BETON ARME Eurocode 2

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1 Laboratoire Matériaux et Durabilité des Constructions BETON ARME Eurocode S. Multon Centre Génie Civil INSA - Université Paul Sabatier - Toulouse - France 135, Avenue de Rangueil Toulouse Cedex 4 France PLAN 1. Généralités et principe des vérifications. Association Acier - Béton 3. Traction Simple 4. Compression Simple 5. Flexion Simple 6. Effort tranchant 7. Poutres en T 8. Poutres continues 9. Dalles 10. Méthodes des bielles et des tirants (semelle superficielle, poutre voile, console ) 11. Flexion Composée 1. Flèche 1

2 Bibliographie - Théorie et pratique du béton armé aux états limites, M. Albigès et M. Mingasson, Eyrolles. - Pratique du BAEL 91, J. Perchat, J. Roux, Ed. Eyrolles - Précis : Structures de Génie-Civil (projets, dimensionnements, normalisation), D. Didier, M. Le Brazidec, P. Nataf, R. Pralat, G. Simon, J. Thiesset, Ed. Nathan. - Béton Armé : Guide de calcul, H. Renaud, J. Lamirault, Ed. Foucher. - Béton Armé, J-P. Mougin, Eyrolles. - Béton armé aux états limites selon l additif du BAEL 91, J. Ouin, EL Educalivre. - Cours de Béton Armé de B. Capra, université de Marne la Vallée, - Cours de J-L. Clément, ENS de Cachan, - Cours du CNAM de M. Lorrain et D. Morin. Bibliographie - Béton armé BAEL et Eurocode., J. Perchat, Techniques de l Ingénieur. - Pratique de l Eurocode, J. Roux, Eyrolles - Maîtrise de l Eurocode, J. Roux, Eyrolles - Béton armé Théorie et applications selon l Eurocode, J-L. Granju, Eyrolles - Calcul des structures en béton, Eurocode, J-M. Paillé, Eyrolles - Applications de l Eurocode : calcul des bâtiments en béton, J-A. Calgaro, J. Cortade, Presses de l école nationale des Ponts et chaussées. - Construction et calculs des structures de bâtiment, Tomes 3 et 7, H. Thonier, Presses de l école nationale des Ponts et chaussées. - Dimensionnement des constructions selon l Eurocode à l aide des modèles Bielles et Tirants, J-L. Bosc, Presses de l école nationale des Ponts et chaussées. - Travail de fin d étude ESTP : Document d application pratique de l Eurocode, A. Delafond, Tuteur : J-L. Sellier (SOCOTEC)

3 EUROCODE Généralités et principe des vérifications Juin 01 Béton Armé - S. Multon 5 PLAN 1. Présentation des Eurocodes. Principe des justifications 3. Actions et sollicitations 4. Matériaux 5. Hypothèses de calcul ELU-ELS 6. Classes d exposition et enrobage 6 3

4 1. Les Eurocodes Objectifs : - favoriser le développement du marché unique européen pour les produits et les services d ingénierie (suppression des obstacles dus à des pratiques nationales codifiées différentes) - améliorer la compétitivité de l industrie européenne 7 1. Les Eurocodes 10 textes : EN 1990 : Bases de calcul des structures EN 1991 : Actions sur les structures (EC1) EN 199 : Structures en béton (EC) EN 1993 : Structures en acier (EC3) EN 1994 : Structures mixtes acier-béton (EC4) EN 1995 : Structures en bois (EC5) EN 1996 : Structures en maçonnerie (EC6) EN 1997 : Calcul géotechnique (EC7) EN 1998 : Résistance au séisme (EC8) EN 1999 : Structures en aluminium (EC9) 8 4

5 . Principe des justifications Calcul aux États Limites (EL) État Limite : État d une structure au-delà duquel sa fonction n est plus remplie. types : État Limite de Service (ELS) État Limite Ultime (ELU) 9. Principe des justifications ELS : liés aux conditions normales d exploitation, et de durabilité en service Déformations Vibrations Fissuration (corrosion) Critères de calcul : Vérification de contraintes admissibles et d ouverture de fissures Comportement linéaire des matériaux (élasticité) avec des charges non pondérées 10 5

6 . Principe des justifications ELU : Capacité portante, sécurité des biens et des personnes Perte d équilibre statique Rupture des sections Instabilité de formes Critères de calcul : Vérification de déformations admissibles Comportement non linéaire des matériaux avec des charges pondérées 11. Principe des justifications Paramètres influençant la sécurité : matériaux : incertitude sur la valeur des résistances (hétérogénéité, dispersion ) charges : valeurs des actions s exerçant sur l ouvrage, simultanéité des différentes actions. modèles de calcul : calcul RdM en élasticité => comportement réel différent du comportement modélisé Méthode de calcul (aux EL) semi-probabiliste avec coefficients partiels de sécurité 1 6

7 . Principe des justifications Actions F F : Action appliquée à la structure - actions permanentes représentées par une valeur caractéristique G k (variabilité souvent faible représentation par valeur moyenne) - actions variables Q k représentées par une des 3 valeurs représentatives : la valeur de combinaison : ψ 0 Q k, la valeur fréquente ψ 1 Q k et la valeur quasi fréquente ψ Q k 13 Résistances R : Résistances des matériaux (f e, f cj, f tj ) N. Principe des justifications 5 % R k R résistance caractéristique défini par un fractile de 5% (préconisé par l EC0) R 14 7

8 . Principe des justifications Valeurs de calcul Valeur de calcul des actions : F d = γ F.F k Valeur de calcul des résistances : R d = R k / γ R 15. Principe des justifications Vérifications : la valeur de calcul de l effet des actions doit être inférieure à la valeur de calcul de la résistance correspondante E d e cj tj ( γ ) i. ψ ifi Rd,, γ S γ b γ b f f f 16 8

9 3. Actions Définitions des actions dans les bâtiments EN 1991 Partie 1 Partie 1-1 : actions permanentes G, exploitation Q Partie 1- : actions sur les structures exposées au feu Partie 1-3 : charges de neige Partie 1-4 : actions du vent Partie 1-5 : actions thermiques Partie 1-6 : actions en cours de construction Partie 1-7 : actions accidentelles Actions Actions permanentes G (NF-EN ) : intensités faiblement variables (poids propre, poids des superstructures, poussée des terres...) Annexe A EC

10 3. Actions Charges d exploitation des bâtiments Q (NF-EN , 6.3) : prend en compte l usage normal, des objets mobiles, des véhicules, des événements rares prévus (concentration de personnes, empilage de mobilier ) Les surfaces chargées doivent être calculées en utilisant les valeurs caractéristiques q k (charge uniformément répartie) et Q k (charge concentrée). La charge concentrée Q k doit être considérée comme agissant en un point quelconque du plancher, du balcon ou des escaliers, sur une surface de forme adaptée (valeur recommandée : aire carrée de 50 mm de côté), en fonction de l'usage et du type de plancher et généralement non cumulable avec la charge répartie. 19 Charges courantes pour les planchers, aires de stockage et aires de circulation, en fonction de différentes catégories : Nature des locaux Catégorie de la surface q k (kn/m²) Q k (kn) Habitation A 3. Actions Planchers 1,5 Escaliers,5 Balcons 3,5 Bureaux B,5 4 C1 Espaces avec tables (écoles, cafés ),5 3 C Espaces avec sièges fixes 4 4 Lieux de réunion Commerces C3 Espaces sans obstacles à la circulation des personnes 4 4 C4 Espaces avec activités physiques 5 7 C5 Espaces avec foules importantes 5 4,5 D1 Commerces de détail 5 5 D Grands magasins 5 7 cf. EC1-1 article 6.3 et AN pour compléments 0 10

