Cartes de contrôle aux mesures

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1 Cartes de contrôle aux mesures 1 Une introduction à la maîtrise statistique des processus Deux objets ne sont jamais rigoureusement identiques. Quelles que soient les techniques utilisées pour fabriquer ces objets, si précis soient les outils, il existe une variabilité dans tout processus de production. L objectif de tout industriel est que cette «variabilité naturelle» demeure dans des bornes acceptables. C est une préoccupation majeure dans l amélioration de la qualité industrielle. Un des outils utilisés pour tendre vers cette qualité est la Maîtrise Statistique des Processus (MSP). Si vous produisez un certain type d objets, et si vous souhaitez conserver vos clients pour pérenniser votre entreprise, vous devez vous assurer que les lots que vous leur livrez sont conformes à ce qui a été convenu entre vous, le plus souvent par contrat. Tout industriel sérieux effectue des contrôles sur les lots produits pour en vérifier la qualité, qu il en soit le producteur ou bien qu il les réceptionne. Diverses techniques statistiques liées aux prélèvements d échantillons sont alors utilisées pour éviter, dans la plus part des cas, de vérifier un à un tous les objets contenus dans un lot. Ce contrôle d échantillons prélevés dans des lots est indispensable si les contrôles à effectuer détruisent l objet fabriqué, comme lors d une analyse de la dose de composant actif contenue dans un comprimé. Il existe cependant des cas où l on préfère vérifier tous les objets ; il est par exemple souhaitable que les freins d une voiture fonctionnent et un contrôle du freinage sur un échantillon dans la production d un lot d automobiles ne garantie par que tous les véhicules freinent correctement... Lorsqu un lot est contrôlé, il est conforme ou il ne l est pas. S il est conforme, on le livre (fournisseur) ou on l accepte (client). S il n est pas conforme, on peut le détruire, en vérifier un à un tous les éléments et ne détruire que ceux qui ne sont pas conformes, etc. Toutes les solutions pour traiter les lots non conformes sont onéreuses. Si le lot n est pas conforme, le mal est fait. La MSP se fixe pour objectif d éviter de produire des lots non conformes en surveillant la production et en intervenant dès que des anomalies sont constatées. Une bonne MSP permet de supprimer un nombre important de contrôle in fine des lots produits. 1.1 Processus sous contrôle On dit que le processus de production est sous contrôle, est maîtrisé, lorsque les caractéristiques du produit fabriqué varient peu dans le temps, d un produit à l autre et sont conformes à ce que l on désire obtenir. Dans ce cas, il n existe pas de cause précise faisant varier les caractéristiques du produit. La variabilité n est due qu aux limitations techniques du procédé de fabrication, à des causes aléatoires. Pour savoir si le processus est sous contrôle, on prélève régulièrement de petits échantillons. Si la caractéristique contrôlée est une mesure (poids, taille, concentration, etc), le processus est 1

