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1 durée : 2 heures Nom de l enseignant : M. Chassagnon NB : documents et calculatrices autorisées Les exercices, sont à faire sur le sujet d examen. Il est demandé de répondre aux questions oui/non type QCM, puis, d argumenter avec précision, chacune des réponses, dans les encadrés correspondants. Diverses actualisation Un agent économique a accès au marché financier où il peut, à chaque date, épargner ou emprunter pour un an au taux r. Le taux d intérêt est constant à toutes les dates.

2 ) Est-il vrai que cet agent, indépendamment de ses préférences, préfère 0 euros dans un an plutôt que 20 euros dans 2 ans lorsque r = 5%? OUI NONX La valeur actualisée de 20 euros dans 2 ans à la date t = et non à t = 0 est : 20/, 05 = 4, 29. Donc on en conclue que cet agent préfère 20 euros dans 2 ans. 2) Est-il vrai que cet agent, indépendamment de ses préférences, préfère 0 euros dans un an plutôt que 20 euros dans 2 ans lorsque r = 7, 5%? OUI NONX Même question. A un taux différent. 20/, 05 =, 63. Donc on en conclue que cet agent préfère 20 euros dans 2 ans. 3) Est-il vrai que cet agent, indépendamment de ses préférences, est indifférent entre 0 euros dans un an et 20 euros dans 2 ans lorsque r = /? OUI X NON + r = 2/, /( + r) = /2 la valeur actualisée de 20 euros dans 2 ans à la date t = et non à t = 0 est : 20 (/2) = 0. La réponse à la question est donc oui, l agent est indifférent. Plus précisément, c est le marché qui est indifférent entre ces deux flux, et il en ressort que l agent est indifférent à son tour. Remarque : / = 9, 09% 2 Annuités - que choisir Un agent économique a accès au marché financier où il peut, à chaque date, épargner ou emprunter pour un an au taux r = 3, 5%. A l issue d une assurance vie, cet agent se voit offrir deux modes de rémunération ; le mode A dans lequel il disposera d une rente de euros cinq années de suite, à partir de t = 0 ; le mode B dans lequel il dispose d une rente à vie annuelle de euro, à partir de t =. A = ( 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,... ) B = ( 0, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000,... ) 2

3 ) Que préfère cet agent, indépendamment de ses préférences? A X B L annuité A est valorisée V A = r ( + r) ( + r) ( + r) 4 = ( + ( = et lorsque + r =, 35 on trouve (en utilisant par exemple excel) la valeur V A = 65448, 84. L annuité B est valorisée V B = r ( + r) ( + r) ( + r) = r = r ( + et lorsque + r =, 35 on trouve (en utilisant par exemple excel) la valeur V B = 74074, 07. ) + r + + ( + r) 4 ) 5 ) + r + + ( + r) n +... = r 2) Existe-t il un taux pour lequel cet agent serait indifférent entre ces deux profils 4,85% de revenus? si oui, lequel? Il faut égaliser les deux équations précédentes, à savoir : ( ) = ( ) 5 r = + r r r On ne sait pas résoudre cette équation, mais, en reprenant la feuille excel précédente, on s aperçoit en tâtonnant qu on trouve une valeur de r comprise entre 4,8% et 4,9 qui assure l égalité des deux flux de revenus. 3) Toujours au taux de 3,5%, quelle est la VAN d un projet qui vous coûte euros aujourd hui (à t = 0) et qui vous rapporte une rente à vie de euros à partir de t = 0? V AN = ( + r) 0 = 878, 90 r 3

4 4) Quelle est le TRI d un projet qui vous coûte euros aujourd hui (à t = 0) et qui vous rapporte une rente à vie de euros à partir de t = 0? [le TRI c est le taux d intérêt qui rend ces deux flux de revenu équivalents.] On procède toujours par approximation dans la feuille excel, en modifiant le taux r avec lequel on fait les calculs. On trouve r [3, 76%, 3, 77%] 3 Les hypothèses qui valident les règles d actualisation Répondre aux trois questions suivantes sur le sujet d examen, puis développer sur le thème de la problématique posées, sur une copie d examen. ) L absence d opportunité d arbitrage est nécessaire pour rendre équivalent un flux financier futur à un flux financier aujourd hui suivant les règles de l arbitrage OUI X NON 2) un marché financier en équilibre requière l absence d opportunité d arbitrage OUI X NON 3) Le fait que le taux prêteur soit égal au taux emprunteur est-il nécessaire pour que soient valides des règles d actualisation. OUI X NON ) s il y avait un arbitrage possible, cela signifierait qu un même flux de revenu pourrait avoir plusieurs valeurs, ce qui est absolument contraire à l esprit de donner une valeur unique à un flux de revenus intertemporels 2) S il y a un arbitrage, alors les arbitragistes veulent en profiter au maximum, ce qui induit une mouvement des prix correspondants. Il ne peut pas y avoir d arbitrage dans un marché à l équilibre 3) Le fait que le taux prêteur soit égal au taux emprunteur est nécessaire pour que soient valides les règles d actualisation. En effet, si ce n était pas le cas, on pourrait trouver différentes manières d arriver à des mêmes flux qui conduiraient à des valeurs actualisées différentes. 4

