Fluides - Capillarité

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1 Préparation à l agrégation de Sciences-Physiques ENS Physique Fluides - Capillarité Capillarité De Gennes, Brochard-Wyart, Quéré, Gouttes, Bulles, Perles et Ondes Bruhat, Mécanique. Fleury Mathieu, Mécanique Physique. Guinier, La structure de la matière. Bouasse, Capillarité Phénomènes superficiels Hydrodynamique E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique physique D. J. Tritton, Physical fluid dynamics L. Landau, Mécanique des fluides Giles, Mécanique des fluides et hydraulique, série Schaum consulter aussi les notices des appareils...

2 1 Ce T.P. traite des phénomènes de capillarité, d hydrodynamique et de transport diffusif. Attention : il comporte deux grandes parties d égale importance (Hydrodynamique et Capillarité). A l intérieur de ces parties, il est précisé le degré d importance des expériences. Faites l impasse sur celles facultatives dans un premier temps. CAPILLARITE Note Pour les expériences quantitatives, utiliser de l eau distillée et du matériel propre et rincé à l alcool. I) Expériences qualitatives sur les lames de savon On dispose des objets suivants : A B C élastiques fil D E Plonger l objet A dans l eau savonneuse et percer l un des côtés de la lame. On illustre ainsi la loi de la surface minimale (en tenant compte des contraintes imposées à la lame) et on met aussi directement en évidence la force de tension superficielle agissant sur le fil. Plonger l objet B et percer les parties supérieures et inférieures de la lame. Tirer sur le fil inférieur et vérifier que cela n a aucune action sur la forme de l élastique supérieur. On illustre ainsi que la force par unité de longueur ne dépend pas de la surface de la lame, le comportement est donc très différent de celui d une lame élastique usuelle (ballon de baudruche). Remarque la tension de surface A (T) est indépendante de l aire Σ de la surface pour un corps pur. Dans le cas présent, A (T,C) dépend de la concentration surfacique Σ de savon. Si on dépose une quantité n 0 très faible de savon, C = n 0 Σ et A dépend de Σ via C. En pratique, la quantité de savon est très importante, et la surface est saturée (estimez la quantité nécessaire) quelle que soit la valeur de Σ. Dans cette limite, A est indépendante de Σ, comme pour un corps pur. Plonger l objet C. Interpréter la forme obtenue en termes de surface minimale. La symétrie observée obéit-elle aux lois de Curie? (pour la réponse, cf. BUP n 689). Vérifier que l angle de raccordement entre les différentes parties de la lame est 120 ce qui illustre indirectement le fait que la force exercée par chaque lame sur une unité de longueur de la ligne de raccordement ne dépend pas de sa surface. En effet, pour que la somme de trois forces faisant entre elles des

3 2 angles de 120 soit nulle, il faut que les trois forces soient identiques. Le cube D présente le même phénomène mais attention, les lames ne sont pas planes. Avec l objet E, on obtient en général une lame sur chaque anneau. Pour obtenir une lame unique les liant (ce qui correspond à une surface plus faible s ils sont suffisamment proches, cf. Landau de mécanique des fluides, p.294) il faut transitoirement les rapprocher et souffler de sorte que les deux lames adhèrent l une à l autre. Vérifier que les signes des rayons de courbure principaux en un point de la lame sont opposées (les deux côtés de la lame étant à la pression atmosphérique, la loi de Laplace impose 1 R + 1 R = 0. Il est difficile de vérifier quantitativement que R = R ). Note les lames étant de petites dimensions, on rendra l expérience visible de loin en formant une ombre qui les agrandit 2 à 4 fois. Alternativement, on pourra utiliser une webcam et un vidéoprojecteur. II) Loi de Laplace Rappelons que c est une loi générale de la tension superficielle. On propose de la vérifier ici dans le cas d une bulle de savon. Elle s écrit alors : P = 4 A où R est le rayon de la bulle, A R la tension de surface et P la surpression à l intérieur de la bulle. 1) Expérience qualitative, spectaculaire Former à chaque extrémité du générateur de bulles des bulles de tailles différentes. Les mettre en communication. Vérifier que la grosse mange la petite. 2) Expérience quantitative Utiliser le générateur de bulles composé d une poire et de trois robinets (il vaut mieux regarder la notice pour son emploi). En utilisant le capteur de pression dont l une des entrées est à la pression atmosphérique, mesurer la surpression pour différentes valeurs du rayon de la bulle (la mesure du rayon à l aide d une règle est relativement délicate). On pourra faire la mesure, à la volée, sur une même bulle, en prenant soin de prendre des points pour la plus petite et la plus grosse bulle possible. Vérifier la loi de Laplace en traçant P en fonction de la courbure de l interface et en déduire la valeur de A pour l eau savonneuse.

