II. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS

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1 II. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS. COMMENTAIRES ET RECOMMANDATIONS Les motivatios U appretissage précoce, puis régulier, des situatios aléatoires est ue écessité pour répodre à u besoi social et professioel de plus e plus proocé das ce domaie. De plus, cet appretissage de l aléatoire favorisera la comparaiso de otre eseigemet avec celui d autres pays de l OCDE. L ejeu est d importace. Il s agit de doer u ses ratioel aux otios de «risque», de «sodage», de «preuve statistique», de «différece sigificative»..., aidat à la compréhesio de situatios gééralemet emprutes d icertitude et à la prise de décisio e cotexte aléatoire. Pour décrypter le mode modere, participer au débat démocratique, exercer so esprit critique, optimiser ses activités professioelles, «l hoête homme» du XXIe siècle doit être éduqué aux méthodes statistiques et aux probabilités. Les choix gééraux Les précédets programmes de baccalauréat professioel e laissaiet qu ue très faible place aux probabilités, pour certaies spécialités seulemet, et avec ue approche fodée sur le déombremet des cas possibles. Cette approche a motré ses limites face aux ejeux décrits précédemmet. Les ouveaux programmes des sectios professioelles s iscrivet doc, das ce domaie, das la cotiuité de l approche des probabilités iitiée par le programme de la classe de troisième, mis e place à la retrée La otio de probabilité s approprie plus aisémet par l expérimetatio et l observatio des fréqueces, e répétat idépedammet l expériece aléatoire. L utilisatio des T.I.C. (calculatrice ou tableur) favorise cet appretissage e facilitat l observatio de la «loi des grads ombres». Compte teu des ejeux qu il présete e termes de formatio de base, le domaie statistique - probabilités fait partie du troc commu des différetes spécialités de baccalauréat professioel. Das le domaie de la statistique descriptive, le module de statistique à ue variable de secode professioelle costitue essetiellemet ue cosolidatio des coteus des programmes de collège, à affermir das le cadre de situatios, y compris lors de l étude du module cocerat les fluctuatios des échatillos. E première professioelle, le module de statistique à ue variable ajoute aux idicateurs de dispersio mobilisables, l écart type et l écart iterquartile. La statistique à deux variables est itroduite e termiale professioelle à l aide des outils umériques, calculatrice et tableur, et e liaiso avec des préoccupatios o mathématiques, de la vie courate ou professioelle et des scieces physiques. Das le domaie de l aléatoire, l objectif e secode professioelle est de compredre, par l expérimetatio, que le «hasard» suit des lois. Les fluctuatios des fréqueces sot étudiées sur des échatillos aléatoires de même taille. Ceci permet de predre cosciece de l esprit de la statistique, c est-à-dire de la «variabilité aturelle» ihérete à u résultat statistique, et précise la otio de probabilité, estimée lorsqu o augmete la taille de l échatillo.

2 E première professioelle est quatifiée plus précisémet cette variabilité, e observat (sous certaies coditios) que si la fréquece d u caractère das ue populatio est p, alors plus de 95 % des échatillos aléatoires de taille prélevés das cette populatio doerot ue fréquece de ce caractère comprise etre p et p +. Cette coaissace permet d exercer u regard critique sur les doées statistiques : il faut cosidérer comme «sigificative» (c'est-à-dire représetative d ue cause o aléatoire) ue fréquece observée e dehors de cet itervalle. Plusieurs exemples d activités de classe illustret cocrètemet ce propos das ce documet. U aperçu plus théorique de ces questios, pour le professeur, est aussi développé. E termiale professioelle, se mettet e place le lagage et les méthodes (arbres, tableaux, diagrammes) permettat u calcul élémetaire des probabilités. Cette progressio facilite la poursuite d études e sectios de techicies supérieurs, où, das certaies spécialités, sot itroduits les itervalles de cofiace, les tests statistiques et les probabilités coditioelles. Quelques éclairages complémetaires par module Modules. et.2 du programme de secode professioelle À propos des idicateurs statistiques moyee et médiae Les idicateurs de tedace cetrale que sot la moyee et la médiae sot abordés au collège : la moyee dès la classe de quatrième, la médiae à partir de la troisième. Il coviet cepedat d e réactiver le ses aisi que les pricipales propriétés et de motrer que ces idicateurs jouet u rôle complémetaire. Davatage qu u cours théorique, idigeste et iefficace, il s agit d étudier l iformatio apportée par ces idicateurs das des exemples bie choisis. Il est e particulier écessaire d evisager quelques cas où moyee et médiae diffèret sesiblemet. Das le cas de valeurs obteues selo ue loi ormale, et pour u échatillo assez importat, moyee et médiae serot pratiquemet égales. Le terme «ormal» laisse etedre que cette situatio est assez fréquete. Pourtat de ombreuses distributios «o ormales» existet. U exemple fréquemmet choisi, et particulièremet parlat, est celui des reveus. E 2004, d après l INSEE, le reveu auel déclaré par idividu était e Frace, e moyee de 8 030, avec ue médiae de U Fraçais souhaitat comparer ses reveus à ceux de ses compatriotes cosidérera la médiae. U écoomiste désireux de se faire ue idée de la «richesse» de la Frace pourra multiplier la moyee par le ombre d idividus déclarat leurs reveus. Si la questio de savoir pourquoi le reveu moye est sesiblemet supérieur au reveu média se pose, ue répose peut être apporter par l observatio, sur des exemples umériques plus simples (les otes d ue classe à faible effectif à u devoir par exemple), que la moyee est «sesible» aux valeurs extrêmes (e l occurrece les très gros reveus), alors que, par sa défiitio même, la médiae e l est pas. La détermiatio de la médiae écessite u tri des doées, ce qui peut être parfois compliqué, mais e l est pas avec u outil iformatique (u tableur par exemple). Pour u ombre impair de doées, la médiae est la valeur cetrale, après tri. Pour u ombre pair de doées, plusieurs «défiitios» de la médiae sot possibles. Il est e gééral préférable de faire ue iterpolatio, e 2