2 2 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART sous contrôle lorsque la moyenne (l espérance) dans chaque échantillon de cette caractéristique est égale à une valeur cible µ 0 fixée et lorsque l écart-type dans chaque échantillon est égal à un écart-type naturel. Alors que µ 0 est fixée pour répondre à la demande des clients, à un cahier des charges, à la qualité du produit, dépend essentiellement du processus de production, de la technologie mise en oeuvre. si la caractéristique contrôlée est une proportion d objets non conformes (d objets conformes) dans chaque lot, le processus est sous contrôle lorsque cette proportion est en moyenne dans chaque échantillon égale à une valeur cible p 0. La proportion p 0 est fixée de sorte à respecter les normes de qualités fixées par contrat ou par obligation légale. On cherche bien sûr à avoir une valeur de p 0 (proportion d objets non conformes) voisine de 0. Si la caractéristique contrôlée est un nombre de défauts par objet, le processus est sous contrôle quand ce nombre est en moyenne égal à une valeur cible λ 0 fixée. Idéalement λ 0 = 0 ; cependant, on tolère souvent quelques défauts mineurs, comme des défauts d aspect. 1.2 Processus hors contrôle Un processus hors contrôle, non maîtrisé, est le contraire d un processus sous contrôle. Le processus est hors contrôle quand il existe une variabilité trop importante ou des caractéristiques non conformes à celles souhaitées. Il peut exister plusieurs causes, dites : causes spéciales, ou encore : causes assignables, à ce dysfonctionnement. Un changement d équipe, de technicien sur une machine, le dérèglement d une machine, une panne, des conditions climatiques particulières, etc, peuvent être à l origine d un processus hors contrôle. Dans les cas les plus graves, il faut revoir entièrement un processus de fabrication inadapté aux objectifs fixés. 1.3 La MSP La Maîtrise Statistique des Processus à pour but de mettre en place des outils statistiques de surveillance des processus de fabrication. L outil de base de la MSP que nous étudierons est la carte de contrôle. Elle est constituée de tests statistiques paramétriques de conformité. 2 Les cartes de contrôle aux mesures de Shehart Le caractère étudié est un mesure (poids, concentration d un composant chimique, cote, etc). L objectif d une carte de contrôle aux mesures est de détecter la présence de causes assignables de dérèglement du processus de production. Le fondement théorique de conception des cartes de contrôle est que le caractère numérique étudié est réparti dans la population, dans l ensemble de la production, suivant une loi normale. 2.1 Cartes de contrôle d étude initiale Ces cartes sont destinées à la mise sous contrôle du processus. Ces cartes de contrôle sont aussi appelées : cartes de contrôle de phase I, ou encore : cartes de contrôle pour la maîtrise. Leurs paramètres sont déterminés à l aide de mesures effectuées sur une vingtaine d échantillons de petite taille. Pour les valeurs des différents coefficients nécessaires aux calculs, on se reportera au tableau des coefficients le l annexe. DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

3 2.1 Cartes de contrôle d étude initiale Cartes (X, R) On adopte le point de vue probabiliste des variables aléatoires. Pour m échantillons prélevés, on note X 1, X 2,..., X m les m variables aléatoires qui associent à chaque échantillon, la moyenne dans l échantillon du caractère étudié. On définit alors la variable aléatoire, moyenne des moyennes des échantillons : ˆµ = X = 1 m X i m ˆµ est un estimateur sans biais de la moyenne du caractère dans l ensemble de la production (population). Un estimateur plus inattendu, que nous n avons pas encore utilisé est l estimateur ˆσ de l écart type du caractère dans la production. Cet estimateur utilise la variable aléatoire R définie par : R = 1 m R i m où chaque variable aléatoire R i associe à chaque échantillon, son étendue. On a alors : i=1 i=1 ˆσ = R d 2 où d 2 est un coefficient dépendant de la taille n des échantillons. Carte de contrôle de la moyenne : carte X La carte de contrôle de la moyenne, ou carte X, est constituée d une ligne centrale correspondant à la valeur LC = ˆµ, et de deux lignes de contrôle correspondant respectivement aux limites supérieures (LSC) et inférieures de contrôle (LIC). Figurent aussi parfois deux lignes supplémentaires : les limites de surveillance. Dans toute carte de contrôle de Shehart de phase I, les limites de contrôle ont un écart à la moyenne ˆµ égal à 3 ˆσ n, pour des échantillons de taille n. On a donc : LC = ˆµ LSC = ˆµ + 3 ˆσ n LIC = ˆµ 3 ˆσ n En posant A 2 = 3 d 2 n, on obtient : LC = ˆµ LSC = ˆµ + A 2 R LIC = ˆµ A 2 R Pour obtenir les valeurs de A 2, il suffit de se reporter à la table donnée en annexe. Construction de la carte : On prélève (effectivement) m échantillons de taille n. On a alors une réalisation des différentes variables aléatoires présentées ci-dessus. On calcule, avec les règles indiquées, les différentes valeurs prises par ces variables aléatoires. On trace sur la carte de contrôle la ligne centrale et les lignes de contrôle. On porte sur la carte, pour i = 1,..., m, les points M i de coordonnées (i, x i ), où x i désigne la moyenne du caractère étudié dans l échantillon numéro i. T. Cuesta IUT de Créteil