4 III) Loi de Jurin (important) 3 Il s agit de vérifier expérimentalement la loi de Jurin qui prévoit l ascension des liquides dans les tubes capillaires. Réaliser l expérience avec de l alcool pur, l eau posant trop de problèmes de mouillage imparfait. On dispose de 4 tubes de différents diamètres. Avant de les immerger dans l alcool, chasser tout liquide résiduel pour éviter la formation de bulles. Faire l image des tubes avec une lentille comme indiqué ci-dessous (attention, les images sont inversées sur l écran!) Tracer l ascension h du liquide dans le tube en fonction du rayon r du tube. Montrer que la relation h = 2A/ρgr est vérifiée et en déduire A. IV) Tensiomètre à lame mouillée (important) Cet appareil sert à mesurer la tension superficielle des liquides. 1) Principe On mesure avec une balance la force qui s exerce sur une lame solide lorsqu elle affleure la surface libre d un liquide. On établit que la lame mince est soumise de la part du liquide à une force dirigée vers le bas qui vaut : F = 2LA cos θ

5 4 où L est la largeur de la lame, θ l angle de raccordement du liquide sur la lame et A est la tension superficielle du liquide étudié. La mesure de la force conduit directement à la valeur de A cos θ. Dans la pratique, on fait en sorte d avoir cosθ 1 en utilisant une lame spécialement traitée pour être parfaitement mouillée par les liquides usuels. On s arrange aussi pour que la lame effleure l eau au moment de la mesure de façon à annuler la poussée d Archimède. 2) Expérience Choisir une des deux lames métalliques (cylindrique ou plate). La chaînette étant sur zéro, régler le contrepoids pour rétablir l horizontalité du bras de la balance. Monter le liquide jusqu à effleurement. La lame est attirée vers le liquide. Rétablir l horizontalité du fléau au moyen de la chaînette. Lire la valeur de la masse qui équilibre la force de tension superficielle. Attention, l arrachement de la lame hors du liquide intervient pour une force plus grande à cause de la poussée d Archimède. On a : m g = 2AL. Or par construction, L = 4,905 cm donc 2 L = 10 2 s 2. La mesure de m g en milligrammes divisée par 10 donne directement la valeur de A en mn/m. a) Précaution importante avant d effectuer les mesures, bien rincer les récipients et la lame à l eau puis à l alcool ordinaire. Ceci permet d éliminer toute trace de graisse et de savon (la graisse empêche le mouillage parfait et le savon abaisse considérablement la tension superficielle de l eau (voir ci-dessous)). Faire la mesure avec de l eau distillée. Sans changer l équilibre de la balance, ajouter une goutte de savon. Interpréter l effet puis mesurer la nouvelle valeur de A. Rajouter du savon et vérifier que A ne varie plus. Interpréter.

