ÉVALUATION DE L INCERTITUDE EN UTILISANT LES SIMULATIONS DE MONTE CARLO

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1 ÉVALUATION DE L INCERTITUDE EN UTILISANT LES SIULATIONS DE ONTE CARLO. Déenfant *, N. Ficher *, B. Blanquart **, N. Bédiat** *Laboratoire national de métroloie et d eai (LNE) ** Centre Technique de Indutrie Aéraulique et Thermique (CETIAT) Réumé Le premier upplément du GU [1], traitant de l évaluation de l incertitude par propaation de ditribution, doit paraître en 007 []. Ce upplément, qui utilie la méthode numérique de onte Carlo permet de traiter le ca où toute le hypothèe de la loi de propaation de variance (méthode LPU) et le concept aocié ne ont pa vérifié. Nou epoon le différente étape de la méthode de onte Carlo (C) aini que e avantae. Pour illutrer cette technique, nou préenton deu eemple appliqué à la métroloie et au eai, en mettant en parallèle la propaation de variance et la propaation de ditribution. Abtract The upplement 1 to the GU, dealin with the evaluation of uncertainty uin the propaation of ditribution, will be publihed thi year. Thi upplement, baed on a onte Carlo method (C), allow one to deal with the evaluation of uncertainty even when the hypothee of the law of propaation of uncertainty (LPU) are not verified. We decribe the different tep of the C and it advantae. Then to illutrate the method, we preent two eample in the field of metroloy and tetin and we compare the reult iven by both method. Introduction Le uide pour l'epreion de l'incertitude de meure (GU) 'appuie ur la loi de propaation de variance (LPU) pour le calcul de l'incertitude-type compoée. Celle-ci et etimée à partir d'un développement de Taylor appliqué au modèle du proceu de meure; le calcul requiert donc la validité d'un certain nombre d'hypothèe mathématique. En premier lieu, le modèle ne doit pa préenter de non-linéarité inificative. Le diperion obervée doivent être faible pour chacune de variable du proceu de meure, comparable du point de vue de leur ordre de randeur et doivent préenter de ditribution ymétrique. Enfin, la ditribution de la randeur de ortie du modèle doit préenter un profil auien pour pouvoir calculer et interpréter aiément la valeur du facteur d élariement k. D'un point de vue trictement opérationnel, l'application de la loi de propaation de l incertitude néceite la dérivation du modèle du proceu de meure par rapport à chacune de e variable afin d'en etimer le coefficient de enibilité. Outre le hypothèe mathématique de dérivabilité du modèle, on application peut e révéler délicate dan un contete indutriel. Elle peut contituer un frein à l'avancement du calcul et une ource d'erreur potentielle. Une alternative à ce calcul et aujourd'hui décrite dan le premier upplément du GU, à paraître en 007 [1]. Le métroloue e voit propoé d'utilier le outil de imulation numérique et en particulier la méthode de onte Carlo pour propaer non pa uniquement deu tatitique (moyenne et variance) mai le ditribution de variable décrivant le proceu de meure. A titre d'illutration, le deu méthode d'etimation de l'incertitude-type compoée ont été appliquée à deu proceu de meure ditinct afin de déaer le point fort de chacune d'entre elle et le difficulté qui peuvent urvenir dan le cadre de leur mie en œuvre. Le premier de ce eemple relève de l'activité de qualification de performance de compoant thermique, menée par le Centre Technique de Indutrie Aéraulique et Thermique. Il 'ait du proceu de détermination de la puiance thermique fournie, par eemple, par une chaudière et dont l'incertitude et claiquement obtenue à l'aide de la loi de propaation. Le econd eemple et emprunté à la métroloie de mae, il concerne la détermination de la mae conventionnelle d'un corp. Propaation de ditribution par la méthode de onte Carlo Compte tenu de limite et contrainte de la méthode LPU décrite dan le GU pour évaluer l incertitude de meure, une approche alternative a été développée. Cette approche connue ou le terme de méthode de onte Carlo (C) fait l objet du upplément 1 au GU à paraître prochainement. Il et important de noter que ce upplément ne vient pa remplacer la norme NF-ISO (GU) mai la compléter. Le principe de cette méthode n'et plu de propaer l incertitude via le modèle, mai la fonction de denité de probabilité (PDF) de randeur d'entrée afin d'obtenir la

