( ) DEVOIR NUMERO 1 CALCULATRICE NON AUTORISEE. EXERCICE 1 : Arithmétique. EXERCICE 2 : Identités remarquables. EXERCICE 3 : Fractions

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1 DEVOIRS CORRIGES

2 EXERCICE : Arithmétique DEVOIR NUMERO CALCULATRICE NON AUTORISEE a. Décomposer les nombres 75 et 575 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction : EXERCICE : Identités remarquables. a. Les réels a et b sont positifs. Développer ( a + b ) ( a b ) En déduire : ( a + b ) ( a b ) b. Développer et factoriser l expression : ( 8x ) + x( x+ ) ( x+ ) EXERCICE : Fractions 7 a. Simplifier l'écriture suivante: 5 :. 5 5 x x b. Simplifier l'écriture de l'expression x + x x + x+ EXERCICE : Puissances ( ) 70 5 x 0 a. Simplifier l'écriture suivante : : 5 5 x8. x5 5 b. Simplifier les nombres A, B et : A B. ( ) ; ( ) A = a b a b B = a b a b a b. EXERCICE 5 : Racines carrées a. Simplifier l écriture suivante : ( + ) ( + ) b. Ecrire sans radicaux au dénominateur : c. Les réels a et b sont positifs avec a>b. Montrer que a+ b+ ab + a+ b ab = a

3 EXERCICE : Arithmétique a. 75= x5 x 575= x5 x7 REPONSES b. 75 x5x 95 = = EXERCICE : Identités remarquables. c. ( a b ) ( a b ) + = Les deux expressions sont égales. a b.d où ( ) ( ) a + b a b = ab d. ( 8x ) + x( x+ ) ( x+ ) = x 5x+ = ( x+ )( 8x )

4 EXERCICE : Arithmétique DEVOIR NUMERO CALCULATRICE NON AUTORISEE a. Décomposer les nombres 5 et 0 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction : 0 5 EXERCICE : Identités remarquables. ( ) a b + b c + c a et a. Développer ( a+ b+ c) ab ac bc et ( ) ( ) ( ) comparer les résultats. b. Développer et factoriser l expression : ( x 9)( x+ 5) ( x+ 8)( x 7) EXERCICE : Fractions 6 a. Simplifier l'écriture suivante: 5:. 5 5 x x b. Simplifier l'écriture de l'expression x + x(x ) + x+ EXERCICE : Puissances 7 8 x 0 a. Simplifier l'écriture suivante : : x x5 b. Simplifier les nombres A, B et A B. ( ) ; ( ) A = ab a b B = a b a b a b. EXERCICE 5 : Racines carrées a. Simplifier l écriture suivante : ( + ) ( + ) b. Ecrire sans radicaux au dénominateur : + + c. Montrer que = 0

5 EXERCICE : Arithmétique a. 5= x x7 0= xx5x SOLUTIONS b = x x x xx5x = x5x = 0 EXERCICE : Identités remarquables. c. ( ) a+ b+ c ab ac bc = a + b + c ab ac bc (( ) ( ) ( ) ) a b + b c + c a = a + b + c ab ac bc. Les deux expressions sont égales. d. ( x 9)( x+ 5) ( x+ 8)( x 7) = x + x 98x 9= ( x 7)( x+ 7)( x+ ) EXERCICE : Fractions a : = : = b. x x + x x + = x+ = x(x ) + x + x+ x+ EXERCICE : Puissances a. 7 8 x 0 : x 5 0 = 9 x x5 6 = b. A = a b ; B = a b ; C = a b EXERCICE 5 : Racines carrées a. ( + ) ( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) = ( + ) = + 8 b. + = + + = + c = car ( ) En effet : ( ) = = ( )( ) ( ) = = 6+ 5 = = 6+ = 0

6 DEVOIR NUMERO EXERCICE a. Comparer les expressions : o a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) o ( a+ b+ c)( c b)( b a)( a c) b. On note a et b deux réels strictement positifs et distincts Simplifier l écriture de b a - a b A= b- a c. Soit a et b deux réels tels que : a b et X = a+ a b + a a b. Montrer que le nombre X existe (facultatif. Pour ceux qui veulent faire S). Calculer X. En déduire la valeur exacte de X. d. Soit b le nombre : b= Montrer que: + b =0b -. e. Soit c le nombre égal à : + 5 c=. Montrer que c= - +c EXERCICE Résoudre les équations et inéquations suivantes +x a. - = - x x+ - x b. Vérifier que : a - b = (a - b)(a + ab + b ). Appliquer la formule précédente pour factoriser: l expression: (x - 8)- (x - )- (x - ) En déduire les solutions de l équation: (x - 8)- (x - )- (x - ) = 0 EXERCICE J'ai trois l'age que vous aviez quand j'avais l'age que vous avez. Quand vous aurez l'age que j'ai, nous aurons 0 ans à nous deux Trouvez mon age? EXERCICE a. Le prix initial d un article est p Il augmente de 5 %. Quel pourcentage de diminution fautil appliquer au nouveau prix pour retrouver le prix initial p? b. Un article augmente de 0% par an pendant ans. Calculer le pourcentage global d augmentation sur les quatre années.