4 4 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART Règle de décision : si tous les points M i sont situés entre les linges de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; si des points M i sont situés en dehors des limites de contrôle, le processus est déclaré non maîtrisé. Si le processus est déclaré non maîtrisé, il est bon de comprendre dans quelles circonstances les échantillons ont été prélevés pour tenter de cerner si le processus est globalement inadapté ou s il existe des causes spéciales à la variabilité excessive des moyennes. Exemple 2.1 (Exemple de carte X :) Dans une laiterie, un nouveau processus de production de plaquettes de 250 g de beurre est mis en service. On a prélevé vingt échantillons de quatre plaquettes chacun et on a pesé chaque plaquette avec une balance de précision. Le traitement statistique des mesures est effectué à l aide d un tableur 1. Échantillon n i LC = LSC = LIC = x x x x x R poids (masse) en grammes carte de contrôle de la moyenne LC LSC LIC Moyenne de l'échantillon échantillons 1. Tableur de la suite bureautique OpenOffice.org. DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

5 2.1 Cartes de contrôle d étude initiale 5 Carte de contrôle de l étendue : carte R On souhaite ici visualiser, mettre en évidence, les variations de l étendue. La conception de la carte de Shehart de l étendue, pour la phase I, utilise des coefficients : d 3, dépendant de la taille n des échantillons. Pour cette carte on a : LC = R LSC = R + 3 R d 2 d 3 LIC = R 3 R d 2 d 3 { On pose D 3 = sup 1 3 d } 3, 0 et D 4 = d 3. On obtient alors : d 2 d 2 LC = R LSC = D 4 R LIC = D 3 R Construction de la carte : On prélève (effectivement) m échantillons de taille n. On a alors une réalisation des différentes variables aléatoires présentées ci-dessus. On calcule, avec les règles indiquées, les différentes valeurs prises par ces variables aléatoires. Il peut arriver que le calcul, à l aide de d 2 et d 3, de la limite inférieure de contrôle donne un résultat négatif. Dans ce cas, la limite de contrôle utilisée pour la carte est 0. Il est bien sûr souhaitable que l étendu soit aussi proche de la valeur 0 que possible, ce qui traduit une variabilité faible du caractère numérique étudié. On trace sur la carte de contrôle la ligne centrale et les lignes de contrôle. On porte sur la carte, pour i = 1,..., m, les points M i de coordonnées (i, r i ), où r i désigne l étendue du caractère étudié dans l échantillon numéro i. Règle de décision : si tous les points M i sont situés entre les linges de contrôle, le processus est déclaré maîtrisé ; si des points M i sont situés en dehors des limites de contrôle, le processus est déclaré non maîtrisé. Exercice 2.1 Tracer la carte de contrôle R de l exemple Cartes (X, S) Pour m échantillons prélevés, on note X 1, X 2,..., X m les m variables aléatoires qui associent à chaque échantillon, la moyenne dans l échantillon du caractère étudié. On définit les m variables aléatoires S 1, S 2,..., S m qui à chaque échantillon associent l écart type de l échantillon. Attention! L écart type est ici celui déjà utilisé en estimation, c est l estimateur ponctuel de l écart type de la population. On définit alors la variable aléatoire, moyenne des moyennes des échantillons : ˆµ = X = 1 m X i m ˆµ est un estimateur sans biais de la moyenne du caractère dans l ensemble de la production (population). On choisit comme estimateur sans biais de l écart type, la variable aléatoire ˆσ définie par : i=1 ˆσ = S c 4 T. Cuesta IUT de Créteil