2 PDF aociée au meurande. La PDF de chaque randeur d entrée étant connue, la PDF du meurande Y peut être analytiquement obtenue par la formule de arkov. En pratique, mi à part pour de modèle trè imple, l'intérale multiple ne peut pa être évaluée analytiquement. Aini le upplément 1 au GU fournit une méthode numérique qui met en application la propaation de ditribution en utiliant une méthode de onte Carlo (C). Cette approche alternative peut e réumer étape par étape, voir la fiure 1, elon le proceu uivant : 1. Définir le meurande, le proceu de meure, le facteur d influence et epliciter le modèle mathématique. Cette étape, eentielle, et en fait commune à toute le méthode d évaluation de l incertitude.. Aocier à chaque randeur d entrée une ditribution (normale, rectanulaire, etc.) ou une ditribution conjointe dan le ca de variable corrélée. Ce choi doit être fait en tenant compte de l information diponible et elon le principe du maimum d entropie. C'et-à-dire choiir la PDF qui maimie l entropie S: S[ ] = ( ξ ) ln ( ξ ) dξ 3. Générer réaliation de chaque randeur d entrée par tirae dan leur PDF. Pour effectuer ce imulation, il et néceaire de dipoer d un énérateur de nombre peudo aléatoire uffiamment performant (il doit paer un certain nombre de tet). Le upplément 1 au GU préconie de procéder à = 10 6 tirae. 4. Calculer via le modèle mathématique le valeur obtenue de la randeur de ortie, ce qui permet de contruire la ditribution empirique du meurande. 5. Synthétier l information obtenue ur le meurande en retituant : a. L epérance mathématique b. L écart type c. L intervalle le plu court au niveau de probabilité pécifié (ouvent 95%) Étape 1 Y=f( 1,, 3 ) Étape Étape 3 Pa N 1 Pa N Pa N f 678 Y y 1 y y Étape 4 Étape 5 ~ y ; u ( ~ y ) [y low ;y hih ] Fiure 1 Le différente étape de la méthode de onte Carlo La méthode dévaluation de l incertitude par propaation de ditribution aini décrite préente pluieur avantae par rapport à l approche traditionnelle baée ur la loi de propaation de l incertitude : - plu aucun calcul de dérivée partielle n et néceaire - plu de limite de validité de la méthode liée à la non linéarité du modèle et/ou de incertitude " forte " ur le randeur d entrée. - plu aucune difficulté liée au choi du facteur d élariement. De plu elon le upplément 1 du GU (ub ), le cadre de validité de la C et plu lare que celui de la méthode LPU. Par conéquent, il et recommandé d utilier le réultat de C pour valider ceu obtenu par la méthode LPU. Une procédure de validation imple et décrite dan le upplément. Tout d abord il et néceaire de déterminer la tolérance δ aociée au réultat z calculé. Celui-ci et eprimé ou la forme z = c.10 l où c et la valeur du dernier diit, n di, jué inificatif pour z. Alor, on écrira : δ = 0,5.10 l. Prenon l eemple de l etimation de l incertitude u(y) d une mae où eul un chiffre inificatif et retenu. Ceci inifie que, n di = 1, u(y) = 0,0006, c'et-à-dire c = 6 et l = -4. La tolérance vaut alor : δ = 0, La econde étape du proceu de validation revient à comparer le incertitude élarie obtenue par chacune de méthode. On forme le différence : d = y y low lowlpu lowc d hih = yhihlpu yhihc Si ce différence ont toute le deu inférieure à la tolérance préalablement déterminée, alor le réultat obtenu par la méthode LPU auront été validé. Dan le ca contraire, il faudra en tenir au réultat obtenu par la méthode C.

