Rappels Mathématiques

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1 Chptre I Rppels Mthémtques I. Générltés sur les grndeurs physques On dstngue deux types de grndeurs - grndeurs physques repérles - grndeurs physques mesurles. Grndeurs physques repérles Une grndeur physque est repérle s l est possle de défnr une relton d ordre pour chque couple d oservton une grndeur, sns lu donner des vleurs numérques précses. Exemple : Dureté Vscosté Rgdté délectrque Etc

2 . Grndeurs physques mesurles Une grndeur physque est mesurle s l est possle de défnr l églté et l ddton de deux grndeurs de son espèces, et s l est possle uss de lu ssocer une vleur numérque. Le nomre qu mesure cette grndeur est le rpport de cette grndeur à l grndeur de même espèce chose comme unté. Il exste deux types de grndeurs mesurles : Sclres et Vectorelles. Exemple de grndeurs sclres : - Longueur - Msse - Temps - Etc. Exemple de grndeurs vectorelles - Vtesse - Accélérton - Etc II. Systèmes d untés en physque II.. Untés de se du système nterntonl Le système nterntonl S.I. est consttué pr les untés du système MKSA rtonlsé M : Mètre, K : Klogrmme, S : Seconde et A : Ampère et comporte des défntons supplémentres de l unté de tempérture et de l unté d ntensté lumneuse. Dns ce système d unté, les untés de se ou fondmentles se défnssent de l fçon suvnte : - Longueur : l unté de se SI de longueur est le mètre m. Le mètre est l longueur égle à ,73 Longueur d onde, dns le vde de l rdton correspondnt à l trnston entre les nveux p 0 et 5d 5 de l tome de Krypton Msse : l unté de se SI de msse est le KlogrmmeKg. Le Klogrmme est l msse du prototype en pltne, qu été snctonné pr l conférence générle des Pods et Mesures, tenue à Prs en 889, et qu déposé u BIPM Bureu Interntonl des Pods et Mesures : l est héergé u Pvllon de Breteul à Sèvres, dns le Prc de Snt-Cloud près de Prs. -Temps : l unté de se dns le S. I. de temps est l seconde s. L seconde est défne comme étnt l frcton / , 9747 de l nnée tropque de 900.

3 - Intensté du cournt électrque : l unté de se dns le S. I. de l ntensté du cournt électrque est l Ampère A. L mpère est défn comme étnt l ntensté du cournt constnt qu, mntenu dns deux conducteurs prllèles, rectlgnes, de longueur nfne, de secton crculre néglgele et plcés à une dstnce de mètre l un de l utre, dns le vde, produt entre ces conducteurs, pr mètre de longueur, une force égle à. 0-7 Newton. -Tempérture thermodynmque : l unté de se dns le S. I. de l tempérture thermodynmque est le Degré Kelvn K. Le Degré Kelvn est défn comme étnt le degré de l échelle thermodynmque es tempértures solues dns lquelle l tempérture du pont trple de l eu est 73,6 C. Pont Trple Le pont trple est, en thermodynmque, un pont du dgrmme de phse qu correspond à l coexstence de tros étts lqude, solde et gzeux dun corps pur. Il est unque et soserve seulement à une tempérture et une presson données. Exemple : - Le pont trple de leu est à : T 73,6 K sot 0,0 C et P 6 P sot 0,006 tm - Le pont trple de lzote est à : T 63,6 K et P 868 P - Le pont trple du doxyde de crone est à: T 6,55 K et P P sot 5, tm - Le pont trple du néon est à : T 4,556 K et P 4, Dgrmme de phse de leu P - Intensté lumneuse : l unté de se dns le S. I. de l ntensté lumneuse est le Cndel Cd. Le Cndel est défne comme étnt l ntensté lumneuse, dns une drecton détermnée, d une ouverture perpendculre à cette drecton, ynt une re de /60 de centmètre crré et ryonnnt comme un rdteur ntégrl Corps Nor à l tempérture de soldfcton du pltne. 3