3 effectuat la demi-somme des deux valeurs cetrales après tri (la médiae est cosidérée parfois comme la première valeur pour laquelle o atteit ou o dépasse 50 % de l effectif). Das la mesure du possible, il faut éviter de calculer ue moyee ou ue médiae après u regroupemet des doées e classes, lequel costitue ue perte d iformatio. Les T.I.C., avec u tableur par exemple, permettet de traiter u grad ombre de doées. Toutefois, pour les besois des exercices, il arrive que l o e dispose que de résultats regroupés e classes, sas avoir accès à la globalité des doées. Il est alors impossible de coaître la valeur exacte de la moyee ou de la médiae. Das ce cas il faut se coteter d estimer la moyee sous l hypothèse que les doées sot regroupées au cetre de chaque classe (sas précisio illusoire das le résultat du calcul), et de doer la classe médiae, c est-à-dire la classe coteat la médiae. Il est parfois possible de doer ue estimatio de la médiae sous l hypothèse que les doées sot uiformémet réparties à l itérieur de la classe médiae, mais il est souvet ridicule de mettre e œuvre des moyes de calculs disproportioés eu égard au côté arbitraire de l hypothèse effectuée. Il faut doc éviter ce type d exercice artificiel, qui est pas au programme. À propos des idicateurs statistiques étedue et quartiles L étude de la dispersio est au cœur de l activité statistique. S il y avait pas de dispersio, la statistique serait de peu d utilité. La otio d écart type état d ue compréhesio plus difficile, elle est itroduite qu e première professioelle. Il s agit, e secode professioelle, de cosolider l approche de la dispersio déjà faite au collège avec comme outils l étedue et les quartiles. L utilisatio de l étedue comme idicateur de dispersio peut paraître bie sommaire, cet idicateur état obteu simplemet à partir de deux des doées et ue élémetaire soustractio. Mais cette simplicité est ue qualité qui fait de l étedue u idicateur de dispersio très utilisé das les applicatios, e particulier e cours de fabricatio idustrielle ou à la réceptio de pièces maufacturées. Sur u échatillo aléatoire prélevé, l étedue est calculée pour juger de la qualité. Il y a peu de risques d erreurs de calcul. Le cas échéat, la «robustesse» du procédé est améliorée e élimiat les évetuelles valeurs «aberrates» avat le calcul de l étedue. Les quartiles, correspodat à des proportios de la populatio, sot coceptuellemet assez simples à compredre. Là ecore il existe plusieurs défiitios. La plus simple cosiste à cosidérer que le premier quartile (respectivemet le troisième quartile) correspod, après tri des doées das u ordre croissat de valeurs, à la première doée pour laquelle o atteit ou dépasse 25 % de l effectif (respectivemet 75 %). Calculatrice et tableurs utiliset gééralemet d autres défiitios, fodées sur des iterpolatios, mais les différeces évetuelles des résultats sot gééralemet peu sigificatives et e poset pas de problème du poit de vue de l iterprétatio statistique qui peut être faite. Il peut e pas y avoir de totale cohérece etre la défiitio choisie pour la médiae et celle qui correspodrait au deuxième quartile. Du poit de vue de l utilisatio statistique, ceci est sas importace et e doit pas être u sujet soulevé par le professeur. La coaissace du premier et du troisième quartile (c est-à-dire de la «boîte» du diagramme e boîte à moustaches) permet de situer la moitié (50 %) «cetrale» de la populatio. Selo l étedue de cette «moitié cetrale», simplemet «visualisée» e secode et qui correspod à l écart iterquartile calculé e première, il est possible de comparer la dispersio de deux populatios. 3

4 À propos des otios de probabilité et de fluctuatio d ue fréquece selo les échatillos Pour compredre les capacités attedues des élèves das ce module du programme de secode, et la faço dot il est possible de pratiquer e classe, le plus éclairat est sas doute de cosulter les exemples d activités présetées das ce documet, et qui ot été pratiquées das des classes. Des élémets plus théoriques, présetés aussi das ce documet, permettet d avoir esuite u peu de recul. Il parait judicieux de commecer par étudier des exemples simples, se rameat à des lacers successifs d ue pièce de moaie, ou d u dé, ou à des tirages das ue ure. Tout d abord à l aide de vraies expérieces, réalisées par exemple avec u sac coteat des billes ou ue bouteille coteat des perles de couleur. Sur l image suivate, la boîte cotiet 5 % de billes dorées, cosidérées comme défectueuses. Les 32 alvéoles, e secouat la boîte, costituet des échatillos aléatoires sur lesquels sot comptées les billes défectueuses ce qui permet d étudier les fluctuatios d échatilloage. La bouteille, dot les parois sot peites, cotiet des perles rouges et jaues. Seul le fod fait apparaître 5 perles. E secouat la bouteille, d autres échatillos de 5 perles sot observables. E multipliat le ombre d échatillos, la proportio des rouges et des jaues das la bouteille peut être estimée et utilisée pour illustrer aisi l approche fréquetiste d ue probabilité. La partie expérimetale est suivie de l utilisatio de simulatios avec la calculatrice ou le tableur (voir paragraphe II-3 pour des précisios techiques sur la simulatio). L utilisatio d u outil de simulatio permet tout d abord de multiplier les expérieces à taille d échatillo fixée, puis esuite d observer que l ampleur des fluctuatios a tedace à dimiuer lorsque la taille de l échatillo augmete. Das u secod temps, il est essetiel de cosidérer des exemples issus de la vie courate, de l écoomie, de la techologie, de l eviroemet ou des thématiques proposées au BOEN (voir les exemples d activités qui suivet). Ces exemples illustret les ejeux de ce qui est pas u jeu. Module. du programme de première professioelle À propos de l écart type et des boîtes à moustaches 4

5 L écart type est l idicateur de dispersio à associer à la moyee, alors que l écart iterquartile est celui associé à la médiae. Le couple (moyee, écart type) trouve sa pertiece e liaiso avec les probabilités et e particulier avec la loi ormale, qui est étudiée das de ombreuses spécialités de techicies supérieurs. Notammet, pour ue distributio ormale (courbe de Gauss), eviro 95 % des valeurs sot situées autour de la moyee à plus ou mois deux écarts types. Les distributios ormales état fréquemmet recotrées, e particulier das les domaies professioels idustriels (pour le cotrôle de qualité ou les erreurs de mesure), les élèves de première professioelle peuvet étudier la proportio des termes d ue série apparteat à l itervalle [ x 2σ, x + 2σ ]. L écart type est péible à calculer sas les T.I.C. et assez difficile à compredre. So calcul e présete aucu itérêt à ue époque où les T.I.C. permettet ue obtetio quasi immédiate (du mois das le cas d ue calculatrice ; mais das le cas d u tableur, ce est vrai que si les valeurs e sot pas regroupées, ue petite procédure état écessaire das le cas de valeurs regroupées). Il est doc hors de questio de calculer u écart type plus ou mois «à la mai» à l aide d u tableau. La chose importate est de travailler sur sa sigificatio, par exemple, das le cas de distributios relativemet ormales, e calculat la proportio des valeurs apparteat à l itervalle [ x 2σ, x + 2σ ], ou e comparat la dispersio de deux séries d écarts types différets. Il est itéressat de faire remarquer que deux séries de même écart type peuvet, si elles sot éloigées d ue distributio ormale, avoir ue distributio très différete, comme le motre l exemple ci-dessous. C est l occasio de rappeler l itérêt d u graphique, qui peut motrer davatage qu u simple résumé umérique. Série Série 2 Série 3 valeur effectifs s valeur effectifs s valeur effectifs s N = 300 x = 0 Me = 0 e = 6 σ 5, N = 300 x = 0 Me = 0 e = 6 σ 5,66 Série N = 300 x = 0 Me = 0 e = 6 σ 5,66 Série 3 Série