11 3. Actions aires de stockage (E) et garage (F et G) Nature Aire de stockage Aire de circulation et de stationnement pour véhicules légers Aire de circulation et de stationnement pour véhicules de poids moyen E1 Catégorie de la surface Surfaces susceptibles de revoir une accumulation de marchandise, y compris aires d accès q k (kn/m²) Q k (kn) 7,5 7 F PTAC < 30 kn, nb de places assises < 8,5 15 G 30 kn < PTAC < 160 knà essieux Actions Sur les toitures Nature Toitures inaccessibles sauf pour entretien de réparations courants H Catégorie de la surface Toitures de pente < 15% recevant une étanchéité q k (kn/m²) Q k (kn) 0,8 1,5 Autres 0 1,5 Toitures accessibles pour les usages A à D I Valeurs en fonction de leur usage Terrasses accessibles pour usages particuliers K Valeurs en fonction de leur usage Pour la catégorie K, on considère que la charge répartie s applique sur une surface de 10 m². 11

12 3. Actions Coefficients de réduction horizontale α A pour planchers et toitures (EC et AN) : EC1 (expressions recommandées) ANF Surface de catégories A à E Surface de catégories A, B, C3, D1 et F 5 A A α 0 A = ψ α 0,77 0 A = A A A 0 = 10 m² A 0 = 3,5 m² ψ 0 : coefficient de combinaison des actions variables 3 3. Actions Coefficients de réduction verticale α n pour poteaux et murs (EC et AN) : ce coefficient s applique à toute la charge des niveaux situés au-dessus, n est le nombre d étage (>) au-dessus des éléments structuraux chargés et de la même catégorie EC1 (expressions recommandées) Surface de catégories A à D ( n ) n + ψ α = 0 n 1 n ANF Surface de catégorie A 1,36 α n = 0,5 + n Surface de catégorie B et F 0,8 α n = 0,7 + n EC1 3.3.() : Lorsque la charge d'exploitation est considérée comme une action d'accompagnement, un seul des deux facteurs ψ et α n doit être appliqué. 4 1

13 3. Actions Combinaison d action à l ELU de résistance γ G G k + γ Q,1 Q k,1 + i> 1 γ Q,1. ψ 0,i Q k,i γ G = 1,35 si G défavorable 1 si favorable γ Q,1 = 1,5 (charge dominante et charge d accompagnement) 5 Combinaisons d action à l ELS caractéristique : fréquente : quasi permanente : 3. Actions G G k k + Q + ψ Q 1,1 i 1 k,1 + k,1 i> 1 + G k + ψ Q (valeur fréquentes : ψ 0 = 0,7 ψ 1 = 0,5 ψ = 0,3 à vérifier au cas par cas dans l EC0),i ψ i> 1 k,i 0,i ψ Q,i k,i Q k,i 6 13

14 4.1 Matériaux : Acier EC retient 3 types d acier : Classe A : acier à ductilité normale ε uk,5% (laminé à froid ou tréfilé) Classe B : acier à haute ductilité ε uk 5% (laminé à chaud) Classe C : acier à très haute ductilité ε uk 7,5% EC se limite aux aciers de limite élastique inférieure ou égale à 600 MPa Matériaux : Acier Diagrammes contraintes - déformations Diagramme à palier incliné (pour aciers A et B) σ s Diagramme à palier horizontal σ s k.f yk / γ s f yd = f yk / γ s f yd = f yk / γ s E s ε s ε se = f yd / E s ε ud = 0,9ε uk k donné en Annexe C : 1,05 (A) et 1,08 (B) E s = MPa E s ε se = f yd / E s déformation non limitée plus de limitation en pivot A 8 ε s 14

15 Tableau des sections d acier 4. Matériaux : Béton a) Classe de résistance désignée par C 5 / 30 (f ck sur cylindres et sur cubes) b) Résistance de calcul en compression : f cd = α cc f ck / γ c (γ c = 1,5) α cc = 1 pour le béton armé et 0,8 pour le béton non armé c) Diagrammes contrainte-déformation : 3 types proposés pour les calculs de section (parabole rectangle ou diagrammes simplifiés : bilinéaire ou rectangle EC 3.1.7) λ = 0,8 et η = 1,0 pour f ck 50 MPa λ = 0,8 (f ck 50)/400 η = 1,0 (f ck 50 )/00 pour 50 <f ck 90 MPa 30 15

16 4. Matériaux : Béton d) Résistance caractéristique à la compression sur cylindres en fonction du temps : f ck = f cm - 8 (EC, 3.1) en MPa avec f cm (t ) = β cc (t ) f cm β cc 1/ 8 ( t) = exp s 1 t (t en jour) où s est un coefficient qui prend les valeurs : 0,0 pour les ciments CEM 4,5 R, CEM 5,5 N, CEM 5,5 R ; 0,5 pour les ciments CEM 3,5 R, CEM 4,5 N ; 0,38 pour les ciments CEM 3,5 N. f cm : résistance moyenne en compression à 8 j Matériaux : Béton e) Résistance caractéristique à la traction (f ck < 50 MPa, EC, 3.1) : Valeur moyenne : f ctm = 0,30. fck Valeur inférieure de la résistance caractéristique : f 0,05 = 0,7. Valeur supérieure de la résistance caractéristique : f 1,3. /3 ctk f ctm ctk 0,95 = f ctm f) Module d élasticité : module instantané : E cm = [(f cm )/10] 0,3 (f cm en MPa) en GPa valables pour un béton de granulats de quartzite âgé de 8 jours, valeurs à réduire de 10 % pour des granulats calcaires, de 30 % pour des granulats issus de grès et à augmenter de 0 % pour des granulats issus de basalte (EC 3.1.3()) module différé : E c, eff = E cm / (1+ϕ(, t 0 )) voir le h) concernant le fluage pour la définition de ϕ 3 16

17 4. Matériaux : Béton Le Tableau 3.1 de l EC donne directement les valeurs les différentes caractéristiques du béton (traction, module, déformation limite ) en fonction de sa classe. g) Retrait (EC, 3.1.4) dans les bâtiments, les effets de la température et du retrait peuvent être négligé si (EC,.3.3 et AN), des joints espacés de d joint sont prévus : d joint 5 m : départements proches de la Méditerranée d joint 30 à 35 m : Est, Alpes et massif central d joint 40 m : région parisienne et Nord, d joint 50 m : Ouest de la France Matériaux : Béton g) Retrait (EC, 3.1.4) La déformation totale de retrait ε cs est égale à : ε cs = ε cd + ε ca ε cd : retrait de dessiccation évolue en fonction du temps : ε cd (t) = β ds (t, ts) k h ε cd,0 k h : coefficient dépendant du rayon moyen h 0 (Tableau 3.3) ε cd,0 : retrait de dessiccation non gêné (Tableau 3.) ( ) ( t t s ) β ds t, t s = 3 ( t t ) + 0,04 h s 0 t est l'âge du béton à l'instant considéré, en jours t s est l'âge du béton (jours) au début du retrait de dessiccation (en général à la fin de la cure). h 0 est le rayon moyen (mm) de la section transversale = Ac/u avec : Ac aire de la section du béton u périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccation

18 4. Matériaux : Béton g) Retrait (EC, 3.1.4) Matériaux : Béton g) Retrait (EC, 3.1.4) ε ca : retrait endogène évolue en fonction du temps : ε ca (t) = β as (t) ε ca ( ) ε ca ( ) =,5 (f ck 10).10-6 β as (t) =1 exp ( 0,.t 0,5 ) t étant exprimé en jours

19 4. Matériaux : Béton h) Fluage (EC, 3.1.4) - Déformation de fluage du béton à l instant t =, sous une contrainte de compression constante σ c 0,45 f ck (t 0 ) appliquée à l âge du béton t 0 (fluage linéaire) : ε cc (,t 0 ) = ϕ (,t 0 ). (σ c /E c ) E c : module tangent (peut être pris égal à 1,05 E cm ) ϕ (,t 0 ) Figure Déformation de fluage du béton à l instant t =, sous une contrainte de compression constante σ c > 0,45 f ck (t 0 ) appliquée à l âge du béton t 0 (fluage non linéaire) : ε cc (,t 0 ) = ϕ (, t 0 ) exp (1,5 (σ c /f cm (t 0 ) 0,45)). (σ c /E c ) Rem. : pour évolution de la déformation de fluage en fonction du temps EC, Annexe B 37 Calcul de ϕ(,t 0 ) t 0 : âge du béton au moment du chargement, en jours h 0 : rayon moyen = A c / u, où A c est l'aire de la section transversale du béton et u le périmètre de la partie exposée à la dessiccation Classe R : CEM 4,5 R, CEM 5,5 N et CEM 5,5 R Classe N : CEM 3,5 R, CEM 4,5 N Classe S : CEM 3,5 N 38 19

20 5. Hypothèses de calcul Hypothèses générales : - Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions, - La résistance du béton tendu est négligée - Adhérence parfaite entre l acier et le béton : au contact entre le béton et les armatures : ε s = ε c Vérification à l ELS Définition de classes d exposition (EC Tableau 4.1) / durabilité du béton Désignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition 1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0). Corrosion induite par carbonatation (XC1, ) 3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, ) 4. Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer (XS1, ) 5. Attaque gel/dégel (XF1, ) 6. Attaques chimiques (XA1, ) 40 0

21 5.1 Vérifications à l ELS 1) Limitation de la compression du béton à 0,6f ck vérifier pour certaines classes d exposition (XD, XF, XS) à faire sous la combinaison caractéristique (G + Q + 0,7Q ) ) Limitation de la contrainte dans l acier pour éviter une fissuration excessive du béton, EC recommande de limiter la contrainte dans les aciers à 0,8f yk pour la combinaison caractéristique 3) Maîtrise de la fissuration sous combinaison quasi permanente (G + 0,3 Q) Vérification à l ELS Adhérence parfaite, au niveau de l acier : ε s = ε c donc σ s = E s σ c E cm soit E cm σ c = σ s = Es σ s α e EC définit α e : coefficient d équivalence acier - béton E α e = E s cm E cm différent à court et long terme (prise en compte du fluage) α e diffère également) 4 1

22 E s = MPa, pour f c8 = 30 MPa, E ij = MPa α e = 5,85 et E vj = MPa α e = 17,39 Les recommandations professionnelles publiées par la Fédération Française du Bâtiment indique que si une grande précision n est pas nécessaire, on peut prendre α e = n = 15 pour des bétons courants et 9 pour des BHP. Juin 01 Béton Armé - S. Multon Vérification à l ELU Définition de déformations limites des matériaux (EC, f ck < 50 MPa): Le raccourcissement relatif du béton est limité à : En flexion 3,5 En compression L allongement relatif de l acier : n est pas limité si on considère un diagramme à palier horizontal dépend du type d acier utilisé (ε ud ) Le dimensionnement à l ELU se fait en supposant que le diagramme des déformations passe par l un des trois pivots A, B ou C. 44

23 5. Vérification à l ELU Pivot A : Allongement de l acier le plus tendu : ε s = Traction z Compression h A A 1 ε 10 %0 pièces soumises à la traction simple ou à une flexion simple ou composée Juin 01 Béton Armé - S. Multon 45 Pivot B : Raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : ε bc = 3, h A 5. Vérification à l ELU Traction z 3,5 %0 pièces soumises à une flexion simple ou composée 0 0 B Compression ε Juin 01 Béton Armé - S. Multon 46 3

24 5. Vérification à l ELU Pivot C : Raccourcissement de la fibre de béton à la distance de 3h/7 : ε bc =.10-3 Traction 0 z %0 Compression 3/7.h h A 0 3 C %0 ε pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple Juin 01 Béton Armé - S. Multon Classes d exposition et enrobage Définition de classes d exposition (EC Tableau 4.1) / durabilité du béton Désignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition 1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0). Corrosion induite par carbonatation (XC1, ) 3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, ) 4. Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer (XS1, ) 5. Attaque gel/dégel (XF1, ) 6. Attaques chimiques (XA1, ) 48 4

25 6. Classes d exposition et enrobage Enrobage nominal (EC Tableau 4.4.1) / durabilité du béton c nom = c min + c dev c nom : enrobage nominal à respecter c min : enrobage minimal c dev : tolérance d exécution = 10 mm avec : c min ( c ; c + c c c ; mm) = max, min, b min, dur dur, g dur, st dur add Classes d exposition et enrobage Enrobage nominal (EC Tableau 4.4.1) c min,b : enrobage minimal requis vis-à-vis de l adhérence armature individuelle : si φ 3 mm : c min,b = φ sinon c min,b = φ + 5 mm paquet : diamètre équivalent φ n = φ n b 55mm 50 5

26 6. Classes d exposition et enrobage Enrobage nominal (EC Tableau 4.4.1) c min,dur : enrobage minimal requis vis-à-vis des conditions d environnement (Tableau 4.4.N) Classes d exposition et enrobage Classe structurale (Tableau 4.3.NF, dans EC-AN) Classe structurale : permet de caractériser les critères liés à la durabilité de l ouvrage. Classe S4 : recommandée par l EC, bâtiments et ouvrages de génie civil courants (durabilité visée de 50 ans) La classe peut être modifiée en fonction de la durée de vie visée, de la classe du béton, de la nature du liant (Tableau 4.3.NF, AN). 5 6

27 6. Classes d exposition et enrobage Classes d exposition et enrobage c dur,γ : marge de sécurité (= 0 ; valeur recommandée par EC et AN) c dur,st : réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable (= 0 en général) c dur,add : réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire (= 0 en général) 54 7