7 EXERCICE a. Elles sont égales. SOLUTIONS b. A = c. Soit b a a b b + a b ab a ab x = = b a b + a b a X = a+ a b + a a b. ab o Montrons que le nombre X existe. X existe, si les nombres qui figurent sous le signe sont positifs. Puisque a b 0 alors a - b 0 donc a b existe. Puisque a 0 et que a b existe, alors a+ a b 0 donc a+ a b existe. Il est évident que a a - b 0 donc a a b donc a a b donc a a b 0 donc a a b existe o Calcul de X. X est une expression de la forme X= x + y avec x= a+ a b et y = a a b Par suite X = (x+y) = x +y +xy. Ce qui donne : X = a+ a b + a a b = a+ a b + a a b + a+ a b a a b ( )( ) = a+ a b + a a b + a+ a b a a b = a+ b o Expression simple de X. Puisque a et b sont positifs, X = ( a+ b) implique X = ( a+ b) d. b= - ; b =5-6 ; b = b -= = On a bien l égalité demandée. e = = = = = =c c

8 EXERCICE a. L équation +x - = - x x+ - x x - est équivalente à - x =0. Cette équation a une solution : x=. b. (x - 8) - (x - ) - (x - ) = 0 s écrit : (x-)(x +x+)-(x-)(x+)-(x-)=0 soit encore : (x-)(x +x)=0 soit x(x-)(x+) = 0 Cette équation a comme ensemble des solutions : S= ;0;- EXERCICE Notons A et B les deux personnes, a et b leur âge. Supposons que A soit plus âgé que B. La différence d'âge entre les deux est : d = a - b o Quand A avait l'âge de B, B avait b - d années donc l'âge de A est a = (b - d) = (b - a). Cette relation se simplifie et s'écrit: a = 6b. o Quand B aura l'âge de A, A aura a + d années c'est à dire a + (a - b) = a - b. On sait qu'alors la somme de leurs âges est 0 donc a+ (a - b) = 0 soit a - b =0 a = 6b () o Les nombres a et b sont solutions du système De () on déduit : a b = 0 () En reportant cette valeur de b dans () on obtient l équation en a : a a = 0. En résolvant cette équation, on obtient a = 60 et b = 0. EXERCICE a. Soit x le pourcentage à appliquer pour retrouver la valeur p. 5 5p Après une augmentation de 5% le prix de l article est p + = =,5p x Si on applique x% de diminution, le prix, 5 p redevient p donc :, 5 p = p 00. x En simplifiant par, p on trouve que x est solution de l équation :, 5 = 00. La résolution de cette équation donne : x = 0. b. Soit x la valeur initiale de l article. Après augmentation de 0%, l article a comme 0 valeur : y = x Le pourcentage d augmentation est alors : 0 + x x y x = 00 = 00 + = 6, x x 00 b = a.

9 DEVOIR NUMERO CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE : Du bon sens. Un tonneau de bière permet de remplir 00 bouteilles de 5 cl. On augmente la capacité des bouteilles de 0 %. Combien de bouteilles pourra-t-on remplir à partir du même tonneau? EXERCICE : Identités remarquables. a. Développer et simplifier l expression : ( a b)( a + a b+ ab + b ) En déduire une factorisation de ( a b)( a + a b+ ab + b ) en trois facteurs. b. Développer et factoriser l expression : ( x ) + x( x+ ) ( x+ ) EXERCICE : Fractions 8 a. Simplifier l'écriture suivante: :. 7 + b. Simplifier l'écriture de l'expression : x + x x x x+ x + x EXERCICE : Puissances ( )( ) 70 x5 a. Simplifier l'écriture suivante : 5 :. 5 x9 7x5 7 b. Simplifier les nombres A, B et : A B. = ( ) = ( ) A a b a b ; B a b a b a b.

10 EXERCICE : Du bon sens SOLUTIONS Le tonneau contient : 00x5 cl. 0 La nouvelle bouteille contient 5 + = 0 cl x5 Le nombre de bouteilles que l on peut remplir est alors de : = EXERCICE : Identités remarquables. a. ( a b)( a + a b+ ab + b ) = a b = ( a b )( a + b ) = ( a b)( a+ b)( a + b ). b. ( 6x 6) + 7x( x+ ) ( x+ ) = ( 9x ) + 7x( x+ ) ( x+ ) ( x )( x ) 7x( x ) ( x ) ( x ) ( ( x ) 7x ) ( x )( 9x 9) = = + + = + = = 57x + x 8 EXERCICE : Fractions a.. : = : = x( 66) b. ( )( ) ( ) ( ) x+ x x x+ + x x + + = = x x+ x + x x ( + ) ( ) ( ) x x x x = = = x x x+ EXERCICE : Puissances a. b x5 x5 : = : = x x9 7x5 x5 x x5 A A = a b ; B = a b ; = ab B 7

11 DEVOIR NUMERO 5 CALCULATRICE NON AUTORISEE EXERCICE : Du bon sens. Lors d une fête foraine, les organisateurs se font livrer un tonneau de vin à 9h du matin. A heures, le cinquième du tonneau a été consommé, soit 0 litres. Le soir, à la fermeture, le tonneau ne contient plus qu un dixième de son contenu initial. Quelle est la quantité de vin dans le tonneau à la fin de la fête. EXERCICE : Identités remarquables. Développer les expressions : ( ) ( ) et B = ( a+ )( b+ )( a )( b ) A = ab a b Que peut-on conclure?. EXERCICE : Fractions a. Simplifier l'écriture suivante: b. Calculer ( x )( x+ ) x+ x+ En utilisant le résultat précédent, simplifier l'écriture de l'expression : x x EXERCICE : Puissances 7 x x 7 x 8 7. a. Simplifier l'écriture suivante : ( ) ( ) ( ) ab b. Simplifier l expression : a ab