6 V) Mouillage, angle de raccordement 5 Il s agit de comparer l étalement d une goutte d eau sur des matériaux différents, plus ou moins mouillants. On dispose de quatre types de substrat : une plaque en téflon, une plaque en verre non traité, des lamelles recouvertes de poudre de lycopode et des lamelles recouvertes d un film fluoré. Il est essentiel, pour la validité des mesures, de ne pas toucher les plaques, avec quoi que ce soit. Disposer une grosse goutte d eau distillée (environ 2 cm de diamètre) sur le substrat choisi, et l observer par le coté, à l aide d une caméra CCD ou d une webcam. Alternativement, on peut faire l image de la goutte sur un écran avec une lentille. Comparer les angles de contact. On illustre ainsi le fait que l eau mouille le verre alors qu elle ne mouille pas le téflon (les vêtements en Gore-tex sont une application directe de ce phénomène : il s agit d un tissu de téflon percé de très petits trous (diamètre 0.2 µm) qui laisse passer la vapeur d eau dégagée par le corps humain mais pas l eau liquide dégagée par les nuages), et encore moins les lamelles : celles enduites de la poudre de lycopode permettent un mouillage quasi nul, l angle de contact étant proche de 180. On peut exploiter quantitativement le cas d une goutte d eau sur du téflon. En mesurant à partir de l image sur l écran la hauteur de la goutte et l angle de raccordement (des procédures IGOR permettent de faire ces mesures sur les images capturées à partir de la webcam, après étalonnage en ce qui concerne la mesure de h), obtenir une valeur approchée de la constante de tension superficielle de l eau, sachant que : 2A (1 cos α) h = ρg v1 Attention cette formule n est valable que pour une goutte suffisamment large pour qu on puisse la considérer comme plane dans sa partie supérieure. Biblio Bruhat mécanique p.474. Voir également la notice N87 qui donne plus de détails.

7 6 VI) Cuve à ondes : ondes capillaires, ondes de gravité (important) Il s agit d une des expériences les plus simples à mettre en œuvre et les plus riches de l agrégation : mesure de longueur d onde en ondes progressives et ondes stationnaires (interférences) ; relation de dispersion dispersive, vitesse de phase et vitesse de groupe ; ondes capillaires et ondes de gravité. Si elle n a pas été abordée dans le TP sur les ondes, il convient de la faire ici. HYDRODYNAMIQUE VII) Écoulements visqueux laminaires 1) Écoulement de Poiseuille Référence Tritton Physical fluid dynamics, 2è édition, pp. 9 à 17. On veut vérifier la loi de Poiseuille qui donne le débit de l écoulement en fonction du gradient de pression P mesurée entre deux points de l écoulement, dans le cas du tube cylindrique : L D = π r4 P 8η L où η est la viscosité dynamique de l eau, r le rayon et L la longueur du tube. Cette loi est valable en régime laminaire ; elle est liée au profil parabolique de l écoulement dans le tube. Les nombres de Reynolds dans cet écoulement sont supérieurs à 1 (le vérifier), à la différence de l expérience de la loi de Stokes. Néanmoins, les mêmes équations, qui ne contiennent pas le terme non linéaire (v grad)v, s appliquent car ce dernier est rigoureusement nul pour cet écoulement parallèle aux parois et indépendant de la position sur l axe du tube. Il faut toutefois vérifier qu on ne dépasse pas Re = v max rρ/η = Au-dessus de cette valeur, le régime devient turbulent en raison d une instabilité de l écoulement de Poiseuille. P atm P 1 P 2 h h L La surpression dans le tube est imposée en ajustant la hauteur du tube inséré dans la bouteille. La hauteur h, légèrement supérieure à h, donne la différence de pression entre les deux extrémités du tube. Cependant, l étude de l écoulement est faite entre les deux dérivations, à l endroit où le régime de Poiseuille est bien établi. Nous mesurerons P = P 1 P 2 = ρg h à