28 6. Classes d exposition et enrobage Espacements horizontal et vertical entre barres (EC, 8.) : e h et e v e h ou ( φ ; d 5mm; mm) ev max max g + 0 φ max : diamètre des barres d g : dimension du plus gros granulat paquet : diamètre équivalent φ = φ n n b 55 Juin 01 Béton Armé - S. Multon 56 8

29 Association Acier Béton : Ancrage des armatures (EC, Section 8) Juin Longueur d ancrage conventionnelle de référence (8.4.3) : l b, rqd = φ 4 σ f sd bd σ sd : contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle on mesure l'ancrage (=435 MPa pour des aciers de 500 MPa et dans les conditions maximales, sinon on peut calculer la valeur exacte en fonction du chargement). f bd : valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhérence Juin

30 f bd : valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhérence η η fbd =,5 1 f ctd η 1 = 1 si les conditions d adhérence sont bonnes, 0,7 sinon η = 1 si φ 3 mm ou (13 φ)/100 sinon (φ : diamètre de la barre) f ctd = f ctk,0.05 / γ c f ctk,0.05 : résistance caractéristique à la traction avec un fractile de 5% f 7 ctk, 0.05 = 0, f ctm Juin EC, 8.4. définit les conditions d adhérence des armatures : Juin 01 (à moins qu on puisse montrer que les conditions sont bonnes) 60 30

31 Longueur d ancrage de calcul (8.4.4) : l bd = α1α α 3α 4α 5l b, rqd - les coefficients α i 1, sont définis dans le Tableau 8. de l EC (pour prendre en compte la forme des barres, l enrobage et le confinement des aciers) - EC, 8.4.4(), par simplification, on peut considérer : l l b, eq α 1 b, rqd = α 1 = 0,7 si c d >3φ ; 1 sinon Juin Longueur d ancrage minimale (8.4.4) : ( 0,3l ;10 ; mm) lb min max b, rqd 100, φ Juin

32 Ancrages courbes (EC, 8.4) : à partir de la longueur développée Juin Ancrages des armatures d effort tranchant (EC, 8.5) Juin

33 Recouvrement des barres Armatures tendues l r l r = l b Juin Recouvrement des barres (EC, 8.7) La longueur de recouvrement vaut : l = α α α α α α lb, rqd l0,min avec : l [ 0,3α l ;15 ; mm] 0,min = max 6 b, rqd φ 00 et α 6 = (ρ 1 /5) 0,5, compris entre 1 et 1,5, avec ρ 1, proportion de barres avec recouvrement dont l'axe se situe à moins de 0,65 l 0 de l'axe du recouvrement considéré 66 33

34 Recouvrement des barres (EC, 8.7) Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues de diamètre φ Armatures transversales A s, f e Juin Recouvrement des barres (EC, 8.7) Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues de diamètre φ si φ <0 mm ou si ρ 1 5%, pas de barres transversales à prévoir en plus de celles existantes si φ 0 mm, il faut une section totale d armatures transversales ΣA st A s (la section d une des barres du recouvrement), armatures à disposer moitié-moitié dans les tiers extérieur à l

35 Recouvrement des barres (EC, 8.7) Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres comprimées de diamètre φ mêmes règles que les barres tendues + disposer une barre transversale de part et d'autre du recouvrement, à une distance inférieure à 4φ des extrémités 69 Recouvrement des treillis soudés (EC, 8.7.5) Juin

36 Paquet de barres (EC, 8.9) Un paquet de n b barres (rapport des diamètres < 1,7) peut être considéré comme une barre : - de même section que le paquet -de même centre de gravité que le paquet -et de diamètre : φ n = φ n b Juin Juin

37 Traction Simple Juin Traction Simple PLAN 1. Hypothèses. Contraintes de calcul 3. Dimensionnement des armatures 4. Armatures transversales Juin

38 1. Hypothèses Rappel : La résistance du béton tendu est négligée. - Même centre de gravité pour le béton et la section d armatures Juin Limites à l ELU Résistance de l acier en traction : f yd = f yk / γ s γ s = 1,15 Juin

39 . Limites à l ELS Pour éviter une ouverture de fissures excessive, on limite la contrainte de traction sous la combinaison caractéristique des charges dans les aciers σ st à : σ st = 0,8f yk Juin Principe de dimensionnement N : Effort normal de traction, A : Section d aciers, σ : Contraintes limites de calcul Principe : N = A x σ Calcul de A à l ELU et à l ELS Juin

40 3. Principe de dimensionnement N Ed et N ser : Efforts normaux de traction à l ELU et à l ELS, A u et A ser : Sections d aciers à l ELU et à l ELS, f yd et σ st : Contraintes limites de calcul à l ELU et à l ELS ELU N Ed = 1,35.G + 1,5.Q Condition d équilibre statique N Ed = A u x f yd ELS N ser = G + Q Condition d équilibre statique : N ser = A ser x σ st La section d armatures du tirant est : A = sup (A u ; A ser ) Juin Maitrise de la fissuration a) Maîtrise de la fissuration non requise Limitation de la section du béton vis-à-vis de la section d acier, A s,min.f yk > A c.f ctm (A s,min : section des aciers tendus, f yk : limite d élasticité de l acier, A c : section de béton tendu, f ctm : résistance caractéristique du béton à la traction) Juin

41 3.3 Maitrise de la fissuration b) Maîtrise de la fissuration requise, 30 0, (A s,min : section des aciers tendus, f yk : limite d élasticité de l acier, A c : section de béton tendu, f ctm : résistance caractéristique du béton à la traction) Juin Armatures transversales En zone courante : φ t _ φ l / 3 et φ t > 6 mm Écartement : s t < plus petite dimension de la pièce En zone de recouvrement : voir chapitre précédent Juin

42 Compression Simple 83 Règlementations EC tout poteau est en compression composé (il existe toujours une excentricité du fait des défauts de construction) pas de méthode particulière pour la compression simple En France Méthode donnée par les Recommandations professionnelles 84 4

43 Compression Simple PLAN 1. Longueur de flambement. Dimensionnement des armatures 3. Dispositions constructives Longueur de flambement et élancement En compression, risque de flambement : Pour des éléments isolés (pas de rôle de contreventement) l l l l l longueur de flambement (dite efficace) l 0 = l l 0 =.l l 0 = 0,7.l l 0 = l / l 0 = l 86 43

44 44 87 Longueurs de flambement : Structure contreventée = ,45 1 0,45 1 0,5. k k k k l l = ; 10 1.max k k k k k k k k l l Structure non contreventée avec k 1 et k, les coefficients de souplesses des deux encastrements partiels du poteau l EI M k θ = 1. Longueur de flambement et élancement avec θ : rotation des éléments s opposant à la rotation pour un moment fléchissant M EI et l, la rigidité en flexion et la longueur de l élément comprimé (s il y a un élément comprimé adjacent dans un nœud, il faut remplacer EI/l par la somme des EI/l des poteaux) 88 l EI M k θ = θ l M 3EI = avec θ : rotation des éléments s opposant à la rotation pour un moment fléchissant M Le rapport M / θ dépend de la nature de la liaison au niveau de l appui opposé à celui étudié : θ l M 4EI = 1. Longueur de flambement et élancement θ M θ M