12 EXERCICE : Du bon sens 5 SOLUTIONS du tonneau vaut 0 litres. 0 est la moitié de. Il reste donc 0 litres de vin. 5 EXERCICE : Identités remarquables. ( ) ( ) A = ab a b = a b a b ( )( )( )( ) ( )( ) B = a+ b+ a b = a b = a b a b On conclut que A = B. EXERCICE : Fractions a.. Le numérateur vaut 7 et le dénominateur 6. La fraction vaut 7 b. ( )( ) x x + = x + x x+ x+ ( x+ )( x+ ) x+ ( x+ )( x+ ) ( x+ ) x + x = = = x x ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) Or d après la question précédente, ( x )( x + ) = x + x donc x + x ( x )( x+ ) x+ = = ( x )( x+ ) ( x )( x+ ) x EXERCICE : Puissances 7 7 x x7x 7 x 7 7 x x 7 x = = = = x7x x7xx7 56 a. ( ) b. ( ) ( ab ) a ( a b ) ab 8 8 ab ab = = = a b 5 a a b 8

13 DEVOIR NUMERO 6 EXERCICE a. Rappeler la formule de : ( x + y + z) b. Calculer les deux expressions : o ( a + b + c )( d + e + f ) o ( ad + be + cf ) + ( bf ce) + ( cd af ) + ( ae bd ) Que peut-on conclure? EXERCICE Factoriser l expression : ( ) a + b 9 6 a b sous la forme de produits. EXERCICE Soient x et y deux réels. On appelle M( x,y ) le nombre égal à : M( x,y) Soient a et b deux réels. On pose : c M( a,b) =. ( ) M M a,c,m b,c. Que conclure? Calculer : M( a,c ), M( b,c ) et ( ) ( ) = x + y. EXERCICE Deux cyclistes A et B font une course poursuite. A démarre le premier et roule à km/h. B démarre 0 minutes après et rattrape A au bout de 60 minutes. A quelle vitesse a-t-il roulé? (Nota : un des cyclistes marche au super) Cette remarque n est pas dans le texte original. EXERCICE 5 (Pour ceux qui souhaitent aller en S) a. Vérifier que : a -b = (a - b)(a + ab + b ). b. En déduire une factorisation de : (x - 8)- (x - )- (x - ). EXERCICE 6 (Pour ceux qui souhaitent aller en S) Soient nombres réels a, b, c et d avec bd 0 et : a b Montrer que : ( a+ c) ( + ) ac = bd b d. = c. d

14 EXERCICE SOLUTIONS a. ( ) b. x + y + z = x + y + z + xy + xz+ yz. o ( )( ) a + b + c d + e + f = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf o ( ad + be + cf ) + ( bf ce) + ( cd af ) + ( ae bd ) ( ) = a d + b e + c f + adbe + adcf + becf + b f + c e bfce + cd + af cdaf + ae + bd aebd = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf On peut conclure que les deux expressions sont égales. EXERCICE ( a + b 9) 6a b = ( a + b 9 ab)( a + b 9+ ab) EXERCICE c a+ b = donc : M( a,c) (( a b) 9) (( a b) 9) ( a b )( a b )( a b )( a b ) = + = a+ b a + a+ c a+ b = = =. M( b,c) a+ b b + b+ c b+ a = = =. ( ( ) ( )) M M a,c,m b,c a+ b b+ a M( a,c) + M( b,c) + a+ b = = = ( ) = M ( a,b) d où M M ( a,c ),M ( b,c) EXERCICE En 60 mn, A a parcouru km. Quand B démarre, A a donc parcouru km. Donc B rattrape A au bout de +=56 km. La vitesse de B est de 56km/h. (C est mieux qu Amstrong!)

15 EXERCICE 5 a. a -b = (a - b)(a + ab + b ). Facile. b. ( ) ( ) ( ) (x - 8)- (x - )- (x - ) = x - - x - + x - EXERCICE 6 = x- x +x+ - x- x+ + x- ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ( ) ) ( )( ) = x- x +x+- x+ + = x- x +x ( )( ) =x x- x+ a b a b c = implique : d c = ad = bc d ( a+ c) ( + ) ac = bd b d. Montrer que ( a+ c) ( + ) ac = bd b d équivaut à montrer que ac ( b + d ) = bd ( a + c). ( ) ( ) ( ) ( ) ac b + d = acb + acbd + acd = a cb b + acbd + ad cd = a ad b + acbd + bdc ( ) ( ) = bd a + ac + c = bd a + c

16 DEVOIR NUMERO 7 EXERCICE a a. Soit a un réel. Montrer que. a + b. Les réels a, b sont strictement positifs. 8 Démontrer que. ( a+ b) ab EXERCICE x x+ Résoudre l équation =. x x EXERCICE Des passagers occupent les quatre cinquième de trois cars. Un quart descend. Peut-on mettre les trois quarts restant dans deux cars? EXERCICE Le salaire mensuel d un commercial est constitué d une somme forfaitaire de 00 et d une commission de 5,5% du montant x en euros des ventes qu il a réalisées dans le mois. Quel montant de vente, le commercial doit-il réaliser pour percevoir un salaire de 000

17 SOLUTIONS EXERCICE a a. Démontrons que pour a réel.. a + Puisque a + > 0, démontrer Or a ( a + ) 0 ( a ) a a + La dernière inégalité est vraie donc la première aussi. équivaut à démontrer que a ( a ) +. c. Démonstration de : 8. ( a+ b) ab Calculons 8 ( a+ b) ab 8 8 ab-( a+ b) -( a- b) = =. ( a+ b) ab ( a+ b) ab ( a+ b) ab IL va de soi que : 8 est un nombre négatif. ( a+ b) ab Ce qui démontre que : 8 ( a+ b) ab EXERCICE Résolution de l équation Réduisons l équation x + 6 Cela donne : ( x )( x ) x x+ =. x x x x+ = x x = 0. D où la solution : au dénominateur ( x )( x ) 6 x = =..