6 6 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART où S = 1 m m i=1 S i et c 4 est un coefficient dépendant de l entier n (voir la table en annexe). Carte de contrôle de la moyenne : carte X Les paramètres de cette carte, pour des échantillons de taille n, sont les suivants : On pose : A 3 = 3 c 4 n. On a alors : LC = ˆµ LSC = ˆµ + 3 ˆσ n LIC = ˆµ 3 ˆσ n LC = ˆµ LSC = ˆµ + A 3 S LIC = ˆµ A 3 S Exercice 2.2 Dans l exemple 2.1 page 4, une première série de mesures a été effectuée. On renouvelle le prélèvement d échantillons. Les nouvelles mesures sont reportées ci-dessous. Le calcul des écarts types est réalisé à l aide de la formule : 1 n (x i x) n 1 2 Échantillon n i i=1 x x x x x S Déterminer les paramètres de la carte de la moyenne. La construction de la carte X et la règle de décision sont identiques à celles de la carte X décrites pour les cartes (X, R). Carte de contrôle de l écart type : carte S Cette carte est destinée à visualiser les variations de l écart type des mesures. Elle utilise les paramètres suivants : ( ) ( ) 1 1 LC = S LSC = S LIC = S c 2 4 c 2 4 DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

7 2.2 Cartes de contrôle aux valeurs standard 7 { } 1 1 On pose B 3 = sup 1 3 1, 0 et B c 2 4 = On a alors : 4 c 2 4 LC = S LSC = B 4 S LIC = B 3 S Pour déterminer les valeurs de B 3 et B 4, on consultera la table des valeurs de B 3 et B 4, en fonction de la taille n des échantillons, fournie en annexe. La construction de la carte S est similaire à la construction de la carte R (on reporte les écarts type au lieu de reporter les étendues), et comme pour cette dernière, on remplace la limite inférieure de contrôle par 0 si le calcul celle-ci donnait un résultat négatif. La règle de décision est la même que pour une carte R. Exercice 2.3 Construire la carte S de l exercice 2.2. Lorsque les cartes de contrôle de phase I font apparaître un processus maîtrisé, leurs paramètres peuvent être utilisés pour des cartes de phase II lors de la surveillance de la production en temps réel. 2.2 Cartes de contrôle aux valeurs standard Ces cartes de contrôle sont également appelées : cartes de contrôle de phase II. Elles sont utilisées pour le suivi du processus en temps réel. Les valeurs standard de ces cartes sont établis au préalable et constituent des valeurs cibles. On note µ 0 la valeur cible de la moyenne, et la valeur cible de l écart type. Ici, LC, LSC et LIC ne sont plus des variables aléatoires, mais des valeurs numériques fixées suivant des règles bien précises. Les cartes de Shehart sont caractérisées par des limites de contrôle situées à trois écarts type de part et d autre la tendance centrale. Les bases probabilistes de ces cartes sont dues au fait que l on considère que la variable aléatoire associée aux mesures suit la loi normale N (µ 0, ). Pour les cartes de Shehart, la probabilité α de fausse alerte (risque de première espèce) est approximativement égale à 0,0027. Carte X de Shehart Les paramètres de cette carte sont : LC = µ 0 LSC = µ n LIC = µ 0 3 n En posant A = 3 n, on obtient : LC = µ 0 LSC = µ 0 + A LIC = µ 0 A (Voir l annexe pour les valeurs de A en fonction de la taille n des échantillons) La construction et la règle de décision sont identiques à celles d une carte de phase I. Carte R de Shehart Les paramètres de la carte de contrôle de l étendue sont : LC = d 2 LSC = d 2 + 3d 3 LIC = d 2 3d 3 la LIC étant fixée à 0 en cas de résultat négatif. T. Cuesta IUT de Créteil