4 Remrque : Il exste uss d utres systèmes d untés en physque, comme pr exemple : - Le système CGS Centmètre, Grmme, Seconde ; - Le système MTS Mètre, Tonne, Seconde. II.. Untés dérvées du Système Interntonl A prtr des untés de se uprvnt défnes, on peut défnr fclement des untés qu en découlent, - Surfce : mètre crré m Are d un crré de mètre de coté -Volume : mètre cue m 3 Volume d un cue de mètre de coté - Angle pln : rdn rd ou rd Angle pln, ynt son sommet u centre d un cercle, nterceptnt, sur l crconférence de ce cercle, un rc d une longueur égle à celle du ryon. - Angle solde : stérdn sr Angle solde, ynt son sommet u centre d une sphère, découpnt sur l surfce de cette sphère, une re égle à celle d un crré ynt pour côté le ryon de l sphère. -Vtesse : mètre pr seconde m/s Vtesse d un mole qu, nmé d un mouvement unforme, prcourt en seconde, une dstnce de mètre. -Accélérton : mètre pr seconde, pr seconde m/s - Vtesse Angulre : rdn pr seconde rd/s - Force : Newton N Force qu communque à un corps, ynt une msse de Kg, une ccélérton de mètre pr seconde - Moment : Mètre.Newton m.n Moment pr rpport à un xe, d une force de Newton dont le support est dstnt de mètre de l xe et y est orthogonl. - Energe, Trvl, Quntté de Chleur : Joule J Trvl produt pr une force de Newton dont le pont d pplcton se déplce de mètre dns l drecton de l force. - Pussnce : Wtt W 4

5 Pussnce de Joule pr seconde Trvl/ Temps. - Contrnte, Presson : Pscl P Presson unforme qu, gssnt sur une surfce plne de mètre crré, exerce perpendculrement à cette surfce, une force totle de Newton. III. Equtons ux Dmensons III.. Défnton : Les équtons ux dmensons sont des écrtures conventonnelles qu résument smplement l défnton des grndeurs dérvées des untés fondmentles : Longueur, Msse et Temps : symolsées pr les muscules L, M et T. Ans une vtesse qu est le quotent d une longueur L pr un temps T est représentée pr L V LT T L - une ccélérton : Γ LT T - une force : F M. Γ MLT - un trvl : W F. L ML T W - une pussnce : P ML T T 3 - une quntté de chleur : 3 Q ML T comme un trvl - une presson, une contrnte : F MLT p ML T S L - un moment d nerte : M ML III.. Utltés des équtons ux dmensons Les équtons ux dmensons servent à vérfer l homogénété des formules : Ans : mv est homogène à une énerge cest-à-dre un trvl, l équton ux dmensons d un trvl est W L ML T mv M. ML T est en une énerge. T 5

6 III. 3. Relton entre les untés Les reltons entre les untés des dfférents systèmes peuvent être fclement étles en utlsnt les équtons ux dmensons. Exemple : Clculer l relton exstnt entre le Brye unté de presson dns le système CGS et le pscl unté de presson dns le S. I. Presson : p ML T P Brye M L. M L T. T P 0 Bryes IV. Clcul d erreurs IV.. Défntons : Pour toute grndeur mesurle A, l est possle de défnr : - s vleur mesurée - s vleur excte 0 qu on ne peut ps ttendre Erreur Asolue : se défnt lors pr δ 0 Cette erreur est l résultnte de pluseurs erreurs systémtques, ccédentelles. Incerttude solue : L erreur solue δ n étnt ps connue, on se contente de donner une lmte supéreure ppelée ncerttude solue telle que : δ > 0 l ncerttude solue est touours >0 Cel veut dre que l ncerttude solue est l vleur mxmle que peut ttendre l erreur solue. Incerttude reltve : Elle est défne pr le rpport IV.. Clculs d erreurs Sot une grndeur gfx, y, z, s dfférentelle totle s écrt : f f f dg dx dy dz x y z L ncerttude solue sur l vrle g s otent en pssnt ux vrtons des vrles qu l compose, sot : 6

