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1 POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER

2 Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension unité La dimension d une grandeur correspond à sa nature physique, par exemple une longueur, un temps, une tension. C est l approche qualitative, qui répond à la question : «qu est ce que c est?» Cela n indique pas avec quelle unité celle-ci sera mesurée. Une grandeur dont la dimension est homogène à une longueur peut s exprimer en mètres, en miles, en années-lumière, etc. C est l approche quantitative, qui répond à la question : «Combien ça vaut?» Si on demande «quelle est la dimension de L?» il faut répondre «L a la dimension d une longueur» et non «L est en mètres». b) Les sept grandeurs de base du système international (S.I.) Grandeur physique Lettre utilisée Unité de mesure S.I. Symbole de l unité Masse M kilogramme kg Longueur L mètre m Temps T seconde s Intensité électrique I Ampère A Température Θ Kelvin K Intensité lumineuse J candela cd Quantité de matière N mole mol Propriété : toute grandeur physique peut être exprimée en fonction d une ou plusieurs de ces sept grandeurs S.I. c) Ecriture d une équation aux dimensions Soit G une grandeur physique. Sa dimension est notée [G]. Par exemple, si G est une longueur on écrira : [G] = L. Pour une vitesse v, on écrira. Accélération de la pesanteur : dimension d une accélération, c-à-d :. Dimension d une force : : l unité est le Newton, pour avoir la dimension SI on passe par la formule simple du poids : =.. Dimension d une énergie : l unité est le Joule, pour avoir la dimension SI on passe par la formule simple de l énergie cinétique : = ²... ². Rq : on ne peut additionner entre elles que des grandeurs ayant la même dimension ; si dans une équation les dimensions des grandeurs dont on fait la somme ne sont pas identiques, cette équation est fausse. 2

3 Complément : préfixe du Système International 3

4 2. exercices d application : a) La formule de Stokes donne la force de frottement que subit un corps de rayon progressant à la vitesse dans un fluide de viscosité : = Quelle est la dimension de la viscosité? b) Quelle est l unité SI de la pression qu exerce une force F sur une surface S : =? c) Quelle est la dimension de la constante des gaz parfaits R intervenant dans l équation d état des gaz parfaits : =? d) La loi de la gravitation universelle définit la force d interaction agissant entre deux masses séparées d une distance : =.. ² Quelle est la dimension de la constante de gravitation universelle? e) Une boule de bois tombe verticalement dans l'air à la vitesse v. La force de résistance due à l'air est de la forme : =... ² (avec masse volumique de l'air ; section de la boule ; coefficient de pénétration dans l air) Quelle est l unité du coefficient de pénétration dans l air? f) En quelle unité s exprime le coefficient de diffusion molaire D d un soluté à travers une membrane d épaisseur intervenant dans la 1 ère Loi de Fick : =.? On sait que le flux est donné par la relation = (n : nombre de moles), et que (exprimée en mol.m -3 ) est la différence de concentration régnant de part et d autre de la membrane d épaisseur g) L intensité acoustique en un point situé près d une source sonore peut être calculée à partir de la relation : = ² Sachant que a la dimension d une pression, que est la masse volumique, et que la célérité du son,, a la dimension d une vitesse, déterminer la dimension de l intensité acoustique? 4

5 Chapitre 2 : Equations différentielles 1. Introduction : qu est-ce qu une équation différentielle? Les seules équations étudiées jusqu à présent s appellent des équations algébriques ; exemple : ²+ 30=0 les solutions des équations algébriques sont des nombres réels 6 5 ) ; la variable des nombres réels est notée x Nous allons rencontrer à présent un nouveau type d équations : les équations différentielles ; exemple d équation différentielle : +3 ²= 5 les solutions sont des fonctions ; la variable des fonctions est notée y. Une équation différentielle est donc une équation dans laquelle se trouvent la fonction y et sa(ou ses) dérivée(s) y, y, y, etc En physique, on rencontre beaucoup de phénomènes modélisés par des équations différentielles (ex de la chute d une bille dans un fluide : l application de la 2 nde Loi de Newton aboutit à = + qui est une équation différentielle. Il faut faire appel aux mathématiques pour pouvoir résoudre cette équation différentielle et déterminer la fonction solution du phénomène (ici : v t = 1 e ) dont on peut tracer la courbe) Il existe une infinité d équations différentielles, nous n étudierons ici uniquement l équation différentielle du type : = +, et ses différentes applications 2. Equation différentielle = +, R : Théorème : les solutions de l équation différentielle = +, R sont les fonctions : =, R Remarque : l équation différentielle = R est un cas particulier du théorème cidessus correspondant à b = 0 ; on obtient alors les solutions de la forme = R Une équation différentielle admet une infinité de solutions sur un intervalle I, ces solutions étant toutes définies à la constante k près. Toutes les solutions d une équation différentielle sont donc distinctes, leurs courbes représentatives n ont aucun point d intersection les unes avec les autres. Il faut et il suffit d une condition (généralement initiale) pour fixer et obtenir UNE (et une seule) solution de l équation différentielle. 5