18 EXERCICE Des passagers occupent les quatre cinquième de trois cars. Un quart descend. Peut-on mettre les trois quarts restant dans deux cars? Soit P le nombre de passagers d un car. Dans les trois cars, il y a 5 x P passagers Parmi ces passagers, un quart descend. Il reste donc 6 P 9 P x P x = = passagers Les trois quarts de ces passagers valent :,8P passagers. Dans deux cars, il y a P places. P >,8 P. Il y a donc plus de places que de passagers. La réponse à la question est OUI. EXERCICE Le salaire de 000 se compose du salaire fixe de 00 et de la commission soit 5,5 00 x. On a donc : 5, x =. On déduit facilement que 600x00 x = 5,5

19 DEVOIR NUMERO 8 EXERCICE Les réels a,b et c sont trois nombres strictement positifs. ab a + b. Montrer que :. a+ b ab bc ca a + b + c. En déduire que + +. a+ b b+ c c+ a EXERCICE x Résoudre l équation : =. x x+ 9x EXERCICE La jauge d essence d un véhicule marque la moitié. L automobiliste ajoute litres. La jauge d essence d un véhicule marque alors les trois quarts. Quelle est la contenance du réservoir? EXERCICE Pierre est parti en vacances dans un club. La plage, les buffets bien garnis lui ont fait prendre quelques kilos. Les kilos en plus pris par Pierre représentent 0% de son poids initial. On appelle p le poids de Pierre avant les vacances. a. Exprimer le poids p ' de Pierre après les vacances en fonction de p. b. Après les vacances, Pierre décide de retrouver son poids d avant les vacances. On appelle x le pourcentage de poids qu il doit perdre. Ecrire l équation vérifiée par x. Calculer x.

20 EXERCICE SOLUTIONS ( ) ( ) ab a + b a b. Il est facile de montrer que : = a+ b a+ b. Il est évident que ( a b) ( a+ b) 0 Puisque ab a + b a+ b est négatif, l inégalité est démontrée.. Déduisons que : ab bc ca a + b + c + +. a+ b b+ c c+ a On aurait de même : bc b + c b+ c et ca c + a. a+ c En ajoutant membre à membre les trois inégalités : ab a + b a+ b, bc b + c b+ c et ca c + a. a+ c on obtient le résultat demandé. EXERCICE x Résolution de : = x x+ 9x 9x L équation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : = 0. 9x 9x Le numérateur de 9x s annule pour x =. Mais annulle aussi le dénominateur 9x donc cette équation n a pas de solution.

21 EXERCICE Soit x la contenance du réservoir. Avant d ajouter litres d essence, le réservoir contenait x litres. Après avoir ajouter litres d essence le réservoir contient x litres. x x Donc : + =. La résolution de cette équation donne : x = 8. EXERCICE p Après les vacances Pierre pèse p + =,p 0 Si sur,p Pierre perd x %, il retrouve p donc :,p,x p = p. Le nombre x est alors solution de l équation :,,x =. D où,x = 0, soit x = 0,0909 Pierre doit donc perdre 9,09% de poids pour retrouver la ligne.

22 DEVOIR NUMERO 9 EXERCICE Comparer les expressions : o a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) o ( a+ b+ c)( c b)( b a)( a c). EXERCICE a. Vérifier que x + 5x = ( x )( x+ ) b. Résoudre l équation : + + = 0. x+ x EXERCICE Soit deux réels a et b tels que a<b et deux réels x et y strictement positifs. Montrer que ax + by a < < b x+ y EXERCICE a. Ecrire l expression : x + + x - sans les barres de valeur absolue. b. Résoudre l équation : x + + x - =8 c. Résoudre l inéquation : x + + x - 0 EXERCICE 5 Résoudre l inéquation : x x+. x x+ EXERCICE 6 Les nombres b et d sont non nuls. Montrer que : a b c a + b c + d = implique : =. d ab cd EXERCICE 7 x y = 9 a. Résoudre le système. 5x+ y = b. En déduire les solutions du système : = 9 x y 5 + = x y

23 SOLUTIONS EXERCICE Ces deux expressions sont égales. EXERCICE a. Il est facile de vérifier que : x + 5x = ( x )( x+ ) b. Résolution de l équation : + + = 0. x+ x x + 5x + = + + = 0 = 0 x+ x (x+ )(x ) x et x x 5x 0 On a vu à la question précédente que : x 5x ( x )( x ) + = +. Par suite l'équation x + 5x -=0 a deux racines x' = et x" = Ces deux racines vérifient la condition x - et x. L'équation + + = 0 x+ x a donc deux racines x' = et x" =. EXERCICE ax + by a < < b. x+ y Pour démontrer cette inégalité, il y a deux démonstrations : ax + by a < x+ y et ax + by < b. x+ y o ax + by a <. x+ y Calculons ax + by a. x+ y ( a ) ax + by ax + ay ax by ay by b y a = = =. x+ y x+ y x+ y x+ y Les hypothèses a<b, x>0 et y>0 impliquent que : ( ) a b y < 0 x+ y donc que ax + by a. x+ y o ax + by < b. Même méthode. x+ y