7 g f x x f y y f z z Exemple : ρ Sot à détermner l ncerttude reltve ρ de l msse volumque de l sustnce d un cue homogène à prtr de l mesure de s msse «m» et de son rête. Soluton : S m et désgnent les vleurs pprochées de l msse et de l rête du cue, on peut écrre : msse m ρ ρ m 3 volume 3 Dérvnt le volume pr rpport à l msse et à l rête. Ce qu donne : 3 4 dρ dm 3 md En pproxmnt les pettes vrtons «d» pr de grndes vrtons, l vent : ρ 3 4 m 3 m ρ 3 m m 3 4 ρ m m d où 3 4 ρ m Remrque : On retrouve l même chose en prennt Lnρ et en dfférentnt l nouvelle équton. Ln : est l foncton népérenne. Exemple 0 : Sot à détermner l ncerttude sur l ndce de réfrcton d un prsme donné pr l relton suvnte : [ D A / ] sn n sn A/ A D Soluton : Ryon lumneux ncdent Prsme Ryon lumneux réfléch sn dn A D A A A D A cos dd da os da sn D cos A sn 7

8 da A D A A D A A D A dd sn cos cos sn sn cos A sn da A D A A D A dd sn sn cos A sn D D A sn cos da dd A sn A sn Il vent : n D sn A sn D A cos A A sn D V. Vecteurs V.. Défntons Un vecteur est segment de drote MN, ynt une orgne M et une extrémté N. Il est complètement défn s l on se donne : N - son orgne ou pont d pplcton. - s drecton qu est celle de l drote. - Son sens qu est le sens du mouvement d un mole llnt de M vers N. - S grndeur qu l longueur MN ou module. On le note symolquement pr MN, A,, etc. M Vecteur lre Remrque : S l on se donne smplement l drecton, le sens et le module, on dt que l on M N M N défn un vecteur lre. Vecteur glssnt S en plus, on se donne l drote qu porte le vecteur, on dt que l on défn un vecteur glssnt. S en plus de l drote qu porte le M N vecteur, on se donne encore le pont Vecteur lé 8

9 d pplcton M, on défnt un vecteur lé. Deux vecteurs lés d orgne dfférentes, sont dts égux lorsqu ls ont l même drecton, même sens et même module : ls représentent le même vecteurs glssnt. Deux vecteurs lés, d orgnes quelconques, sont dts opposés lorsqu ls ont l même drecton, même grndeur et des sens opposés : ls sont dts drectement opposés lorsqu ls sont portés pr l même drote. V.. Opértons sur les vecteurs lres V... Addton Pr défnton, l somme d un certns nomre de vecteurs lres,,...,, 3 n est un vecteur lre, dont on otent l représentton en construsnt un contour polygonl d orgne quelconque et dont les côtés sont respectvement égux ux vecteurs,, 3,..., n. On écrt : 3... n Exemple n 3. O 3 n On démontre fclement, pr des consdértons de géométre élémentre, que cette somme n est ps modfée lorsqu on ntervertt l ordre des vecteurs, ou qu on remplce pluseurs d entre eux pr leur somme. L somme des vecteurs est donc commuttve est ssoctve. D utre prt, l somme de deux vecteurs opposés est nulle. Ce qu veut dre : 0 L dfférence de deux vecteurs et : est l somme du premer vecteur est l opposé du second : Exemple : 9

10 V... Composntes d un vecteur Les tros proectons OM, ON, OP d un vecteur sur les tros xes de coordonnées Oxyz peuvent être consdérées comme tros vecteurs X, Y, Z portés respectvement pr ces tros xes, dont le sens et les z grndeurs sont défns pr les tros P nomres lgérques X, Y et Z. On montre fclement que le vecteur est l somme des tros vecteurs X, Y, Z. O R N y X Y Z M x Les tros vecteurs X, Y, Z s ppellent les 3 composntes du vecteur. S l on consdère dvers vecteurs,, 3 de composntes X, Y, Z, X, Y, et X, Y,, les théorèmes générux de l ddton permettent Z 3 3 Z 3 d écrre leur somme sous l forme : 3 X Y Z X Y Z X 3 Y 3 Z 3 X X X 3 Y Y Y3 Z Z Z 3 Ans, l églté vectorelle 3 est équvlente ux tros égltés lgérques : XX X X 3 YY Y Y 3 ZZ Z Z 3 V.. 3. Multplcton d un vecteur pr une quntté sclre L somme de n vecteurs, tous égux à un même vecteur, est évdemment un vecteur ynt même drecton et même sens que le vecteur et dont l grndeur est égle à n fos l grndeur du vecteur. n... n fos 0

