 = P 2 A. Si les pressions sont d amplitudes différentes, il en sera de même pour les forces et cela entraînera un mouvement du liquide. Un point d équilibre sera atteint et la colonne de liquide du coté subissant la haute pression (P 1 ) sera à un niveau inférieur celle du coté basse pression (P 2 ). La différence de niveau h entre les deux cotés du tube en U fera en sorte qu une masse de liquide ρah supplémentaire sera présente du coté basse pression. Ainsi, la force F 1 sera contrebalancée par la force F 2 et la force de la gravité associée à la masse de

31 8.3. MANOMÈTRES À RÉSERVOIR 157 Figure 8.5 Manomètre à section uniforme liquide supplémentaire. Cette force est : Donc : F m = ρgah (8.4) F 1 = F 2 + F m = F 2 + ρgah (8.5) ou encore en divisant les deux côtés par la section A : P 1 = P 2 + ρgh (8.6) On peut interpréter l équation (8.6) de la façon suivante : la hauteur h est proportionnelle à la différence de pression P = P 1 P 2, car : h = P ρg (8.7) Le manomètre à section uniforme est sensible à la variation de température. Lorsque la température varie, cela change la masse volumique ρ du liquide, puisque son volume augmente. Une image représentant ce phénomène, c est le thermomètre au mercure ou le volume du mercure change avec la température (c est pourquoi on utilise le mercure dans certains thermomètres). Si ce phénomène est désirable pour mesurer la température, il est très nuisible pour la mesure d une différence de pression, car elle sera faussée.

32 158 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.6 Manomètre à réservoir 8.3 Manomètres à réservoir Le manomètre à réservoir (Figure 8.6) est une variante du manomètre à section uniforme. Une pression P 1 est appliquée au réservoir de section A 1 et une pression P 2 (inférieure ou égale à P 1 ) est appliquée au tube de section A 2 (inférieure à A 1 ). Comme pour le manomètre à section uniforme, le liquide se déplace à un nouveau point d équilibre lorsque les pressions P 1 et P 2 diffèrent. Du coté du réservoir, la pression totale est la somme de la pression P 1 et la pression hydrostatique du réservoir ρg(l h). Du coté du tube, la pression totale est la somme de la pression P 2 plus la pression hydrostatique de la colonne ρg(l + H). Ces deux pressions étant égales, on peut écrire : Ce qui peut être simplifié à : P 1 + ρg(l h) = P 2 + ρg(l + H) (8.8) P = P 1 P 2 = ρg(h + H) (8.9) Le volume de liquide déplacé dans le manomètre est représenté par un diminution de ha 1 dans le réservoir ou un gain de HA 2 dans la colonne.

33 8.4. TUBE DE BOURDON 159 Ces deux quantités sont par conséquent égales, ce qui fait que h et H sont proportionnels : h = H A 2 A 1 (8.10) Si la section A 1 du réservoir est beaucoup plus grande que la section A 2 du tube (A 1 >> A 2 ), alors on peut négliger la hauteur h dans l équation (8.9) : P ρgh (8.11) Pour les mêmes raisons que pour le manomètre à section uniforme, le manomètre à réservoir est sensible à la variation de température. 8.4 Tube de Bourdon Le tube de Bourdon est un corps d épreuve souvent utilisé dans les manomètres de pression (Figure 8.7). Il consiste en un tube plié en force de C (Figure 8.8). Lorsque l intérieur du tube subit une pression, celle-ci est appliquée sur toutes les parois du tube. Figure 8.7 Tube de Bourdon

