Les couples de variables aléatoires.

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1 Probabltés Chaptre 8 Les couples de varables aléatores I Les couples de varables aléatores dscrètes Hypothèses et Y sont deux varables aléatores dscrètes défnes sur un même espace probablsé Les valeurs possbles pour sont x, x,, x, ; les valeurs possbles pour Y sont y, y,, y, La probablté de l événement ( = x et Y = y ) est notée p, La lo de probablté cononte du couple (, Y) Elle est consttuée par la donnée, souvent sous forme de tableau, des x, des y et des p, : Y y y y x p, p, p, p x p, p, p, p M M M M M x p, p, p, p M M M M M p p p Les los de probabltés margnales de et de Y La probablté de l événement ( = x ) est notée p ; La probablté de l événement (Y = y ) est notée p On a : p = p, ; p = p, On peut obtenr les p à partr du tableau des p, en aoutant à drote une colonne margnale dans laquelle on somme chaque lgne On peut obtenr les p à partr du tableau des p, en aoutant en bas une lgne margnale dans laquelle on somme chaque colonne La somme de la colonne margnale dot être Celle de la lgne margnale auss Cette somme commune peut être portée dans la case en bas à drote Voc les expressons des espérances mathématques, des varances et des écarts-types m = E() = p x = p, x m = E(Y) = p y =,, p y, v = Var() = p ( x m) = p ( x m) v = p x - m = p, x - m σ = v,,, v = Var(Y) = p ( y m ) = p ( y m' ) ' v = p y - m = p, y - m σ Y = v',,, La démonstraton de l addtvté de l espérance mathématque est mantenant possble : E( + Y) = p,( x + y ) = p x, + p, y = E() + E(Y),,, Probabltés Chaptre 8 Page

2 3 L'ndépendance du couple (, Y) Il est naturel de penser que et Y sont ndépendantes s, pour tout et pour tout, les événements [ = x ] et [Y = y ] sont ndépendants La défnton de cette ndépendance est : p, = p p D'où la défnton : et Y sont ndépendantes s : ( (, )) p, = p p Retenr : le coeur est le produt des marges Les los de probabltés condtonnelles de Y ( On étuderat de même les los de probabltés condtonnelles de ) Supposons : ( ) p a) Les los de probabltés condtonnelles de Y La lo de probablté de Y condtonnée par l égalté [ = x ] est défne par ce tableau : Y y y y P x = (Y = y) = P(Y = y = x ) p p, p, p p p, La condton [ = x ] ne porte pas sur Y mas sur sa lo de probablté Ce tableau est obtenu à partr de la lgne N du tableau conont, par dvson par p Les probabltés fgurant dans la lgne nféreure ont ben pour somme et Y sont ndépendantes s, et seulement s, les los de probabltés condtonnelles de Y sont égales à la lo de probablté margnale de Y b) L espérance mathématque condtonnelle de Y L espérance mathématque de Y pour la lo de probablté P = x est : p, m = E(Y = x ) = y p Elle est donc défne par l égalté : p m = p, y La famlle des ponts (x, m ) consttue le nuage de régresson de Y en La famlle des m défnt une varable aléatore On note cette varable aléatore E(Y ) On la nomme espérance mathématque condtonnelle de Y Sa lo de probablté est défne par la famlle des couples (m, p ) Son espérance mathématque est : p m = p, y = E(Y), L espérance margnale de Y est l espérance de son espérance condtonnelle S et Y sont ndépendantes, l espérance condtonnelle de Y est constante et égale à son espérance margnale Probabltés Chaptre 8 Page

3 c) La varance condtonnelle de Y La varance de Y pour la lo de probablté P = x est : p, v = V(Y = x ) = (y - m ) p, = y - m p p Elle est donc défne par l égalté : p v = p, (y - m ) La famlle des v défnt une varable aléatore On note cette varable aléatore V(Y ) On la nomme varance condtonnelle de Y Sa lo de probablté est défne par la famlle des couples (v, p ) La varance de Y pour sa lo de probablté margnale est : V(Y) = E(Y ) - [E(Y)] = E[E(Y )] - [E(E(Y ))] = E[V(Y ) + (E(Y )) ] - [E(E(Y ))] = E[V(Y )] + E[(E(Y )) ] - [E(E(Y ))] = E[V(Y )] + V[E(Y )] V(Y) = E[V(Y )] + V[E(Y )] La varance margnale de Y est la somme de l espérance de sa varance condtonnelle et de la varance de son espérance condtonnelle S et Y sont ndépendantes, la varance condtonnelle de Y est constante et égale à sa varance margnale 5 La corrélaton lnéare du couple (, Y) a) La covarance du couple (, Y) La covarance du couple (, Y) est notée cov(, Y) ou encore σ,y Elle est ans défne : σ,y = E [( - E()) (Y - E(Y))] Ou encore, s l'on désgne par m l'espérance mathématque de (m = E()) et par m celle de Y : Voc d autres écrtures : σ,y = p,( x m)( y m' ), σ,y = E(Y) - E()E(Y) ; σ,y = p, xy - mm, On peut retenr : espérance du produt mons produt des espérances La matrce symétrque V() σ,y σ,y V(Y) est la matrce des varances-covarances du couple (, Y) Probabltés Chaptre 8 Page 3