3 Application dan le domaine de eai Le CETIAT, Centre technique de Indutrie Aéraulique et Thermique, réalie de eai de performance thermique de compoant (chaudière, climatieur, etc.). Un proceu de meure fréquent et la détermination de la puiance thermique d'un compoant. Celle-ci et déterminée par un enemble de meurae (température d'entrée, température de ortie, débit) et de calcul (enthalpie, puiance). Decription du proceu de meure Le montae epérimental mi en œuvre lor de la détermination de la puiance thermique récupérée au circuit econdaire d'un échaneur de chaleur et repréenté fiure. débitmètre T échaneur de chaleur Fiure - Dipoitif de meure de la puiance thermique La puiance thermique et le produit de la valeur du débit maique d'eau circulant dan l'échaneur par la différence d'enthalpie maique meurée au borne de ce dernier, elon la relation : [ h T ) h( T )] P = qm ( e avec q m : débit maique d'eau dan l'échaneur, en k. -1 T : température de l'eau en ortie d'échaneur, en C T e : température de l'eau en entrée d'échaneur, en C h (T ) : enthalpie de l'eau à la température T, en kj.k -1 Le débit et déterminé par un débitmètre maique à effet Corioli dont le caractéritique métroloique ont uivie par un étalonnae périodique. Le température d'eau en entrée et en ortie de l'échaneur ont meurée à l'aide de Pt100, étalonnée réulièrement. Le ource d'erreur aociée au meure ont liée au caractéritique métroloique de l'intrumentation (jutee, répétabilité) et au condition de mie en œuvre (tabilité, influence de condition d'environnement, homoénéité de la température dan la ection, etc.). L'enthalpie et calculée à partir de la température, par une formule de liae qui préente une erreur de liae liée à la jutee de valeur de référence et à la qualité de l'interpolation. Elle et mie ou la forme h ( T) = h( T ) + α, où α repréente la correction de liae, nulle en moyenne et aortie d'une incertitude. Application de la loi de propaation En l'abence de corrélation entre le etimation de variable, l'application de la loi de propaation de l incertitude conduit à l'équation : T P uc ( P) = q m P + α ( q m P ( α ) + t e P ) + t ( T ) P ( Te ) + α e ( α ) En pratique, ce calcul et directement prorammé dan le loiciel de traitement de réultat pécifique au plateforme d'eai, dan un onlet Ecel. Le information relative au incertitude-type de type B ont mie à jour en fonction de information iue du loiciel de etion de parc tandi que le incertitude de type A ont calculée à partir de meure de chaque eai. Application de la méthode de onte Carlo L'application de la méthode de onte Carlo demande un calculateur pécifique permettant d'obtenir de tirae aléatoire en nombre uffiant (>10 6 ), avec un énérateur dont la période et upérieure au nombre de tirae. Le calcul et réalié dan un loiciel pécifique (BOOST), préalablement validé par application de eemple préenté dan le upplément 1 du GU. Ce loiciel et indépendant du loiciel de traitement de réultat ur le plate-forme d'eai. Le loiciel BOOST permet de définir un module pour chaque randeur du modèle (température d'entrée, température de ortie, débit, etc.) pui de le aembler en un métamodule "puiance". Pour chaque randeur, l'utiliateur écrit le modèle de manière eplicite, en lanae C, via une interface de aiie. Enfin, il choiit la valeur numérique de chaque terme du modèle, on incertitude aociée et la fonction de probabilité. Le coefficient de enibilité du modèle du proceu de meure par rapport à chacune de e variable peuvent enuite être etimé (au ine prè) elon la méthode décrite en annee B du upplément 1 du GU, en effectuant de imulation où le valeur de autre paramètre ont fiée. Comparaion de deu méthode La méthode de onte Carlo et utiliée dan le but de conforter le hypothèe d'application de la loi de propaation de incertitude au proceu de meure conidéré. La comparaion de deu méthode de calcul ne peut être réaliée que par de calcul utiliant le même valeur d'entrée (eemple en tableau 1) et le même hypothèe ur le fonction de denité de variable. Le calcul a été réalié pour un nombre fini de ca, correpondant au ituation le plu fréquente rencontrée lor de eai, Il montre que le valeur d'incertitude obtenue par le deu méthode ont concordante. En effet, le écart obervé entre le deu méthode ont conforme au critère de validité propoé dan le upplément 1 du GU et ont minime devant la enibilité du calcul au variation d'une variable d'entrée. La denité de probabilité de la puiance thermique P et repréentée ur la fiure 3 pour 10 6 tirae aléatoire e