8 7 l aide de papier millimétré. Pour mesurer le débit, utiliser un chronomètre et un bécher de 40 ml. Attendre que le régime soit permanent. Vérifier que, dans une gamme où le débit est suffisamment faible, D est effectivement proportionnel à h et en déduire la viscosité η de l eau. Au-delà, l écoulement devient turbulent et le débit devient saccadé. Le transport de quantité de mouvement n est alors plus diffusif mais convectif. On peut, par abus de langage, trouver un coefficient de diffusion équivalent. Dans le cas présent, trouver par l analyse dimensionnelle une expression de la viscosité turbulente η tur ne dépendant plus de la viscosité η et montrer que D varie alors comme la racine carrée de h. Le vérifier expérimentalement 1. 2) Loi de frottement sur une sphère : régime de Stokes et régime turbulent a) Illustration des régimes laminaire et turbulent Remplir une seringue d encre et la vider dans un bécher. Observer que le filet d encre est parallèle et ne présente pas de fluctuation spatiale ou temporelle, lorsqu il est créé à très basse vitesse. Observer le panache turbulent, conique, lorsqu au contraire la vitesse est élevée. Déposer dans un bécher d eau claire une unique goutte d encre au repos (important). Observer les instabilités successives. b) Loi de Stokes On se propose de mesurer la viscosité de la glycérine. On laisse tomber une bille d acier. Quand le mouvement est uniforme (s en assurer), on mesure la vitesse v en prenant le temps que la bille met à parcourir une distance fixée au préalable. Répéter l expérience avec des billes de différents rayons R. Tracer v limite en fonction de R, et déterminer η en ajustant vos résultats par la loi de Stokes F = 6πηRv limite. La loi de Stokes n est valable que pour les écoulements à nombre de Reynolds très inférieur à 1. Est-on dans ce régime? (Voir LANDAU Mécanique des Fluides p. 86, formule 20,17). Quelles 1 Si le long tube n est pas tout à fait horizontal, il peut y avoir h 0 sans écoulement; il faut alors corriger cette erreur systématique.

9 8 valeurs de R sont à préférer? Un paramètre qui influe beaucoup est le rapport de R au diamètre du tube (voir BUP n 814, mai 1999). Pour expliquer l écart éventuellement observé entre la viscosité mesurée et celle tabulée, on pourra considérer l influence de la température et surtout de la teneur en eau (voir Handboook). Données Masse volumique de l acier : 7, kg m 3 Masse volumique de la glycérine : 1, kg m 3 c) Frottement turbulent On se concentrera sur la relation entre force de frottement et vitesse dans le cas d une sphère, qui permet de compléter l expérience précédente à haut nombre de Reynolds. La force de traînée F exercée par l air sur le corps immobile dépend de nombreuses grandeurs dont principalement : la vitesse moyenne du fluide loin du corps v, les dimensions du corps parallèles à v, la surface S de la section du corps perpendiculaire à v, la masse volumique ρ du fluide, la viscosité ν du fluide. Pour réduire le nombre de paramètres, on travaille avec des grandeurs sans dimension (l idée étant que les phénomènes physiques sont indépendants des unités de mesure choisies). On définit alors C x le coefficient de traînée tel que : F = C x S ρv2 2 où C x dépend de nombres sans dimensions tels que Re et un nombre qui caractériserait la forme aérodynamique de l objet (difficile à quantifier en pratique). Sρv 2 /2 correspond à la force F dans le cas complètement turbulent (pas de dépendance avec la viscosité moléculaire), ce qui signifie que C x devient constant dans ces conditions (très grand Re). Dans le cas laminaire, F va dépendre de la viscosité, ce qui implique que C x va varier avec Re (construit avec la viscosité) ; on peut même prévoir cette dépendance dans le cas d un écoulement sur plaque plane (C x Re 1/2, cf. série SCHAUM Mécanique des Fluides et Hydraulique, p.263). d) Étude du coefficient de traînée en fonction de ces paramètres On utilisera pour cela une soufflerie adaptée à la mesure de la force exercée sur des obstacles de formes diverses. On peut penser à plusieurs séries d expériences : en variant le débit pour un même obstacle : C x (Re), à débit constant en changeant les obstacles et leur sens : C x en fonction de la forme aérodynamique.

