Examen d accès - 28 Septembre 2012

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1 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont proposées pour chaque question (ou ensemble de question). Il peut y avoir plusieurs bonnes réponses. Les réponses sont à inscrire sur la feuille jointe, en cochant pour chaque question la (ou les) case(s) correspondant à la (ou les) bonnes réponse(s). Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Toute case cochée à tort entraîne une pénalité de 0,5 point. Toute case cochée à raison entraîne une bonification de 1 point (même si d autres cases dans la même question auraient dû être cochées et ne l ont pas été). Une case non cochée ne donne ni bonification ni malus. Pour certaines questions, il est possible qu aucune des réponses proposées ne soit correcte, une réponse à ces questions entraîne alors uniquement un malus de 0,5 point. Vous disposez après les questions d une table des valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée et réduite. Q1)Soit A et B deux évenements indépendants alors on a (cocher la ou les bonnes réponses) : A) P (A \ B) =0 B) P (A \ B) =P (A)P (B) C) P (A B) =0 D) P (A B) =1 E) P (A)+P (B) =1 Q2)On considère deux événements A et B, et on note B le complémentaire de B. On a P (A \ B) =... 1

2 A) P (A) P (A \ B) B) P (B) P (A \ B) C) P ( B) P (A \ B) D) P (A) P (A \ B) E) P (A) P (B) Q3)On estime que 10% des athlètes syldaves se dopent. Aux jeux olympiques, 2% des athlètes ayant remporté une médaille sont syldaves. Si on suppose que seuls les syldaves ont accès au dopage, la probabilité qu un athlète médaillé pris au hasard se soit dopé est A) 0, 12 B) 0, 05 C) 0, 002 D) 0, 20 E) 0, 01 Q4)(suite question précédente) En réalité, les athlètes de la fédération de Bordurie ont eux aussi accès au dopage. Ils représentent 5% des médaillés, et 20% des athlètes bordures se dopent. Les autres pays, quant à eux, ne pratiquent pas le dopage. Sachant qu un athlète médaillé pris au hasard est contrôlé positif, quelle est la probabilité qu il soit bordure? A) 0, 83 B) 0, 05 C) 0, 2 D) 0, 5 E) 0, 75 Q5)On considère deux urnes A et B. Initialement, l urne A est vide et l urne B contient 100 boules. A chaque tirage, on choisit au hasard une boule (de façon équiprobable dans l ensemble des boules) et on la change d urne. Au bout de 3 tirages, la probabilité que A contienne une boule exactement est A) 1/100 2

3 B) 99/5000 C) 99/ D) 149/ E) 149/5000 Q6)(suite de la question précédente) Au bout de 20 tirages, la probabilité que A contienne 13 boules exactement est A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0 Q7)Une urne contient 5 boules : 2 vertes, 2 rouges et une blanche. On tire au hasard et simultanément 2 boules de l urne. Tous les tirages sont équiprobables, on considère l événement A : " obtenir deux boules de même couleur " Calculer p(a). A) 2/5 B) 3/5 C) 4/5 D) 1/5 E) 7/10 Q8)On considère qu à la naissance, un individu a une probabilité 0.8 de vivre au-delà de 60 ans, et 0.7 de vivre au-delà de 70 ans. Sachant que cet individu fête aujourd hui son 60ème anniversaire, quelle est la probabilité qu il vive au-delà de 70 ans? A) 0,7 B) 0,56 C) 0,875 D) 0,056 E) 0,62 3

4 Q9)Persée se trouve devant l entrée de 3 cavernes. Deux d entre elles mènent à une mort certaine, l autre à un trésor. Rien ne différencie a priori les 3 cavernes. Persée choisit une caverne au hasard. Avant qu il n entre, Athéna lui désigne une des deux cavernes qu il n a pas choisies et l informe que celle-ci conduit à la mort. Persée dispose donc de deux possibilités : soit il entre dans la caverne qu il avait initialement choisie, soit il change d avis et se dirige vers la caverne qu il n avait pas choisie initialement et qu Athéna n a pas désignée. Que doit-il faire? A) Peu importe, il a une chance sur 2 de toute manière. B) Changer de caverne, il y a 3 chances sur 4 de trouver le trésor dans cette caverne. C) Changer de caverne, il aura ainsi 2 chances sur 3 de trouver le trésor. D) Ne pas changer de caverne, il y a 1 chance sur 3 qu il se soit initialement trompé. E) Ne pas changer de caverne, il y a 2 chances sur 3 que le trésor se trouve dans la caverne qu il a initialement choisie. Q10)Un particulier souhaite se constituer un apport personnel de euros en vue d acquérir un appartement. Il souhaite constituer cet apport exclusivement à l aide d un compte épargne au taux annuel de 5,25%. Il souhaite verser chaque année la même somme, et atteindre les euros dans 8 ans. Il doit donc verser chaque année la somme de A) 3411, 33 euros B) 3944, 48 euros C) 3590, 42 euros D) 4151, 57 euros E) 4750, 59 euros Q11)On considère un emprunt de 7500 euros, remboursable en trois annuités constantes au taux 10%. Le montant de l annuité, arrondi au centime, est A) 2750, 00 euros B) 2492, 44 euros C) 3250 euros 4

