Statistiques. I- Séries Statistiques Doubles : Exemple : Le tableau suivant donne le poids en Kg et la taille en cm d un groupe de 10 enfants :

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1 Habb ammar Statstques I- Séres Statstques Doubles : Exemple : Le tableau suvant donne le pods en Kg et la talle en cm d un groupe de 0 enfants : P T Le couple (P,T ) = (,90) veut dre que l enfant N pèse Kg et mesure 90 cm. On a donc une populaton de 0 enfants sur laquelle on a observé smultanément les deux varables P et T. Défnton : On dt qu un couple (X,Y) de varables statstques défnes une sére double s les deux varables X et Y sont observés smultanément sur une même populaton. La moyenne arthmétque des pods est : P =. La moyenne arthmétque des Talles est : T =. Placer dans un repère orthogonal l ensemble des ponts M (P,T ) : Talle O Pods Défnton : Sot une sére statstque défne par deux varables X et Y. On désgne par x, x,..., x n les valeurs de X et par y, y,..., y n celles de Y. Le plan étant rapporté à un repère orthogonal. L ensemble des ponts M (x, y ) ; {,,...,n } Le pont (x, y) est appelé pont moyen du nuage. est appelé Nuage De Ponts Statstques /7

2 Habb ammar Statstques Dstrbutons margnales : Sot le tableau statstque suvant : X : note en mathématques ; Y : nombre de frères et sœurs. N = 00 Y X Totaux [0,4[ 0 0 [4,8[ [8,[ [,6[ [6,0[ 3 0 Totaux 8 00 Les totaux nscrts en marge de chaque tableau à double entrée défnssent deux dstrbutons margnales, l une assocée à la premère varable statstque et l autre assocée à la deuxème varable statstque. X : Note en Maths [0,4[ [4,8[ [8,[ [,6[ [6,0[ Total 7 n j j = Dstrbuton margnale de X Y : nombre de frères et soeurs Total Effectf n 8 00 j Dstrbuton margnale de Y Calcul de la moyenne ( X ) ; la varance ( V(X) ) et l écart-type ( σ (X) ) p xn = ( ) + (6 0) + (0 40) + (4 ) + (8 0) X = = = N 00 p... x n = ( ) + (6 0) + (0 40) + (4 ) + (8 0) V(X) = X = X = N 00 σ (X) = V(X)... q yn = (0 ) + ( ) + ( ) + (3 9) + (4 ) + ( 4) + (6 8) Y = = = N 00 q... y n = (0 ) + ( ) + ( ) (6 8) V(Y) = Y = Y = N 00 σ (Y) = V(Y) Statstques /7

3 Habb ammar Statstques II- Ajustement affne d une sére statstque double : Lorsque le nuage des ponts, représentant graphquement une sére statstque à deux caractères X et Y, a une forme allongée, on peut approcher la relaton entre les deux varables X et Y par une relaton affne défne par : Y = ax + b ou X = a 'Y + b'. On appelle ajustement affne toute méthode permettant la détermnaton d une telle relaton. ) Méthode de Mayer : La méthode de Mayer consste à : Partager le nuage de ponts en deux partes P et P stuées de part et d autre par rapport à une drote parallèle à l axe des ordonnées et contenant à peu prés le même nombre de ponts. Détermner les ponts moyens respectfs et des partes P et P. La drote ( ) est alors la drote d ajustement affne du nuage de ponts représentant la sére. La drote ( ) est appelée drote de Mayer et passe par le pont moyen du nuage global. Exemple : Le tableau c-dessous présente la consommaton de fuel d une habtaton en foncton de la température. Température x en C Consommaton y de fuel /4h en L ) Compléter le nuage de ponts M(x, y ) dans le repère c-dessus. ) Fractonner le nuage de ponts en deux partes égales. 3) Calculer les coordonnées du pont moyen de la premère parte du nuage Statstques 3/7