8 8 2 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES DE SHEWHART On pose D 5 = sup {d 2 3d 3, 0} et D 6 = d 2 + 3d 3. Les paramètres s écrivent alors : LC = d 2 LSC = D 6 LIC = D 5 (Voir l annexe pour les valeurs de D 1 et D 2 en fonction de la taille n des échantillons) La construction et la règle de décision sont identiques à celles d une carte de phase I. Carte S de Shehart Les paramètres sont : LC = c 4 LSC = c c 2 4 LIC = c c 2 4 la LIC étant fixée à 0{ en cas de résultat négatif. On pose B 5 = sup c 4 3 } 1 c 2 4, 0 et B 6 = c c 2 4. Les paramètres de la carte s écrivent alors : LC = c 4 LSC = B 6 LIC = B 5 La construction et la règle de décision sont identiques à celles d une carte de phase I. 2.3 Tableau récapitulatif pour les cartes de contrôle aux mesures de Shehart Type de carte µ et σ inconnus (phase I) µ 0 et connus (phase II) ligne centrale limites de contrôle ligne centrale limites de contrôle Carte X ˆµ ˆµ ± A 2 R ou ˆµ ± A 3 S µ 0 µ 0 ± A Carte R R D 3 R, D 4 R d 2 D 5, D 6 Carte S S B 3 S, B 4 S c 4 B 5, B Annexe : coefficients des cartes de Shehart n d 2 d 3 c 4 A A 2 A 3 B 3 B 4 B 5 B 6 D 3 D 4 D 5 D 6 2 1,128 0,853 0,7979 2,121 1,880 2, , , , , ,693 0,888 0,8862 1,732 1,023 1, , , , , ,059 0,880 0,9213 1,500 0,729 1, , , , , ,326 0,864 0,9400 1,342 0,577 1, , , , , ,534 0,848 0,9515 1,225 0,483 1,287 0,030 1,970 0,029 1, , , ,704 0,833 0,9594 1,134 0,419 1,182 0,118 1,882 0,113 1,804 0,076 1,924 0,205 5, ,847 0,820 0,9650 1,061 0,373 1,099 0,185 1,815 0,178 1,752 0,136 1,864 0,387 5, ,970 0,808 0,9693 1,000 0,337 1,032 0,239 1,761 0,232 1,707 0,184 1,816 0,546 5, ,078 0,797 0,9727 0,949 0,308 0,975 0,284 1,716 0,277 1,669 0,223 1,777 0,687 5, ,173 0,787 0,9754 0,905 0,285 0,927 0,321 1,679 0,314 1,637 0,256 1,744 0,812 5, ,258 0,778 0,9776 0,866 0,266 0,886 0,354 1,646 0,346 1,609 0,283 1,717 0,924 5, ,336 0,770 0,9794 0,832 0,249 0,850 0,382 1,618 0,374 1,585 0,307 1,693 1,026 5, ,407 0,762 0,9810 0,802 0,235 0,817 0,406 1,594 0,399 1,563 0,328 1,672 1,121 5, ,472 0,755 0,9823 0,775 0,223 0,789 0,428 1,572 0,420 1,544 0,347 1,653 1,207 5, ,735 0,729 0,9869 0,671 0,180 0,680 0,510 1,490 0,503 1,471 0,415 1,585 1,548 5,922 DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