5 4 Marché complet Répondre aux trois questions suivantes sur le sujet d examen, et montrer la justification de votre réponse et vos calculs formels (ainsi que les valeurs calculées) dans l encadré correspondant. On considère une économie dans laquelle il y a trois périodes et quatre dates t = 0, t =, t = 2 et t = 3. Un actif a qui délivre a à t =, a 2 à t = 2 et a 3 à t = 3 est noté (a, a 2, a 3 ). Le prix de cet actif, noté p a correspond à la valeur actualisée à t = 0 ) Les actifs A = (3, 6, 3), B = (4, 2, 0) et C = (5, 4, ) forment un système complet d actifs. OUI NONX Il est assez immédiat de voir que 3A + B = C. On en déduit que les trois actifs ne sont pas indépendants et qu ils ne peuvent pas former un système complet. Remarque : On aurait pu voir la même chose en calculant le déterminant de ces trois vecteurs (écrits ici sous forme de colonne). On trouve que = On rappelle que lorsque le déterminant est nul, les trois vecteurs sont indépendants, alors que lorsque le déterminant n est pas nul, les trois vecteurs sont libres. Le déterminant peut être calculé dans une feuille excel en utilisant la fonction determat. Ainsi, si j ai mis l actif A sous forme de colonne dans les cellules A, A2 et A3, l actif B sous forme de colonne dans les cellules B, B2 et B3 et l actif C sous forme de colonne dans les cellules C, C2 et C3, le déterminant est simplement la formule : = DET ERMAT (A : C3) où A : C3 désigne la plage des (neuf) cellules comprises entre A et C3. 5

6 2) Les actifs D = (,, ), E = (, 2, 3) et F = (6, 4, 2) ne forment pas un système complet d actifs. OUI NONX Ces trois actifs forment un système complet. En effet, si l on cherche à trouver la combinaison d, e, f de ces actifs qui engendrent l actif générique (x, y, z), on se doit de résoudre le système d + e + 6f = x d + 2e + 3f = y d + 3e + 2f = z d + e + 6f = x e + 3f = y x e f = z y f = e = d = Hint : on commence par simplifier les équations en les recombinant (c est la deuxième étape), et on travaille alors les équations 2 et 3 pour trouver les valeurs de f puis de e. On trouve enfin d en remplaçant dans la première équation Il est donc toujours possible de trouver une combinaison des trois actifs D, E, F qui réplique n importe quel actif. On en conclue que les trois actifs D, E, F forment un système complet. x + 2y z 4 x 2y + 3z 4 x 0y + 3z 4 3) Cocher parmi les triplets d actifs formés à partir des cinq actifs A, B, C, D, E, ceux qui forment un système complet [On admettra que BCE est complet alors que BDE ne l est pas] : ABC X ABD X ABE X ACD X ACE X ADE X BCD X BCE BDE X CDE Pour répondre dans le temps imparti dans l examen à ces six questions (deux étant déjà acquises), la seule méthode était d utiliser excel et de calculer les déterminants correspondants. On joint une feuille excel qui a servi à faire les calculs correspondants (les étudiants avaient tous excel à leur disposition, la salle d examen s étant passée dans la salle informatique) ; d où l on déduit 6