24 EXERCICE a. Ecriture de l expression : x + + x - sans les barres de valeur absolue. x - x+ -x- x+ x+ x - -x+ -x+ x- f(x) -x- 5 x+ b. Résolution de l équation : x + + x - =8 x + + x - = 8 f(x)=8 équivaut à x = 8 et x x+ = 8 et x ce qui donne x = --,5 ou x =,5 c. Résolution de l inéquation : x + + x - 0. x 0 et x x + + x - 0 équivaut à 5 0 et x ce qui donne -5,5 x,5 x + 0 et x EXERCICE 5 Résolution de l inéquation : x x+. x x+ L inéquation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : x + 0 ( x )( x+ ) 0. Un tableau de signe donne pour solution l ensemble S=[ ; [ ] ;5[

25 EXERCICE 6 a b c a + b c + d = implique : =. d ab cd Posons a c x = b = d. On a alors : a = bx et c = dx. Calculons a + b ab et c + d cd ( + ) ( + ) a + b b x + b b x x = = = ab bx bx x ( + ) ( + ) c + d d x + d d x x = = = cd d x d x x Des deux calculs, on déduit que : a + b c + d =. ab cd EXERCICE 7 x y = 9 c. Résolution du système. 5x+ y = Il est facile de trouver que :x = - et y =. d. Résolution du système : = 9 x y. 5 + = x y Posons X = et Y x =. le système y = 9 x y 5 + = x y devient X Y = 9 5X + Y = D après la question précédente, ce système a une solution X = - et Y=. D où x = et y =, c est à dire x = y =.

26 DEVOIR NUMERO 0 EXERCICE : Arithmétique a. Décomposer les nombres 60 et 50 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction : EXERCICE : Racines carrées a. Simplifier l écriture suivante : ( + ) ( ) b. Ecrire sans radicaux au dénominateur : c. Montrer que = EXERCICE : Equations a. Résoudre l équation suivante : x+ x 5 = x 6 b. Résoudre l équation : x + x = 5 x x+. c. Factoriser l expression : ( x 9) + 5( x + 6x+ 9) + ( x+ ) En déduire la résolution de l équation : ( x ) ( x x ) ( x ) = 0

27 EXERCICE : Arithmétique a. 60= x x5x7 50= x x7. b. 60 = x x5x7 x x = EXERCICE : Racines carrées SOLUTIONS + = + + = 5+ = 5 a. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) b. + = = c. + = =. En effet : 7 7 car ( ) ( ) ( ) ( ) = EXERCICE : Equations ( ) = = 8 6= a. Résolution de l équation : x + x 5 = x 6 On a les équivalences suivantes : ( x + ) ( x ) ( x ) 6 5 = 6 6 ( ) ( ) x + x 6 5x = x + 5 5x+ 8 équivalent à : = 6 6 5x + 5 = 5x + 8équivalent à 0x =. L équation n a pas de solution. b. Résolution de l équation : x + x = 5 x x+. équivalent à : équivalent à : ( x+ )( x+ ) ( x )( x 5) ( )( ) ( )( ) x+ x 5 x+ x 5 x 7 = = 0 = 0 = 0 x x+ x x+ x x+ x x+ Cette équation a une solution : x = 7. c. Factorisation de l expression : ( x 9) + 5( x + 6x+ 9) + ( x+ ) ( x 9) + 5( x + 6x+ 9) + ( x+ ) = ( x )( x+ ) + 5( x+ ) + ( x+ ) = ( x+ ) (( x ) + 5( x+ ) + ) = ( x+ )( 6x+ 6) Résolution de l équation : ( x ) ( x x ) ( x ) = 0 En appliquant la factorisation précédente, on trouve que l équation donnée a deux solutions : x =, x = 8

28 DEVOIR NUMERO EXERCICE : Arithmétique a. Décomposer les nombres 575 et 95 en facteurs premiers. b. En déduire une simplification de la fraction : EXERCICE : Racines carrées a. Simplifier l écriture de A B avec : A 5 7, B = = b. Ecrire sans radicaux au dénominateur : ( + )( 6 ) c. Montrer que = 6 EXERCICE : Equations a. Résoudre l équation suivante : x + x = 07, + x 5 0 b. Résoudre l équation : x + 5 x = x x+. c. Factoriser l expression : ( x 9) + 5( x + x+ 9) + ( x+ ) En déduire la résolution de l équation : ( x ) ( x x ) ( x ) = 0

29 EXERCICE : Arithmétique a. 575= 5 x x7 95=5xx x7x 05 b. = = 95 EXERCICE : Racines carrées 5 7 a. A =, B = b. SOLUTIONS ( 5 7)( + ) ( 5 + 7)( ) ( ) A = x = = = = B ( )( ) ( )( 6 + ) ( )( )( )( ) = = c. + + = = 6. En effet : car ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = EXERCICE : Equations ( ) = = = 6 a. Résolution de l équation : x + x = 07, + x 5 0 On a les équivalences suivantes : x + x x 5( x+ ) ( x ) 7 x x x = 07, + = + = Tout nombre réel est solution de cette équation. b. Résolution de x + 5 x = x x+. ( x+ 5)( x+ ) ( x )( x ) ( )( ) ( )( ) x+ 5 x x+ 5 x 9x+ = = 0 = 0 = 0 x x+ x x+ x x+ x x+ L équation a une solution : x =. x x + x+ 9 + x + = 0. c. Résolution de : ( ) ( ) ( ) ( x 9) + 5( x + x+ 9) + ( x+ ) = ( x )( x+ ) + 5( x+ ) + ( x+ ) = ( x+ ) (( x ) + 5( x+ ) + ) ( x ) ( x x ) ( x ) ( x )( x 6) = = 0 pour x = ou x =

30 DEVOIR NUMERO EXERCICE Calculs algébriques élémentaires. Pour tous a+ b+ c p =. Calculer en fonction de a, b et c le nombre : ( ) ( ) ( ) p a + p b + p c + p. Pour ceux qui veulent faire S a. Ecrire x + x + sous la forme ( ) x b. En déduire que le nombre x + x+ est toujours calculable. c. Simplifier l écriture de x x x x + x+ + x+ EXERCICE Calculs algébriques élémentaires. Pour tous Ecrire sous un même dénominateur :. Pour ceux qui veulent faire S + n n+ n+ ( ) Utiliser le résultat précédent pour calculer :... x x + x x + x x x x0. EXERCICE Factorisations. Pour tous + + Factoriser ( a b ) ( ab ). Pour ceux qui veulent faire S Factoriser ( ab ) ( a b) 5 sous la forme d un produit de termes. sous la forme d un produit de termes.