4 Voc quelques proprétés de la covarance : La covarance est symétrque C est à dre : cov(y, ) = cov(, Y) La covarance est blnéare C est à dre : ) pour tout réel a : cov(a, Y) = cov(, ay) = acov(, Y) ; ) cov( +, Y) = cov(, Y) + cov(, Y) ; ') cov(, Y + Y ) = cov(, Y ) + cov(, Y ) Pour tout réel a : cov(, a) = cov(a, Y) = La covarance est nsensble aux translatons : ( a R) cov( + a, Y) = cov(, Y + a) = cov(, Y) ( (a,b,c,d) R ) cov(a + b, cy + d) = accov(, Y) ( (a,b,c,d) R ) cov(a + by, cz + dt) = accov(, Z) + adcov(, T) + bccov(y, Z) + bdcov(y, T) cov(, ) = V() V(+ Y) = V() + cov(, Y) + V(Y) La covarance ne change pas s l on remplace l une des varables par son espérance condtonnelle p, Par exemple : cov(, Y) = p,( x m)( y m' ) = p (x - m)( (y - m )), p = p (x - m)(m - m ) = cov[, E(Y )] La covarance est comparable à un produt ; le carré correspondant est la varance b) Le coeffcent de corrélaton lnéare du couple (, Y) Désgnons par σ l'écart-type de et par σ Y celu de Y On les suppose non nuls σ,y Le coeffcent de corrélaton lnéare du couple (, Y) de va est le réel : ρ,y = σσy Il est comprs entre - et Comme son nom l'ndque, l mesure la corrélaton lnéare entre et Y Il est vosn de quand et Y sont fablement corrélées ( exemple : la talle et le compte en banque) Il est vosn de quand et Y sont fortement corrélées et qu'elles varent dans le même sens ( exemple : la talle et le pods ) Il est vosn de - quand et Y sont fortement corrélées et qu'elles varent en sens nverse ( exemple : l âge et l espérance de ve ) Vérfons l'encadrement : ρ,y : Pour tout réel a : V(Y - a) = V(a) - cov(a, Y) + V(Y) = a V() - acov(, Y) + V(Y) Ce trnôme du second degré en a est postf ou nul pour tout a pusque : V(Y - a) Son dscrmnant rédut est négatf ou nul [cov(, Y)] - V()V(Y) ; [cov(, Y)] V()V(Y) ; cov(,y) D'où l'encadrement attendu a et ρ,y sont de même sgne V()V(Y) Probabltés Chaptre 8 Page

5 c) La corrélaton lnéare du couple (, Y) Les égaltés suvantes sont équvalentes : E(Y) = E()E(Y) V( + Y) = V() + V(Y) σ,y = ρ,y = Quand ces égaltés sont vraes, on dt que les varables aléatores et Y sont non corrélées lnéarement S et Y sont ndépendantes alors elles sont non corrélées lnéarement En effet, dans ce cas, E(Y) = p, xy = p p xy =,, p x p y = E()E(Y) La récproque est fausse : chosr Ω = {-,,} mun de l équprobablté, l applcaton dentque sur Ω et Y= d) La drote de régresson lnéare de Y en On suppose : V() On cherche d éventuels réels a et b mnmsant l espérance mathématque : Esp = E[(Y - m ) - a( - m) - b] Esp = E[(Y - m ) - a( - m)] + b (à vérfer) Il faut donc chosr : b = On suppose b = dans la sute du calcul Esp = V(Y - a) = a V() - acov(,y) + V(Y) Esp est donc mnmal pour a = cov(, Y ) V( ) La drote d équaton : (y - m ) = cov(, Y ) (x - m) V( ) est la drote de régresson de Y en Elle ne change pas s l on remplace Y par son espérance condtonnelle II Les couples absolument contnus de varables aléatores Un couple (, Y) de varables aléatores est dt absolument contnu s l possède une foncton densté de probablté cononte, c est à dre une foncton vérfant les égaltés proposées dans le paragraphe II Dans ce cas, et Y possèdent chacun une densté de probablté dte margnale Autrement dt, et Y sont absolument contnues Remarque Il exste des couples de varables aléatores absolument contnues qu ne sont pas absolument contnus Par exemple, même s une varable aléatore est absolument contnue, le couple (, ) n est pas absolument contnu Dans la sute on consdère un couple (, Y) absolument contnu de varables aléatores Densté de probablté cononte du couple (, Y) C est une foncton f,y de R vers R ans défne : ( (x, y) R ) f,y (x, y) dxdy = P[(x < <x + dx) (y < Y < y + dy)] Probabltés Chaptre 8 Page 5

6 Ou encore, s a < b et c < d alors : P[(a < < b) (c < Y < d)] = [ a,b] [ c, d] f (x, y) dxdy f,y possède les proprétés suvantes (caractérstques d une densté de probablté cononte) : ( (x, y) R ) f,y (x, y) et R,Y,Y f (x, y) dxdy = Les denstés de probabltés margnales La densté de probablté margnale de est la foncton f ans défne : ( x R) f (x) = + f Y (x,, y)dy La densté de probablté margnale de Y est la foncton f Y ans défne : ( y R) f Y (y) = + f Y (x,, y)dx Remarque : la densté de probablté cononte de (, Y) détermne les denstés de probabltés margnales de et Y ; la récproque est fausse 3 L ndépendance et Y sont ndépendantes s, et seulement s : Les los de probabltés condtonnelles ( (x, y) R ) f,y (x, y) = f (x)f Y (y) (Le cœur est le produt des marges) On suppose f (x) La densté de probablté condtonnelle de Y sachant que = x est la foncton f Y = x ans défne : ( y R) f Y = x (y) = f x y, Y (, ) f ( x) f Y = x est ben une densté de probablté pusqu elle est postve et d ntégrale égale à L espérance et la varance condtonnelles assocées sont ans défnes (sous réserve d exstence) : E(Y = x) = + yf Y = x (y)dy = ) + f ( yf,y (x, y)dy ; x E(Y = x) = + y f Y = x (y)dy = ) + f ( y f,y (x, y)dy ; x Var(Y = x) = E(Y = x) - [ E(Y = x)] la courbe représentatve de la foncton [x ae(y = x)] est la courbe de régresson de Y en S et Y sont ndépendantes alors : f Y = x = f Y ; E(Y = x) = E(Y) ; Var(Y = x) = Var() ; la courbe de régresson de Y en est une drote parallèle à l axe des abscsses Les varables aléatores espérance mathématque condtonnelle et varance condtonnelle sont défnes comme dans le cas dscret Comme dans le cas dscret on a : E[E(Y )] = E(Y) ; Var[E(Y )] + E[Var(Y )] = Var(Y) 5 La corrélaton lnéare Les défntons et les proprétés énoncées dans le cas dscret restent valables En partculer : Cov(, Y) = E(Y) - E()E(Y) ; E(Y)= R xyf, Y (x, y)dxdy Probabltés Chaptre 8 Page 6