6 Le couple (médiae, écart iterquartile), sas apporter les mêmes reseigemets que le précédet, coviet à toutes les distributios et est e particulier peu sesible aux valeurs extrêmes. Das des domaies où de ombreuses distributios o ormales sot recotrées, par exemple das les secteurs professioels tertiaires, il est privilégié et souvet associé à ue représetatio graphique e boîte à moustaches. Il existe plusieurs types de diagrammes e boîte. La «boîte» est u rectagle limité par le premier et le troisième quartile et où figure la médiae. Les «moustaches» e revache peuvet s achever aux valeurs extrêmes, le miimum et le maximum de la série, ou aux premier et euvième déciles, 0 % et 90 %, mais la otio de décile est hors programme. xmi Q 25% Q2 Q3 50% 75% xmax Me La réalisatio des diagrammes e boîte est pas exigible des élèves, mais ils doivet pouvoir lire et iterpréter de tels graphiques. La covetio reteue quat aux valeurs extrêmes des moustaches est idiquée. Module. du programme de termiale professioelle À propos de la statistique à deux variables Das ce module, l accet est mis sur l utilisatio des T.I.C. pour obteir rapidemet ue représetatio graphique du uage de poits et ue droite (ou autre courbe) d ajustemet. Ceci permet de travailler davatage sur l iterprétatio et l utilisatio de cet ajustemet. La méthode de Mayer, peu performate et absete des moyes habituels de calcul, est pas à evisager. 2. EXEMPLES D ACTIVITÉS Les oze situatios présetées das ce paragraphe costituet ue illustratio cocrète des propos précédets et sot des documets-ressources à destiatio des professeurs. Certaies situatios, à coditio d être adaptées aux élèves, à leurs cetres d itérêt et à leur spécialité peuvet servir de base à des activités de classe. Les six premières activités illustret les modules.2 sur la fluctuatio d ue fréquece, des programmes de secode et première professioelles. Plusieurs d etre elles peuvet, selo le degré de quatificatio choisi, être abordées e secode ou e première. Les deux premières situatios, dot la mise e forme possible e classe est pas développée, illustret les ejeux de ces modules. Les activités 3 à 6 présetet, de plus, la faço dot elles peuvet être pratiquées e classe. L activité 7 illustre le module. de première professioelle. 6

7 Les activités 8, 9 et 0 illustret le module. de termiale professioelle à propos de la statistique à deux variables. L activité illustre le module.2 de termiale professioelle à propos du calcul des probabilités. - ACTIVITÉ : TAUX ANORMAL DE CAS DE LEUCÉMIE Niveau : secode professioelle. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, probabilités. Thématique : protéger la plaète (développemet durable) - préveir u risque lié à l eviroemet (prévetio, saté et sécurité). Éocé Ue petite ville des États-Uis a cou 9 cas de leucémie chez de jeues garços e l espace de 0 aées. Doit-o, comme l ot alors affirmé les autorités, e accuser le hasard? Cet exemple motre les ejeux de la méthode statistique. Wobur est ue petite ville idustrielle du Massachusetts, au Nord-Est des ÉtatsUis. Du milieu à la fi des aées 970, la commuauté locale s émeut d u grad ombre de leucémies ifatiles surveat e particulier chez les garços das certais quartiers de la ville. Les familles se lacet alors das l exploratio des causes et costatet la présece de décharges et de friches idustrielles aisi que l existece de polluats. Das u premier temps, les experts gouveremetaux cocluet qu il y a rie d étrage. Mais les familles s obstiet et saisisset leurs propres experts. Ue étude statistique motre qu il se passe sas doute quelque chose «d étrage». Le tableau suivat résume les doées statistiques cocerat les garços de mois de 5 as, pour la période (Source : Massachusetts Departmet of Public Health). Populatio des garços de mois de 5 as à Wobur selo le recesemet de 970 : Nombre de cas de leucémie ifatile Fréquece des observés chez les leucémies aux Etats-Uis garços à Wobur (garços) : p etre 969 et , La questio statistique qui se pose est de savoir si le hasard seul peut raisoablemet expliquer le ombre de leucémies observées chez les jeues garços de Wobur, cosidérés comme résultat d u échatillo prélevé das la populatio américaie. 7

8 La populatio des États-Uis état très grade par rapport à celle de Wobur, o peut cosidérer que l échatillo résulte d u tirage avec remise et simuler des tirages de taille avec le tableur. Il est aisé de simuler sur le tableur 00 échatillos de taille = prélevés au hasard das ue populatio de garços où la probabilité de leucémie est p = 0, (cas «ormal») e utilisat l istructio : =ENT(ALEA()+0,000 52). L istructio =ALEA() géère u ombre aléatoire das l itervalle [0, [. L istructio =ALEA()+0, géère doc u ombre aléatoire das l itervalle [0, ;,000 52[. Aisi, =ENT(ALEA()+0,000 52), où ENT désige la partie etière, vaut la plupart du temps 0 (o malade) et vaut (malade) avec la probabilité 0, Sur chaque échatillo, e faisat la somme, o obtiet le ombre de cas observés, sous l hypothèse d ue probabilité «ormale». Il est possible de représeter sur u graphique les 00 résultats observés sur les échatillos aisi simulés. Les simulatios motret que le ombre de cas observés à Wobur (9 cas) est extrêmemet rare (de l ordre de % des simulatios sur u grad ombre d essais), sous l hypothèse d ue probabilité «ormale». Il est doc raisoable de peser que le iveau très «sigificativemet» élevé des leucémies ifatiles observées chez les garços de Wobur est pas dû au hasard. Ce taux aormalemet élevé de leucémies est officiellemet cofirmé par le Départemet de Saté Publique du Massachusetts e avril 980. Les soupços se portet alors sur la qualité de l eau de la appe phréatique qui, par des forages, alimete la ville. O découvre aisi le sydrome du trichloréthylèe. - ACTIVITÉ 2 : DÉFAUTS DE PEINTURE Niveau : première professioelle. 8

9 Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, probabilités Thématique : cotrôler la qualité (vie écoomique et professioelle). Éocé Das ue usie automobile, o cotrôle les défauts de peiture de type «grais poctuels sur le capot». Lorsque le processus est sous cotrôle, o a 20 % de ce type de défauts. Lors du cotrôle aléatoire de 50 véhicules, o observe 26 % de défauts (3 sur 50). Faut-il s iquiéter? Élémets de répose E supposat que la situatio est sous cotrôle, c est-à-dire que la proportio de capots présetat ce défaut (miime) de peiture das la productio totale est p = 0,20, u échatillo aléatoire de 50 capots présetera ue proportio de défauts comprise, das plus de 95 % des cas, etre 0,20 et 0, , soit eviro 6 %,, soit eviro 34 %. Il y a doc pas lieu de cosidérer ue 50 observatio de 26 % de défauts sur u échatillo de taille 50 comme «aormale». Ce type de cotrôle de qualité a effectivemet été pratiqué par u costructeur d automobiles fraçais. Il s agissait de détecter ue amélioratio sigificative du procédé de peiture grâce à cet idicateur de défaut, quasimet ivisible pour le cliet. - ACTIVITÉ 3 : NAISSANCES À PILE OU FACE Niveau : secode professioelle (sous cette forme) ou première. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, probabilités. Thématique : compredre l iformatio (vie sociale et loisirs) préveir u risque lié à l eviroemet (prévetio, saté et sécurité). O propose ici ue séquece e trois étapes. ÉTAPE : éocé Les doées statistiques suivates ot été relevées : - e 2000, das le village de Xicu, e Chie, il est é 20 efats, parmi lesquels 6 garços, 9