45 1. Longueur de flambement et élancement Longueurs de flambement : Poteau, I 1, l 1 Poutre, I w1, l w1 Poutre, I e1, l e1 1 l Poteau, I, l Poutre, I Poutre, I e, l e w, l w Poteau, I, l I1 / l1 + I / l k1 = α I / l +α I k avec : w1 w1 w w w1 w e1 e1 I / l + I / l = α I / l +α I e e / l / l e1 e α w ou e i = 4 si l autre appui de la poutre est un encastrement ou 3 si c est un appui simple Rem. : Il faut tenir compte de la fissuration dans la rigidité des éléments s opposant à la déformation Longueur de flambement et élancement Longueur de flambement des poteaux de bâtiments (Recommandations professionnelles, clause ) : - si leur raideur est non prise en compte dans le contreventement - s ils sont correctement connectés en tête et en pied à des éléments de raideur supérieure ou égale la longueur de flambement peut être prise égale à 0,7.l 90 45

46 1. Longueur de flambement et élancement Élancement d un élément : λ = l 0 i avec l 0 : longueur de flambement (m), i : rayon de giration (m). i = I B avec I : Inertie de l élément dans le plan de flambement (m 4 ), B : Section de l élément (m²). 91. Dimensionnement des armatures EC : il existe toujours une excentricité : e i : excentricité additionnelle traduisant les imperfections géométriques (après exécution), Cas d un élément isolé (pas de rôle de contreventement, sinon prise en compte d un effort transversal supplémentaire cf. EC 5.) e i = θ i. l 0 / α = θi θ0 α α h θ = 1/ 0 00 m α h = / l compris entre /3 et 1 (l : la longueur de l élément) ( 1 m) m = 0,5 1+ / m = 1 pour un poteau isolé (poteau ne participant pas au contreventement) l 0 : la longueur de flambement ou longueur efficace de l élément 46

47 . Dimensionnement des armatures EC : il existe toujours une excentricité : e i h max cm; 30 Tout élément comprimé est en flexion composé Dimensionnement en flexion composé 93. Dimensionnement des armatures Si les conditions suivantes sont respectées : poteau bi articulé sous charges centrées élancement λ 10 0 f ck 50 MPa épaisseur dans le sens du flambement h 0,15 m distance d des aciers à la paroi la plus proche min(0,30h ; 100 mm) armatures symétriques par moitié sur chaque face chargement à au moins 8 jours les Recommandations professionnelles de la FFB autorisent l emploi de la méthode suivante

48 . Dimensionnement des armatures Résistance théorique en compression simple : N Ed = N bét + N acier = B.f bu + A.σ sc Effort ultime de compression réglementaire (FFB) : N Ed N Rd bh. f f ck yk = khksα. + As. γ b γ s Aire d acier à dimensionner α : permet de prendre en compte les risques de flambement γ b = 1,5 γ s = 1, Dimensionnement des armatures Pour un poteau de section rectangulaire : Ed h s ( bhf A f ) N = k k α + cd s yd Pour une section rectangulaire l0 1 λ = h h : épaisseur du poteau dans le sens du flambt si λ 60 0,86 α = λ si 60 < λ 10 3 α = λ 1,

49 . Dimensionnement des armatures Pour un poteau de section rectangulaire : k h ( 0,75 + 0,5 )( 1 6ρδ ) = h pour h < 0,50 m sinon k h = 1 δ = d / h, d : enrobage des aciers ρ = A s / (b.h) si ρ et δ inconnus, on peut prendre k h = 0,93 à titre conservatif? cf. exe. k s 0,6 f = 1,6 500 yk pour f yk > 500 MPa et λ > 40 sinon k s = Dimensionnement des armatures Pour un poteau de section circulaire : si λ 60 N Rd pour une section circulaire : πd = k hksα fcd + As f yd 4 4.L λ = 0 D 0,84 α = λ si 60 < λ 10 7 α = λ 1,

50 . Dimensionnement des armatures Pour un poteau de section circulaire : k h ( 0,7 + 0,5 )( 1 8 ρδ ) = D pour D < 0,60 m sinon k h = 1 δ = d / D, d : enrobage des aciers ρ = A s / (πd²/4) si ρ et δ inconnus, on peut prendre k h = 0,93 à titre conservatif? cf. exe. k s 0,65 f = 1,6 500 yk pour f yk > 500 MPa et λ > 30 sinon k s = Dispositions constructives Recommandations professionnelles de la FFB A s : section totale des aciers situés à la distance d des parois, disposés en lits symétriques pour une section rectangulaire ou en 6 barres réparties pour une section circulaire

51 3. Dispositions constructives Armatures longitudinales (EC, 9.5.) diamètre minimal = 8 mm ferraillage minimum ferraillage maximum N Ed A s As,min = max 0,10 ;0,00. A c f yd A A s s,max 0,04. Ac = max 0,08. Ac hors zone de recouvrement au droit des zones de recouvrement Dispositions constructives Armatures transversales (EC, 9.5.3) diamètre minimal : - cadre et boucle : φ t max(6 mm; φ l_max / 4) - treillis φ t = 5 mm espacement des cadres en zone courante : s t,max = min(0.φ l ; 40 cm; b) b : plus petite dimension du poteau 10 51

52 Flexion Simple 103 Flexion Simple PLAN 1. Généralités, dimensions, matériaux et armatures minimales. Équilibre des sections 3. Dimensionnement des armatures à l ELU 4. Vérification des contraintes à l ELS 5. Maitrise de la fissuration 6. Dispense de vérification de la flèche 104 5

53 1. Généralités Flexion Simple Poutre sollicitée en flexion plane simple si le torseur des contraintes généralisées se réduit à seulement : M(x) et V(x) Remarque : En Béton Armé, les effets de ces deux sollicitations sont traités séparément. Janvier 007 Béton Armé - S. Multon Hypothèses - Au cours des déformations, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions, - La résistance du béton tendu est négligée - Adhérence parfaite acier - béton Hypothèse : Pour le dimensionnement des armatures en flexion simple à l ELU, on suppose que le diagramme des déformations passe par l un des deux pivots de flexion simple (A ou B) Janvier 007 Béton Armé - S. Multon

54 1.1 Hypothèses : Portée Portée à considérer dans un calcul de flexion (EC 5.3..) leff = ln + a 1 + a l n : portée libre entre nus d appuis - Si la poutre (ou dalle) est solidaire des poteaux (ou voiles) qui la supportent, le moment de calcul peut être pris égal au moment au nu d appui Résistance des matériaux à l ELU Acier : Résistance : Béton : Résistance : f f yd cd f yk = γ s = 1,15 γ f γ s ck = γ c = 1,5 c

55 1. Diagramme des 3 pivots h A Traction 1 A 0 z ε cu C B Compression (1-ε c /ε cu ).h ε ε ud 0 3 ε c Pivot A : Allongement de l acier : ε ud = 0,9. ε uk valeur fonction de la nuance (Annexe C) Pour f ck 50 MPa et un diagramme parabole rectangle (sinon EC, 3.1) Pivot B : Raccourcissement du béton : ε cu = 3, (flexion) Pivot C : Raccourcissement du béton à (1-ε c /ε cu ).h de la fibre la plus comprimée : ε c =.10-3 (compression, flexion composée) Section d armatures minimale EC, 9. : La section d armatures longitudinale d une poutre doit être supérieure ou égale à : f ctm As,min = max 0,6 bt d;0, 0013bt d f yk b t : largeur moyenne de la zone tendue (pour une poutre en T dont la membrure supérieure est comprimée, seule la largeur de l âme est prise en compte)