7 Trouver une varable aléatore ndépendante d'elle-même Exercces On consdère l'épreuve consstant à eter fos un dé normal On désgne par le premer numéro obtenu, par Y le deuxème numéro obtenu et par Z l ndcatrce de l événement : «La somme des deux numéros obtenus est mpare» (Par défnton, l ndcatrce d un événement prnd la valeur dans cet événement et la valeur alleurs) Etuder l ndépendance de et de Z, de Y et de Z, de + Y et de Z 3 et Y sont varables aléatores dscrètes défnes sur un même unvers Leur lo de probablté cononte est défne par le tableau suvant : 3 Y /3 /3 /3 /3 3/3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 3/3 /3 Calculer la covarance de et de Y, le coeffcent de corrélaton lnéare de et de Y, et une équaton de la drote de régresson de Y en Détaller les calculs Calculer l espérance mathématque condtonnelle de Y et la varance condtonnelle de Y sous chacune des condtons =, =, =, = 3 Relatvement à un même repère (unté : 5 cm), tracer la drote de régresson de Y en, le pont moyen du nuage et le nuage de régresson de Y en On ette fos un dé cubque ordnare, ben équlbré On pose la dvson du premer numéro obtenu par le deuxème numéro obtenu S la dvson ne tombe pas uste, on s arrête à la vrgule Par exemple, quand on dvse 5 par, le quotent est et le reste est Autre exemple : quand on dvse 6 par, le quotent est 3 et le reste On désgne par le quotent et par Y le reste a) Donner (sous forme de tableau) la lo de probablté cononte de (, Y), la lo de probablté margnale de et la lo de probablté margnale de Y b) Donner l espérance mathématque de et celle de Y c) Détermner la matrce des varances-covarances de (, Y) d) Donner, sous forme de tableau, la lo de probablté de l espérance condtonnelle de Y et celle de la varance condtonnelle de Y e) Tracer dans un même graphque le pont moyen du nuage, le nuage de régresson de Y en et la drote de régresson de Y en 5 et Y sont varables aléatores dscrètes défnes sur un même unvers Leur lo de probablté cononte est défne par le tableau suvant : Y 3 Total,6,,,8,,6,, 3,,8,,,,8, 5,8,6,, Total 5 Compléter ce tableau 5 Calculer les probabltés P( et Y 3) et P( > Y) 53 Calculer chacun des réels E(), E(Y), V(), V(Y), Cov(, Y), r(, Y) 5 Donner une équaton de la drote de régresson de Y en Probabltés Chaptre 8 Page 7

8 55 Compléter le tableau suvant : x 3 5 P( = x) E(Y / = x) E(Y / = x) V(Y / = x) 56 Calculer chacun des réels E(V(Y / )), V(E(Y / )) et E(V(Y / )) + V(E(Y / )) 6 Une urne content quatre boules marquées, tros boules marquées, deux boules marquées 3 et une boule marquée On chost au hasard deux boules dans cette urne On désgne par la dfférence (en valeur absolue) des deux numéros obtenus et par Y la somme des deux numéros obtenus 6 Dresser un tableau donnant la lo de probablté cononte du couple (, Y) et les deux los de probabltés margnales de et de Y 6 Calculer E(), E(Y), V(), V(Y), Cov(, Y), r(, Y) 63 Donner une équaton de la drote D de régresson de Y en 6 Calculer E(Y / = x) pour chaque valeur x possble pour 65 Dessner sur une même fgure le nuage de régresson de Y en et la drote D 7 Voc un nuage de dx ponts équpondérés (ls ont tous le même pods) L unté est le centmètre Les coordonnées sont entères Tracer le pont moyen du nuage, le nuage de régresson de Y en et la drote de régresson de Y en On donnera tous les calculs utles y O x 8 La fgure tracée c-contre représente le nuage de ponts relatf à un couple (, Y) de varables aléatores dscrètes Les nombres écrts près des ponts sont les pods des ponts Ils sont proportonnels aux probabltés Questons 8 Tracer la drote de régresson de Y en On détallera les calculs 8 Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare de et de Y Probabltés Chaptre 8 Page 8

9 9 Le nuage de ponts c-dessous représente un couple (, Y) de varables aléatores dscrètes Les nombres fgurant près des ponts sont les «pods» des ponts Ils sont proportonnels aux probabltés Questons 9 Détermner et tracer (sur la fgure c-dessus) le pont moyen du nuage 9 Détermner et tracer les ponts du nuage de régresson de Y en 93 Détermner et tracer la drote de régresson de Y en 9 Les varables aléatores et Y sont-elles ndépendantes? 95 Trouver les réels V(E(Y/)), E(V(Y/)) et V(Y) Hypothèses : Var() = ; Var(Y) = 5 ; Cov(, Y) = -3 Calculer : Cov( Y +, 3 + Y 6) ; Var(-3 + Y 3) Hypothèses : Var(3 + Y + ) = 35 ; Var( + 5Y 7) = 8 ; Cov( 3Y +, + Y 3) = -5 Calculer : Var( + Y 8) ; Cov( + 3Y + 5, -3 + Y + ) Détermner les denstés de probablté cononte et margnales dans le cas où la dstrbuton de (, Y) est unforme sur le pavé [- ; ] [3 ; 8] et Y sont-elles ndépendantes? 3 A(-, ), B(, ), C(, 3) sont tros ponts (, Y) est un couple de varables aléatores unforme sur le trangle ABC f, f Y, f,y désgnent les denstés de probabltés respectves de, Y, (, Y) F désgne la foncton de répartton de 3 Donner une équaton de la drote (AC) 3 En supposant le repère orthonormé, donner l are (en unté d are) du trangle ABC Dédure f, Y (x, y) 33 Exprmer f (x), f Y (y) et F (x) Représenter f et F sur un même graphque 3 Détermner l espérance mathématque de et celle de Y 35 Détermner la varance de et celle de Y 36 Pour x comprs entre - et, détermner la densté de probablté condtonnelle de Y sachant que = x, pus l espérance mathématque condtonnelle de Y sachant que = x Sur un même graphque, tracer le trangle ABC et la courbe de régresson de Y en 37 Calculer la covarance de (, Y) Donner une équaton de la drote de régresson de Y en Hypothèses 3, ; (, Y) est un couple de varables aléatores unforme sur le trangle ABC f,y est la densté de probablté cononte du couple (, Y) f et f Y sont les denstés de probabltés margnales respectves de et de Y A = [,6 ] ; B = [ -3, ] ; C = [ ] Questons Donner une équaton de chacune des drotes (AB) et (AC) Détermner l are (en unté d are) du trangle ABC 3 Défnr chacune des denstés de probabltés f, Y, f et f Y Donner les espérances mathématques de et de Y 5 Tracer sans calcul la courbe de régresson de Y en (donner une ustfcaton géométrque) 6 Donner la matrce des varances-covarances du couple (, Y) 7 Tracer la drote de régresson de Y en sur la fgure tracée en queston 5 Probabltés Chaptre 8 Page 9