10 das la réserve idiee d Aamjiwaag, située au Caada à proximité d idustries chimiques, il est é etre 999 et 2003, 32 efats dot 46 garços. Ces observatios sot-elles le fruit du hasard? - Élémets de répose U temps est laissé aux élèves pour se «débrouiller» avec ces chiffres puis saisir les pistes issues d ue «tempête de cerveaux». Il faut s attedre à des calculs de statistique descriptive (pourcetage, fréquece), à ue comparaiso avec ue proportio de 50 %, et voir émerger la problématique du hasard. La proportio de garços à la aissace est habituellemet estimée à 50 %. E réalité elle est, de faço étoammet stable, de 5,2 %, mais o peut ici predre sas icovéiet le modèle «d ue chace sur deux» pour aalyser les doées proposées. Ue première idée, pour se situer par rapport à u a priori de 50 %, cosiste à calculer le pourcetage de garços (ou de filles) das chaque cas : Pourcetage de garços Xicu Aamjiwaag 80 % 34,8 % Les valeurs trouvées sot loi du résultat «attedu». Mais peut-être est-ce le hasard? Pour préciser la répose à la questio posée, il faut étudier les propriétés du hasard e supposat, pour simplifier, qu à la aissace o a ue chace sur deux d avoir ue fille ou u garço. Ue expérimetatio avec des pièces de moaie peut être proposée. ÉTAPE 2 : expérimetatio avec des pièces de moaie. Lacer 20 fois ue pièce de moaie et oter le ombre de «pile». 2. Recommecer l expériece ue dizaie de fois ou regrouper les résultats obteus das la classe. 3. Commet peut-o utiliser ces expérieces pour commeter les statistiques de Xicu? 4. Pourquoi l expérimetatio avec des pièces e permet-elle pas de répodre complètemet au problème posé? Élémets de répose O peut décider que «pile» correspod à «garço» et «face» à «fille» (ou le cotraire). O costate que pratiquemet aucue expériece e doe 6 piles (ou plus), mais que cela peut se produire. Le résultat chiois est très étoat et laisse plutôt peser que «la pièce est truquée». Remarque pour le professeur Le ombre de piles peut être cosidéré comme correspodat à la réalisatio d ue variable aléatoire de loi biomiale de paramètres = 20 et p = 0,5. La probabilité, sur 20 lacers, d avoir u ombre de piles iférieur ou égal à 5 est eviro 0,994. 0

11 Ce résultat peut s obteir sur u tableur par l istructio : =LOI.BINOMIALE(5;20;0,5;VRAI). C est-à-dire que l observatio d u résultat comparable à celui du village chiois a 0,6 % de chaces de se produire (quad o suppose le hasard «ue chace sur deux» à l œuvre). Pour Aamjiwaag, il faudrait lacer la pièce u trop grad ombre de fois. Faire costater qu u plus grad ombre d expérieces permettrait de s assurer des observatios faites pour 20 lacers, permet alors de proposer u TP de simulatio sur tableur-grapheur (ou faire ue vidéo projectio devat la classe ou ecore distribuer le fichier sur des ordiateurs). Cette première expérimetatio iformatique permet d étudier esuite des échatillos de 32 lacers e utilisat le même protocole de simulatio. ÉTAPE 3 : travaux pratiques sur tableur U éocé possible. Simulatio d u lacer de pile ou face. a) Etrer e cellule A la formule =ALEA() (avec des parethèses vides) puis appuyer de ombreuses fois sur la touche F9. Compléter la phrase : «La formule =ALEA() affiche u ombre décimal tiré au hasard etre... et...». b) Compléter la phrase : «La formule =ALEA()+0,5 affiche u ombre décimal tiré au hasard etre... et...». Vérifiez votre répose e etrat la formule =ALEA()+0,5 e cellule A. c) E complétat la phrase suivate, trouver ue règle permettat de simuler u tirage à pile ou face à l aide de la foctio ALEA : «Si e utilisat la formule =ALEA()+0,5 le tableur affiche u ombre de l itervalle [0,5 ;...[, o cosidère que la pièce est tombée sur face, si au cotraire le tableur affiche u ombre de l itervalle [...,...[, o cosidère que l o a obteu pile.». d) O souhaite améliorer la simulatio e utilisat la foctio ENT qui affiche la partie devat la virgule d u ombre positif (partie etière). Etrer e A la formule =ENT(ALEA()+0,5). Faire plusieurs fois F9. Quels résultats obtiet-o? Quelle est leur sigificatio das le jeu de pile ou face? 2. Simulatio de 20 lacers de pile ou face. Recopier le coteu de la cellule A jusqu e A20 (poiteur de la souris e forme de croix oire). E A2 etrer la formule =SOMME(A:A20)/20. Que calcule cette formule? 3. Simulatio de 00 expérieces. Sélectioer les cellules de A à A2 puis recopier vers la droite jusqu e coloe CV.

12 Sélectioer la lige 2 (e cliquat sur la tête de lige) puis cliquer sur l icôe de l assistat graphique et demader u «uage de poits». Faire de ombreuses fois F9. D après vos observatios, sur 20 lacers, ue fréquece de «pile» égale ou supérieure à 0,8 : e se produit jamais ; se produit eviro 20 fois sur 00 ; se produit eviro 0 fois sur 00 ; se produit eviro fois sur Que pouvez-vous déduire de aissaces à Xicu e 2000? ces simulatios à propos des 5. Cas de 32 aissaces. a) Sur ue autre feuille de calcul, simuler 00 expérieces de 32 lacers de pile ou face et représeter les fréqueces de «pile» comme précédemmet. D après le graphique, doer u itervalle autour de 0,5 das lequel se trouve la «grade majorité» des poits. b) Que pouvez-vous déduire de ces simulatios à propos des aissaces à Aamjiwaag? Élémets de répose. a) «La formule =ALEA() affiche u ombre décimal tiré au hasard etre 0 et». b) «La formule =ALEA()+0.5 affiche u ombre décimal tiré au hasard etre 0,5 et,5». c) «Si e utilisat la formule =ALEA()+0.5 le tableur affiche u ombre de l itervalle [0,5 ; [ o cosidère que la pièce est tombée sur face, si au cotraire le tableur affiche u ombre de l itervalle [ ;,5[ o cosidère que l o a obteu pile.» d) O obtiet comme résultats 0 ou. Le résultat 0 correspod à face et correspod à pile. 2. La formule calcule la fréquece de «pile» sur les 20 lacers. 3. D après les observatios, sur 20 lacers, ue fréquece de «pile» égale ou supérieur à 0,8 R se produit eviro fois sur O peut e déduire que les statistiques de Xicu sot très étoates. Il est peu probable qu elles s expliquet par le seul hasard. C est ue «alerte» qui doit iciter à rechercher des causes extérieures. 5. a) La «grade majorité» des poits sot das l itervalle [0,4 ; 0,6]. 2

13 b) Le résultat 0,348 observé à Aamjiwaag e se trouve pas das l itervalle [0,4 ; 0,6]. Il est peu probable, qu il s explique par le seul hasard. C est ue «alerte» qui doit iciter à rechercher des causes extérieures. Commetaires Il est importat de préciser que les «réposes» apportées par l activité précédete e sot que des réposes «statistiques». Les résultats observés sur les aissaces à Xicu et Aamjiwaag sot «bizarres» (et préoccupats). Rie de plus e peut être dit quat aux causes, mais ces résultats doivet iciter à equêter. C est ue obligatio morale, car o a établi ue «preuve statistique», ratioelle, qu il se passe sas doute quelque chose d ihabituel. Pour le cas de Xicu, la cause probable est l acquisitio das ce village (e 999) d ue machie à ultra-sos bo marché, permettat aux médecis de détermier le sexe du fœtus. (Source : Washigto Post du 29 mai 200.) Das le cas d Aamjiwaag, ue equête saitaire est meée. E effet, depuis Seveso, le rôle de certais polluats sur les déséquilibres du sex-ratio est cou. (Sources : Sciece et Vie février 2006 Eviromethal Health Perspectives octobre 2005, article e aglais e lige.) - ACTIVITÉ 4 : SEGMENT ALÉATOIRE Niveau : secode ou première professioelle. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo probabilité. les échatillos, otio de Cette activité illustre l approche «fréquetiste» d ue probabilité, c est-à-dire l observatio de la «stabilisatio relative des fréqueces quad augmete» vers la probabilité de l évéemet. Éocé 3