7 determinant (ABC) = 0 determinant (ABD) = 2 determinant (ABE) = -36 determinant (ACD) = -2 determinant (ACE) = -36 determinant (ADE) = -6 determinant (BCD) = 4 determinant (BCE) = 2 determinant (BDE) = 0 determinant (CDE) = -2 soit, que tous ces systèmes sont libres hormis les systèmes ABC et BDE. 4) Y a t il des arbitrages possibles si le prix des actifs B, C et E sont respectivement p B = p C = P E =? OUI X NON On rappelle que les trois actifs B, C et E forment un système complet d actif. Pour montrer qu à leur prix respectifs égal à ils n entrainent pas d arbitrage, il est nécessaire et suffisant de montrer que le prix des trois zéros coupons qu on peut déduire de ce système complet sont strictement positifs. En effet, il sera alors impossible de construire une stratégie financière de prix non positif qui conduise à un payoff positif à toutes les périodes. Il est donc indispensable de reprendre des calculs type question 2 pour savoir comment ces trois actifs forment un système complet et en cherchant à trouver la combinaison b, c, e de ces actifs qui engendrent l actif générique (x, y, z). on se doit de résoudre le système 4b + 5c + e = x 2b + 4c + 2e = y c + 3e = z 4b + 5c + e = x 3c + 3e = y x c + 3e = z c = x + y z 2 e = y x x + y z 3 2 d = x x + y z y x 3 7

8 On utilise ces résultats pour calculer les stratégies financières qui conduisent à avoir chacun des zéro coupons, et le prix qu ils auraient alors, puisque le marché est complet.. Pour le zéro coupon délivrant euro à la date, on trouve que la stratégie financière est c = /2, e = 5/6 et d = 3/2. Comme les prix des trois actifs C, E et D est fixé respectivement à, on en déduit que le prix de ce zéro coupon est donc β = /6 2. Pour le zéro coupon délivrant euro à la date 2, on trouve que la stratégie financière est c = /2, e = /6 et d = 5/6. Comme les prix des trois actifs C, E et D est fixé respectivement à, on en déduit que le prix de ce zéro coupon est donc β 2 = 7/6 3. Pour le zéro coupon délivrant euro à la date 3, on trouve que la stratégie financière est c = /2, e = /2 et d = /2. Comme les prix des trois actifs C, E et D est fixé respectivement à, on en déduit que le prix de ce zéro coupon est donc β 3 = /2 On voit que le prix de ce troisième zéro coupon est négatif, cad qu en achetant /2 unité de l actif E et en vendant respectivement /2 unités des actifs C et D, ce qui rapporte le revenu de /2 à la période 0, on obtient de manière sûre euro dans le troisième état de la nature, et rien dans les autres états : il y a donc des arbitrages possibles. 5) Y a t il des arbitrages possibles si le prix des actifs B, D et E sont respectivement p B = p D = et P E = 2, 5? OUI NONX On rappelle que les trois actifs B = (4, 2, 0), D = (,, ) et E = (, 2, 3) ne forment pas un système complet d actifs. Il est en effet assez immédiat de voir que 2 B + E = 3D On voit donc que le prix de D n est pas en contradiction avec les prix de B et de E. En effet, le prix du portefeuille qui réplique l actif D à savoir 2B + E est identique au prix de l actif D : 2 + 2, 5 = 3 8 Donc, s il y avait un arbitrage, il ne pourraît provenir que du système des actifs indépendants qui engendrent le marché, à savoir B = (4, 2, 0) au prix p B = et E = (, 2, 3) au prix p E = 2, 5.

9 Un stratégie d arbitrage, serait une stratégie de type bb + ee qui engendrerait des paiements positifs aux trois dates t =, t = 2 et t = 3 et dont le prix ne serait pas positif. Si une telle stratégie (cad deux nombres b et e) existaient, il faudrait qu ils vérifient le système (avec au moins l une de ces inéquations strictes) : 4b + e 0 2b + 2e 0 3e 0 b + 2, 5e 0 où les trois premières équations indiquent que les paiements aux trois périodes devraient être positifs ou nuls et la dernière équation indique que le prix de cette stratégie devrait être négatif. De la troisième équation, on déduit e 0, et donc de la dernière b 0. Une telle stratégie d arbitrage consisterait donc à vendre B à découvert et à acheter E. Il faut aller plus loin dans l analyse. En multipliant la quatrième équation par deux et la seconde équation par moins un (et donc en considérant à travers cette opération une inégalité opposée), on obtient en additionnant ces deux inéquations modifiées : (2b + 5e) (2b + 2e) 0 3e 0 e 0 Donc, pour avoir une stratégie d arbitrage, il faut à la fois que e 0 (troisième équation du système) et que e 0 dernière équation du système, autrement dit que e = 0. Mais on en déduit alors assez vite que b = 0, et que cette stratégie triviale n est pas une stratégie d arbitrage. CONCLUSION : il n y a pas de stratégie d arbitrage. 9

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