10 5 y B C O L unté est de 5 cm sur chaque axe (, Y) est un couple de varables aléatores unforme sur le trangle OAB 5 Donner une équaton de chacune des drotes (AB) et (AC) 5 a) Explquer pourquo le segment [A, C] est la courbe de régresson de Y en Cov(, Y) b) Dédure le rapport V() 53 Détermner la lo de probablté cononte du couple (, Y) 5 Détermner la densté de probablté margnale de ; calculer E(), V() et Cov(, Y) 55 a) Explquer pourquo et Y sont dentquement dstrbuées b) Détermner le pont moyen et le coeffcent de corrélaton lnéare de (, Y) 6 Le plan est rapporté à un repère orthonormé La varable d abscsse est notée x La varable d ordonnée est notée y A(, 3), B(-3, ), C(, -) sont tros ponts du plan (, Y) est un couple de varables aléatores dont la densté de probablté cononte est constante à l ntéreur du trangle ABC et nulle à l extéreur f est la densté de probablté margnale de f Y est celle de Y F est la foncton de répartton margnale de f, Y est la densté de probablté cononte de (, Y) 6 a) Dessner le trangle ABC (unté : cm) b) Calculer l are (en unté d are, pas en cm ) du trangle ABC c) Donner une équaton de chacune des drotes (AB), (BC), (CA) 6 a) Détermner f, Y (x, y) selon la valeur de (x, y) b) Détermner f (x) selon la valeur de x c) Détermner F (x) selon la valeur de x d) Tracer (pas sur le graphque dessné à la queston mas sur un nouveau graphque) les courbes représentatves de f et F (untés : cm en abscsse, cm en ordonnée) e) Détermner f Y (y) selon la valeur de y f) Calculer l espérance mathématque de chacune des varables aléatores et Y Dessner dans le trangle ABC le pont G(, ) Que représente ce pont pour le trangle ABC? Proposer un autre calcul, ben plus smple, de E() et de E(Y) 63 On suppose dans cette queston : -3 < x < a) Détermner la lo de probablté condtonnelle f Y / = x de Y sachant que = x b) Détermner l espérance mathématque condtonnelle E (Y / = x) de Y sachant que = x Tracer la courbe de régresson de Y en sur le même graphque que le trangle ABC Vérfer l égalté : E [E(Y / )] = E(Y) c) Détermner la varance condtonnelle V (Y / = x) de Y sachant que = x 6 a) Calculer V(Y) b) Vérfer l égalté : V [E (Y / )] + E [V (Y / )] = V(Y) 65 a) Calculer V() b) Calculer Cov (, Y) c) Donner une équaton de la drote D de régresson de Y en et tracer D sur la même fgure que le trangle ABC d) Calculer le coeffcent r(, Y) de corrélaton lnéare de et de Y A x Probabltés Chaptre 8 Page

11 7 Hypothèses A(, ), B( 3, ) et C(5, ) sont 3 ponts du plan (, Y) est un couple de varables aléatores unforme sur le trangle ABC Questons 7 Dessner le trangle ABC Calculer les coordonnées du mleu I de [B, C] 7 A l ade de deux calculs très smples, trouver E() et E(Y) Tracer le pont moyen G 73 Sans aucun calcul, construre la courbe de régresson de Y en 7 La courbe de régresson de Y en est consttuée de deux segments de drotes [BP] et [PC] Trouver une équaton de chacune des drotes (BP) et (PC) 75 Trouver l are (exprmée en unté d are) du trangle ABC (Réponse à ustfer : 8) 76 Trouver une équaton de chacune des drotes (AB), (BC) et (CA) 77 a) Détermner la densté de probablté cononte du couple (, Y) b) Détermner la densté de probablté margnale de Réponse partelle à ustfer : 3 x < x <5 f (x) = (x + 3) / 6 f (x) = ( x + 5) / 6 78 Détermner et tracer la drote de régresson de Y en On détallera les calculs Indcaton On pourra utlser sans ustfcaton les égaltés suvantes : 6 x (x + 3)dx = 3 ; 5 6 x ( x + 5)dx = 9 6 ; 56 x(3x 7)(x + 3)dx = 3 6 ; 5 56 x( 5x + )( x + 5)dx = La courbe c-contre a pour équaton y = x 3 Hachurer le nuage unforme ans défn : < x < < y < x 3 Tracer la courbe de régresson de Y en, le pont moyen du nuage et la drote de régresson de Y en On donnera tous les calculs utles 9 (,Y) est un couple de varables aléatores unforme sur la parte A de R x ans défne : y x f, f Y, f, Y désgnent les denstés de probabltés respectves de, Y, (, Y) F désgne la foncton de répartton de 9 a) Dessner A (Untés : cm sur chaque axe) b) Calculer l are (en unté d are) de A c) Dédure f, Y (x, y) 9 Exprmer f (x) et F (x) Représenter f et F sur un même graphque (Untés : cm sur chaque axe) 93 Détermner l espérance mathématque de 9 Détermner la varance de 95 Pour x comprs entre et, a) détermner la densté de probablté condtonnelle de Y sachant que = x, b) pus l espérance mathématque condtonnelle de Y sachant que = x Probabltés Chaptre 8 Page