31 EXERCICE Racines. Pour tous + Calculer + +. Pour ceux qui veulent faire S a. Les nombres a et b sont strictement positifs. On sait que a b b + = 5 a Calculer a b b a b. Les nombres a et b sont strictement positifs. Simplifier l expression 5 5 ab x ab ab EXERCICE 5 Equations.. Pour tous x x Résoudre = x+ 5 x 5 x 5. Pour ceux qui veulent faire S x Résoudre l équation: = x x+ 9x EXERCICE 6 Du bon sens!. Pour tous Un village entreprend des travaux afin de réaliser une retenue d eau. La retenue sera de 000 m. Combien faudra t-il de temps pour la remplir, sachant que l eau s accumule à raison de 0 m en 0 heures. Donner le résultat en jours, heures et minutes.. Pour ceux qui veulent faire S Calculer m + p sachant que m + p = et mp = 5

32 SOLUTIONS EXERCICE Calculs algébriques élémentaires. Pour tous a+ b+ c p =. Calcul en fonction de a, b et c du nombre : ( p a) + ( p b) + ( p c) ( ) ( ) ( ) ( ) p a + p b + p c + p = p p a+ b+ c + a + b + c Les calculs sont simples. Ce n est pas le cas dans les copies. Pour ceux qui veulent faire S a. x + x + = x + + a+ b+ c a+ b+ c = ( a+ b+ c) + a + b + c = a+ b+ c a+ b+ c + a + b + c ( ) ( ) = a + b + c b. Une racine est calculable si et seulement si l expression sous le est positive. x + x+ est toujours calculable car d après la question précédente, x + x+ > 0 x + x + x + x + x+ + x+ = x + x+ x+ = c. ( ) EXERCICE Calculs algébriques élémentaires. Pour tous ( ) ( n+ )( n+ ) n( n+ ) n( n+ ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( n+ )( n+ ) n( n+ ) + n( n+ ) n( n+ )( n+ ) n( n+ )( n+ ) + = + n n+ n+ n n+ n+ n n+ n+ n n+ n+ = = = n n ( + )( n+ ). Pour ceux qui veulent faire S L expression : est la somme des expressions x x x x xx5 89 x x0 précédentes pour n= à n=9.

33 Pour n = cela donne : = + x x Pour n = cela donne : = + x x 8 Pour n = cela donne : = + x x Pour n = cela donne : = + x 5 x Pour n = 6 cela donne : = + 6 x 7 x Pour n = 7 cela donne : = + 7 x 8 x Pour n = 8 cela donne : = + 8 x 9 x En ajoutant membre à membre ces égalités, on constate que les nombres marqués s annulent. On trouve alors : = + + = x x xx xx5 8x9x x5x9 EXERCICE Calculs algébriques élémentaires. Pour tous ( a + b 5) ( ab+ ) = ( a + b 5 ab )( a + b 5+ ab+ ) (( a b) 9) (( a b) ) ( a b )( a b )( a b )( a b ) = + = On a des expressions du type X -Y. Pour ceux qui veulent faire S ( ) ( ) ( )( ) ( ) == ( a( b ) + ( b ) )( a( b+ ) ( + b) ) = ( a+ )( b )( a )( b+ ) ( )( ( ) ) ab a b = ab a + b ab + a b = a b + b a b + b EXERCICE Racines. Pour tous ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) = + = = = = + + = 6 9 8

34 . Pour ceux qui veulent faire S a. Les nombres a et b sont strictement positifs. On sait que a b a b a b a b x b a = + = + b a b a b a a b b + = 5 a Or a b a b a b a b + = 5 b a + = + + = + = b a 5 5. b a b a On déduit alors facilement que : a b b = a. b. 5 5 ab x ab ab a = b EXERCICE 5 Equations.. Pour tous x x 5 = équivaut à = 0. Pas de solution. x+ 5 x 5 x 5 x 5. Pour ceux qui veulent faire S x Résolution de : = x x+ 9x L équation ci-dessus s écrit aussi en réduisant au même dénominateur : 9x 9x = 0. Cette équation n a pas de solution car la valeur qui annule le numérateur annule aussi le dénominateur. EXERCICE 6 Du bon sens!. Pour tous Pour m il faut h donc pour 000 m il faut 000 Cela fait : jours heures et 0 minutes.. Pour ceux qui veulent faire S ( ) m + p = m+ p mp = 7 heures Attention : 000,. De nombreuses erreurs sont dues à cette approximation.