11 De même le rpport / de deux vecteurs prllèles et est un nomre lgérque m, dont l vleur solue est le rpport / des grndeurs des deux vecteurs, et qu est postf s les deux vecteurs sont de même sens, négtf s les deux vecteurs sont de sens contrre. Remrque Les tros composntes X, Y, Z d un vecteur peuvent être consdérées comme les produts pr les tros nomre lgérques X, Y, Z coordonnées de e vecteur, de vecteurs,, de grndeurs égles à l unté, respectvement drgés suvnt les tros xes Ox, Oy, Oz dns le sens postf de ces xes.,, sont ppelés vecteurs untres des xes. Ans le vecteur de coordonnées X, Y, Z s écrr X Y Z V.. 4. Produt sclre On ppelle produt sclre de deux vecteurs et, fsnt entre eux l ngle θ, et on représente pr l notton m sclre l quntté m cosθ cosθ θ cosθ D près l défnton, l s vère que le produt sclre est commuttf cest-à-dre On conçot fclement d près l défnton que. On peut étendre u produt sclre les dverses règles du clcul lgérque :

12 De même en désgnnt pr X, Y, Z et X, Y, Z les coordonnées de deux vecteurs et pr rpport ux tros xes rectngulres de vecteurs untres,,, on peut écrre : X Y Z X Y Z XX XY XZ YX YY YZ ZX ZY ZZ Or et 0 Il s ensut donc : De l même fçon : XX YY ZZ X Y Z Les qunttés X Y Z et XX YY ZZ représentent des grndeurs sclres défnes ndépendmment des xes Oxyz, elles ne dépendent ps du chox de xes, et consttuent donc ce qu on ppelle des nvrnts. V.. 5. Produt vectorel On ppelle produt vectorel d un vecteur lre pr un vecteur lre et qu on note pr : p un vecteur lre p, perpendculre u pln des vecteurs et, de sens tel que le trèdre,, p sot drect et dont l grndeur est donné pr : p snθ Le module de p correspond donc à l re du prllélogrmme construt sur les deux vecteurs et. p Il résulte de l défnton que le produt vectorel n est ps ndépendnt de l ordre des deux fcteurs :

13 3 et sont deux vecteurs opposée. On peut pplquer u produt vectorel les règles ordnres du clcul lgérque à condton de ne ms ntervertr l ordre des fcteurs. Exemple : Exprmons en prtculer le produt vectorel de deux vecteurs et de coordonnées X, Y, Z et X, Y et Z ZZ ZY ZX YZ YY YX XZ XY XX Z Y X Z Y X Or 0 et Il s ensut : YX XY XZ ZX ZY YZ Dsposton prtque du clcul YX XY ZX XZ ZY YZ Z Y X Z Y X. V.. 6. Produt mxte On ppelle produt mxte de tros vecteurs c,, une quntté sclre m égle u produt sclre du trosème vecteur et du produt vectorel des deux premers : c m Ce produt mxte donne le volume du prlléléppède construt sur les tros vecteurs c,,. Comme le volume du prlléléppède peut être évlué à prtr d un quelconque des fces, on :