12 96 Sur le même graphque que A, tracer la courbe de régresson de Y en 97 a) Calculer l espérance mathématque de Y b) Calculer la covarance de (, Y) c) Donner une équaton de la drote de régresson de Y en d) Tracer cette drote sur le même graphque que A Formulare Foncton cos x x cos x x cos x cos x Foncton prmtve sn x x sn x + cos x x sn x + x cos x sn x x + sn (x) x cos x + x sn (x) + 8 Hypothèses x π / A est l ensemble des couples (x, y) de réels tels que : y cos x (, Y) est un couple de varables aléatores unforme sur A x cos (x) Questons Dessner A On prendra cm pour unté Détermner l are de A exprmée en unté d are Dédure la densté de probablté cononte f, Y du couple (, Y) 3 Détermner la densté de probablté margnale f de Détermner la foncton de répartton F de Tracer la courbe d équaton y = F (x) sur le dessn de la queston 5 Pour < x < π/, détermner la densté de probablté condtonnelle f Y / = x de Y sachant que = x 6 Donner une équaton de la courbe C de régresson de Y en Aouter C au dessn de la queston 7 Calculer les espérances mathématques E() et E(Y) de et de Y Aouter au dessn de la queston le pont moyen G (E(), E(Y)) du nuage 8 Calculer la varance Var () de et la covarance Cov (, Y) du couple (, Y) Donner une équaton de la drote D de régresson de Y en Aouter D au dessn de la queston Le plan est rapporté à un repère orthonormé La varable d abscsse est notée x La varable d ordonnée est notée y On consdère les ponts A(3, -), B(, ), C(-, ), D(, -) (, Y) est un couple de varables aléatores dont la densté de probablté cononte f est unforme à l ntéreur du quadrlatère ABCD et nulle à l extéreur f, f Y, f, Y désgnent les denstés de probabltés respectves de, Y, (, Y) F, F Y désgnent les fonctons de répartton respectves de et de Y Tracer le quadrlatère ABCD Calculer son are Dédure f, Y (x, y) à l ntéreur de ABCD Compléter le tableau suvant : Drote (AB) (BC) (CD) (DA) Compléter les tableaux suvants : f Y (y) Equaton du type ax + by + c = Equaton du type y = ax + b Equaton du type x = ay + b y - - < y - - < y < y < y Probabltés Chaptre 8 Page

13 x - - < x < x < x 3 3 < x f (x) F (x) f Y = x (y) E(Y = x) Pour f Y = x (y), ne pas oubler de dscuter selon la valeur de y Tracer la courbe de régresson de Y en sur le même graphque que le quadrlatère ABCD Sur un deuxème graphque, tracer les courbes représentatves de f et de F Pour ce deuxème graphque, on chosra pour untés cm en abscsse et cm en ordonnée Exemple de calcul d ntégrale double (x + y)dxdy = { < x < < y< (x + y)dx dy = x + yx dy = ( y)dy + = y y + = Hypothèses < x < f(x, y) = x + y s ; f(x, y ) = snon < y < (, Y) couple de varables aléatores absolument contnu de densté de probablté cononte f Questons Explquer pourquo f est acceptable comme densté de probablté Explquer pourquo les varables aléatores et Y sont dentquement dstrbuées 3 a) Exprmer la densté de probablté margnale f de b) Calculer l espérance mathématque E() de c) Calculer la varance V() de On suppose, dans cette queston seulement : < x < a) Exprmer la densté de probablté condtonnelle f Y/=x de Y sachant que = x b) Exprmer l espérance mathématque condtonnelle E(Y / = x) de Y sachant que = x c) Exprmer la varance condtonnelle V(Y / = x) de Y sachant que = x 5 Tracer en repère orthonormé la courbe C de régresson de Y en On prendra cm pour unté 6 a) Calculer la covarance Cov(, Y) du couple (, Y) b) Donner une équaton de la drote D de régresson de Y en c) Tracer la drote D sur la même fgure que la courbe C 3 (, ) est un couple de varables aléatores absolument contnues de densté de probablté f ans défne : x µ x µ f(x,x ) = exp + (σ > ; σ > ) πσσ σ σ f et f sont les denstés de probabltés margnales de et de Détermner f et f et sont-elles ndépendantes? x Il exste un unque réel a tel que : e dx =,5 (a,675) g est la foncton de varables ans défne : x < a π ( x + x ) g(x,x ) = e ; h est la foncton ndcatrce de la parte de R ans défne : ( x - a)( x - a) > ; f est le produt gh π (, ) est un couple de varables aléatores absolument contnues de densté de probablté f f et f sont les denstés de probabltés margnales de et de Vérfer que f est une densté de probablté Détermner f et f et sont-elles ndépendantes? Lnéarement corrélées? Probabltés Chaptre 8 Page 3

14 5 L agulle de Buffon Georges Lous Leclerc, comte de Buffon, est un naturalste franças du dx-hutème sècle Il est l auteur de «l Hstore Naturelle», ouvrage encyclopédque en 36 volumes Introducton Imagnons un plancher parfatement lsse et horzontal consttué de lattes dentques, parallèles, de même largeur L (L > ) Au dessus de ce plancher, on ette dans le plus grand désordre un grand nombre d agulles dentques, de même longueur l ( < l < L) (Des allumettes convennent pour réalser l expérence) La proporton des agulles qu s mmoblsent à cheval sur lattes est vosne de l π L L obectf est de comprendre pourquo Notatons, hypothèses On consdère une agulle donnée, mmoblsée sur le plancher On désgne par α ( α π/) l angle géométrque de l agulle avec la drecton des lattes On désgne par x ( x L/) la dstance de son centre au bord de latte le plus vosn On désgne par M (α, x) le pont de coordonnées (α, x) dans un plan rapporté à un repère orthonormé (α en abscsse, x en ordonnée) α π / M est donc ntéreur au rectangle R défn par le système d néquatons : x L / Les agulles ayant été etées au hasard, les probabltés relatves à x et à α sont unformes et ndépendantes, c est à dre : la probablté pour que M appartenne à une parte donnée A de R d are S est proportonnelle à S Questons 5 Dessner le rectangle R en prenant L = et en prenant 5 cm pour unté (Dans la sute, rasonner avec L quelconque) 5 Quelle est la probablté pour que M appartenne à une parte donnée A de R d are S? (Répondre en foncton de L et de S) 53 On suppose (dans cette queston seulement) que l extrémté de l agulle est sur une frontère entre deux lattes a) Exprmer x en foncton de α b) Tracer dans R (dessné à la queston ) la courbe décrte par M lorsque α vare de à π/ On prendra l = pour le dessn mas, dans la sute du devor, on rasonnera avec l quelconque 5a) Hachurer la parte A de R ans défne : M appartent à A s, et seulement s, l agulle est à cheval sur deux lattes b) Calculer (en unté d are, pas en cm ) l are S de A (Répondre en foncton de l et de L) 55 Conclure Probabltés Chaptre 8 Page