6 Exemple : soit l équation différentielle (E) : = a) Résoudre (E) b) Quelle est la solution de (E) telle que 0 = a) Par Théorème, les solutions de (E) sont de la forme : = = + b) On a par hypothèse : 0 = Or, d après la formule, on a aussi, en 0 : 0 = + = + Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : 0 = = = +2 3 = 2 3 Conclusion : la solution de (E) telle que 0 = est = + = + 3. Résolution d une équation différentielle modélisant un cas concret (physique, biologie, etc ) : a) Méthode : - On résout l équation différentielle - On utilise la condition initiale (à aller chercher dans l énoncé), pour déterminer LA solution de l équation différentielle modélisant précisément le phénomène étudié - On utilise cette solution pour résoudre des questions concrètes : recherche d une durée, d un nombre de noyaux radioactifs restants, d une vitesse, d une proportion d habitants contaminés b) Exemple-type : A l instant t = 0h, on place un corps à 100 C (casserole d eau bouillante par exemple) dans une pièce à 20 C. On désigne par θ(t) la température du corps à l instant t. La loi de refroidissement de Newton est telle que la vitesse de refroidissement du corps θ (t) est proportionnelle à la différence de température entre le corps et la pièce, soit : θ (t) = -k [θ(t) 20] (avec k : coefficient de refroidissement égal à 2,08 h -1 ) a) Déterminer LA solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale b) Quelle est la température du corps après 30 minutes? c) Après combien de temps la température tombera-t-elle à 30 C? 6

7 Résolution : a) = 2,08 20 = 2,08 +41,6 Par Théorème, les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : =, 41,6 2,08 =, +20 Or, par hypothèse, =0 =100 D après la formule obtenue, on a aussi : =0 = +20= +20 Hypothèse et formule doivent coïncider, d où : 0 = = +20 =80 0 = +20 Conclusion : la solution de (E) telle que 0 =100 est =, + b) Attention t est en heure, donc 30 minutes correspondent à 0,5 h =0,5 =80,, +20=48,3 Au bout de 30 minutes, la température est de 48,3 C c) On cherche t tel que =30 Or =80, +20, soit à résoudre : 80, +20=30 80, =10, = 1 8, = 1 8 2,08 = 8 = 8 2,08 =1 Au bout d 1h, la température atteint 30 C 7

8 4. Exercices d application : exercice 5 : Résoudre les équations différentielles suivantes : a) + 2 = 1 0 = 1 b) = 2 0 = 2 exercice 6 : A l instant = 0h, on injecte dans le sang 2 d une substance médicamenteuse, qui sera supposée passer dans le sang instantanément, et s éliminer progressivement. La quantité de substance encore présente dans le sang à l instant t est régie par la fonction : = a) sachant que 25% de la substance est éliminée au cours de la 1 ère heure, on a : A : λ = 1,38 h -1 B : λ = 4, min -1 C : λ = 14 min -1 D : λ = 0,29 h -1 E : λ = 17,4 min -1 F : λ = 17,4 h -1 b) la quantité de substance dans le sang aura diminué de moitié à : A : t = 100 min B : t = 1444 min C : t = 2h 40 min D : t = 0,5 h E : t = 2h 23 min F : t = 1 h 55 min c) quelle est la quantité de substance éliminée en 3 heures? A : 0,84 mg B : 1,97 mg C : 1,05 mg D : 1,16 mg E : 0,03 mg F : 12,3 µg exercice 7 : Concours PCEM é =. é : = 8

9 exercice 8 : Concours PCEM On injecte dans le sang d un patient 5 ml d une solution médicamenteuse. Après 5 heures (h) il ne reste que 37% du médicament dans le sang. Le processus d élimination de ce médicament suit une loi différentielle de type dn/dt = - τ.n(t). On cherche le temps T nécessaire pour qu il ne reste plus que 10% du médicament dans le sang. (On pourra utiliser : 1/e = 0,37 ; avec e, exponentielle) Quelle est la combinaison de toutes les réponses exactes? 1. τ = 0,2 h 2. τ = 0,12 h τ = 0,2 min τ = 0,5 h 5. T = 12,2 h 6. T = 11,5 h 7. T = 19,2 h A : B : C : 3 D : E : 6 F : 4 G : 5 exercice 9 : Concours PCEM Lorsqu un objet a été contaminé par un produit radioactif, il ne peut être utilisé avant un temps t dec (temps de décontamination), qui est tel que le nombre d atomes radioactifs au temps t dec est égal à N(0)/1000, N(0) étant le nombre d atomes radioactifs au temps = 0. Nous rappelons que la loi différentielle relative à la radioactivité est =, où λ est la constante radioactive. Quelle est la relation entre λ et t dec? A : λ = (3 ln10) / t dec B : λ = 10 t dec C : λ = ln2 / t dec D : λ = t dec / log2 E : λ = t dec / ln2 F : λ = t dec / (3 ln10) 9

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