10 9 VIII) Écoulement autour d un obstacle 1) Visualisation d un écoulement autour d un obstacle; changement de régime (qualitatif) On dispose d une cellule permettant de visualiser des écoulements bidimensionnels autour d un objet circulaire. Robinet Évier La cellule peut se placer sur un rétroprojecteur. La visualisation se fait à l aide de filets d encre injectés en amont de l obstacle. Bien vérifier l étanchéité de la cellule avant de la poser sur le rétro! Utiliser de préférence de l encre noire qui diffuse moins vite que les encres de couleur. a) Manipulation Injecter un nuage d encre au repos, puis établir un très léger courant : en régime stationnaire, les lignes de courant autour de l obstacle doivent être bien visibles et symétriques entre l amont et l aval. Augmenter lentement le débit et observer l établissement d une zone de recirculation qui piège le colorant en aval de l obstacle. Augmenter encore le débit : la zone de recirculation devient turbulente. b) Interprétation L interprétation en terme de nombre de Reynolds 1 ou 1 est délicate car deux tailles interviennent : le rayon R de l obstacle et l épaisseur (e = 3 mm) de la cellule. Le nombre de Reynolds calculé à partir de R ( ) Re = RU ν ne contrôle pas le changement de régime de l écoulement. Le vérifier et montrer que l écoulement reste symétrique même pour Re > 1. On peut montrer que ce régime d écoulement à faible débit est potentiel, i.e. u(x,y) = Ae 2 gradp, bien que les variations du champ de vitesse soient contrôlées par la viscosité dans la η direction transverse (e R). L écoulement à bas débit peut donc être comparé qualitativement à l écoulement potentiel sans circulation autour d un obstacle cylindrique. 2) Portance d une aile (facultatif) Poser l aile sur la balance électronique et en faire le zéro en l absence de flux. Mesurer la portance de l aile et la relier au profil de pression sur et sous l aile. On pourra montrer l influence de l angle d attaque et de la vitesse.

11 10 IX) Relation de Bernoulli : mesure de la vitesse d un fluide avec un tube de Pitot Dans un écoulement parfait et incompressible (à quelles conditions sont valables ces approximations?), on a le long d une ligne de courant : Le tube de Pitot est un tube double : 1 2 v2 + gz + p ρ = C ste O O Raccorder chacun des deux tubes à une extrémité du manomètre Utiliser la grosse soufflerie. La différence entre les pressions en O et O donne accès à la vitesse en O (établir la relation). Pour mesurer cette différence de pression, on utilisera le capteur prévu à cet effet, en branchant chacun des deux tubes à un embout du boitier. Le capteur délivre un signal de tension continu, linéaire en fonction de P. Il faut faire attention à la position du tube, car il donne une valeur locale de la vitesse. Utiliser aussi l anémomètre à fil chaud à affichage digital et le débimètre à hélice. X) Instabilité de Taylor-Couette (facultatif) Cette expérience quantitative permet de caractériser une instabilité et d observer la transition entre régimes laminaires et turbulent. Références E. Guyon et al. Hydrodynamique physique, Ch. 10. D. J. Tritton Physical fluid dynamics, Ch. 17. Caractéristiques de la cellule

12 11 On dispose d une cellule constituée de deux cylindres coaxiaux, de rayons respectifs R 1 = 35 mm et R 2 = 40 mm, ménageant un canal de 5 mm d épaisseur rempli d une huile silicone (très stable chimiquement et hydrophobe) de viscosité cinématique à 20 C : ν = 20 cst (centistokes) = m 2.s 1. Un moteur à courant continu, en prise directe sur le cylindre intérieur, permet de communiquer à celui-ci une vitesse de rotation Ω 1. Le cylindre extérieur est débloquable, ce qui permet de le faire tourner à la main à une vitesse Ω 2. LASER Mesure de Ω 1 Un disque percé de 100 petits trous est fixé sur le cylindre intérieur ; une fourche optique, constituée d une DEL en regard d un phototransistor détecte le défilement des trous et fournit un signal alternatif à la fréquence f (Ω 1 = f/100 en tr.s -1 ), mesurable au fréquencemètre. Alimentations Le moteur doit être alimenté par une source de tension continue. La tension nominale est de 24 V et ne peut être dépassée que de façon transitoire. En sous-alimentant le moteur entre 0 et 24 V, il est possible de faire varier continûment la vitesse de rotation Ω 1. La fourche optique doit être alimentée par une tension continue de 12 V convenablement polarisée (utiliser par exemple une alimentation d ampli. op.). Visualisation Les écoulements sont visualisés à l aide de fines particules en suspension (il s agit d un pigment nacré, l iridescine). On pourra en outre détecter l apparition de structures convectives dans le fluide en utilisant une nappe laser verticale formée à l aide d une lentille cylindrique (morceau d agitateur en verre). Manipulation Alimenter le moteur et la fourche optique ; brancher le fréquencemètre. Débloquer le cylindre extérieur et mettre le cylindre intérieur en rotation (Ω 1 1 tr.s 1 ) ; que se passe-t-il et quel phénomène met-on ainsi en évidence? Bloquer le cylindre extérieur et augmenter progressivement Ω 1 ; noter le changement de nature de l écoulement. Une symétrie du système s est spontanément brisée ; laquelle? Déterminer la valeur critique Ω c de la vitesse de rotation à la bifurcation ; comparer à la valeur théorique correspondant à un nombre de Taylor T a,c = 1, , où : T a = 2Ω2 1R 2 1(R 2 R 1 ) 3 ν 2 (R 1 + R 2 )

