Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

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1 Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices. Le barème est sur 30. Exercice : (7 points) Bac français Antilles Guyanne juin Pour les élèves n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Dans une zone de marais on s intéresse à la population des libellules. On note P 0 la population initiale et P n la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l évolution de P n par la relation : P P = P P. (R) Pour tout entier naturel n on a : ( ) n+ 2 n+ n+ n 2 On suppose que P 0 = et P = On définit l accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence P n P n.. Calculer l accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire P 2 et P On considère les suites (U n ) et (V n ) définies pour tout entier naturel n par : Un = Pn+ Pn et Vn = Pn+ Pn 2 a. Prouver que la suite (U n ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Exprimer U n en fonction de n. b. En utilisant la relation (R), calculer V n+ V n. En déduire que, pour tout n, on a: Vn = P P0. Calculer V n. 2 P = 2 V U. En déduire une expression de P n c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a ( ) n n n en fonction de n. d. Montrer que la suite (P n ) converge et calculer sa limite. Que peut-on en déduire en ce qui concerne l évolution de cette population au bout d un nombre d années suffisamment grand?

2 Exercice 2 : (9 points) Bac français Asie juin Commun à tous les élèves Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : Question à choix multiples Pour chaque question, une seule réponse a, b, c ou d est exacte. Indiquer sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L absence de réponse n apporte ni n enlève, aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l exercice est 0. Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des probabilités, et en deuxième niveau, des probabilités conditionnelles. Ainsi pour l arbre donné dans la question : 0,35 = p(a) et 0, = p A (E). QUESTION 0,35 A 0, 0,9 E F La probabilité de l évènement E est égale à : a. 0,5 b. 0, c. 0,6 d. 0,36 0,65 B 0,5 0,5 E F QUESTION 2 0,35 0,65 A B 0,3 0,7 x x G H G H Les évènements A et G étant supposés indépendants, x est égal à : a. 0,35 b. 0, c. 0,3 d. 0,36 QUESTION 3 0,35 0,65 A B Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l arbre ci-contre. Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante. La probabilité d obtenir au moins une fois l évènement A est égale à : a. 0,35 b. 0, c. 0, d. 0,

3 Partie B : Loi normale Le solde S, au 25 de chaque mois, du compte en banque de Tarek est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne µ = 5000 euros et d écart-type σ = 3000 euros. Pour les questions. et 2. les calculs ne doivent pas être faits avec le menu statistiques de la calculatrice.. Quelle est la probabilité que le solde soit supérieur à 8000 euros? 2. Quelle est la probabilité que le solde soit compris entre 9000 et euros 2000? 3. Sachant que ce mois-ci, Tarek a fait un achat se montant à 7500 euros, quelle est la probabilité que Tarek soit à découvert? Partie C : Estimation. Pour connaitre l impact de la revue «All Sports» dans le département A, la direction de la revue a chargé un institut de sondage de faire une estimation de la proportion p de collégiens, dans le collège X, qui achètent régulièrement la revue. Un sondage a révélé qu une proportion f égale à 65% des collégiens interrogés achètent régulièrement la revue. L institut de sondage en déduit alors un intervalle de confiance de p au niveau 0,95 qui montre que p 60%. Quelle est alors la taille minimale de l échantillon étudié par l institut de sondage? 2. Sur un échantillon de 200 collégiens, dans un collège Y, la proportion des lecteurs réguliers de «All Sports» est de 6%. Peut-on affirmer au risque 5% que la proportion p réelle est au moins de 60%? 3. Une étude sur un très grand nombre de jeune a permis de déduire que la proportion p de jeunes qui lisent régulièrement «All Sports» est de 55%. Sachant que la taille de l échantillon du collège X était de 500 personnes, peut-on dire que les collégiens du collège X représentent les collégiens du département A?