9 9 Tab. 1 Coefficients des cartes de Shehart en fonction de la taille n des échantillons (source : Une application industrielle des statistiques : la carte de contrôle, brochure de l IREM de Clermont-Ferrand) 3 Les cartes de contrôle aux mesures probabilistes 3.1 Carte X On considère que le caractère étudié est distribué suivant la loi N (µ 0, ). On prélève un échantillon de taille n et on formule l hypothèse nulle H 0 : «la moyenne de l échantillon est égale à µ 0». Les limites de contrôle sont alors calculées en fonction du risque de première espèce α du test bilatéral de conformité à la moyenne µ 0. On a donc : LSC µ 0 = µ 0 LIC. Notons X la variable aléatoire d échantillonnage de la moyenne des échantillons de taille n. On a : P (LIC X LSC) = 1 α ( n(lic µ0 ) n(x µ0 ) P ( ) n(lsc µ0 ) 2Π 1 = 1 α ( ) n(lsc µ0 ) Π = 1 α 2 On détermine le réel t 1 α/2 tel que : ) n(lsc µ0 ) = 1 α Π(t 1 α/2 ) = 1 α 2 en utilisant, par exemple, la table des valeurs de la fonction Π. On a alors : LC = µ 0 LSC = µ 0 + t 1 α/2 n LIC = µ 0 t 1 α/2 n La valeur de α la plus utilisée dans la pratique est 0,2%. On a alors t 99,9% 3,09 ; valeur voisine de la valeur 3 de la carte de Shehart. Pour les cartes de contrôle aux mesures de phase II aux limites probabilistes, les règles de décision sont identiques à celle des cartes de Shehart. 3.2 Carte R On utilise, pour déterminer les paramètres d une carte de contrôle de l étendue aux limites probabilistes, la loi de l étendue relative. L étendue relative est définie par : = R. Pour un risque de première espèce égal à α, on a : LC = d 2 LSC = 1 α/2 LIC = α/2 T. Cuesta IUT de Créteil

10 10 3 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES PROBABILISTES P= P= P= P= P= P= P= P= P= P= P= n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ab. 2 Fractiles de la distribution de l étendue réduite : p = P p (sources : Une application industrielle des statistiques : la carte de contrôle, brochure de l IREM de Clermont- Ferrand et CISIA, CERESTA, 1995) 3.3 Carte S On démontre, et nous admettrons, que si X 1,..., X n sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale N (µ, σ), alors (n 1)Sn 1 2 n i=1 = (X i X) 2 σ 2 σ 2 suit la loi de χ 2 à n 1 degrés de liberté ; avec X = 1 n n i=1 X i. Pour un échantillon de taille n donné, avec un risque de première espèce égal à α, la probabilité que l écart type de l échantillon appartienne à l intervalle [LIC, LSC], inclus dans R +, est donnée par : ( ) (n 1)LIC 2 (n 1)LSC2 P (LIC S n 1 LSC) = P U σ0 2 σ0 2 où U = (n 1)S2 n 1 σ 2 0 suit la loi χ 2 n 1. On rappelle que le risque α correspond à une probabilité que l écart type de l échantillon soit inférieur à LIC, égale à la probabilité que cet écart type soit supérieur à LSC, égale à α 2. ) (n 1)LSC2 P (S n 1 > LSC) = P (U > = α σ0 2 2 ) (n 1)LIC2 P (S n 1 < LIC) = P (U < = α σ0 2 2 DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

11 3.3 Carte S 11 Notons u p le nombre réel tel que P (U u p ) = p. On a alors : LC = c 4 LSC = u1 α/2 n 1 LIC = uα/2 n 1 Exercice 3.1 Sur une chaîne d embouteillage d eau minérale, on prélève 25 échantillons de 5 bouteilles. La quantité d eau contenue dans les bouteilles doit être en moyenne de 150 centilitres, avec un écart type de 5 centilitres. La tableau ci-dessous donne, en centilitres, la quantité d eau contenue dans chacune des bouteilles, ainsi que les résultats du traitement statistique des données à l aide d un tableur. xn xo xp xq xr xs RS ST Numéro d'échantillon T. Cuesta IUT de Créteil

12 12 3 LES CARTES DE CONTRÔLE AUX MESURES PROBABILISTES 1. On peut voir sur la copie d écran ci-dessous, la formule écrite en I2 pour calculer l écart type. Quelles peuvent être les formules à écrire dans les cases G2 et H2? 2. Construire les cartes X, R et S, pour un risque de fausse alerte égal à 0,2%. 3. Le processus est-il maîtrisé? DUT Génie Biologique Année universitaire 2007/2008

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