15 Réponses Toute constante Z est ndépendante de et de Y mas pas de + Y 3 E() = 7/5 =, ; E(Y) = 3/5 =,6 ; Var() = 3/5 =, ; Var(Y) = 3/5 =,98 ; Cov(, Y) = 3/75 =,73 ; 3 Cor(, Y) = 3, ; Equaton de la drote de régresson de Y en : y = 5 93 (x - 7 ) ; y,x +,87 ; 5 E(Y = ) = 5/8 =,875 ; E(Y = ) = 6/9 =,7 ; E(Y = ) = 7/6 =,83 ; E(Y = 3) = a) Y 3 5 Σ 5/36 /36 3/36 /36 /36 5/36 6/36 /36 /36 / /36 /36 / /36 / /36 / /36 /36 6 /36 /36 b) E() = /36 ; E(Y) = /9 Σ /36 /36 6/36 3/36 /36 /36 c) d) x P( = x) 5/36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 E(Y = x) 7/3 /3 ¼ Var(Y = x) /9 5/9 3/6 E[Var(Y )] + Var[E(Y )] = = 89 6 = Var(Y) e) Drote de régresson de Y en : x + 77y 5 = ; y -,557x +,89 5 Y 3 Total,6,,,8,,,6,,, 3,,8,,,,,,8,,6 5,8,6,,,8 Total,3,6,6,8 5 P( et Y 3) =,8 ; P( > Y) =,5 53 E() =,9 ; E(Y) =,3 ; V() = =,89 ; V(Y) = 65 =,776 ; Cov(, Y) = Equaton de la drote de régresson de Y en : y = ax + b avec a = ,995 et b = 95 89,685 = -,88 ; r(, Y) -,6 Probabltés Chaptre 8 Page 5

16 55 x 3 5 P( = x),,,,6,8 E(Y / = x) 7 9/,,65 7/9,89 E(Y / = x) 8,9 58/ 5,7 79/ 6,58 7,65 /9,56 V(Y / = x),6 /,7 7/,7, /8,99 56 E(V(Y / )) = 936/8,8 ; V(E(Y / )) = 9879/8,3 = 979/9, E(V(Y / )) + V(E(Y / )) = 736/65 = V(Y) =,776 6 Inventare des possbltés : Tableau de contngence : (a, b) Effectf a b a + b (, ) 6 (, ) 3 (, 3) 8 (, ) 3 5 (, ) 3 (, 3) 6 5 (, ) 3 6 (3, 3) 6 (3, ) 7 6 E() =, ; E(Y) = ; V() = 76/5 ; V(Y) = 6/9 ; Cov(, Y) = 8/5 ; r(, Y) = 63 5x y + 7 = 6 7 Tableau de contngence : Tableau des moyennes condtonnelles : E() = 5 V(Y) = 38 x 3 E(Y / = x) 3 5/ 5 =, ; E(Y) = 33 = 3,3 ; E( ) = 7 ; V() = 3 5 =, ; E(Y ) = 7 =,7 ; = 3,8 ; E(Y) = 7 y x Σ Σ 3 = 7, ; Cov(,Y) = - 5 = -,8 ; équaton de la drote de régresson de Y en : y 3,3 = - (x,) ; y -,66x +,89 6 y x 3 E(Y / = x) 3 Y Total Total G O x Probabltés Chaptre 8 Page 6

17 8 Lo de probablté cononte Y Total / / 3/ 3/ / / 9/ 3 / / 3/ / / / 5/ Total / 3/ / 5/ / / / / E(Y) = ( ) / ; E(Y) =,3 Los de probabltés margnales x 3 Total P( = x 3/ 9/ 3/ 5/ xp( = x) 3/ 8/ 9/ / E() =,5 x P( = x) 3/ 36/ 7/ 8/ E( ) = 7,3 V() = 7,3 (,5) =,5 y Total P(Y = y) / 3/ / 5/ / / / / yp(y = y) / 6/ 6/ / / / 7/ 6/ E(Y) =,5 y P(Y = y) / / 8/ 8/ 5/ / 9/ 8/ E(Y ) =, V(Y) =,,5 = 3,85 Cov(, Y) =,3 (,5,5) =,5 ; r(, Y) = Cov(, Y) σ()σ(y) =,5 = 3/,5 3,85 8 La drote de régresson de Y en a pour équaton y = ax + b avec a = et b = E(Y) ae() =,5,5 = D où l équaton : y = x + Cov(, Y) V() =,5,5 = 9 Probabltés Chaptre 8 Page 7

18 Lo de probablté cononte Y 5 Total / / 3/ 3/ / / 9/ 3 / / 3/ / / / 5/ Total 5/ 6/ / 7/ E(Y) = ( ) / ; E(Y) = 7,5 Los de probabltés margnales x 3 Total y 5 Total P( = x 3/ 9/ 3/ 5/ P(Y = y) 5/ 6/ / 7/ xp( = x) 3/ 8/ 9/ / E() =,5 yp(y = y) 5/ / 8/ 35/ E(Y) = 3 x P( = x) 3/ 36/ 7/ 8/ E( ) = 7,3 y P(Y = y) 5/ / 3/ 75/ E(Y ) =,8 Le pont moyen du nuage est le pont G(,5 ; 3) V() = 7,3 6,5 ; V() =,5 V(Y) =,8 9 ; V(Y) =,8 Corrélaton lnéare Cov (, Y) = E(Y) E()E(Y) = 7,5,5 3 ; Cov (, Y) = donc auss : r(, Y) = Il n y a aucune corrélaton lnéare dans le couple (, Y) Cependant le tableau des probabltés conontes prouve que et Y ne sont pas ndépendantes Par exemple : P( = et Y = ) P( = ) P(Y = ) Equaton de la drote de régresson de Y en : y = ax + b avec a = Cov(, Y) / V() = et b = E(Y) ae() = E(Y) = 3 Donc : y = 3 Los de probabltés condtonnelles = y Total P(Y = y / = ) /3 /3 yp(y = y / = ) /3 8/3 E(Y / = ) = 3 y P(Y = y / = ) /3 3/3 E(Y / = ) = V(Y / = ) = 9 = = y 5 Total P(Y = y / = ) 3/9 /9 /9 yp(y = y / = ) 3/9 /9 /9 E(Y / = ) = 3 y P(Y = y / = ) 3/9 8/9 /9 E(Y / = ) = 37/3 V(Y / = ) = 37/3 9 = /3 = 3 y 5 Total P(Y = y / = 3) /3 /3 yp(y = y / = 3) /3 5/3 E(Y / = 3) = 3 y P(Y = y / = 3) 8/3 5/3 E(Y / = 3) = V(Y / = 3) = 9 = = y 5 Total P(Y = y / = ) /5 /5 /5 yp(y = y / = ) /5 /5 /5 E(Y / = ) = 3 y P(Y = y / = ) /5 8/5 5/5 E(Y / = ) = 59/5 V(Y / = ) = 59/5 9 = /5 La varable aléatore E(Y / ) est constante et égale à 3 Sa varance est donc nulle : V(E(Y / )) = Le nuage de régresson de Y en est consttué des ponts A(, 3), B(, 3), C(3, 3) et D(, 3) Ils sont algnés (sur la drote de régresson de Y en ) La régresson de Y en est lnéare Probabltés Chaptre 8 Page 8