4 Exercice 3 : (7 points) Bac français Amérique du nord juin Pour les élèves ayant suivi l enseignement de spécialité Arrondir les réponses au centième. Pour se rendre à son travail, Mathurin rencontre une succession d intersections de feux tricolores dont le fonctionnement est décrit ci-dessous : À chaque intersection : Si le feu est vert, il le sera à l intersection suivante avec la probabilité 0,9 ou sera rouge avec la probabilité 0,05. Si le feu est orange, il le sera à l intersection suivante avec la probabilité 0, ou sera vert avec la probabilité 0,8. Si le feu est rouge, il le sera à l intersection suivante avec la probabilité 0,5 ou sera orange avec la probabilité 0,05. n étant un entier naturel non nul, on note : V n la probabilité que Mathurin rencontre un feu vert à la n-ième intersection, O n la probabilité que Mathurin rencontre un feu orange à la n-ième intersection, R n la probabilité que Mathurin rencontre un feu rouge à la n-ième intersection, P n = [ V n O n R n ] la matrice traduisant l état probabiliste du n-ième feu tricolore.. Construire un graphe probabiliste pour décrire cette situation. 0,05 0,05 2. Donner la matrice de transition M complétée de ce graphe : M = 0,8 0, 0, 45 0,5 3. Si le premier feu rencontré est vert, donner la matrice P de l état initial puis calculer (sans utiliser la calculatrice) P On donne P 3 = [0,87 0,05 0,08]. Quelle est la probabilité que le quatrième feu soit vert? 5. Si le premier feu rencontré est rouge, donner la matrice P de l état initial puis calculer P On suppose que ce graphe admet un état stable P. 0,x+ 0,8y+ 0, 45z = 0 Démontrer que trouver P revient à résoudre le système : (S) 0, 05x 0,9y+ 0, 05z = 0. x + y + z = 7. Donner l écriture matricielle du système (S) sous la forme AX = B, préciser les matrices A, X et B. Résoudre le système à l aide de la calculatrice et déduire que P = [0, 85 0,05 0,0]. Donner une interprétation concrète de ce résultat.

5 Exercice 4 : (9 points) Bac français Amérique du nord juin Commun à tous les élèves Un transporteur, s occupant de voyages organisés, achète en l an 2000 (instant initial t = 0), un autocar nécessitant un investissement initial de 200 milliers d euros. PARTIE A Cet investissement se déprécie. Sa dépréciation cumulée, en milliers d euros, à l instant t, mesurée en années, est notée D(t). 0,086t On pose D( t) = 200( e ) pour tout réel t de l intervalle I = [0 ; 3]. L annexe donne la courbe représentative de D dans le plan rapporté à un repère ( O; i, j). Déterminer graphiquement au cours de quelle année l investissement aura perdu 60 % de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d obtenir la réponse). PARTIE B Le transporteur veut revendre l autocar. On note V(t) la valeur de l autocar l année t, 0 t 3 0,086t. Vérifier que V( t) = 200 e. 2. Étudier le sens de variation de V sur [0 ; 3]. 3. Combien peut-on espérer revendre l autocar au bout de 3 ans de service? (au millier d euros près). 4. Au cours de quelle année l autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur? PARTIE C On estime que les recettes nettes (en milliers d euros) procurées par l exploitation de cet autocar, hors dépréciation 0, du véhicule, sont données à l instant t réel de l intervalle [0 ; 3] par R( t) = 0( 5 + t 5e t ).. Calculer la dérivée R de la fonction R ; étudier son signe sur [0 ; 3] et construire le tableau de variation de R. 2. En déduire que les recettes nettes sont maximales pour une valeur t 0 de t dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à l unité près. 3. Construire la courbe représentative de la fonction R, dans le même repère que celle de D après avoir complété le tableau de valeurs de l annexe où l on arrondira R(t) à l entier le plus proche. 4. À tout instant, la différence R (t) D (t) représente l exploitation E (t) de l autocar. Compléter le tableau de l annexe, utiliser le graphique ou les tableaux de valeurs de D, R et E pour répondre aux questions suivantes : a. Au cours de quelle année l exploitation de cet autocar est-elle la plus profitable? b. A partir de quelle année l exploitation de cet autocar conduit-elle à un déficit?

6 annexe Représentation graphique y = D (t) Tableau de valeurs t D(t) R(t) E(t) 0 27

7 Exercice 5 : (5 points) Bac français France métropolitaine juin 20 - Commun à tous les élèves Soit ( u la suite définie pour tout entier naturel strictement positif par :. On considère l algorithme suivant : un = ln n. 2 3 n Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur donne la valeur n = Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur de u n lorsque l utilisateur donne la valeur de n Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à 0. A l aide de ce tableau, formuler une conjecture sur le sens de variation de ( u et son éventuelle convergence. 4. Dans cette question on cherche à démontrer que la suite ( u est décroissante. a. Vérifier que un+ un = + ln n ln( n+ ). n + b. Soit f( x) = + ln x ln( x+ ) définie sur I = [ ; + [. x + Démontrer que f est strictement croissante sur I et que sa limite en + est 0. c. En déduire le sens de variation de ( u.

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