14 Deux poits A et B sot pris «au hasard» sur u segmet de logueur. Ceci peut être réalisé grâce à la foctio «radom» de la calculatrice qui doe «au hasard» u ombre compris etre 0 et, qui sera l abscisse du poit. Quelle est la probabilité de l évéemet : «la logueur AB est supérieure à 0,5»? Élémets de répose Expérimetatio avec ue calculatrice : La différece rad rad correspod, au sige près, à la distace AB. Il suffit d appuyer 0 fois sur Eter pour simuler 0 expérieces. Les résultats de la classe peuvet esuite être mutualisés. Visualisatio sur u tableur : La simulatio de l expériece est simple à mettre e place sur u tableur : sur l image d écra ci-dessous, est etrée e B5 et e C5 la formule =ALEA(). E D5 la formule =ABS(B5-C5) fourit la distace AB. E etrat e E5 la formule =SI(D5>0,5;;0) la valeur est obteue lorsque l évéemet «AB > 0,5» est réalisé et la valeur 0 est obteue lorsqu il e l est pas. Par recopie, l expériece simulée peut être répétée et costituer u échatillo (de taille par exemple 500) des résultats de cette expériece. E faisat F9, o multiplie les observatios. Fréquece relative aux sept premières expérieces 4

15 La fréquece l évéemet «AB > 0,5» se stabilise autour de 25 %. Commetaire L avatage de cette situatio est que la probabilité de l évéemet cosidéré, qui est égale à 0,25, est pas «ituitive». Il est d ailleurs itéressat de demader aux élèves ue évaluatio «a priori» de la répose, avat d expérimeter. - ACTIVITÉ 5 : CONTESTER UN JUGEMENT Niveau : première professioelle. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, probabilités. Thématique : compredre l iformatio (vie sociale et loisirs). (Source : Prove it with figures H. Zeisel et D Kaye.) Éocé E Novembre 976 das u comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était codamé à huit as de priso. Il attaqua ce jugemet au motif que la désigatio des jurés de ce comté était discrimiate à l égard des Américais d origie mexicaie. Alors que 79,% de la populatio de ce comté était d origie mexicaie, sur les 870 persoes covoqués pour être jurés lors d ue certaie période de référece, il y eut que 339 persoes d origie mexicaie.. Quelle est la fréquece des jurés d origie mexicaie observée das ce comté du Texas? 2. La simulatio sur u tableur du prélèvemet d échatillos aléatoires de taille = 870 das ue populatio où la fréquece des habitats d origie mexicaie est p = 0,79. Les fréqueces des habitats d origie mexicaie observées sur 00 échatillos simulés sot représetées ci-dessous. 5

16 a) Calculer les bores de l itervalle [ p, p + 0 2). b) Quel est le pourcetage des simulatios fréquece e dehors de l itervalle précédet? ]. (Arrodir à fourissat ue 3. Sur les simulatios, est-il arrivé au hasard de fourir ue fréquece d habitats d origie mexicaie comparable à celle des jurés d origie mexicaie observée das ce comté du Texas? 4. Commet expliquez-vous cette situatio? Élémets de répose. La fréquece observée des jurés d origie mexicaie est f = soit eviro 0, a) O a [0, ; 0, ] c est-à-dire eviro [0,76 ; 0,82]. b) Sur le graphique des 00 simulatios, 4 poits sot e dehors de l itervalle précédet, soit 4 % des cas. 3. No. La fréquece observée 0,39 est très loi des valeurs obteues sur les simulatios. 4. La costitutio des jurys est sas doute pas totalemet aléatoire. Commetaires Les doées étudiées costituet ue «preuve statistique» du fait que la costitutio de ces jurys est pas totalemet aléatoire, c est-à-dire que ceux ci e sot pas «représetatifs» de la populatio, du poit de vue du caractère hispaique. Les calculs précédets motret qu il est pas possible de cosidérer que les jurys résultet d u tirage au sort où chaque élémet de la populatio a les mêmes chaces d être choisi. Mais c est tout ce que l o peut dire et, e particulier, il est pas possible de se proocer sur les causes et 6

17 porter des accusatios de discrimiatio raciale. L étude statistique précédete doit iciter à equêter sur les coditios de costitutio des jurys. Le costat pourra alors être fait que pour être juré o doit maîtriser la lague aglaise (écrite et parlée), ce qui est pas le cas de la majorité de la populatio d origie hispaique, que pedat les aées correspodat à l étude, la proportio des hispaiques das la populatio a évolué, et que la proportio d hispaiques das les jurys a égalemet évolué au cours de ces aées. - ACTIVITÉ 6 : PREMIER TOUR DES PRÉSIDENTIELLES 2002 Niveau : secode professioelle (sous cette forme) ou première. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, probabilités. Thématique : croire u sodage (vie sociale et loisirs). Éocé Voici u extrait d article, publié das le joural «Le Mode» par le statisticie Michel Lejeue, après le premier tour de l électio présidetielle de «Pour les rares scietifiques qui savet commet sot produites les estimatios, il était clair que l'écart des itetios de vote etre les cadidats Le Pe et Jospi redait tout à fait plausible le scéario qui s'est réalisé. E effet, certais des deriers sodages idiquaiet 8 % pour Jospi et 4 % pour Le Pe. Si l'o se réfère à u sodage qui serait effectué das des coditios idéales [...], o obtiet sur de tels pourcetages ue icertitude de plus ou mois 3 % état doé la taille de l'échatillo [...].». Si l o tiet compte de l icertitude liée au sodage, etre quels pourcetages pourraiet se situer réellemet (à 95 % de cofiace) les deux cadidats lorsque le sodage doe 8 % pour l u et 4 % pour l autre? 2. Représeter sur u même graphique les deux «fourchettes» calculées à la questio précédete. Peut-o prévoir l ordre des cadidats? 3. Au premier tour de l électio présidetielle de 2002, L. Jospi a obteu 6,8 % des voix et J.-M. Le Pe 6,86 %. Expliquer la phrase «l'écart des itetios de vote etre les cadidats Le Pe et Jospi redait tout à fait plausible le scéario qui s'est réalisé». Élémets de répose. Pour L. Jospi, etre 5 % et 2 %. Pour J.-M. Le Pe, etre % et 7 %. 2. U dessi possible. 0 % 5 % 7 20 %

18 Si o utilise ces fourchettes, o e peut pas prévoir l ordre des cadidats car elles ot ue partie commue. 3. La phrase correspod au fait que les pourcetages obteus à l électio sot situés das les fourchettes du sodage. Commetaires Voici u exemple où quelques otios mathématiques de base (pourcetage, représetatio des ombres, itervalle, itersectio) sot écessaires à la boe compréhesio d u article de presse de la rubrique société ou politique. La lecture du texte est ue des difficultés de l exercice, mais motre aussi l itérêt de la situatio. L aspect fluctuatio d échatilloage (plus ou mois 3 % sur u échatillo de taille mille, c est-à-dire 000 0,03) est pas pris e compte das cet exercice, qui se veut élémetaire. La «cofiace» est doée au statisticie. Il est possible e première professioelle, d expérimeter la pertiece de ce 3 % (eviro 95 % de cofiace) par simulatio (module.2 du programme de première). 8