35 DEVOIR NUMERO EXERCICE Résoudre l inéquation suivante : x+7 x- + >5 x+ x- EXERCICE Soit la fonction f définie par f(x) = x-5 + x+7 a. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue. b. Résoudre par le calcul : () f(x)= 8 () f(x) EXERCICE x y = Résoudre le système suivant : x y =

36 EXERCICE x +7 x - x + x + >5 x+ x- x x + EXERCICE Le système suivant : ( )( ) SOLUTION SUCCINCTE x y = x y = a une solution : x = 9 y =

37 DEVOIR NUMERO EXERCICE Résoudre l inéquation suivante : EXERCICE (x -) -(x +5) x -6 0 Soit la fonction f définie par f(x) = x+ + x+5 a. Ecrire f(x) sans les barres de valeur absolue. b. Résoudre par le calcul : () f(x)= () f(x) EXERCICE x+ y = Résoudre le système suivant : x + y =

38 EXERCICE Résolution de l inéquation : SOLUTIONS (x -) -(x +5) 0 x -6 (x -) -(x +5) Ecrivons l expression uniquement à l aide de produit et de quotient. x -6 (( x -) ( x + 5) ) ( x -) + ( x + 5) ( )( + ) ( ) (x -) - (x + 5) (-x - 6)(5x + ) = =. x -6 x x (x - )(x + ) Il en résulte que la résolution de l inéquation : (-x - 6)(5x + ) résoudre l inéquation : 0 (x - )(x + ) Dressons un tableau de signe de l expression : (x -) -(x +5) x -6 (-x - 6)(5x + ) (x - )(x + ) 0 équivaut à x /5 x x x x (-x - 6)(5x + ) (x - )(x + ) D après le tableau, cette inéquation a comme ensemble des solutions : ]- ;-6] ]-;- ] ]; + [ 5 EXERCICE a. Ecriture de f(x) sans barre de valeurs absolues. Dressons le tableau des expressions sans les barres des valeurs absolues qui figurent dans l expression. x x+ -x- -x- x+ x+5 -x-5 x+5 x+5 f(x) -x-7 x+7

39 b. Résolution des équations annexes. () f(x) = D après le tableau ci-dessus, les solutions de l équation f(x)= sont les solutions de : -x-7= et x -5 () ou de = et -5 x - () ou de x+7 = et x - (). L équation () revient à x = -5 et x -5 soit x = -5 L équation () revient à = et -5 x -. Ce qui est impossible. L équation () revient à x = - et x - soit x = - En conclusion, l équation a deux solutions -5 et -. () f(x) Avec les mêmes explications que précédemment, on aurait : f(x) (-x-7 et x -5 ) ou ( et -5 x -) ou (x+7 et x -) (-9 x et x -5 ) ou (-5 x -) ou (x et x -) (-9 x -5 ) ou (-5 x -) ou ( x ) En conclusion, l'ensemble des solutions est l intervalle : [-9 ; ]. EXERCICE Résolution du système : x+ y = x + y = Multiplions la première équation par, le système devient : x + y = x + y = Soustrayons la deuxième équation de la première, on obtient alors : x =. Remplaçons x par dans la première équation, il en résulte que : + y = soit + y = y =. La solution du système est alors : x= ; y=-

40 EXERCICE DEVOIR NUMERO 5 Le réel a est strictement positif. Comparer les nombres : a + a a + ; ; ; a ; a + a+ a+ a+ a+ a+ EXERCICE () Résoudre l équation : x+ + x = 0. () Résoudre l inéquation : x+ + x 0. EXERCICE Pour quelles valeurs de x peut-on calculer les expressions : () ( x ) ( x 5) + +. () () x x+. x x+ EXERCICE () Calculer : ( x+ )( x ). () Résoudre l inéquation suivante: x + 5x x + x

41 EXERCICE SOLUTIONS SUCCINCTES. Le réel a est strictement positif. On a : a + a + a + > > > a > a a+ a+ a+ a+ a+. EXERCICE () Equation : x+ + x = 0. L équation précédente est équivalente à : x+ + x = 0 et x+ 0 x + x = 0 et x + 0 qui est équivalent à : x + = 0 et x + 0 x = 0 et x+ 0 ou à x = et x + 0 (). x = et x + 0 () Seule la valeur x = convient. () Inéquation : x+ + x 0. L inéquation précédente est équivalente à : x+ + x 0 et x+ 0 x + x 0 et x + 0 qui est équivalent à : x + 0 et x + 0 x 0 et x+ 0 ou à x et x + 0 (). x et x + 0 () Les solutions de l inéquation sont les nombres de l intervalle ; +.

42 EXERCICE () ( x ) ( x 5) + +. ( x + ) ( x + 5) = (( x + ) ( x + 5) )( x + ) + ( x + 5) = ( x )( x + 6) Le nombre ( x )( x+ 6) est calculable si x vérifie :( )( ) x x Un tableau de signe donne pour résultat : ( x )( x+ 6) 0 x ] ; ] [ ; + [. () x x+. Le nombre x x+ est calculable si et seulement si x vérifie : x 0et x x+ Un tableau de signe donne pour résultat : x ] ; ] [ ; + [ () x x+ Le nombre x x+ est calculable si et seulement si x vérifie : x 0 et x+ > 0 Le résultat est : x [ ; + [ EXERCICE x + 5x x + 6 x x x x 0 x ( x )( x+ ) 0 Effectuons un tableau de signe. x - 6 -x ( x )( x+ ) x+ 6 x + x L'ensemble des solutions est E=]- ; - [U] ; 6]

43 DEVOIR NUMERO 6 EXERCICE Sans utiliser la calculatrice, comparer x et y : x = + 0 y = + 7. EXERCICE Soient trois réels positifs a, b et c. a. Calculer. ( a b) b. En déduire que :a+ b ab. EXERCICE a. Dresser le tableau de signes de l expression : ( x )( x ). b. Pour quelles valeurs de x, cette expression est-elle positive ou nulle? On donnera le résultat en utilisant la notation intervalle. EXERCICE x y = 9 Résoudre le système : 5x+ y =