34 160 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION En raison de la forme du tube, la surface à l intérieur du C est supérieure à celle à l extérieur du C. Cette différence de surface entraine l apparition d une force de torsion lorsqu une pression est appliquée sur le tube. Cette force tend à redresser le tube, exactement comme les serpentins dans lesquels les enfants soufflent lors de fêtes d anniversaire (Figure 8.9). La déformation du tube est amplifiée par un mécanisme à pignons et engrenages. Figure 8.8 Schéma de principe du tube de Bourdon Ce capteur existe en diverses versions pour augmenter la sensibilité : les tubes en hélice et en spirale (vue de coté d un tube en spirale montrée en Figure 8.10). Le tube de Bourdon est une invention d Eugène Bourdon ( ). 8.5 Manomètre à soufflet (Bellows) Un manomètre à soufflet (Figure 8.11) peut être utilisé pour mesurer une pression. Cette pression s applique sur la surface intérieure du soufflet et l allonge. Cet allongement peut être mesuré de différentes façons. Généralement, c est un mécanisme mécanique entrainant le mouvement d une aiguille. Lors-

35 8.6. CAPSULE ANÉROÏDE 161 Figure 8.9 Serpentin Figure 8.10 Tube de Bourdon en spirale que le soufflet est métallique, la plage de mesure disponible varie de 0.5 à 75 psig. Avec un ressort, on peut monter jusqu à 1000 psig. 8.6 Capsule anéroïde Les capsules anéroïdes sont une variante des soufflets. Une capsule anéroïde peut être une capsule étanche en forme de disque dont le vide à été fait à l intérieur. Les variations de la pression à l extérieur de la capsule causent sa déformation que l on mesure pour déduire la pression. La capsule anéroïde peut aussi être recevoir la pression à mesurer de l intérieur, comme montré

36 162 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION en Figure Figure 8.11 Schéma d un manomètre à soufflet 2. Source de l image de la Figure 8.12 en page 163 : nzdl.sadl.uleth.ca

37 8.7. MANOMÈTRE À MEMBRANE 163 Figure 8.12 Manomètre à capsules anéroïdes Manomètre à membrane La membrane est l un des corps d épreuve les plus utilisés pour la mesure de pression. La différence de pression entre les deux cotés d une membrane entraîne sa déformation. Un système mécanique peut faire déplacer une aiguille en fonction de la déformation Figure La déformation centrale de la membrane est calculée par : P = P P ref = 16Ee 4 3R 4 (1 ν 2 ) ( z ( z ) ) 3 e e (8.12) La différence de pression P P ref cause un déplacement du centre de la membrane d une amplitude z. Les paramètres utilisés dans l équation cidessus sont : le module de Young E qui dépend du matériau de la membrane ; le coefficient de Poisson ν ; le rayon R de la membrane ; et l épaisseur e de la membrane. 3. Source de l image de la Figure 8.13 en page 164 :

38 164 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.13 Manomètre à membrane 3 Si l amplitude du déplacement z est faible devant l épaisseur e, on peut négliger le terme élevé au cube : P 16Ee 4 ( z ) 3R 4 (1 ν 2 ) e (8.13) On peut aussi mesurer la déformation élastique de la membrane avec une jauge de contrainte. La déformation radiale ɛ r est : ɛ r = 3 P (1 ν2 ) 8Ee 2 (R 2 3x 2 ) (8.14) pour une jauge localisée à une distance x du centre de la membrane circulaire. La déformation tangentielle ɛ t pour une jauge localisée à la même distance du centre est : ɛ t = 3 P (1 ν2 ) 8Ee 2 (R 2 x 2 ) (8.15) 8.8 Montage des manomètres au procédé Pour assurer des mesures de bonne qualité, il est recommandé de suivre certaines règles de montage lorsque l on installe un manomètre. Lorsque l on connecte un manomètre pour mesurer une pression sur une conduite, il faut s assurer que la conduite du manomètre n entre pas dans la