5 D) 2265, 86 euros E) 3015, 86 euros Q12)n annuités de 3200 euros chacune, capitalisées au taux annuel de 2, 5% ontune valeur acquise de 31854, 46 euros (on se place juste après le versement de la dernière annuité). Que vaut n? A) 10 B) 9 C) 8 D) 12 E) 11 Q13)On considère un prêt de euros remboursable en cinq annuités constantes de 12991, 66 euros. Le taux du prêt est A) 9, 41% B) 9, 50% C) 9, 59% D) 9, 68% E) 9, 52% Q14)Au 1er janvier 2010, on a versé 500 euros sur un compte épargne rémunéré à 4%. Deux autres versements ont été effectués sur le même compte au 1er janvier 2011 et au 1er janvier Au cours de ces trois années, la somme versée a progressé de façon géométrique (cette progression ayant pour raison 1, 05). Quelle sera la valeur acquise par le compte épargne une fois l année 2012 écoulée? A) 1623, 23 euros B) 1704, 66 euros C) 1638, 05 euros D) 1703, 57 euros E) 1788, 55 euros 5

6 Q15)Un capital a été placé pendant 10 ans. Pendant les n premières années, il a été placé au taux annuel de 7%. Puis, pendant les 10 n années suivantes, à un taux de 6%. En dix ans, le capital a augmenté d un peu plus de 93% (à moins de 0.1 % près). La valeur de n est A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Q16)On observe un échantillon (x 1,...,x n ) de taille n =100de variables aléatoires i.i.d. de même loi qu une variable X, d espérance µ inconnue, dont la moyenne empirique vaut x =5, 1, et la variance empirique vaut s 2 =4, 4. On cherche à définir un intervalle de confiance à 90% pour l estimation de µ. Le théorème de probabilités qui permet d utiliser la table de la loi normale (voir fin du QCM) pour construire cet intervalle est A) le Théorème Central Limite B) la loi des Grands Nombres C) le Théorème de Lebesgue Ce théorème n est valide que si la loi de la variable aléatoire X sous-jacente est telle que E[X 2 ] < 1. D) Vrai E) Faux Q17)(suite de la question précédente) L intervalle de confiance désiré est (à 0,01 près) A) [4, 69; 5, 51] B) [4, 24; 5, 96] C) [5, 06; 5, 13] D) [4, 37; 5, 83] E) [4, 75; 5, 45] 6

7 Q18)(suite de la question précédente) On cherche à tester au niveau 5% l hypothèse H 0 : µ =4, 7 contre H 1 : µ 6= 4, 7. Les données précédentes conduisent à rejeter H 0 au niveau 5%. B) Faux On note 2 la variance de X. La variance empirique, s 2 = n P 1 n i=1 (x i x) 2 est telle que E[s 2 ]= 2. C) Vrai D) Faux Q19)On considère la matrice A = Les valeurs propres de A 2 sont 1 et 4 B) Faux La somme des coefficients de A 2 vaut C) 14 D) 18 E) 16 Q20)(suite de la question précédente) L inverse de A est de la forme La colonne manquante est 3 A) 1/2 1/3 B) 1/2 3/2 C) 1/2 A 1 =

8 D) E) 3/2 2 1/3 2 Q21)On considère un vecteur aléatoire gaussien de dimension 2 Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont correctes? X Y N 0 1, A) X et Y indépendants B) Cov(X, Y )=0où Cov désigne la covariance C) E X Y =0 D) E[Y 2 ]=1 E) La variance de X vaut 2 Q22)Soit N une variable de Poisson de paramètre. La probabilité de l événement {N < 1} est A) 2e B) e C) 1 e D) 1 2e E) 0 Q23)La probabilité que N 1 (où N est défini à la question précédente) est A) P 1 n=2 B) P 1 n=3 C) 1 2e n e n e D) 1 e E) e Q24)On rappelle que la loi Gamma de paramètres p et apourdensitéf(x) = p (p) x(p 1) exp( x), (pour x positif, 0 pour x négatif) où (p) désigne la fonction évaluée en p (l expression exacte de (p) n est pas nécessaire pour répondre à cette question. 8