56 . Équilibre des sections à l ELU EC Comportement du béton à l ELU x x ε c x diagramme parabole rectangle σ c y u ε σ d A ε s σ s 111. Équilibre des sections à l ELU EC 3.1.7(3) : simplification de la loi de comportement du béton : x x ε c x diagramme rectangulaire simplifié η.f cd x ε λ.x σ d A ε s σ s b λ = 0,8 et η = 1,0 pour f ck 50 MPa λ = 0,8 (f ck 50)/400 η = 1,0 (f ck 50 )/00 pour 50 <f ck 90 MPa 11 56

57 . Équilibre des sections à l ELU x x x ε c ηf cd x ε λ.x σ A d ε s σ s b Équations d équilibre au centre de gravité des aciers tendus : A Fc + Fs = 0 λ. x. b. η. fcd + Aσ s = 0 M c = M λ = Ed A λ. x. b. η. f cd d x M Ed (I) (II) Données : b, h (d), f cd, f yd, M u Inconnues : σ s, x et A (A ) 113. Équilibre des sections à l ELU Ecriture adimensionnelle : (II) on pose x λ y λ = d M 1 u Ed d bd η. fcd α = x u d λ λα = u αu µ u et M Ed µ u = bd η. f 1 1 et en inversant : α = ( 1 1 ) cd (µ u est le moment réduit) u µ u λ pour f ck 50 MPa λ = 0,8 et η = 1,0 formules habituelles

58 . Équilibre des sections à l ELU Cas limites : 1. Cas de la droite AB (section de poutre en Pivots A et B simultanément) x x xab ε cu3 α AB = = ε cu3 d ε + ε x AB d A b ε ud A B ε µ cu3 AB = AB AB ud λ λα 1 α pour f ck 50 MPa et pour des aciers de : nuance A : µ AB = 0,10 nuance B : µ AB = 0,056 nuance C : µ AB = 0, Équilibre des sections Le coefficient µ u dépend de la géométrie du béton, des sollicitations et de la résistance du béton (quelle que soit la section d acier): M µ u = bd Ed fcd Si µ u µ AB α u α AB x u x AB x x Poutre dimensionnée pour rupture en Pivot A x AB x u x u ε cu B ε Si µ u µ AB α u α AB x u x AB Poutre dimensionnée pour rupture en Pivot B A b ε uk = A

59 . Équilibre des sections à l ELU Cas limites :. Cas de la droite BE (section de poutre en Pivot B et acier à la limite élastique) x x BE d x ε cu3 B ε α BE x = d BE ε cu3 = f ε cu3 + E cas courant : f ck 50 MPa, f yk = 500 MPa, γ s = 1,15 (E S = MPa) yd s A b ε se = f yk / E s E µ BE = 0,8α BE ( 1 0,4α BE ) = 0, 37 Si µ u µ BE x u x BE besoin de A pour renforcer le béton en compression Calcul de 3. Armatures de flexion Pour f ck 50 MPa et palier horizontal pour les aciers : M µ u = bd Ed fcd. Calcul en fonction de la classe d exposition :.1. X0 ou XC pas de limitation de la contrainte dans le béton à l ELS Calculer :.. XD, XF ou XS 3 xbe 3,5.10 α BE = = d f et µ lu = 0,8α BE ( 1 0, 4α BE ) 3 yd 3, E s cas courant : f e = 500 MPa, γ s = 1,15 (E S = MPa) µ lu = 0,37 limitation de la contrainte dans le béton à l ELS Déterminer µ lu dans des abaques ou tableau en fonction de la classe du béton et du rapport M Ed / M ser

60 Détermination de µ lu (abaque du BAEL avec θ = 0,85) J. Perchat Techniques de l Ingénieur Pour EC : toujours prendre θ = 0,85 θ.γ γ = M M Ed ser f ck /θ Armatures de flexion 3.1 Si µ u µ lu A = 0 ( 1 1 ) Calcul de α = 1,5 u µ u Equation (I) de l équilibre de la section de la poutre BA et ε st entre le pivot A et le point E acier plastifié σ st = f yd y u = α u.d (avec d = 0,9.h) A = 0,8. b. x f yd u. f cd Remarque : Si on écrit l équilibre de la section au centre de gravité du béton comprimé, on obtient : x x x M Ed M Ed = Af yd. zu A = ε bc f cd zu f yd x 0,8.x u u ε σ avec z = d 0,4. x A b ε st σst u 10 u 60

61 3. Armatures de flexion 3. Si µ u > µ lu (abaque du BAEL avec θ = 0,85) A 0 On impose x u tel que : x u = α u d avec α ' = α u lu µ µ lu ( 1 ) α = 1,51 lu µ lu u L équilibre de la section au centre de gravité des aciers tendus s écrit alors : x x u x ε bc ε sc ε 0,8. x A BE 0,8. x b. f cd BE b. f cd A' σ + Aσ = 0 ( d 0,4x ) + A' σ ( d d' ) BE sc sc st = M Ed A b ε st Armatures de flexion x A b x u ε st x ε bc ε sc ε ε sc = xu ' d'.3,5.10 x ' u 3 d :position des aciers comprimés / fibre sup. f yd ε sc ε se = σ sc = E s. ε E s f yd ε sc ε se = σ sc = f yd E s sc A' = [ M 0,8b. x '. f ( d 0,4x ')] Ed u cd u σ sc 1 M = Ed M ( d d' ) σ ( d d' ) sc Ed ' ' M Ed 1 f A [ 0,8b. x '. f + A' σ ] = + vérification ELS yd u cd sc 1 61

62 3. Armatures de flexion Variation de la méthode générale pour : Pour f ck 50 MPa et palier incliné pour les aciers : - limitation de la déformation de l acier au Pivot A - contrainte dans l acier peut être supérieure à f yd Pour 50 < f ck 90 MPa : - déformation ultime du béton dépend de sa résistance - et λ = 0,8 (f ck 50)/400 η = 1,0 (f ck 50 )/ Armatures de flexion Pour 50 < f ck 90 MPa : - déformation ultime du béton dépend de sa résistance λ xbe ε cu α BE = = µ lu = µ BE = λα BE 1 α BE d f yd ε cu + Es 14 6

63 3. Armatures de flexion Pour 50 < f ck 90 MPa : λ = 0,8 (f ck 50)/400 η = 1,0 (f ck 50 )/00 µ = M 1 Ed α ( ) u bd u = 1 1 µ u η. f λ cd et : soit : Si µ u µ lu A = 0 A = 0,8. b. x f Si µ u > µ lu A 0 reprendre équations précédentes avec λ et η u yd η. f cd Armatures de flexion EC Pour une poutre formant une construction monolithique avec ses appuis : Dimensionner la section sur appuis pour un moment fléchissant résultant de l'encastrement partiel d au moins 0,15 fois le moment fléchissant maximal en travée (y compris lorsque des appuis simples ont été adoptés dans le calcul) 16 63