19 - ACTIVITÉ 7 : POPULATION FRANCAISE EN 2030 Niveau : première professioelle. Module : statistiques à ue variable Thématique : compredre l iformatio (vie sociale et loisirs) Éocé Le tableau ci-dessous doe la répartitio e foctio de l âge de la populatio fraçaise e 200 et ue prévisio pour L objectif de cette activité est de calculer, à l aide d u ordiateur, différets idicateurs de tedace cetrale et de dispersio pour comparer ces deux répartitios.. ÉTUDE DE L ANNÉE 200 ENTRÉE DES DONNÉES DANS LE TABLEUR a) Pour etrer les libellés des coloes, saisir «a» das la cellule B2, «b» e C2, «i» e D2 et «xi» e E2. Remarque : pour les idices (ou exposats) cliquer sur Format das la barre d outil, sélectioer Cellule puis cliquer sur l oglet Police et sélectioer Idice (ou exposat) b) Pour etrer les classes d âge : - saisir verticalemet à partir de B3 bores iférieures des itervalles classes ; - saisir verticalemet à partir de C3 bores supérieures des itervalles classes. les de les de c) Pour etrer les effectifs de l aée 200 : - saisir verticalemet les effectifs à partir de D3 ; - sélectioer les effectifs et cliquer sur le bouto pour effectuer le total de la Âge Effectif e 200 [0;0[ [0;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[ [50;60[ [60;70[ [70;80[ [80;90[ [90;00[ 7,6 7,7 8, 8,3 8,6 8,2 6,3 4,6 2,9 0,6 Effectif prévu e ,5 6,8 7,3 7,4 7,9 8,3 8,2 6,4 3,5 0,9 Source : US Cesus Bureau Iteratioal Data Base coloe ; l effectif total apparaît e D3. d) Pour etrer les cetres de classes : - saisir «=(B3+C3)/2» e E3 ; - cliquer-glisser à partir du coi iférieur droit de E3 jusqu e E2. Remarque : pour les calculs qui suivet, o admet que la totalité de l effectif de chaque classe est affecté e so cetre xi. ESTIMATION DE LA MOYENNE : x = i xi N a) Pour etrer le libellé de la coloe de calcul, saisir «i xi» e F2. b) Pour calculer ue estimatio de la moyee : 9

20 - saisir «= D3*E3» e F3 puis faire u cliquer-glisser jusqu e F2 ; effectuez le total de la coloe avec le bouto ; - saisir «Moyee :» e B6; - saisir «= F3/D3» e C6 ; valider, l estimatio de la moyee apparaît. Remarque : pour choisir le ombre de chiffres après la virgule, cliquer sur le bouto. CALCUL DE L ÉCART TYPE : σ = i x i2 x2 N a) Pour etrer le libellé de la coloe de calcul, saisir «i xi2» e G2. b) Pour calculer l écart-type : - saisissez «= D3*E3*E3» e G3, puis faire u cliquer-glisser jusqu e G2 ; - effectuez le total de la coloe avec le bouto ; - saisissez «Ecart type :» e E6 ; - saisissez «= RACINE(G3/D3-C6*C6)» e G6 ; validez, la valeur de l écart type apparaît. 2. ÉTUDE DE L ANNÉE 2030 E procédat comme à la questio précédete avec l aide du tableur, calculer ue estimatio de la moyee et l écart-type de la populatio fraçaise prévue e ANALYSE DES RÉSULTATS Comparer les idicateurs statistiques moyee et écart type e 200 avec ceux e E déduire u commetaire sur l évolutio de la populatio fraçaise prévue sur cette période. Élémets de répose L écart type e 200 est peu différet de celui e 2030 (mois d u a d écart). La moyee e 2030 est supérieure de 3,6 as à celle e 200. La prévisio prévoie doc que la populatio fraçaise va peu augmeter sur la période étudiée. E revache elle sera plus âgée e moyee de 3,5 as, avec ue dispersio par rapport à la moyee variat peu. Commetaire 20

21 L élève e doit pas être e totale autoomie das la phase d appretissage iformatique. La présece du professeur est idispesable pour apporter l aide écessaire lorsqu il recotre des difficultés liées aux différetes procédures à mettre e œuvre. Cette activité permet, das u premier temps, d itroduire les outils du tableur lors de l étude de l aée 200. Das u deuxième temps, lors de l étude de l aée 2030, plus d autoomie est laissée à l élève pour cosolider l acquisitio de ces outils e lui demadat de reproduire les mêmes procédures. Comparer deux séries statistiques à l aide d idicateurs de tedace cetrale et de dispersio doe du ses à l activité. L aalyse des résumés umériques des séries pourrait être prologée e demadat à l élève de comparer des représetatios graphiques obteues à l aide du tableur-grapheur. - ACTIVITÉ 8 : INSÉCURITÉ ROUTIÈRE Niveau : termiale professioelle. Module : statistique à deux variables. Thématique : predre soi de soi, utiliser u véhicule (prévetio, saté et sécurité). Cette activité cosiste e l illustratio de doées statistiques à l aide d u tableur, puis à leur iterprétatio, das u cotexte «citoye». Éocé Le tableau ci-dessous fourit, pour la Frace, la vitesse moyee des véhicules légers, aisi que le ombre de morts sur les routes, de 998 à Aée Vitesse moyee des véhicules légers (km/h) 88,7 88,6 90, 89,4 89,2 86,8 84,5 82,9 82 Nombre de morts (Source a) Représeter, à l aide d u tableur, l évolutio de la vitesse moyee e foctio des aées (choisir u «uage de poits reliés par ue courbe»). b) Représeter de même l évolutio du ombre de morts e foctio des aées. c) Comparer les deux graphiques. 2. a) Représeter, à l aide d u tableur, le uage de poits (o reliés) correspodat à la série statistique à deux variables, vitesse et ombre de morts, e plaçat la vitesse e abscisses et le ombre de morts e ordoées. 2

22 b) Effectuer, à l aide du tableur, u ajustemet affie du uage précédet. c) Iterpréter le graphique obteu. Élémets de répose. a) et b) Nombre de morts c) Les deux graphiques sot très semblables, avec ue tedace géérale à la baisse (et ue petite «bosse» autour de 200). Remarque pour le professeur : ceci coduit à l idée d ue corrélatio etre la vitesse et le ombre de morts, que l o étudie à la questio suivate. 2. a) et b). Vitesse moyee des véhicules légers (km/h) c) La droite idique la «tedace» du uage : lorsque la vitesse augmete, le ombre de morts à tedace à augmeter. - ACTIVITÉ 9 : GLACE EN ARCTIQUE ET TEMPÉRATURE GLOBALE DE LA TERRE Niveau : termiale professioelle. Module : statistique à deux variables. Thématique : protéger la plaète (développemet durable) Source : Natios Uies GIEC (Groupe d experts itergouveremetal sur l évolutio du climat IPCC e aglais) rapport Étedue de la glace de mer das l'océa Arctique Le graphique suivat doe l étedue miimale, e millios de km2, de la glace de mer das l océa Arctique, mesurée chaque été 22

23 de 980 à Étedue miimale de la glace de mer das l océa Arctique (e millios de km2) L ajustemet affie des observatios permet de matérialiser la tedace et «d extrapoler». La droite obteue à l aide du tableur-grapheur a pour équatio y = 0,06 x + 26,56 où x est l aée et y l étedue de glace de mer e millios de km2 calculée avec cette valeur de x. Les questios suivates peuvet se poser : est-il vrai que «la tedace est à ue perte de km2 par a»? si la tedace observée se maitiet, quelle serait l étedue miimale de la glace de mer e Arctique durat l été 2050? si la tedace observée se maitiet, e quelle aée y aurait-il plus de glace de mer e Arctique e été? Température globale à la surface de la Terre Les doées ci-dessous fourisset pour la période les écarts à la moyee, de la température globale à la surface de la Terre. La valeur 0 correspod à la moyee sur la période Par exemple, e 900, la température moyee à la surface de la Terre est de 0,067 C e-dessous de la moyee de la période. 23

