Valeur acquise, taux d intérêt et capital placé à intérêts simples

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1 Les intérêts simples et les intérêts composés THÈME 1 Exercice 1 Valeur acquise, taux d intérêt et capital placé à intérêts simples 1. Un capital (C) de est placé du 13/03/N au 15/05/N au taux d intérêt annuel de 3 %. Calculer la valeur acquise. 2. Un capital (C) de est placé pendant 63 jours. Sa valeur acquise au terme du placement est de Quel est le taux d intérêt annuel? 3. Un capital (C) est placé pendant 6 mois au taux annuel de 5 %. La valeur acquise (VA) est de Calculer le montant du capital placé. 1 Valeur acquise Durée du placement = (31 13) = 63 jours Intérêts = % 63 / 360 = 52,50 VA = ,50 = ,50 2 Taux d intérêt VA = = ( i 63 / 360) = i i = ( ) / = 5,71 % 3 Capital placé VA = = C + (C 5 % 6 / 12) = C + 0,025 C = 1,025 C C = / 1,025 = 6 000

2 G 8 Exercice 2 LES CARRÉS DU DCG 6 EXERCICES DE FINANCE D ENTREPRISE Valeur actuelle et valeur acquise à intérêts composés La société ABC désire investir dans une start-up dans 1 an, dans 2 ans et dans 3 ans. Le taux d intérêt annuel est de 3 %. 1. Quelle est la valeur actuelle de cette opération? 2. Quelle est la valeur future de cette opération dans 3 ans? 1 Valeur actuelle de l opération Va = (1,03) (1,03) (1,03) 3 = Valeur future de l opération VA = (1,03) 3 = Exercice 3 Valeur actuelle d une suite d annuités constantes Quelle est la valeur actuelle de versés en fin d année pendant 10 ans au taux d intérêt annuel de 4 %? Valeur actuelle d une suite d annuités constantes Va = [1 (1,04) 10 / 0,04] = Exercice 4 Valeur acquise d une suite d annuités constantes Une entreprise place le 31/12 de chaque année au cours des années N à N+9 incluses au taux d intérêt annuel de 3 %. Les intérêts continuent à courir après cette date. 1. De combien disposera l entreprise juste après le dernier versement? 2. De combien disposera l entreprise le 01/01/N+13?

3 THÈME 1 Les intérêts simples et les intérêts composés G 9 1 Valeur acquise d une suite d annuités constantes VA = [(1,03) 10 1] / 0,03 = ,79 2 Valeur acquise le 01/01/N+13 VA = ,79 (1,03) 3 = ,90 Exercice 5 Valeur acquise à intérêts composés, durée du placement et taux d intérêt 1. Une entreprise place le 31/12/N une somme de sur un compte rémunéré au taux d intérêt annuel de 3 %. Quel est le montant du capital dont elle disposera le 01/01/N+6? 2. À quelle date le capital sera-t-il de ? 3. Quel est le taux d intérêt pour un capital de pendant 5 ans permettant d obtenir une valeur acquise de ? 1 Valeur acquise VA = (1,03) 5 = ,74 2 Durée du placement VA = = (1,03) n n = ln 1,5 / ln 1,03 = 13,72 années, soit 13 ans et 8 mois et demi environ 3 Taux d intérêt VA = = (1 + i) / = 1,5 = (1 + i) 5 i = (1,5) 1/5 1= 8,45 %

4 G 10 Exercice 6 LES CARRÉS DU DCG 6 EXERCICES DE FINANCE D ENTREPRISE Taux d intérêt équivalent, valeur acquise par une suite d annuités constantes Une entreprise réalise un placement de le 01 de chaque mois de N à N+10. Le premier versement a lieu le 01/01/N et le dernier versement le 01/12/N+10. Le taux d intérêt annuel est de 5 %. 1. Quelle est la valeur acquise le 01/12/N+10? 2. Quelle est la valeur acquise 2 ans après? 1 Valeur acquise le 01/12/N+10 Taux mensuel équivalent : im = (1,05) 1/12 1 = 0,4074 % Durée du placement du 01/01/N au 01/12/N+10 = 132 mois Valeur acquise (VA) = [(1,004074) 132 1] / 0, = ,36 2 Valeur acquise 2 ans après VA = ,36 (1,05) 2 = ,48 Exercice 7 Taux d intérêt proportionnel et capital restant dû L entreprise EHG décide de refinancer son crédit. Le montant actuel de ses mensualités est de L emprunt a été contracté il y a 3 ans et 9 mois. Sa durée initiale est de 15 ans. Le taux annuel proportionnel est de 6 %. 1. Quel est le taux d intérêt mensuel proportionnel? 2. Quelle somme doit verser l entreprise aujourd hui pour rembourser son crédit? 1 Taux mensuel proportionnel im = 6 % / 12 = 0,5 % 2 Capital restant dû Durée restante = (15 12) [(3 12) + 9] = 135 mois V135 = [1 (1,005) 135 ] / 0,005 =