39 8.8. MONTAGE DES MANOMÈTRES AU PROCÉDÉ 165 Figure 8.14 Montage sur une conduite conduite, car il en résulterait des turbulences affectant la mesure (dessin de gauche à la Figure 8.14). Il est recommandé que la connexion du manomètre à la conduite ressemble à ce qui est montré au dessin de droite de la Figure Un manomètre nécessitant d être calibré à intervalle régulier, il est fortement recommandé d insérer un robinet d isolation/calibration (Figure 8.15) entre le manomètre et le procédé. Cela permet par exemple de calibrer un manomètre localisé au bas d un réservoir, sans avoir à vider ce dernier. Le robinet à deux voies est utilisé pour les manomètres à pression relatives qui ne comporte d une entrée, puisque la pression de référence est la pression atmosphérique. Le robinet à trois voies est utile pour les manomètres à pression différentielle qui comportent deux entrées de pression Montage pour un gaz non-corrosif La Figure 8.16 montre deux exemples de montage pour mesurer la pression d un gaz non-corrosif (dont l air) peu propice à la condensation. Si le manomètre est monté au dessus du point de connexion au procédé, il faut s assurer que la condensation (même minime) vienne affecter la mesure. Il faut donc se brancher au haut des conduites de gaz. Il faut aussi prévoir une pente d environ 1 pouce par pied (environ 85 mm par mètres), sur le conduit connectant le manomètre au procédé, pour drainer le condensat vers la conduite (ou le réservoir). Si le manomètre est monté sous le point de connexion, il faut installer un

40 166 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.15 Robinets d isolation/calibration petit réservoir sous le manomètre pour accumuler le condensat, sans que la mesure soit affectée (voir Figure 8.17 en page 168). Il faut veiller à drainer le réservoir à intervalle régulier pour éviter que le condensat vienne affecter la mesure. Remarquez, en Figure 8.16, la présence d une valve et d un té à proximité des manomètres pour en faciliter la calibration et la maintenance Montage pour un gaz condensable Les Figures 8.18 (page 169) et 8.19 (page 170) montrent deux exemples de montage pour mesurer la pression d un gaz non-corrosif mais condensable (par exemple, la vapeur). Puisque le gaz est condensable, il faut donc faciliter le plus possible l évacuation du condensat pour éviter de perturber la mesure. Si le manomètre est localisé au dessus du point de connexion au procédé, la Figure 8.18 montre un montage similaire au cas ou le gaz était peu condensable. La différence réside dans la pente du conduit connectant le manomètre au procédé qui est doublé à 2 pouces par pieds.

41 8.8. MONTAGE DES MANOMÈTRES AU PROCÉDÉ 167 Figure 8.16 Montage d un manomètre pour mesurer la pression d un gaz non-corrosif ou d air (peu condensable) Dans le cas ou le manomètre est au-dessous du point de connexion, on ne peu plus envisager mettre un réservoir pour récupérer le condensat, car le volume à éliminer serait trop élevé. On doit donc se résoudre à travailler en colonne humide, c est-à-dire que le conduit connectant le manomètre au procédé soit rempli de liquide (le condensat). Pour s assurer que le conduit soit plein de liquide, on le connecte au bas de la conduite ou du réservoir de gaz. La mesure que le manomètre fera sera la somme de la pression du gaz plus la pression du condensat (de masse volumique ρ) dans le conduit qui est représenté par ρgh.

42 168 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.17 Montage d un manomètre (détail du réservoir d accumulation du condensat) Montage pour les liquides non-corrosifs Lorsqu il faut mesurer la pression d un liquide non-corrosif (Figure 8.20 en page 171), on peut faire face aux mêmes situations que le gaz, i.e., le manomètre peut être monté au dessus ou au dessous du point de connexion. La différence avec les gaz, c est que maintenant, il faut d assurer que des particules en suspension ou les saletés ne se retrouvent pas les conduits de mesure. Il faut donc privilégier les connexions au procédé sur le coté des conduites ou des réservoirs. Dans ce dernier cas, on recommande une distance de 4 pouces (10 cm) du bas du réservoir. S il est absolument nécessaire de connecter le conduit de mesure sous un réservoir il faut prévoir un petit réservoir pour accumuler les dépôts, particules et autres saletés qui seraient néfastes pour le système de mesure. Cela s applique au cas ou le manomètre est sous le point de connexion. Il faut assurer une vidange à intervalle régulier du réservoir. Si le manomètre est localisé au dessus du point de connexion au procédé, il faut prendre en compte que la pression mesurée sera d une amplitude ρgh inférieure à la pression réelle, en raison de la colonne de liquide de hauteur h (et de masse volumique ρ) dans le conduit entre le manomètre et le procédé.