13 a 12 Augmenter encore Ω 1 ; qu observe-t-on? Quelle est la symétrie brisée dans ce cas? Stopper le moteur et faire tourner le cylindre extérieur à la main; observe-t-on une instabilité? TRANSPORT DIFFUSIF XI) Mesure du coefficient de diffusion du glycérol dans l eau L expérience est décrite dans Optics de Sommerfeld (p. 347). Elle a fait l objet d une partie de la Composition 2002, en ligne sur le site de Montrouge. On s y reportera pour les calculs correspondant à l expérience. 1) Principe L eau et le glycérol ayant des indices optiques différents, la diffusion de l un dans l autre crée un gradient de concentration, et donc d indice, dans la zone de mélange. L eau et le glycérol étant miscibles, il n y a pas d interface entre les deux. On propose d utiliser la déviation d un faisceau lumineux par le gradient d indice pour mesurer la diffusivité du glycérol dans l eau. eau (n ) e x rayon incident n(x) gl ycérol (n ) g d Si la déviation α du rayon est petite : α = d dn dx La constante diélectrique est une fonction linéaire de la concentration, et on trouve finalement que la déviation maximum vaut : αmax = (n g n e )dc 0 2 πdt où D est la diffusivité et t le temps (t = 0 correspondrait à l instant où les 2 liquides n ont pas encore diffusé). C 0 est la fraction volumique du glycérol dans le mélange eau-glycérol utilisé (plus loin, on suggère C 0 = 50 %).

14 13 2) Réalisation de l expérience Élargir un faisceau laser avec un agitateur en verre pour réaliser une nappe, inclinée à 45 par rapport aux côtés de la cuve. On fera les observations sur un écran recouvert d un papier millimétré situé à environ 50 cm de la cuve. Faisceau inc ident h lent ille cylindrique (agit at eur) Cuve Ecr an Quand la cuve est vide, la trace de la nappe sur l écran est une ligne inclinée à 45 (trait pointillé sur la figure ci dessus). Repérer cette trace sur le papier. Remplir à moitié d eau, puis verser doucement le glycérol dans le fond de la cuve à l aide de la burette. L extrémité de la burette doit être sur le côté de la cuve et plonger jusqu au fond pour limiter au maximum le mélange des deux liquides par convection. La nappe laser est alors fortement déformée : l allure de la trace sur l écran est indiquée en trait gras sur la figure. 3) Précautions être sûr que tout est prêt avant de verser le glycérol : la diffusion est un phénomène irréversible! En cas de fausse manœuvre, il faut tout recommencer après avoir bien nettoyé la cuve. purger la burette ne pas secouer la cuve pendant l expérience (il ne faut surtout pas essayer d enlever la burette après avoir versé le glycérol) utiliser plutôt un mélange eau-glycérol (50%) que du glycérol pur, dont l indice est trop différent de celui de l eau; la déviation est alors très importante et on sort du domaine de validité des formules ci-dessus. Si on utilise un mélange, celui-ci doit être bien homogène. Relever la déflexion maximum h max en fonction du temps ; il est souhaitable de prendre des points pendant au moins une vingtaine de minutes. L origine des temps peut être choisie arbitrairement, à condition d en faire un paramètre d ajustement de la loi de h max en fonction du temps. Montrer que l on a affaire à une loi de diffusion. À partir de la forme du plan laser, déduire le profil vertical du gradient de concentration et le comparer à une gaussienne. Pourquoi? Valeurs numériques indice de l eau n e = 1, 33, du glycérol n g = 1, 47.

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