64 4. Vérifications à l ELS 1) Limitation de la contrainte de compression du béton (EC 7.()) limitation de la compression dans le béton à 0,6 f ck pour les classes XD, XF et XS à effectuer sous combinaison caractéristique (G + Q + 0,7.Q ) ) Limitation de la contrainte de l acier (EC 7.(5)) limitation de la contrainte dans les aciers à 0,8 f yk à effectuer sous combinaison caractéristique (G + Q + 0,7.Q ) 3) Maîtrise de la fissuration si elle est requise (EC 7.3) XC à 4 (pour ouvrage hors catégories A, B, C, D) et XD, XF, XS l ouverture de la fissuration w max doit être limitée (pour ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure Tableau 7.1N) à effectuer sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3.Q) 4) Limitation de la flèche Vérifications des contraintes à l ELS Pour géométrie, sollicitations et matériaux connus : vérification des contraintes y y A s d x σ bc σ sc n σ A s1 d σ st n A Fbc + Fst Fsc = 0 M bc + M st + M sc = M 1 s ser (I) (II) 18 64

65 4. Vérifications des contraintes à l ELS 1. Recherche de la position de l axe neutre y 1 à l aide de l équation des moments statiques de la section homogénéisée réduite (S.H b.r.) provenant de l équation de l équilibre des résultantes de la section, de l hypothèse de Bernoulli et de celle d adhérence parfaite : (I) 1 bxσ bc + A σ σ s1 st As sc = 1 bxσ bc + nas 0 ( d x) ( x d' ) 1 bc nas bc = x σ x σ 0 b x ( d x). n. A s1 + ( x d' ). n. A s = 0 µ b y. ds = x ( d x). n. As 1 + ( x d'). n. A = s S = Vérifications des contraintes à l ELS. Calcul du moment d inertie quadratique I 1 de la S.H b.r. provenant de l équation de l équilibre des moments de la section par rapport à l axe neutre : (II) bx bx 3 x 3 σ bc + As σ sc ' 1 3 I bx 3 1 = + nas ' 3 ( x d ) + As σ st ( d x) = M ser σ bc σ nas 1 x + K. I = avec 1 M ser bc bc ( x d' ) + nas ( d x) = M ser x σ x ( x d ) + na ( d x) s

66 4. Vérifications des contraintes à l ELS 3. Calcul des contraintes et vérification : Dans le béton (XD, XF et XS à effectuer sous combinaison caractéristique ): M ser σ bc max = x σ bc = 0,6 fck I 1 Dans l acier (à effectuer sous combinaison caractéristique) : M σ st = σ I ( d x) st = 0, f yk ser n Maîtrise de la fissuration (EC 7.3.4) EC 7.3. Si la maîtrise de la fissuration est requise, une quantité minimale d armatures est nécessaire : σ = k k f A A s, min s c ct, eff ct A s,min : section minimale d'armatures dans la zone tendue A ct aire de la section droite de béton tendu (avant l apparition des fissures σ ct < f ct,eff ) σ s : contrainte dans les aciers après la formation de la fissure (peut être prise égale à f yk ) f ct,eff : valeur moyenne de la résistance en traction du béton (f ct,eff = f ctm ) k : réduction des efforts dus aux déformations gênées (prise en compte des contraintes nonuniformes auto-équilibrées) = 1,0 pour les âmes avec h 300 mm ou les membrures d'une largeur inférieure à 300 mm = 0,65 pour les âmes avec h 800 mm ou les membrures d'une largeur supérieure à 800 mm (interpolation pour les valeurs intermédiaires) k c : prise en compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration et de la modification du bras de levier. Traction pure : k c = 1,0. Flexion simple pour une section rectangulaire, k c = 0,4. Pour les autres cas voir le détail en 7.3.() 13 66

67 5. Maîtrise de la fissuration Valeurs limites recommandées pour l ouverture des fissures w k w k w max Maîtrise de la fissuration Aspects théoriques Fissuration d un tirant F Tirant BA de section droite A c ou zone de béton entourant les armatures d une poutre fléchie assimilable à un tirant F Contraintes dans le béton σ ct < f ct 0 0 σ s Contraintes dans les aciers Etat homogène non fissuré : 0 0 s r F = A c σ + A σ ct s s

68 5. Maîtrise de la fissuration Si la force dans le tirant F est constante : F Ac σ ct + Asσ s = cste = 1 df A dσ + A dσ 0 dσ ct = = c ct s s1 π. φ Or, on a vu dans le cours sur l adhérence : π = 4 As = A c As 4 fbd 4 fbd dσ s1 = dx = ρ dx A φ φ c. φ. fbd. dx = A. dσ s1 dσ s1 Si f bd est constant, on obtient en intégrant : x x 4 fbd 4 fbd σ ct = dσ ct = ρ dx = ρ φ φ 0 0 x en posant ρ = A s / A c linéarité des contraintes 5. Maîtrise de la fissuration Le distance minimale entre fissures est telle que : 4 fbd σ ct = fct = ρ s φ r min s r min = Dans la réalité, l écartement des fissures s r : φ 4ρ r min f f ct bd s r s r min Les fissures apparaissent progressivement de manière aléatoire, quand tous les écartements sont compris entre ces valeurs c est l état de fissuration complète, aucune nouvelle fissure ne peut apparaître s l expérience montre qu en général s r 1,8 s rmin

69 5. Maîtrise de la fissuration L EC définit l ouverture de fissure de calcul à partir de l espacement maximal des fissures s r,max (résultats de retour d expérience) afin de se placer en sécurité. Cette ouverture calculée a un caractère conventionnel (sans comparaison possible avec des ouvertures mesurables sur ouvrages). 137 Aspects théoriques 5. Maîtrise de la fissuration Ouverture de fissures d un tirant en béton armé L ouverture moyenne w m d une fissure peut être déterminé en calculant l allongement moyen d une armature par rapport à l allongement du béton sur la longueur comprise entre deux fissures : w = m s rm ( ε ε ) sm cm F F s rm

70 5. Maîtrise de la fissuration Pour une force F > F fissuration l allongement relatif de l acier vaut : ε sm = ε s ε Allongement relatif de l acier nu sans participation du béton tendu σ s fissuration Section BA non fissurée E s Réduction de la déformation de l acier par participation du béton tendu entre les fissures ε acier nu Comportement simplifié EC (linéarité) Comportement expérimental idéalisé ε s Maîtrise de la fissuration Considérons l effort causant la fissuration du tirant : F f = A c f ct + A σ s s1 L hypothèse d adhérence parfaite conduit à : ε c = ε s1 σ = σ c s1 lors de la fissuration : Ec Es f ct s 1 E c σ = E s E σ = f = α f A + α A s s1 ct e ct f ( c e s ) ct Ec après fissuration, seul l acier reprend l effort dans le tirant dans la section fissurée, la contrainte dans l acier dans cette section est donc : Ff A c σ sf = = e fct 140 A + α s A s F = f 70