19 Etude de la varable aléatore V(Y / ) x 3 V(Y / = x) /3 /5 Total P( = x) 3/ 9/ 3/ 5/ V(Y / = x)p( = x) 3/ 5/ 3/ 7/ E(V(Y / )) =,8 On a ben : E(V(Y / )) + V(E(Y / )) = V(Y) Cov( Y +,3 + Y 6) = - ; Var(-3 + Y 3) = 7 Var() = 3 ; Var(Y) = ; Cov(, Y) = ;Var( + Y 8) = 5 ; Cov( + 3Y + 5, -3 + Y + ) = - < x < S alors f, Y (x, y) = /5 ; snon f, Y (x, y) = ; s < x < alors f (x) = /3 ; snon f (x) = ; 3 < y < 8 s 3 < y < 8 alors f Y (y) = /5 ; snon f Y (y) = ; et Y sont ndépendantes 3 ) 3x y + 6 = ) Are : 6 ; f, Y (x, y) = /6 s < x < et <y < 3 (x + ) ; f, Y (x, y) = snon 3) f (x) = 8 (x + ) s < x < ; f (x) = snon f Y (y) = 9 (3 y) s < y < 3 ; fy (y) = snon x + F (x) = s x - ; F (x) = s < x ; F (x) = s x > ) E() = (- + + ) / 3 = /3 ; E(Y) = ( + + 3) / 3 = 5) Var() = 8/9 ; Var(Y) = / 6) Y = x est unforme sur [ ; 3 (x + )] ; E(Y = x) = 8 3 (x + ) 7) Cov(, Y) = /3 ; équaton : y = E(Y = x) c est à dre : 3x 8y + 6 = A y B (AB) a pour équaton : y = x + 6 ; (AC) a pour équaton : y = -x + 6 ; ABC a pour are 8 ua ; f, Y (x, y) = /8 s : -3 < x < 3 et < y < - x + 6 ; f, Y (x, y) = snon ; f (x) x -3-3 < x < x 3 3 < x y < y 6 6 <y x + 3 x E() = ; E(Y) = ; Var(,Y) = E(Y / = x) = - x + 3 (-3 < x < 3) 5 (AB) : x + y = ; (AC) : x + y = b) 9 9 f Y (y) y ; la drote de régresson de Y en a pour équaton : y = Cov(, Y) V() 5 f (x) = ( x) s < x < ; f (x) = snon E() = x ( x)dx C = -/ 3 f, Y (x, y) = s < x < < y < x ; f, Y(x, y) = snon x( x)dx = /3 ; E( ) = = /6 ; V() = /8 ; Cov(, Y) = (-/) (/8) = -/36 55 a) Le trangle OAB ne change pas s l on échange x et y b) Pont moyen : G(/3, /3) ; r(, Y) = -/ x Probabltés Chaptre 8 Page 9

20 6 b) 9 c) (AB) : x y + 5 = ; (BC) : x + 5y + = ; (CA) : x + y 7 = 6 a) f, Y (x, y) = /9 à l ntéreur du trangle ABC, à l extéreur b) x -3 c) f (x) (x + 3) 5 x -3 (-x + ) d) F (x) (x + 3) (-x + x + ) 5 e) y - 3 f Y (y) (y + ) (-y + 3) f) E() = ; E(Y) = G est le centre de gravté du trangle ABC E() = (x A + x B + x C ) / 3 ; E(Y) = (y A + y B + y C ) / 3 -(x + ) (x + 5) 63 S 3 < x alors [Y / = x] est unforme sur [ ; ] 5 + ) (x + 5) x -3 f Y / = x (y) = s y [-(x ; ] f 9(x + 3) 5 Y / = x (y) = snon x + 3 -x + 7 E (Y / = x) -(x + ) 5 S < x < alors [Y / = x] est unforme sur [ ; -x + 7] 5 7 (x + 3) 7 (x ) V (Y / = x) 5 + ) 5 f Y / = x (y) = s y [-(x ; -x + 7] f 8(-x + ) 5 Y / = x (y) = snon 6 V(Y) = 7 9 ; E [V (Y / )] = ; V [E (Y / )] = V() = 7 6 ; Cov (, Y) = - - ; équaton de D : x + 7y 7 = ; r(, Y) = 6 7 -,89 Probabltés Chaptre 8 Page

21 7 y A(, ) B( 3, ) O P(, /) G(, ) I(, 5/) x 7 E() = ( 3 + 5) / 3 = ; E(Y) = ( ) / 3 = 73 La courbe de régresson de Y en est la drote des mleux C est lgne brsée [B, P] [P, C] avec P mleu de [A, I] P(, /) 7 La courbe de régresson de Y en est consttuée de deux segments de drotes [B, P] et [P, C] Equaton de (BP) : 3x 6y 7 = ; équaton de (PC) : 5x + 6y = 75 Are du trangle ABC : Abs(Dét ( AB, AC )) = 76 Equaton de chacune des drotes (AB), (BC) et (CA) : 3 6 = 8 (AB) (BC) (AC) 3x y + 5 = 3x + 8y + 7 = 3x + y 7 = 3x y + 5 > 77 a) f, Y (x, y) = /8 à l ntéreur du trangle c'est-à-dre pour 3x + 8y + 7 > b) Pour x < 3 ou pour x 5 f (x) = Pour 3 x < f (x) = Pour x < 5 f (x) = 78 E( ) = 3x+ 5 3x 7 8 3x+ 7 3x 7 8 dy 8 = 8 3x + 5 3x 7 8 dy 8 = 8 3x + 7 3x x f (x)dx = = x = x x + y 7 < 5 x ( x + 5)dx ; f, Y (x, y) = alleurs 6 x (x + 3)dx + 3 = V() = 3 3 = 8 3 E(Y) = E(E(Y/)) = 56 x(3x 7)(x 3)dx x( 5x + )( x + 5)dx = Cov(, Y) = E(Y) E()E(Y) = + = Equaton de la drote de régresson de Y en : y = ax + b avec : a = Cov(,Y) = 3 V() 8 et b = E(Y) ae() = = 5 8 Donc : y = 3 8 x 5 ou encore : 3x + 8 y + 5 = 8 8 Are du nuage : 3 ( x )dx = x x = 3 Densté de probablté à l ntéreur du nuage : 3 Densté de probablté margnale de : f(x) = 3 ( x3 ) s < x < ; f(x) = snon Espérance mathématque de : Espérance mathématque de : 3 x ( x )dx = x ( x )dx = x x 5 = x x 3 6 = 9 Varance de : V() = 9 Courbe de régresson de Y en (leu des mleux des coupures vertcales) : < x < y = ( x3 ) C(5, ) 5 = 5 Probabltés Chaptre 8 Page

