Labo B : Bernoulli. À préparer chez soi

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1 Labo B : Bernoulli À préparer chez soi 1. Expérimentalement on mesure la position d un objet à deux dates :!(!) et!(! +!"). Comment déduit-on la vitesse! moyenne entre! et! +!"? 2. Si les positions sont connues avec une incertitude!" et qu on peut négliger l incertitude sur!, quelle incertitude!" a-t-on sur la vitesse? 3. Le récipient ci-contre se vide par un orifice de diamètre!. Le jet sortant a une vitesse!. Par conservation du débit, quel est le lien entre dh/d! et!? 4. La formule de Torricelli donne la vitesse du jet :! = 2!h. Montrer que d!/d! est constant pendant la vidange. Pensez à apporter en séance de TP une clé USB pour conserver une copie de vos travaux. Il vous sera aussi possible de vous connecter à votre compte de l'upmc pour déposer vos fichiers. Objectifs Dès son invention, la photographie s est imposée comme un outil approprié pour l étude du mouvement. Ainsi, une série de photographies d un objet en mouvement permet d en mesurer sa position au cours du temps. C est cette démarche que nous adopterons au cours de ces expériences portant sur la mécanique des fluides. Nous chercherons à mesurer la vitesse du jet d eau qui sort d un réservoir qui se vide. Une première méthode consistera à filmer à l aide d une webcam la forme du jet d eau. Une deuxième portera sur l observation directe de la vidange du réservoir. Matériel utilisé Un récipient cylindrique muni d une évacuation à sa base. Une cellule en plexiglass. Elle permet de récupérer l eau issue du jet et la guider vers un bécher. La face arrière de la cellule porte un quadrillage qui permet de déterminer l'échelle des images. N'oubliez pas de remettre le bécher en place avant de commencer la vidange du récipient! Une webcam pilotée par le logiciel Cinéris permet l acquisition d une vidéo. Cinéris est aussi utilisé pour faire des mesures sur la vidéo. Une lampe de bureau. Un bon éclairage contribue à la qualité des images. Un tableur (Excel 1 ) sera utilisé pour l exploitation des données. Deux fichiers déjà mis en forme seront à remplir au cours de la séance. Avant toute manipulation : créer sur le disque D: (DATA), un dossier à votre nom où vous enregistrerez vos travaux. Faites dans ce dossier une copie des fichiers excel. 1 Si vous souhaitez continuer le travail chez vous et que vous n avez pas Excel, nous vous conseillons le logiciel libre «Gnumeric». Son fonctionnement est quasiment identique à celui d Excel et il peut ouvrir des fichiers xls. Open Office, qui ne sait pas tracer les barres d erreurs horizontales, ne permet pas de travailler sur nos fichiers. 1

2 A. Expérience préliminaire. Avant de faire l'acquisition de notre première vidéo, nous chercherons la fréquence d'acquisition la plus adaptée à notre étude. Remplissez le récipient jusqu'au niveau indiqué par le repère A. Chronométrez la durée de la vidange du récipient du repère A au repère B. Sachant que nous souhaitons faire entre 20 et 30 mesures au cours de cette vidange, quelle fréquence d'acquisition vous semble la plus adaptée? Vérifiez que le jet s écoule dans un plan parallèle à la face arrière de la cellule, à une distance d environ 1 cm. Rectifiez si besoin. B. Méthode balistique On peut montrer que la forme d'un jet d'eau soumis à la pesanteur, sortant d'un point O avec une vitesse!! a la même forme que la trajectoire (parabolique) d'un point matériel lancé du point O avec une vitesse initiale!!. Ainsi, connaissant les coordonnées (!,!) d'un point du jet, il est possible de retrouver la norme du vecteur vitesse de l'écoulement au point O. Placer la camera face à la cellule de manière à filmer le jet. L axe de visée de la caméra doit être bien horizontal et perpendiculaire à la cellule. Le quadrillage doit alors apparaître carré et non trapézoïdale (voir figure 1). Figure 1 : observation de la forme du jet. B.1. Estimation de l incertitude de pointage La suite des manipulations nous amènera à pointer à la souris des objets sur les images du film. Nous chercherons dans cette partie à évaluer l incertitude sur la position introduite par le protocole de pointage. Enregistrez un film d une vingtaine d images (le jet n est pas nécessaire) Avant les pointages, dans l onglet «Affichage» du traitement manuel, décochez la case «Affichage des points». Après avoir déterminé l origine et l échelle, pointez sur chaque image la position d un même point du quadrillage. Attention, il s agit d être honnête, vous devez bouger la souris entre chaque pointage. Coller vos mesures dans le fichier «IncertitudePointage.xls» Calculez : o les positions! et! moyennes, 2

3 o le carré de la distance de chaque mesure à la position moyenne o la distance quadratique moyenne! des points de mesure à la position moyenne. La page «Graphique» récapitule les différents pointages 2. La position moyenne est reportée et entourée d un cercle de rayon!. Par la suite, nous prendrons 2! comme valeur d incertitude des positions! et! d un pointage. Pour la feuille de résultats - Indiquez la valeur de! que vous avez trouvée. - Quelle proportion de vos pointages se trouve à une distance inférieure à! de la position moyenne? B.2. Détermination de la vitesse Remplissez le récipient jusqu au repère A. Faites l acquisition d une vidéo pendant la vidange jusqu au niveau du repère B. À chaque image du film, relevez la position d un point du jet. Remarque, la vitesse qui sera déduite de cette mesure sera d autant plus précise que le point mesuré est éloigné de l orifice. Reportez vos résultats dans la feuille «Jet» du fichier «Bernoulli.xls». Calculez!! (!) dans la colonne «v balistique». Connaissant les incertitudes sur les pointages!" et!", déterminez l incertitude sur la vitesse!!!. C. Conservation du débit Cette méthode consiste à observer la vidange du récipient, c'est-à-dire l'évolution de son niveau au cours du temps. La caméra doit donc être déplacée de manière à cadrer le récipient. Comme il est préférable que le phénomène observé prenne le plus grand champ possible sur l image, vous pourrez tourner la caméra de 90 afin d obtenir une image comparable à la figure 2. Figure 2 : Vu du récipient. La camera a été tournée de Pour éviter la superposition des points issus d un même pixel, un petit décalage aléatoire a été ajouté à la valeur reportée. 3