24 Avec u tableur-grapheur, ces doées peuvet être ajustée avec deux modèles mathématiques différets : Modèle : la droite d équatio y = 0,004 5 x 8,80 3 ; Modèle 2 : la parabole d équatio y = x 2 0,35 x + 26,02. Chacu de ces modèles peut être utilisé pour estimer, e 200, l écart e degrés de la température de la Terre par rapport à la moyee de 86 à 2003 si la tedace observée se poursuit. Modèle : + 0, Modèle 2 : + 8,7. Il coviet cepedat de «relativiser» le caractère prédictif de ces simples calculs, e effectuat par exemple ue recherche sur les modélisatios utilisées par les chercheurs du GIEC. Les modèles précédets sot plutôt rudimetaires (et le modèle 2 assez iquiétat), le GIEC a mis au poit plusieurs modèles, teat compte, e particulier, des évolutios possibles des cocetratios de gaz à effet de serre das l atmosphère. 3.4oC 2.8oC.8oC 0.6oC 24

25 Ces modèles prévoiet que le réchauffemet cotiuera si les cocetratios de gaz à effet de serre augmetet. Si les cocetratios étaiet maiteues au iveau actuel, u réchauffemet iexorable de 0,6 C se produirait d ici à 200. U réchauffemet plus large se produirait pour les cocetratios plus élevées (autres modèles). Commetaire Cette étude permet de motrer des ajustemets autres qu affie et e doit pas faire l objet de développemets théoriques pour d autres modèles d ajustemet. - ACTIVITÉ 0 : METTRE DES GANTS Niveau : termiale professioelle. Module : statistique à deux variables. Thématique : predre soi de soi (prévetio, saté et sécurité). Travail préparatoire à la maiso Quelles sot la température miimale et la vitesse de vet maximale eregistrées par le service météorologique de votre ville au cours des 00 derières aées? Éocé INFORMATIONS Durat les expéditios polaires il est très importat de se protéger du froid pour éviter les gelures. Des lésios irréversibles peuvet apparaître aux extrémités (mais, pieds, ez et oreilles) si elles sot soumises plus de 30 miutes à des températures iférieures à -25 C. Le tableau ci-dessous doe des valeurs de l idice de refroidissemet éolie (IRE) utilisé lors de ces expéditios. Il pred e compte la vitesse du vet pour doer la température réellemet ressetie. vet Vitesse du km/h) Température de l air (e C) (e , ,5 7 7, , , ,5 Exemple : ue température de l air de 0 C avec u vet de 50 km/h correspod à ue température ressetie (IRE) de 23 C. PROBLÈME La température ressetie par le coducteur d u scooter à 50 km/h est la même que celle doée das le tableau des idices de refroidissemet éolie (IRE) pour ue vitesse du vet de 50 km/h. Pour u déplacemet de 30 miutes à 50 km/h et sas gat, à partir de quelle température de l air les mais du coducteur vot-elles se geler avec apparitio de lésios irréversibles? 25

26 Exemples de questios pour guider l élève das la phase de recherche L élève e difficulté : - Quelle est la température pour laquelle des lésios peuvet apparaître sur u trajet de 30 mi? - Est-il possible de costruire ue représetatio graphique à partir des coloes du tableau doat la température de l air et celle doat l IRE pour u vet de 50 km/h? - Commet costruire cette représetatio graphique à l aide d u tableurgrapheur? - Quelle courbe passat par le uage de poits peut être tracée? - La droite obteue permet-elle de trouver la température de l air pour u IRE de 25 C? - Commet vérifier par le calcul le résultat obteu graphiquemet? L élève qui réussit plus rapidemet: - Commet obteir ue équatio d ue droite d ajustemet passat par le poit moye? - Pour quelle vitesse de vet peut-il y avoir apparitio de lésios lors d u trajet de 30 mi pour ue température de l air égale à 0 C? Élémets de répose IRE Température de l air 26

27 - ACTIVITÉ : PILE OU FACE ET CONTRÔLE DE QUALITÉ Niveau : termiale professioelle. Module : probabilités. Thématique : cotrôler la qualité (vie écoomique et professioelle). Éocé Lors de certais cotrôles de qualité e cours de fabricatio das l idustrie (diamètre d ue pièce par exemple), des cartes de cotrôle reposet sur la procédure suivate : la moyee de la cote surveillée (le diamètre de la pièce par exemple) est calculée sur des échatillos aléatoires prélevés régulièremet e fi de fabricatio. Ces moyees sot reportées sur ue carte de cotrôle (comme ci-dessous). Si ue série de sept poits cosécutifs se trouve du même côté de la «moyee attedue» (la orme visée), le processus doit être surveillé pour déceler ue évetuelle «dérive» das le processus de fabricatio. L explicatio du choix du ombre 7 se trouve das la résolutio du problème de probabilités suivat : ue pièce de moaie équilibrée est lacée 7 fois, quelle est la probabilité de l évéemet A : «la pièce est tombée 7 fois sur pile»?. Estimer la valeur de cette probabilité à l aide de simulatios sur u tableur. 2. Lacer 3 fois de suite ue pièce de moaie équilibrée. a) Dessier u arbre figurat tous les résultats possibles de l expériece. b) À l aide de l arbre précédet, calculer la probabilité de l évéemet «la pièce est tombée trois fois sur pile». 3. Par aalogie avec le cas de 3 lacers, doer la probabilité de l évéemet A et comparer avec l estimatio de la questio. Élémets de répose. Ue feuille de calcul telle que celle motrée ci-après peut être costituée. Selo les circostaces, cette feuille de calcul peut-être totalemet ou partiellemet fabriquée par les élèves, e salle iformatique ou e utilisat u vidéo projecteur. Pour costituer cette feuille de calcul, 7 lacers à pile ou face sot simulés e itroduisat e cellule B3 la formule =ENT(ALEA()+0,5) qui a été recopiée vers la droite. 27

28 La réalisatio ou o de l évéemet A est codée par ou 0 avec l itroductio e cellule J3 de la formule =SI(SOMME(B3:H3)=7;;0). Le calcul des fréqueces cumulées de l évéemet A est obteu e itroduisat e K3 la formule =J3/A3 puis e K4 la formule =SOMME(J$3:J4)/A4. Il faut sélectioer la lige 4 puis recopier vers le bas, par exemple jusqu à la lige pour obteir la fréquece de l évéemet A sur expérieces. La touche F9 permet de répéter les expérieces et de faire costater que la probabilité de l évéemet A est u peu iférieure à %. 2. a) P P F P P F F P P F F P F F b) La probabilité de l évéemet PPP est = 0,25.

