Interprétation algébrique d une identité de Greene. combinatoire due à Greene

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1 Interprétation algébrique d une identité combinatoire due à Greene (LaBRI) travail avec Adrien Boussicault et Victor Reiner GT CÉA, 25 septembre 2009

2 Plan 1 Présentation de l identité de Greene 2 Recodage en termes d intégrale sur un cône du membre de gauche on retrouve les propriétés du 1. 3 Remarques de conclusion...

3 Un ensemble ordonné et ses extensions linéaires extensions linéaires : [[0,1,2,3,4,5,6], [0,1,2,4,3,5,6], [0,1,2,4,5,3,6], [0,2,1,3,4,5,6], [0,2,1,4,3,5,6], [0,2,1,4,5,3,6], [0,2,4,1,3,5,6], [0,2,4,1,5,3,6], [0,2,4,5,1,3,6]] fait avec Sage!

4 La fonction considérée par Greene Pour un mot (par exemple w = [0, 2, 1, 4, 3, 5, 6]), posons : Ψ w := 1 (x 0 x 2 )(x 2 x 1 )(x 1 x 4 )... (x 5 x 6 ) Pour un poset : Ψ P := w extension linéaire de P Ψ w

5 Exemple 1 Ψ P = (x 0 x 1 )(x 1 x 2 )(x 2 x 3 ) 1 + (x 0 x 2 )(x 2 x 1 )(x 1 x 3 ) x 0 x 1 + x 2 x 3 x 0 x 2 x 1 x 3 = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 1 x 2 ) (x 1 x 3 )(x 2 x 3 ) x 0 x 3 = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 )

6 Exemple 2 Ψ P = x 0x 1 + x 0 x 2 x 1 x 2 x 0 x 3 x 0 x 4 + x 3 x 4 (x 2 x 4 )(x 2 x 3 )(x 1 x 4 ) (x 1 x 3 )(x 0 x 1 )(x 0 x 2 )

7 Exemple 3 Ψ P = (x 2 x 6 )(x 0 x 3 ) (x 5 x 6 )(x 4 x 5 )(x 3 x 6 )(x 2 x 4 ) (x 2 x 3 )(x 1 x 3 )(x 0 x 2 )(x 0 x 1 )

8 Résultats connus P non connexe Ψ P = 0. Sinon, le dénominateur de Ψ P (sous forme irréductible) est : Den(Ψ P ) = x i x j (i,j) arête de H(P) numérateur de degré c =nombre cyclomatique. Théorème de Greene (1992) Si P fortement planaire, x min(ρ) x max(ρ) Ψ P = ρ régions bornées (i,j) arête de H(P) x i x j

9 Ψ w est une intégrale simple! En effet, pour z 1,...,z n > 0 1 z 1... z n 1 = R + n 1 exp( u, z )du Soit V = {x x n = 0} R n, par changement de variable 1 (x w1 x w2 )... (x wn 1 x wn ) = exp( u,x )dµ V (u), K w où K w = R + [e w1 e w2,e w2 e w3,...,e wn 1 e wn ] V.

10 Généralisation à K P Proposition Soit P un poset quelconque : Ψ P = exp( u,z )du K P où K P = R + [e i e j ] i<p j V. Idée de la preuve : Il suffit de montrer que i,j incomparables dans P,... = K P... + K Pi<j... K Pi>j Cela provient du fait que : χ KP = χ KPi<j + χ KPi>j χ KP +R(e i e j ). les ensembles de définitions ne sont pas les mêmes.

11 Généralisation à K P Proposition Soit P un poset quelconque : Ψ P = exp( u,z )du K P où K P = R + [e i e j ] i<p j V. Remarque : { ei e j,(i,j) arête de H(P) } est un ensemble minimal de générateurs de P. Conséquence : P non connexe dim(k P ) < dim(v) Ψ P = 0. En découpant le cone, on retrouve la formule de Den(Ψ P ).

12 Somme associée intégrale = objet difficile à manipuler Considérons la somme : H(K P ;x) = exp( u,x ) u K P Z n Proposition H(K P,x) = h c(k,x) + h c+1 (K,x) +..., Den(Ψ P ) où h i est un polynôme de degré i. De plus, Ψ P = ( 1) P 1 h c(k,x) Den(Ψ P ).

13 Série de Hilbert multigraduée Posons X i = exp( x,e i ). H(K P ;x) = u= P u i e i K P Z n i X u i i. C est la série génératrice (deg(u) = (u 1,...,u n )) du semi-groupe commutatif K P Z n générateurs : { U i,j = e i e j,(i,j) arête de H(P) } relations?

14 Relations et circuits Considérons un circuit élémentaire C du graphe non orienté : exemple : On a la relation suivante : U i,j = (i,j) arête montante dans C Dans notre cas : (i,j) arête descendante dans C U 0,1 + U 1,3 = U 0,2 + U 2,3 Toutes les relations se déduisent de celles-ci. U i,j

15 Cas très simple pas de circuits pas de relations. Rappel : un générateur U i,j par arête de degré e i e j. H(K P,x) = Ψ P = (i,j) arête (i,j) arête 1 1 X i X 1 j 1 x i x j

16 Cas simple 1 seul circuit 1 relation A = B ou, en passant aux algèbres, H(K P,x) = avec deg(a) = i min(c) K P Z n = Z + {U i,j } /A=B e i (A B)k[U i,j ] k[u i,j ] k[k P Z n ] (i,j) arête 1 1 X i X 1 j i min(c) X i X 1 j j max(c) (i,j) arête j max(c) e j 1 1 X i X 1 j

17 Cas simple 1 seul circuit 1 relation A = B ou, en passant aux algèbres, avec deg(a) = i min(c) K P Z n = Z + {U i,j } /A=B e i (A B)k[U i,j ] k[u i,j ] k[k P Z n ] H(K P,x) = Ψ P = 1 i min(c) i min(c) (i,j) arête x i (i,j) arête X i j max(c) 1 X i X 1 j x j j max(c) x i x j X 1 j j max(c) e j

18 Cas favorable on peut calculer facilement H(K P,x) si on peut itérer le raisonnement précédent. i.e. si on a des relations R 1,...,R l telles que : R i n est pas un diviseur de 0 dans k[u i,j ] /(R1,...,R i 1 ) on peut réduire le nombre de relations à c(h(p)) marche dans le cas fortement planaire 1 X min(ρ) X 1 max(ρ) ρ régions bornées H(K P,x) = 1 X i X 1 j théorème de Greene (i,j) arête

19 Une relation de récurrence La relation suivante est utile pour étudier Ψ. = , où on a omis Ψ pour plus de lisibilité. Proposition Cette relation reste vraie en remplaçant Ψ par χ K.

20 Une autre fonction intéressante Problème voisin : Etudier ϕ(p) = w extension linéaire de P 1 x w1 (x w1 + x w2 )... (x w1 + + x wn ). C est la même intégrale que Ψ P sur le cône { K P = (x 1,...,x n ) tq x i 0 x i x j si i P j } dénominateur facile

21 Formule des équerres colorée Cas où P vient d un diagramme de Young : si i,x i = 1, ϕ(p) = nombre de tableaux standards n!. Si on identifie les variables correspondant aux cases de même content, H(K P ) est une somme connue. on retrouve une formule des équerres colorée (Nakada)