4 Habb ammar Statstques ( ; ) 4 4 alors ( ; ) 4) Calculer les coordonnées du pont moyen de la deuxème parte du nuage. (... ;... ) ) Tracer la drote ( ). 6) Calculer les coordonnées du pont moyen du nuage. (... ;...) 7) Détermner l équaton rédute de la drote ( ). ( y = ax + b ). y a = =...,4 x y x b y... a x 30, 7 = = donc ( ) : y =... 8) A partr de l équaton de la drote, donner une estmaton de la consommaton de fuel pour une température de 0 C. 9) Détermner graphquement, à l ade de la drote d ajustement, la température pour une consommaton de L. 0) Retrouver le résultat précédent par le calcul à partr de l équaton de ( ). ) Méthode des Mondres carrés : On peut reconnaître la relaton affne éventuelle entre les deux varables X et Y à l ade d un moyen non graphque et en fasant ntervenr deux paramètres statstques à savor : la covarance et le coeffcent de corrélaton lnéare r. Covarance : Sot une sére statstque (X, Y) double défne par { x,..., x n } et { y,..., y n } observée sur une populaton de n ndvdus. On appelle covarance du couple (X, Y) le réel : n Cov(X,Y) = x y X Y = XY X Y n = Exemple : Sot la sére statstque double défne par le tableau suvant, Compléter le tableau : x x =... y y =... x y x y =... X =... Y =... XY =... = XY X Y = Statstques 4/7

5 Habb ammar Statstques Exercce : Calculer la covarance de la sére statstque double (X, Y) défne par : X =... x y Y =... XY =... = XY X Y = Coeffcent de corrélaton lnéare :... On appelle coeffcent de corrélaton lnéare le réel r défn par : Exercce : Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare r pour la sére statstque suvante : r = ; r [,] σ(x) σ(y) X =... Y =... XY =... V(X) =... V(Y) = = σ (X) =... σ (Y) =... r =... Théorème : x y X et Y deux varables statstques observées sur une populaton d effectf N. S 0,7 r alors l y a une relaton lnéare entre X et Y ; (Y = a X + b ; X = a 'Y + b ') représentées graphquement par deux drotes passant par (X, Y). Y = a X + b : Drote de régresson de Y en X avec X = a 'Y + b' :Drote de régresson de X en Y avec a = et b = Y ax. V(X) a ' = et b' = X a 'Y. V(Y) Statstques /7

6 Habb ammar Statstques Exercce : Sot la sére statstque suvante : Donner les résultats arrond à 4 0 près s nécessare. ) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare r. ) Exste-t-l une relaton de type affne entre X et Y. 3) Détermner une équaton de la drote de régresson de Y en X. 4) Pour x = 60 que peut-on prévor pour y?. Soluton : ) X = ( ) = 0 ; V( X) = = 0000 σ (X) = , 44 Y = 0,7 + +, +,6 +,3 =,36 ; V(Y) = 0,7 + +, +,6 +,3,36 0,3064 σ (Y) = 0,3064 0,3 XY = (00 0, 7) + (0 ) + ( 00, ) + (300, 6) + (00, 3) = 48 Cov( X, Y) = XY X Y = 48 0,36 = 78 Cov(X,Y) r = 0,996 σ(x) σ(y) ) r donc 0, 7 r alors l exste une relaton de type affne entre X et Y. 3) Equaton de la drote de régresson de Y en X : Y = ax + b avec x y 0,7,,6,3 a = = 0, 0039 et b = Y a X = 0,38 V(X) 4) S x = 60 alors y = 0, , 38 =, Statstques 6/7

7 Habb ammar Statstques Utlsaton de la calculatrce : ( Exemple pour une calculatrce Sharp ) Le tableau suvant donne la dstance de frenage d (en mètres) d une voture, en foncton de sa vtesse v ( en klomètres par heure ) v (km / h) d ( mètres) ) Calculer v, d, V(v), V(d), σ(v), σ (d), Cov(v,d) et le coeffcent de corrélaton lnéare entre v et d. ) Détermner une équaton de la drote de régresson de d en v ( d = a v + b ). Chosr le mode statstque double : ndf DR Entrer les données en tapant 30 STO 4 M+ 40 STO 60 M+ 0 STO 80 M+ 60 STO 90 M+ 70 STO 9 M+ 80 STO 0 M+ v : RCL 4 v = d : RCL 7 d = 79, V( v) : RCL 6 V(d) : RCL 9 x = V( v) = 9,66 x = V(d) =, σ (v) : RCL 6 σ(v) 7,07 σ (d) : RCL 9 σ(d),6 Cov( v, d) : RCL RCL 6 RCL 9 = Cov( v, d) = 379,66. r : RCL r 0,98 a : RCL ) a =,3 b : RCL ( b = 8 Donc : d =,3v Statstques 7/7