4 C.1. Estimation de l incertitude de pointage Comme nous avons changé la position de la caméra, et donc l échelle des images, il est nécessaire de procéder de nouveau à l estimation de l incertitude de pointage. Adoptez la même procédure qu au paragraphe B.1. C.2. Détermination de la vitesse par conservation du débit Remplissez le récipient jusqu au repère A. Faites l acquisition d une vidéo pendant la vidange jusqu au niveau du repère B. Prenez pour origine le point de l axe au niveau de l orifice. L échelle est donnée par la distance entre les repères A et B qui vaut 13 cm. Relevez le niveau au cours du temps et reporter vos valeurs dans la feuille «Vidange» du fichier «Bernoulli.xls». Calculez la vitesse de la surface libre, déduisez-en par conservation du débit la vitesse à la sortie de l'orifice (colonne «v conservation»). D après l incertitude sur le pointage, calculez l'incertitude sur cette vitesse. Données : diamètre du récipient :! = 73 ± 1 mm ; diamètre de l orifice :! = 4,4 ± 1 mm. D. Application de la formule de Torricelli La formule de Torricelli découle du théorème de Bernoulli. Elle dit que la vitesse!! d'un liquide sortant d'un orifice à une profondeur h sous la surface libre vaut :!! = 2!h. Cette formule traduit la conversion de l énergie potentielle, perdue en haut du réservoir, en énergie cinétique dans le jet. Toujours dans la feuille «Vidange», calculez la vitesse!! déduite de la relation de Torricelli (colonne «v Torricelli»). Déterminez l'incertitude correspondante. Un graphique (feuille «Graphique») présente les trois différentes vitesses en fonction du temps. E. Malheureusement, tout ne se passe pas comme dans les livres... Dans un écoulement réel, il existe des pertes d'énergie, en particulier au voisinage de l'orifice du récipient. Des tourbillons se forment dans le récipient au voisinage de l orifice. L énergie cinétique ne se retrouve alors pas intégralement dans le jet. En conséquence, la vitesse réelle du jet est empiriquement de la forme! =! 2!h, où! est un coefficient caractérisant la perte d'énergie. Déterminez! dans votre expérience. Pour la feuille de résultats - Copiez les trois graphiques qui ont été construits pendant la séances et collez les sur une page de document word. Imprimez cette page. 4

5 Annexe : utilisation du logiciel Cinéris À l ouverture du programme cinéris, on obtient la fenêtre suivante. La caméra se met en marche et une image en temps réel s affiche. Le logiciel sera utilisé pour trois étapes de notre étude : 1. L acquisition d une vidéo (onglet 1 «Acquisition») 2. La sélection de la partie utilisable de la vidéo (onglet 2 «Montage») 3. Le relevé de positions au cours du temps (onglet 3 «Traitement manuel») I. Acquisition d une vidéo Dans l environnement «Acquisition» (onglet 1), choisir l option «Vidéo lente». Choisissez l emplacement et le nom du fichier du fichier vidéo à créer (6&7). Choisissez la durée du film (8) et la fréquence d acquisition (9). Lancez l enregistrement en cliquant sur l icône en forme de caméra (10). 5

6 II. Sélection de la séquence à étudier Dans l environnement montage (onglet 2), le curseur et les touches d avancée et de recul (11) vous permettent de naviguer dans le film que vous venez d acquérir. Sélectionnez la partie utile de votre vidéo en en sélectionnant la première (12) et la dernière image (13). Sauvegardez la scène coupée (14). III. Pointage des positions au cours du temps Le pointage des positions des objets se fait dans l environnement «traitement manuel» (onglet 3). Pour la recherche de l incertitude du pointage, il est préférable de ne pas superposer les pointages aux images. Le choix du non-affichage des points se fait dans l onglet «affichage» (15) en décochant la case correspondante (16). Une fois les paramètres réglés, cliquez sur l'onglet «étalonnage» (17) pour commencer l'analyse de votre film. Avant tout pointage, le logiciel attendra de vous que vous lui donniez deux informations : l origine du repère et une échelle. Un premier clic sur l image permet de choisir l origine. Le dessin du repère se superpose à l image. 6

7 Tracez ensuite une ligne horizontale ou verticale entre deux points séparés d une distance connue. Le programme demande alors la distance entre ces points afin de définir l'échelle des images (sur cet exemple, le pas du quadrillage est de 10 cm). Le programme est maintenant prêt pour vos pointages. Commencez le pointage en cliquant sur l icône verte (18). Utilisez le réticule qui s affiche sur l image pour vos pointages, le programme passe automatiquement à l image suivante après chaque pointage. Si vous avez fait une erreur, les touches de navigation (11) vous permettent de revenir en arrière dans le film. Les nouveaux pointages remplacent alors les anciens. IV. Récupération des données À la fin de votre pointage cliquez sur l icône rouge (19). Vous trouverez le récapitulatif de vos valeurs sous l onglet «Tableau» (5). Un simple copier-coller permet le transfert des données vers Excel. 7

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