14 m c c c Comme le produt sclre est commuttf, on peut écrre : c c c On peut donc ntervertr l multplcton sclre et l multplcton vectorelle. V..7. Dérvée d un vecteur V Défnton Sot une vrle t, supposons qu à chque vleur de t on sche fre correspondre un certn vecteur, on dt que ce vecteur est foncton de t : t. Anlytquement, cel veut dre que l on se donne tros fonctons Xt, Yt, Zt de l vrle t qu sont les coordonnées du vecteur. Consdérons deux vecteurs t et t t de l vrle t ; l leur correspond deux vleurs du vecteur, on peut former leur dfférence qu est un certn vecteur. Ce vecteur tend générlement vers zéro en même temps que t, ms le vecteur t tend générlement vers une lmte. Cette lmte est un vecteur dérvée du vecteur ; on écrt : d dt On peut défnr de l même fçon, et l on écrt : d dt qu on ppelle dérvée seconde du vecteur On vot mmédtement que les composntes de sont données pr : dx dy X, Y, Z dt dt dz dt 4

15 Il en est de même de l dérvée seconde du vecteur. Les composntes de sont données pr : d X d Y d Z X, Y, Z dt dt dt V Applctons dverses Dérvée d un produt sclre : S est constnt cr 0 S est un vecteur de module constnt, son crré const, s dérvée qu est donnée pr 0. Le vecteur dérvée est donc touours perpendculre u vecteur. On peut touours défnr un vecteur pr u où u est un vecteur untre. S dérvée s otent pr : u u On vot donc que l dérvée de est l somme de deux vecteurs dont le premer u est prllèle u vecteur, le second u lu est perpendculre. V.. 8. Moment d un vecteur pr rpport à un pont Consdérons un vecteur lé d orgne A d extrémté B porté pr une drote et un pont O. On ppelle moment du vecteur pr rpport u pont O, un vecteur égl u produt vectorel du vecteur OA pr le vecteur : Μ t O OA M t O O B H A 5

16 Son module est le doule de l re du trngle OAB, son module est donc égl u produt de l grndeur AB pr l dstnce OH du pont O à l drote. On vot que s grndeur, s drecton et son sens sont ndépendnts de l poston de AB sur l drote. L noton de moment est donc reltve à un vecteur glssnt. On peut noter deux théorèmes reltfs u clcul des moments :. le moment d un vecteur pr rpport à un pont O est égl à l somme de son moment pr rpport u pont O et du moment pr rpport à O, d un vecteur égl d orgne O : Μ t O O A O O OA O O OA. le moment de l somme de pluseurs vecteurs concournts est égle à l somme de leurs moments Théorème de Vrgnon. En désgnnt pr A le pont de concours des vecteurs glssnts,, c,... ce théorème trdut les égltés géométrques : Μ t O c... OA c... OA OA OA c... Μ t O Μ t O Μ t O c... 6

17 المصطلحات Termnologe VI. مقدار فيزياي ي قابل للقياس.. mesurle Grndeur physque مقدار فيزياي ي غير قابل للقياس repérle Grndeur physque التساوي.. Eglté حاصل قسمة... Rpport فصيلة.. Espèce نوع.. Type مقدار سلمي.. sclre Grndeur مقدار شعاعي. vectorelle Grndeur طول.. Longueur آتلة... Msse سرعة.. Vtesse تسارع. Accélérton وحدة القياس mesure Unté de نظام دولي nterntonl Système شدة التيار الكهرباي ي électrque. Intensté du cournt سرعة زاوية.. ngulre Vtesse قوة Force عزم. Moment طاقة. Energe استطاعة.. Pussnce عمل.. Trvl آمية حرارة.. chleur Quntté de ضغط. Presson أفقي. Horzontl عمودي / متعامد Norml,Perpendculre تعريف..... Défnton اصطلاحي.. Conventonnel وحدة أساسية.. fondmentle Unté عزم العطالة. d nerte Moment متجانس Homogène أخطاء.. Erreurs ارتيابات... Incerttudes مطلق.. Asolu نسبي.. Reltf متغير... Vrle معادلة تفاضلية. dfférentelle Equton Vecteur... شعاع... مبدأ. Orgne حامل.. Drecton اتجاه.. Sens معيار / طويلة Module. معاآس. Opposé إحداثيات. Composntes إحداثيات Coordonnées... إسقاطات.... Proectons جداء سلمي. sclre Produt جداء شعاعي vectorel Produt مشتقة شعاع vecteur Dervée de محور.. Axe 7