4 correpondant au valeur du tableau 1. La courbe auienne de même écart-type, repréentée par un trait noir, e uperpoe avec l'hitoramme, montrant que l hypothèe de conidérer la PDF de la puiance P comme auienne et acceptable. Fiure 3 - PDF de la puiance P Tableau 1 - Eemple de réultat comparé pour un jeu de donnée d entrée Loi de propaation Grandeur Valeur Unité Incertitude-type Coefficient de enibilité Incertitude-type onte Carlo Coefficient de enibilité Débit maique q m 804,6 k/h,965, ,9595, Enthalpie en entrée h(t e) 51,39 kj/k 0,091, ,171, Enthalpie en ortie h(t ) 334,57 kj/k 0,098, ,18, Unité Valeur Incertitude élarie (k=) Valeur Incertitude élarie (k=) Puiance P kw 18,59 0,19 18,59 0,0 Concluion En pratique, la loi de propaation de l incertitude et utiliée en routine, pour obtenir un réultat dè l'acquiition de donnée, dan le loiciel de dépouillement de eai. Ce calcul et validé par la comparaion avec l'application de la méthode de onte Carlo. Cependant, au-delà du choi du critère de validité, une de limite de la validation et a repréentativité par rapport au domaine de variation de variable du modèle et de incertitude-type aociée à chaque compoante. En effet, l'application de la méthode de onte Carlo pour la validation de l'application de la loi de propaation en une valeur unique n'et pa uffiante. Pour une validation qui e veut complète, il convient de mener un nombre minimal de imulation, en eplorant deu dimenion pour chaque variable du modèle : l'étendue de meure d'une part et le valeur d'incertitude-type d'autre part. Le problème à traiter devient multidimenionnel. Le temp de calcul étant un paramètre non nélieable, il convient de traiter ce ca par l'application de plan d'epérience pour eplorer toute la urface de répone et la comparer à la urface de répone de l'application de la loi de propaation. Au-delà de la maîtrie de élément de métroloie permettant de réalier le bilan de incertitude, cette validation eie alor la maîtrie de plan d'epérience, couplée à la maîtrie de la imulation numérique. Application en métroloie L application que nou préenton et iue de travau de l unité technique ae du centre de métroloie cientifique et indutrielle du LNE. Il ait de l étalonnae en mae conventionnelle d un étalon de clae F1 à partir d un étalon de clae E [4]. Cet étalonnae a pour particularité de prendre en compte la correction de pouée de l air. L eemple préenté dan cette étude et trè proche de celui développé dan la partie 9 du upplément 1 au GU. eurande et proceu de meure L étalonnae a pour objet la détermination de la mae conventionnelle de la mae. Le meurande et donc la mae conventionnelle C, d une mae. Cette mae conventionnelle d'un corp et éale à la mae d'un étalon de mae volumique 8000 k.m -3 qui équilibre ce corp dan un air de mae volumique 1, k.m -3, l'opération étant effectuée à 0 C et le paramètre étant défini à cette température. L'étalonnae d'un étalon de mae () conite à déterminer a mae par comparaion à la mae (E) d'un étalon de mae. Cette comparaion et faite à l'aide d'un comparateur de mae elon un chéma de ubtitution de type BORDA doublé.

5 odèle mathématique et randeur d entrée La valeur (C ) de la mae conventionnelle et donnée par la relation uivante: ( a a0)( q r) C = CEét + CEp + + δ + R + ( CEét + C ( q a0)( r a) Avec le ymbole uivant : Ep ) R q r a a o : réolution du comparateur (pa de quantification de indication) : mae volumique de l étalon E : mae volumique de la mae : mae volumique de l air lor de la comparaion : valeur conventionnelle de la mae volumique de l air = 1, k.m -3 C C Eét C Ep δ : mae conventionnelle de la mae : étalonnae de l étalon E : pérennité de l étalon E : répétabilité de réultat de la comparaion : erreur de jutee du comparateur pour la différence d indication ( ) entre et E Le ditribution aociée au randeur d entrée et le paramètre de ce ditribution ont réumé dan le tableau. Tableau - Ditribution de randeur d'entrée i Ditribution Paramètre Epérance µ Ecart type σ C Et N(µ, σ ) ,150 m 0,05 m Epérance = (a + b)/ Demi-étendue (b a)/ C Ep R(a, b) 0 4, m q N(µ, σ ) k/m 3 15 k/m 3 r N(µ, σ ) k/m k/m 3 R T(a,b) 0 0,01 m δ R(a, b) 0 1, m N(µ, σ ) 0,3 m 0,018 m a N(µ, σ ) 1,16 k/m 3 0,058 k/m 3 a 0 contante 1, k/m 3 N(µ, σ ) inifie loi auienne de moyenne µ et d écart type σ R(a, b) inifie loi rectanulaire ur le ement [a,b] T(a,b) inifie loi trianulaire iocèle ur le ement [a,b] Propaation et réultat Une foi définie le loi aociée au randeur d entrée, on effectue de imulation de onte Carlo pour obtenir la ditribution empirique de la randeur de ortie. On a procédé à.10 5 tirae, nombre uffiant dan cette application pour aurer la converence de réultat (l epérance mathématique, l écart type et l intervalle à 95%). Dan le ca de la méthode LPU, un coefficient d élariement éal à a été choii pour calculer l incertitude élarie. C et donc ur cette bae qu ont été calculé le intervalle du tableau 3. Dan ce même tableau et préenté l enemble de réultat obtenu par le deu méthode. Afin de comparer le deu méthode, C et LPU, nou avon utilié le critère objectif de validation défini dan []. Nou avon conidéré, aprè dicuion avec le métroloue, que eul le premier chiffre non nul de l incertitude-type ur la mae conventionnelle était inificatif. Par conéquent nou en avon déduit la valeur de la tolérance δ aociée. Pui nou avon comparé cette valeur au ditance d low et d hih entre le intervalle élari obtenu par le deu méthode. Si l on e limite à un développement au premier ordre de la formule de propaation de l incertitude (LPU1), le réultat ne ont pa validé. Par contre i l on prend en compte le terme d ordre upérieur et que l on utilie la formule de propaation de l incertitude à l ordre, le nouveau réultat obtenu (LPU) ont eu bien validé par la méthode de onte Carlo. Cet eemple permet aini d illutrer l une de principale limite de la méthode LPU ; à avoir que lorque le modèle mathématique n et pa linéaire, l approimation d un développement à l ordre 1 peut e révéler trop roière et conduire à de réultat erroné. Dan le ca préent, il apparaît donc néceaire, pour obtenir de réultat correct, de développer la formule de propaation à l ordre (qui néceite de fatidieu calcul de dérivée partielle) ou d utilier la méthode de onte Carlo.

6 éthode C Tableau 3 - Comparaion de réultat de méthode LPU et C u(c ) Plu petit intervalle de confiance à 95 % d low d hih LPU validé? (δ = ) LPU1 100, , [100, ; 100,000541] 1, , Non C 100, , [100, ; 100,000559] LPU 100, , [100, ; 100,000559],5.10-6, Oui Concluion Nou avon rappelé uccinctement le rand principe de l évaluation de incertitude de meure et évoqué certaine limite et difficulté rencontrée lor de l utiliation de la méthode de la loi de propaation de incertitude. Le upplément 1 au GU fournit quant à lui une méthode alternative baée ur la propaation de ditribution utiliant de imulation de onte Carlo. Nou avon préenté le principale étape de cette méthode aini que certain de e avantae. Un eemple d évaluation de l incertitude ur une meure de puiance thermique a été epoé et nou a permi de voir que la méthode numérique de onte Carlo peut venir valider le réultat obtenu par la loi de propaation. Nou avon enuite préenté un eemple d évaluation de l incertitude en métroloie de mae pour lequel on obtient de réultat différent entre le deu méthode. Nou avon aini pu illutrer la néceité d utilier la méthode onte Carlo lorqu une ou pluieur condition d application de la loi de propaation de l incertitude ne ont plu réunie. Remerciement Le auteur tiennent à remercier Gérald Perrin, auteur du loiciel BOOST, pour a contribution à l'étude. Référence [1] BIP, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP and OIL, Guide to the Epreion of Uncertainty in eaurement, nd ed., ISBN , [] BIP, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP and OIL, Evaluation of meaurement data Supplement 1 to the Guide to the Epreion of Uncertainty in eaurement-propaation of ditribution uin a onte Carlo method, draft. [3] Bédiat N., "éthode numérique de propaation de incertitude de meure (éthode de onte Carlo)", NTV 06/0, Note Technique interne CETIAT, 006, 19 pae. [4] Goet A., "Comparaion de mae étalon par ubtitution. Formule et incertitude", Note Technique 0 interne LNE\CSI

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