29 7 3. O a P(A) =, soit eviro 0,008 c est-à-dire 0,8 %. 2 Ce résultat est coforme aux observatios des simulatios. 29

30 3. EXEMPLES D ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES T.I.C. - EXEMPLE : SURRÉSERVATION Niveau : secode professioelle. Module : fluctuatios d'ue fréquece selo les échatillos, otio de probabilité. Thématique : jouer avec le hasard (vie sociale et loisirs). Deux éocés sot proposés. Das le premier, l élève est guidé das la démarche de résolutio et das le secod il peut faire preuve de so autoomie et de sa prise d iitiative das la résolutio d u problème. Éocé Ue compagie aériee dispose d u avio de 00 places et ved 07 réservatios. L objectif est d évaluer la probabilité de surréservatio de cette compagie, autremet dit le risque que plus de 00 passagers se présetet à l embarquemet.. O suppose que toute persoe réservat ue place d avio a ue chace sur 0 de e pas se préseter à l embarquemet. Réaliser ue simulatio du ombre de persoes se présetat à l embarquemet d u vol de 00 places pour 07 réservatios, sur u échatillo aléatoire obteu à l aide d u tableur. Pour cela, das ue feuille de calcul du tableur : - saisir «=ENT(ALEA()+0,9)» das la cellule A et recopier cette formule vers la droite jusqu e DC pour obteir 07 réalisatios, - saisir «=SOMME(A:DC)» das la cellule DD. Appel : Appeler le professeur pour valider cette simulatio. 2. Réaliser ue simulatio du ombre de persoes se présetat à l embarquemet de 000 vols de 00 places pour 07 réservatios à chaque vol. Appel 2 : Appeler le professeur pour valider cette simulatio. 3. Détermier, pour cette simulatio de 000 vols, la proportio des cas où l effectif des passagers se présetat à l embarquemet est supérieur à 00. Pour cela : - das ue cellule de votre choix, utiliser la formule «=NB.SI(DD:DD000;">00")», - das ue cellule de votre choix, e déduire la fréquece demadée. Appel 3 : Appeler le professeur pour valider ces calculs. 4. a) E utilisat la touche F9, réaliser plusieurs simulatios, puis évaluer la probabilité que plus de 00 persoes se présetet à l embarquemet. 30

31 b) Évaluer, e pourcetage, le risque de surréservatio pour la compagie aériee. Appel 4 : Appeler le professeur pour lui doer les réposes. Élémets de répose. Tout type de tableur coviet, par exemple Excel ou OpeOffice Calc. Il suffit d iscrire la formule «=ENT(ALEA()+0,9)» das la cellule A, de la recopier horizotalemet pour qu elle soit calculée 07 fois, puis d effectuer la somme. L élève doit compredre que lorsque la formule affiche, le passager se présete à l embarquemet et lorsqu elle affiche 0, le passager e se présete pas. 2. Il s agit de sélectioer les cellules de la simulatio de la questio. puis de recopier vers le bas. 3. L istructio NB.SI fourit u effectif. O s attache à la différece qui est faite etre effectif et fréquece. 4. L élève doit compredre que la probabilité de surréservatio est la valeur autour de laquelle fluctuet les fréqueces lorsqu o appuie sur la touche F9. O accepte toute évaluatio comprise etre 0,06 et 0,0. Sigalos pour le professeur que le calcul de cette probabilité peut s effectuer par la formule «=-LOI.BINOMIALE(00;07;0,9;VRAI)» qui doe comme répose eviro 0,08 (ou 8 %). Compéteces évaluées Questio Compéteces L élève est capable de réaliser la simulatio 2 3 L élève compred le ses de l affichage ou 0 de l istructio «=ENT(ALEA()+0,9)» L élève est capable de réaliser la simulatio de taille 000. L élève coaît la différece de ses etre effectif et fréquece et est capable de calculer la fréquece. 3 Évaluatio (à remplir par l examiateur)

32 4 L élève idetifie la probabilité comme l ivariat autour duquel fluctuet les fréqueces observées. L élève doe ue évaluatio coveable de la probabilité. L élève sait exprimer, e pourcetages, le risque de surréservatio. L élève tire profit des idicatios évetuellemet doées à l oral. Ces idicatios peuvet être des aides logicielles écessaires pour réaliser ce qu il a prévu. 32

33 Éocé 2 Sujet... Fiche élève O suppose qu ue persoe réservat ue place d avio a ue chace sur 0 de e pas se préseter à l embarquemet. Ue compagie dispose d u avio de 00 places et ved 07 réservatios. Le but de l exercice est d évaluer la probabilité de surréservatio.. Sur u tableur, réaliser ue simulatio du ombre de persoes se présetat à l embarquemet lorsqu il y a 07 réservatios. O peut utiliser la formule =ENT(ALEA()+0,9). Appel : Appeler le professeur pour valider cette simulatio. 2. Sur u tableur, réaliser ue simulatio sur u échatillo de taille 000 de l expériece aléatoire précédete et détermier, pour cette simulatio, la fréquece des cas où plus de 00 persoes se présetet à l embarquemet. O peut utiliser la formule =NB.SI(plage ; " > 00" ). Appel : Appeler le professeur pour valider la feuille de calcul costruite. 4. À l aide des simulatios réalisées, est-il possible d évaluer le risque de surréservatio que pred la compagie? O peut utiliser la touche F9. Appel : Appeler le professeur pour lui fourir cette répose. Productio demadée Utilisatio correcte des doées de l éocé pour réaliser la simulatio de la questio (l aide logicielle est apportée par l examiateur sas péalisatio). Compréhesio correcte des termes échatillo et fréquece pour réaliser la simulatio de la questio 2 (l aide logicielle est apportée par l examiateur sas péalisatio). Répose orale à la questio 3, e expliquat l utilisatio des simulatios. 33

34 Sujet... Fiche professeur Surréservatio Éocé O suppose qu ue persoe réservat ue place d avio a ue chace sur 0 de e pas se préseter à l embarquemet. Ue compagie dispose d u avio de 00 places et ved 07 réservatios. Le but de l exercice est d évaluer la probabilité de surréservatio.. Sur u tableur, réaliser ue simulatio du ombre de persoes se présetat à l embarquemet lorsqu il y a 07 réservatios. O pourra utiliser la formule =ENT(ALEA()+0,9). Tout type de tableur coviet, par exemple Excel ou OpeOffice Calc. Il suffit d iscrire la formule =ENT(ALEA()+0,9) das ue cellule, de la recopier (verticalemet ou horizotalemet) pour qu elle soit calculée 07 fois, puis d effectuer la somme. L élève doit compredre que lorsque la formule affiche, le passager se présete à l embarquemet et lorsqu elle affiche 0, le passager e se présete pas, pour avoir l idée d effectuer la somme. De même, il doit compredre le rôle des doées 00 et 07 pour predre l iitiative du ombre de recopies de la formule. Les aides logicielles du type, commet o recopie ou commet o effectue ue somme, e doivet pas être péalisées. 2. Sur u tableur, réaliser ue simulatio sur u échatillo de taille 000 de l expériece aléatoire précédete et détermier, pour cette simulatio, la fréquece des cas où plus de 00 persoes se présetet à l embarquemet. O pourra utiliser la formule =NB.SI(plage ; " > 00" ). Il s agit de sélectioer les cellules de la simulatio de la questio. puis de recopier, selo les présetatios vers la droite ou vers le bas, de maière à visualiser 000 simulatios aalogues à celle de la questio. L élève doit esuite compredre que l o recherche la fréquece des sommes strictemet supérieures à 00. L istructio NB.SI fourit u effectif. L utilisatio de l istructio NB.SI pouvat écessiter des explicatios, otammet pour compléter la référece de la plage de cellules (sur l image d écra fourie ici cette référece est A08:ALL08), o apportera toute aide écessaire sas la péaliser. E revache o s attachera à la différece qui sera faite etre effectif et fréquece. 3. À l aide des simulatios réalisées, vous est-il possible d évaluer le risque de surréservatio que pred la compagie? 34