9 Atitreindicatif, (2) = 1). On considère deux variables X et Y indépendantes qui suivent des lois exponentielles de même paramètre (i.e. leur espérance est 1/ ). X + Y suit une loi (2, ). B) Faux La variance d une loi Gamma de paramètres p =50et =5vaut C) 2 D) 10 E) 25 Q25)Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = x 1 pour x 1, f(x) =0sinon. On suppose > 2. L espérance de X vaut A) 1/ B) C) 1 La variance de X vaut D) Vrai E) Faux. [ 1][ 2] Q26)On considère la fonction f : R R définie par f(x) =xe x pour tout x réel. On note f 0 sa dérivée. f satisfait l équation différentielle (pour tout x 2 R): A) f 0 (x)+f(x) =e x B) f 0 (x)+f(x) f(x) = 1 x C) f 0 (x)+2f(x) =0 D) f 0 (x)+f(x) =0 E) f 0 (x) =0 Q27)(suite question précédente) La fonction f est monotone. 9

10 B) Faux Elle atteint son maximum en C) +1 D) 1 E) 1 Q28)Soit g la fonction définie sur R par g(x) =(1+x)e x. La fonction g est A) monotone B) croissante sur [ 1;0] puis décroissante sur [0; +1] C) décroissante sur [ 1;0] puis croissante sur [0; +1] D) 8x 2 R,g(x) apple 1 E) 8x 2 R,g(x) 1 Q29)(suite de la question précédente) La fonction g est convexe. B) Faux, car elle est concave. C) Faux, car elle n est ni concave ni convexe. On a R 1 0 g(x)dx =2. D) Vrai E) Faux Q30)(suite de la question précédente) L équation g(x) =0admet une unique solution sur R. B) Faux L équation g(x) = 1/2 admet une solution dans l intervalle [ 2, 0]. C) Vrai D) Faux 10

11 Q31)On considère la suite (u n ) n2n définie par la relation de récurrence u n+1 = u 2 n, et u 0 =0, 5. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont exactes? A) La suite est monotone. B) La suite est strictement croissante. C) La suite est strictement décroissante. D) La suite n est pas convergente. E) La suite converge vers une valeur non nulle. Q32)Soit deux variables aléatoires X et Y telles que P(X =1,Y =0) = 0, 3 P(X =1,Y =1) = 0, 1 P(X =2,Y =0) = 0, 1 P(X =2,Y =1) = 0, 5. On a E[Y ]=0, 6. B) Faux On a E[X] =1, 2. C) Vrai D) Faux Q33)(suite de la question précédente) On a E[X Y =0]=1, 25. B) Faux On a V ar(x Y =0)=0, 25. C) Vrai D) Faux 11

12 Q34)On considère deux variables aléatoires Y et X 0. On suppose que, sachant X = x, la loi conditionelle de Y est une loi de Poisson de paramètre x. On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre > 0, où on rappelle que désigne l inverse de l espérance de X. L espérance de Y vaut A) 2 B) C) 1/ 2 D) 1/ E) + 2 Q35)(suite de la question précédente) La variance de Y vaut A) 2 B) C) 1/ 2 D) 1/ E) 1/ 2 +1/ Q36)On considère un modèle de régression linéaire simple, où l on essaie d expliquer une variable y en fonction d une variable x. Les moyennes empiriques de x, de y et de xy sont x =1, 2, ȳ =3, 5, xy =4, 1. Les écarts-type empiriques de x et y sont s x =1, 2, s y =1, 3 L ordonnée à l origine de la droite de régression est A) 0, 07 B) 3, 58 C) 0, 93 D) 3, 18 E) 3, 83 Q37)(suite) Le coefficient de détermination R 2 du modèle précédent vaut A)

13 B) 0.51 C) 0.42 D) E) Q38)On considère un modèle de régression linéaire multiple. Y désigne la variable expliquée, et X 1,X 2 et X 3 les variables explicatives. On hésite entre deux modèles de régression, le modèle 1 où Y est exprimée linéairement en fonction des trois variables X 1,X 2 et X 3, et le modèle 2 où Y n est exprimée qu en fonction des deux premières variables X 1 et X 2, la troisième étant considérée comme n ayant pas d influence. Le R 2 du modèle 1 sera toujours supérieur à celui du modèle 2 B) Faux Une bonne stratégie, pour choisir entre modèle 1 et modèle 2, et de choisir le modèle ayant le R 2 le plus élevé. C) Vrai D) Faux Q39)On a effectué la régression linéaire multiple d une variable Y sur trois variables quantitatives X 1,X 2, et X 3 i.e. Y = X X X 3. Le résultat est présenté dans le tableau suivant : Variable Paramètres Erreur std T Pr > T Intercept X < 2e 16 X e 08 X Le R 2 vaut 0, Parmilesassertionssuivantes,cochezcellesquisontcorrectes. A) La probabilité que le modèle soit effectivement linéaire est de 0, B) La probabilité que le modèle soit effectivement linéaire est de 0, C) La variable X 3 est non significative au niveau 5%. 13