5 Les marchés financiers et le risque d un portefeuille de titres THÈME 2 Exercice 8 Marchés effi cients Définir la notion de marché efficient et ses principales limites. Marché efficient et ses limites Un marché est efficient si les conditions suivantes sont réunies : rationalité des opérateurs, libre circulation des informations, réaction instantanée des opérateurs, gratuité de l information, absence de coûts de transaction et d impôts, atomicité des opérateurs, liquidité. Si les anticipations des investisseurs sont rationnelles, les prix reflètent à tout moment la meilleure estimation possible de la vraie valeur de l actif, dite «valeur fondamentale». Toutefois, la rationalité des investisseurs et l arbitrage sont remis en cause au travers d études qui montrent l existence de phénomènes inefficients qualifiés d «anomalies boursières» (effets calendaires, effets de taille, effets météorologiques, bulles spéculatives et krach boursier). Exercice 9 Rentabilité et risque associés aux actions en avenir certain Extrait d examen actualisé La SA SPIRA a placé une partie de ses liquidités dans des actions ALVEO. Le directeur financier ayant repéré l action ROCCA dans des revues spécialisées, désire analyser les caractéristiques de cette action. Au cours des trois derniers mois, la rentabilité de l action ROCCA a évolué de la façon suivante : Éléments Octobre Novembre Décembre Rentabilité 22 % 8 % 12,6 %

6 G 12 LES CARRÉS DU DCG 6 EXERCICES DE FINANCE D ENTREPRISE 1. Préciser à quels risques est soumise une action cotée sur le marché financier. 2. Calculer la rentabilité moyenne et le risque associés à l action ROCCA. 3. Indiquer l intérêt de constituer un portefeuille comportant des titres ALVEO et ROCCA. 4. Quel est l intérêt du PER (Price Earning ratio)? 5. Calculer le PER de l action ROCCA sachant que la société ROCCA a annoncé un bénéfice net par action de 2,90 et que le cours de l action est de Risques d une action cotée Le risque d un portefeuille s analyse en risque de marché et en risque spécifique : le risque spécifique, ou risque non systématique, est lié à l entreprise cible. Il est fonction de l image de marque de l entreprise, de sa gestion, de la qualité des produits et du capital humain, etc. Il peut être maîtrisé par l investisseur par le biais de la diversification des titres composant le portefeuille de l investisseur. Si les taux de rentabilité sont corrélés négativement, la diversification élimine le risque sans pour autant réduire la rentabilité. En revanche, si les taux de rentabilité sont corrélés positivement, la diversification ne modifie pas le risque ; le risque de marché, ou risque systématique, est lié à la conjoncture. Le cours d une action suit en principe l évolution du marché. Il est fonction de paramètres non maîtrisables par l investisseur et ne peut pas être éliminé par la diversification. 2 Rentabilité moyenne et risque associé Éléments Ra Ra 2 Octobre Novembre Décembre 22 % 8 % 12,6 % 4,84 % 0,64 % 1,5876 % Total 42,6 % 7,0676 % Nombre de termes = 3 Rentabilité moyenne = 42,6 % / 3 = 14,2 % VAR(Ra) = (7,0676 % / 3) (14,2 %) 2 = 0,3395 % δ(ra) = 0,3395 % = 5,82 %

7 THÈME 2 Les marchés financiers et le risque d un portefeuille de titres 3 Intérêt de constituer un portefeuille composé de plusieurs actions L intérêt de disposer d un portefeuille composé de plusieurs actions (diversification) est de répartir les investissements entre plusieurs actions plutôt que de les concentrer sur une seule action, permettant ainsi de réduire le risque sans diminuer la rentabilité. 4 Intérêt du PER Le PER permet de repérer les actions surcotées et les actions sous-cotées du marché et de prendre les décisions d achats ou de ventes qui s imposent. 5 Calcul du PER PER = Cours de l action / Bénéfice net par action = 20 / 2,9 = 6,89. G 13 Exercice 10 Rentabilité et risques associés aux actions en avenir aléatoire L entreprise HIM détient un portefeuille composé de deux actions A et B dont les caractéristiques sont les suivantes : pi Ra Rb 0,1 30 % 25 % 0,5 20 % 15 % 0,4 30 % 20 % 1. Calculer la rentabilité et le risque associé à chacune des actions. Conclure. 2. Calculer l espérance mathématique et l écart-type des titres sachant que la proportion des titres a et b est respectivement de 60 % et 40 %. 1 Espérance mathématique et Écart-type de chaque titre Pi Pi Pi [Ra E(Ra)] pi Ra Rb Pi Ra Pi Rb Pi (Ra) 2 Pi(Rb) 2 [Ra E(Ra)] 2 [Rb E(Rb)] 2 [Rb E(Rb)] 0,1 0,5 0,4 40 % 20 % 25 % 25 % 15 % 20 % 4 % 10 % 10 % 2,5 % 7,5 % 8 % 1,6 % 2 % 2,5 % 0,625 % 1,125 % 1,6 % 1,024 % 0,72 % 1,156 % 0,361 % 0,405 % 0,784 % 60,8 % 54 % 95,2 % 24 % 18 % 6,1 % 3,35 % 2,9 % 1,55 % 210 %

8 G 14 Nombre de termes = 3 E(Ra) = 24 % / 3 = 8 % E(Rb) = 18 % / 3 = 6 % VAR(Ra) = (6,1 % / 3) (8 %) 2 = 1,39 % (Ra) = 1,39 % = 11,79 % VAR(Rb) = (3,35 % / 3) (6 %) 2 = 0,757 % (Rb) = 0,757 % = 8,69 % LES CARRÉS DU DCG 6 EXERCICES DE FINANCE D ENTREPRISE L action A est plus rentable que l action B car son espérance mathématique est plus élevée. L action B est moins risquée que A car son écart-type est plus faible. 2 Espérance mathématique et écart-type des titres (A,B) E(Ra,Rb) = (0,60 8 %) + (0,40 6 %) = 7,2 % VAR(Ra,Rb) = [(0,60) 2 8 %] + [(0,40) 2 6 %] + (2 0,60 0, %) = 104,64 % (Ra,Rb) = 1,0464 = 1,023

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