43 8.8. MONTAGE DES MANOMÈTRES AU PROCÉDÉ 169 Figure 8.18 Montage d un manomètre pour les gaz condensables et la vapeur (manomètre au dessus du point de connexion au procédé) Dans le cas ou la pression est mesurée sur une conduite, on se branche sur le coté pour éviter que les gaz entraîné qui circulent au dessus du liquide entre dans le conduit allant au manomètre. Si le manomètre est sous le point de connexion au procédé, il faut alors prendre en compte que la pression mesurée sera la pression au procédé plus la pression de la colonne de liquide ρgh entre le procédé et le manomètre. Lors de l installation d un manomètre pour mesurer la pression d un liquide, il faut s assurer de remplir les conduits de liquide pour éviter que de l air y soit piégé (le même processus que les mécaniciens font avec les conduites d huile à frein sur les voitures). La Figure 8.21 (en page 172) montre cette opération de saignée du conduit de mesure Montage pour un produit (gaz ou liquide) corrosif Il est parfois nécessaire de mesurer la pression d un gaz ou d un liquide corrosif. Un produit corrosif étant par définition agressif, il réduirait considérablement la durée de vie d un manomètre. Il faut donc faire en sorte de pouvoir mesurer la pression d un produit corrosif, sans que le manomètre soit en contact avec le dit produit. Comment réussir cet exploit?

44 170 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.19 Montage d un manomètre pour les gaz condensables et la vapeur (manomètre au dessous du point de connexion au procédé) En utilisant un produit non-corrosif qui est disponible en abondance, l air. En injectant continuellement de l air dans le conduit entre le procédé et le manomètre, ce dernier étant en contact avec de l air aura une durée de vie plus grande que s il était en contact avec le produit corrosif. La Figure 8.22 (en page 173) montre l installation nécessaire pour assurer une mesure viable d un produit corrosif. Le manomètre est toujours installé au dessus du point de connexion au procédé. Une valve, d un matériau résistant au produit corrosif, permet d isoler le montage autour du manomètre du procédé. Cette valve devrait être fermée dès qu il n y a plus d air qui est acheminé à l installation. L air qui est acheminé vers cette installation devrait être à au moins deux fois la pression maximale à mesurer. Un régulateur de pression, suivit d un manomètre permet de s en assurer. Il faut aussi ajuster le débit d air, ce que permet de faire le bulleur. On recommande d avoir un débit de 60 bulles par minutes à la pression maximale à mesurer. En vertu du principe de Pascal un gaz applique la même pression partout sur les parois, et la pression de l air excédant celle de produit corrosif, le surplus de pression d air est fait que de l air est envoyé dans la conduite, ce qui équilibre la pression de l air et celle du produit. Donc, la pression vue par le manomètre est égale à celle dans la conduite. La mesure de niveau par bullage, qui sera présentée dans le chapitre suivant, est fortement inspirée de cette approche.

45 8.8. MONTAGE DES MANOMÈTRES AU PROCÉDÉ 171 Figure 8.20 Montage d un manomètre pour les liquides non-corrosifs

46 172 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION Figure 8.21 Opération de remplissage des conduites avec du liquide

47 8.8. MONTAGE DES MANOMÈTRES AU PROCÉDÉ 173 Figure 8.22 Montage pour mesurer la pression d un gaz ou d un liquide corrosif

48 174 CHAPITRE 8. LA MESURE DE PRESSION

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