14 D) Le coefficient 0 peut être considéré comme non significatif au niveau 1%. E) La variable X 1 influe positivement sur Y. Q40)(suite) On considère un individu de caractéristiques X 1 = 2, X 2 =1et X 3 =0.4. En moyenne, d après le modèle ci-dessus, quelle est la valeur de Y pour cet individu? A) 2, 8752 B) C) 2, 7944 D) 2, 8983 E) 0, 9094 Q41)On considère n variables aléatoires Y i suivant un modèle de régression quadratique de la forme suivante, E[Y i ]=a + bx 2 i où les x i sont connus et fixés. On note x 2 la moyenne des x 2 i et Ȳ celle des Y i. L estimateur des moindres carrés de b est A) P n i=1 (Y i Ȳ )(x 2 i x 2 ) P n i=1 (x2 i x 2 ) 2 B) P n i=1 Y ix 2 i P n i=1 x2 i C) P n i=1 Y ix 2 i P n i=1 x4 i D) E) impossible à calculer explicitement Ȳ x 2 Q42)Dans une analyse en composante principale, la composante principale est A) une combinaison linéaire des variables de départ B) une nouvelle variable qui explique le mieux les autres variables C) une nouvelle variable qui exprime la meilleure façon (au sens de l inertie quadratique) de résumer les individus en un facteur de dimension 1 14

15 D) la pente de la droite de régression E) une variable permettant de prédire la valeur future d autres variables Q43)Dans une analyse en composante principale, le plan factoriel A) est un plan défini par les deux variables les plus significatives parmi les variables de départ B) est un plan défini par les deux composantes principales qui contribuent le plus àl inertiedunuagedepoints C) est toujours orthogonal à la droite définie par la variable expliquée D) peut être utilisé pour projeter le nuage de points et déterminer de façon visuelle des groupes d individus plus ou moins homogènes E) peut ne pas être défini dans des cas limites, comme par exemple lorsque tous les points composant le nuage sont alignés. Q44)On considère x 1,...,x n des réalisations i.i.d. d une variable aléatoire X. L histogramme basé sur x 1,...,x n A) est une façon d estimer visuellement la densité de X B) est une façon d estimer visuellement la fonction de répartition de X C) représente le nombre d observations (éventuellement moyenné) dans un intervalle de taille donnée D) est défini de manière unique sans nécessité de spécifier un paramètre supplémentaire E) n est opportun que dans le cas où les variables aléatoires considèrées sont de loi absolument continue Q45)On suppose que le temps de service à un guichet de la poste suit une loi uniforme sur [0, 1], où l unité de temps est l heure. On suppose que, d un client à l autre, le temps de service est indépendant. Pour deux clients différents, quelle est la probabilité que chacun d eux attende au moins 45 minutes? A) 1/15 B) 1/2 C) 1/16 15

16 D) 2/15 E) 1/45 Q46)(suite de la question précédente) Le client B arrive juste après le client A. Son temps total d attente est donc le temps de service du client A, plus le temps de service du client B. Quelle est la probabilité que le temps total d attente du client B soit inférieur à une demi-heure? A) 1/8 B) 1/16 C) 1/4 D) 1/2 E) 1/3 Q47)Lors d un examen oral, 10 candidats tirent successivement, sans remise, une question parmi les 12 proposées. L un des étudiants a fait l impasse sur 3 des questions. On note x le numéro de passage de l étudiant, et p la probabilité qu il tire l une des questions non étudiées. p est indépendant de x. B) Faux p est une fonction strictement décroissante de x. (i.e., plus le candidat attend, moins il a de chances de tirer une question sur laquelle il a fait l impasse). C) Vrai D) Faux Q48)Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remise 2 boules dans l urne. La probabilité de l événement "la deuxième boule tirée est noire sachant que la première l est aussi" est A) 5/4 B) 25/64 16

17 C) 5/14 D) 4/7 E) 3/5 Q49)On choisit au hasard une boule d une urne contenant 3 boules rouges numérotées 1, 2 et 3, deux boules vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On considère les évènements suivants : R : "La boule tirée est rouge" ; A : "la boule tirée est numérotée 1" et B : " la boule tirée est numérotée 2 " Lesquelles de ces 4 affirmations sont vraies? A) Il n y a pas d évènements indépendants parmi les 3. B) R et A sont indépendants C) A et B sont indépendants D) R et B sont indépendants E) A et R sont incompatibles Q50)On considère une variable aléatoire X discrète à valeurs dans {0, 3, 5}, et on note p i = P(X = i), pour i =0, 3, 5. On a p 0 =0, 4, et p 3 =0, 2. Quelle est la variance de X? A) 11, 8 B) 6, 76 C) 5, 04 D) 2, 6 E) 3, 44 17

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