22 E(Y) = E[E(Y / )] = 3 3 ( x ) ( x )dx = 3 3 Le pont moyen du nuage est le pont G ( 5, 3 7 ) E(Y) = E[E(Y / )] = 3 3 x ( x ) ( x )dx = (x x + )dx = 3 7 (x x + x)dx = 3 7 x x + x 7 = 3 7,3 8 5 x x x = 3 Covarance de (, Y) : Cov(, Y) = = -3 Equaton de la drote de régresson de Y en : y = -3 / 5 (x ) ; 35 x + 39 y = ; y = 5 39 x + ; y -,3 x +, b) /3 c) f, Y (x, y) = 3/ s x y x, snon ) f (x) = (3/)( - x ) s < x <, snon ; F (x) = (x/)(3 - x ) s < x <, snon 3) 3/8 ) 9/3 5) a) f Y = x (y) = / ( - x ) s < y < - x, snon (lo unforme sur [ ; - x ]) b) E(Y = x) = ( - x ) / 7) a) /5 b) -/ c) y = -(8/9)x + 53/95 -,x +,56 A = ; f, Y (x, y) = s x π/ y cos x ; f, Y (x, y) = snon 3 f (x) = cos x s < x < π/ ; f (x) = snon F (x) = s x ; F (x) = sn x s < x < π/ ; F (x) = s x π/ 5 Pour < x < π/, Y / = x est unforme sur [ ; cos x] 6 C = { (x, y) R / x π / y = cos x / 7 E() = π/ ; E(Y) = E[E(Y / )] = π/8 } Probabltés Chaptre 8 Page

23 8 Var () = π 3 ; Cov (, Y) = Cov (, E(Y / )) = D = { (x, y) R / y = ( π 3) π 3 π x + π + π π 8 } ; y -,876 x +,5569 6( π 3) ) Are de ABCD : untés d are f, Y (x, y) = / à l ntéreur de ABCD ; f, Y (x, y) = à l extéreur de ABCD ) Drote Equaton du type ax + by + c = Equaton du type y = ax + b Equaton du type x = ay + b (AB) 3x + y 8 = y = -3x + 8 x = (8 y) / 3 (BC) x y + 6 = y = x/ + 3/ x = y 6 (CD) x + y + = y = -x x = -y (DA) x y 5 = y = (x 5) / x = y + 5 y - - < y - - < y < y < y f Y (y) 3(y + ) / (y + ) / 33 3( y) / 33 x - - < x < x < x 3 3 < x f (x) 5(x + ) / (6 x) / (3 x) / F (x) 5(x + ) / 88 (-x + 3x +) / 88 (-7x + x 9) / f Y = x (y) unforme sur [x ; x/ + 3/] 5( x + ) unforme sur [(x 5)/ ; x/ + 3/] 6 x ; unforme sur [(x 5) / ; 8 3x] 7( 3 x) E(Y = x) ( 3x) / 8 (3x ) / 8 ( 5x) / f est acceptable comme densté de probablté parce qu elle est à valeurs postves ou nulles et que son ntégrale sur IR est égale à Les varables aléatores et Y sont dentquement dstrbuées parce que la densté de probablté cononte f du couple (, Y) est symétrque en x et y 3 a) S < x < alors f (x) = b) E() = x(x + / )dx = (x + y)dy = 3 x / 3 + x / V() = E( ) [E()] = 5/ 9/ = / = x + / Snon, f (x) = xy + y / = 7/ c) E( ) = x (x + / )dx = = 5/ 3 x / + x / 6 Probabltés Chaptre 8 Page 3

24 a) f Y/=x (y) = b) E(Y / = x) = c) E(Y / = x) = f (x, y) f (x) S < y < alors f Y/=x(y) = x + y y dy = x + / x + y y dy = x + / x + / x + / V(Y / = x) = E(Y / = x) [E(Y / = x)] = 5 x + y Snon, f Y/=x (y) = x + / 3 xy / + y / 3 = x / + / 3 x + / 3 xy / 3 + y / = x / 3 + / x + / 3(x + 3)(x + ) (3x + ) 8(x + ) = = 3x + 3(x + ) = x + 3 6(x + ) 6x + 6x + 8(x + ) x(3x + ) 6 a) E(Y) = E[E(Y / )] = xe(y / = x)f (x)dx = dx = 3 x + x 6 6 = 3 Cov(, Y) = E(Y) E()E(Y) = E(Y) [E()] = /3 9/ = -/ Cov(, Y) b) La drote D de régresson de Y en a pour équaton : y = ax + b avec a = = -/ V() et b = E(Y) ae() = ( + /) E() = 7/, c est à dre : y = -x/ + 7/ ou encore : x + y 7 = 3 f (x ) = σ e π x µ σ ; f (x ) = σ e π x µ σ ; et sont ndépendantes (Le couple (, ) est gaussen) x f est ben une densté de probablté ; f (x ) = π e x ; f (x ) = π e ; et ne sont pas ndépendantes ; elles sont non lnéarement corrélées ( et sont gaussennes mas le couple (, ) n est pas gaussen) 5 ) P = S πl 3) a) x = l sn α ) b) S = π / l sn αdα = l 5) P = S πl = l πl Probabltés Chaptre 8 Page