71 5. Maîtrise de la fissuration σ fct = 1+ α ρ en posant ρ = A s / A c sf ( e ) ρ L EC suppose que la déformation moyenne du béton est proportionnelle à la déformation moyenne de l acier au moment de la fissuration ε ε ε sm cm = s kt sf = s Es ε 1 ( σ k σ ) t sf ε sm ε cm σ = s k t f ct ρ E s ( 1 + α ρ ) e 141 Aspect réglementaire Si espacement des barres adhérentes 5(c+φ/) Si espacement des barres adhérentes < 5(c+φ/) x : distance de la fibre supérieure à l axe neutre φ : diamètre des barres ou diamètre équivalent c : enrobage (en mm) 5. Maîtrise de la fissuration Calcul de l ouverture des fissures w k : w k = s r, max s r,max s r,max n1φ 1 + n φ φeq = n φ + n φ k 1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses = 1, 3 ( ε ε ) sm ( h x) = k c + k k k k = 0,5 en flexion, 1 en traction pure et valeur intermédiaire en traction excentrée (7.13) φ ρ cm p, eff k 3 = 3,4*(5/c) /3 si c>5 mm et 3,4 sinon k 4 = 0,45 ρ p,eff = A s / A c,eff avec A c,eff =b*h c,eff avec h c,eff = min(,5(h-d);(h-x)/3;h/) 14 71

72 5. Maîtrise de la fissuration Calcul de : fct, eff σ s kt ( 1 + α eρ p, eff ) ρ p, eff σ s ε sm ε cm = 0, 6 E E s s σ s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q) en supposant la section fissurée k t = 0,4 pour un chargement de longue durée, 0,6 pour une courte durée f ct,eff : valeur moyenne de la résistance en traction du béton au moment où les premières fissures sont supposées apparaître α e : rapport E s /E cm 143 EC Maîtrise de la fissuration - Pour dalles d épaisseur 00 mm, aucune mesure particulière n est à prendre (sauf dispositions constructives EC 9.3). - Les éléments dont les fissures sont dues principalement aux charges et respectant les dispositions du Tableau 7.N ou 7.3N peuvent être dispensées de calcul direct. - Les éléments dont les fissures sont dues principalement aux déformations gênées et respectant les dispositions du Tableau 7.N peuvent être dispensées de calcul direct. cf. Notes 1 et dans l article sur la restriction de l utilisation de ces tableaux 7

73 6. Dispense de vérification de la flèche Il n est pas nécessaire de vérifier la flèche d une poutre si : ρ ρ 0 l d < K ,5 f ρ 3/ ρ ck f , ck 1 ρ ρ σ s ρ > ρ 0 l d < K ,5 ρ 1 ρ' f ck + f ck ρ ρ' 1 ρ0 σ s avec : ρ0 = fck. 10 ρ = ρ'= A bh A' bh 3 (EC 7.4.)

74 Effort Tranchant et torsion 147 État de fissuration d une poutre en BA L hypothèse de R t négligée implique que les directions principales théoriques de traction et compression dans la zone tendue de la poutre sont à 45. contrainte de traction contrainte de compression

75 1. Effort tranchant Les vérifications de l effort tranchant sont menées à l ELU (EC.) : 1. ELU du béton de l âme : vérification de la résistance en compression des bielles de béton en zone courante. ELU des armatures d âme : dimensionnement des cadres pour résister aux efforts de traction en zone courante 3. ELU des aciers d ancrage : dimensionnement des aciers longitudinaux à prolonger sur appuis 4. ELU du béton des bielles d about : vérification de la résistance en compression des bielles de béton sur appuis Les armatures d effort tranchant ne sont pas nécessaires si (EC, 6..1 et 6..) : V Ed V 1. Effort tranchant 1/ 3 [ max [ C k( 100 f ) v ] + k σ ] b d Rd, c = Rd, c ρl ck ; min 1 C Rd,c = 0,18/γ c, k 1 = 0,15 et, v min = (0,34/γ c )f ck 1/ (pour les dalles), v min = (0,053/γ c )k 3/ f ck 1/ (poutres), v min = (0,35/γ c )f ck 1/ (voiles) 00 f ck en MPa, k = 1+,0, d en mm, ρ d l = A sl / b w d 0,0 A sl section des armatures tendues, prolongées sur plus de (l bd + d) audelà de la section considérée, b w largeur de la section droite dans la zone tendue (mm), σ cp = N Ed / A c < 0, f cd en MPa, N Ed effort normal agissant dans la section droite, dû aux charges extérieures appliquées (ou à la précontrainte), en newtons (N Ed > 0 pour la compression), A C 150 section droite du béton (mm ) cp w 75

76 1. Effort tranchant. Cas où les armatures sont nécessaires avec des armatures d effort tranchant verticales (α = 90 - EC, 6..3).1 vérification de la compression des bielles (α = 90 ) V Ed V Rd,max αcwbw zv1 fcd = tanθ + cotθ α cw = 1 pour les éléments non précontraints v 1 réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant f ck v1 = v = 0, θ est l angle des bielles par rapport à la fibre moyenne de l élément avec 1 cotθ, Effort tranchant. détermination des armatures d effort tranchant (α = 90 ) V V = Ed A s zf sw Rd, s ywd cotθ A sw aire de la section des armatures d'effort tranchant s espacement des cadres ou étriers f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant Aire minimale (EC, 9..) : A 0, sw > 08 s f yk f ck b w Espacement maximal (EC, 9..) : s t,max = 0,75d < 60 cm 15 76

77 1. Effort tranchant.3 ancrage des armatures d about (EC, 6..3 et 9.) Au niveau des appuis d une poutre, il faut ancrer (M Ed négatif sur appui) : F V = Ed td cotθ + M z Ed EC, : Sur les appuis considérés comme faiblement ou pas encastrés, il faut ancrer au moins 5% du moment en travée Effort tranchant.4 vérification de la compression des bielles d about V Ed.cotθ / V Ed θ θ θ a sur appui, l angle de la bielle d about est θ : cotθ = cotθ /

78 .4.1 vérification de la compression des bielles d about d un appui de rive (EC, 6.5.4) σ appui de rive : 1. Effort tranchant [ σ ; σ ] σ ck Rd = max Rd1 Rd Rd, max = 0, VEd σ Rd 1 = b a w f fck γ avec a = (a 1 + cotθ (s 0 + s))sinθ avec : 1 et σ a 1 : largeur de la bielle sur appui (a 1 = a appui c nom.s 0 ) s 0 : distance entre le bas de la poutre et l entraxe de l acier le plus bas s : entraxe entre les lits des aciers c Rd = VEd b a sinθ ' w σ 1. Effort tranchant.4. vérification de la compression des bielles d about d un appui intermédiaire (EC, 6.5.4) [ σ ; σ ; σ ] ck Rd = max Rd1 Rd Rd 3 Rd, max = 1 50 appui intermédiaire : w = west = gauche e = east = droite σ avec et et σ Rd1 f V = fck γ avec a = (a 1 + cotθ ω (s 0 + s))sinθ ω c + V b a Edw w w 3 1 Ede VEdw σ Rd = bwa sinθw' VEde σ Rd 3 = b a sinθ ' et a 3 = (a 1 + cotθ e (s 0 + s))sinθ e e 78