44 EXERCICE SOLUTIONS x = + 0 x = = + 0. y = + 7 y = x7 = + 68 On a : x y. Comme les nombres x et y sont positifs, on déduit que : x y EXERCICE a b = a+ b ab a. ( ) b. a+ b ab = ( a b) a+ b ab 0 a+ b ab. EXERCICE a. Signe de l expression : ( x )( x ). ( x )( x ) = ( x )( x + )( x ) Le tableau de signe de ( x )( x ) est alors : x x x x ( x )( x ) b. D après le tableau de signe cette expression est positive ou nulle pour : x ; ; + [ [ EXERCICE x y = 9 Le système : 5x+ y = équivaut au système suivant : 9x 6y = 7 () 0x+ 6y = 8 () En ajoutant membre à membre les lignes () et () on trouve : 9x = 9. Ce qui donne : x =. En remplaçant x par : dans l une des deux équations, on trouve y =. Les solutions du système sont donc :x = - et y =.

45 EXERCICE (Relation d ordre) DEVOIR NUMERO 7 Pour tous (Les questions sont indépendantes) a. Soit a un nombre vérifiant : a. 6 Classer dans l ordre les nombres suivants : a ; a b. Soit a un nombre réel vérifiant : a >. On pose : a = + h. Montrer que a > + h. ; a + 8 c. Soit a et b deux réels vérifiant : a b. Montrer que : a a + b b +. Pour ceux qui veulent faire S ; a + ; a. a. Soit a un nombre réel vérifiant : a >. On pose a = + h. Montrer que a > + h. b. Les nombres a et b sont positifs. Classer dans l ordre les nombres M,G,H: Avec : a+ b M = ; G = ab ; = +. H a b c. Les nombres x et y vérifient : x y > 0. Comparer les nombres : x x + y y et x x y + y EXERCICE (Inéquations) Pour tous ( Les questions sont indépendantes) a. Faire le tableau de signe de l expression : ( x)( x + ) 5. En déduire les valeurs de x pour lesquelles, l expression ( x)( x+ ) calculable. x b. Résoudre l inéquation : x x+ 5 est Pour ceux qui veulent faire S a. Pour quelles valeurs de x pour lesquelles, l expression b. Résoudre l inéquation : + 7 x x x + x 5 x est calculable.

46 SOLUTIONS EXERCICE (Relation d ordre) Pour tous ( Les questions sont indépendantes) a. Soit a un nombre vérifiant : a. 6 Classement dans l ordre les nombres suivants : a ; o o a a = donc a a. a+ a = donc a+ a 8. o Par suite : a a a+ 8 ( ) a ; a + 8 ; a + ; a. Attention : des exemples ne constituent pas une preuve o + a + + a a + a Donc : a + ( ) o a a a 6 o Des inégalités ( ),( ),( ) o Pour placer a par rapport à a + 8 ( ) on déduit que : a a a + a + 8 a +, calculons : 8 a+ 6a+ a =. Or a donc a o En définitive : a a a + a a+ 8 a + a. 8. Par suite : a + a 8 b. Soit a un nombre réel vérifiant : a >. On pose : a = + h. Montrons que : a > + h. Cherchons le signe de : a ( + h). a ( + h) = ( + h) ( + h) = h. Donc a ( + h) Puisque a ( + h) 0 alors : a > + h est positif.

47 c. Soit a et b deux réels vérifiant : a b. Montrons que : a a + b b+. Cherchons le signe de : a a + b b +. a a+ a b =. On sait que a b b b+ b b+ ( ) donc a a + 0 donc a a + b b+ b b+ a b et que b > 0 donc b( b+ ) 0 Pour ceux qui veulent faire S a. Soit a un nombre réel vérifiant : a >. On pose a = + h. Montrons que a > + h. Cherchons le signe de : a ( + h) ( ) ( ) ( ). a + h = + h + h = + h+ h + h h = h + h. Le nombre h est positif donc h + h 0. Donc a ( + h) est positif. Puisque a ( h) + 0 alors : a > + h b. Classement des nombres : ab = + H = H a b a + b a+ b M = ; G = ab ; = +. H a b ( a b) a+ b a+ b ab M G = ab = = ( ) ( ) ab a + b ab a b ab a b a b M H + = = = = a + b ab ab ab On a donc M H 0 donc M H. On a donc M G 0 donc M G En conclusion le classement demandé est : G M H. c. Comparaison des nombres : x y x + y et x x y + y. Calculons x y x y x + y x + y ( )( ) ( ) ( ) x y x y x y x y x+ y x+ y = = ( x y) x + y x + y x+ y x + y x+ y x + y x + y x+ y xy = ( x y) = ( x y) ( x + y)( x + y ) ( x+ y)( x + y ) Puisque x y > 0 alors x y x y 0 donc x y x y x + y x + y x + y x + y.

48 EXERCICE (Inéquations) Pour tous ( Les questions sont indépendantes) a. Tableau de signe de l expression : ( x)( x + ) x x x ( x)( x+ ) L expression ( x)( x+ 5 ) est calculable pour :( x)( x ) c est à dire pour x 5 ; x b. Résolution de l inéquation : x x+ x x x x+ x x+ ( )( ) Attention : x + 8 est toujours positif Dressons le tableau de signe de l expression : ( x )( x+ ) x x + 8 x x x x + 8 ( x )( x+ ) Pour ceux qui veulent faire S a. Les valeurs de x pour lesquelles, l expression + x 5 x est calculable sont les réels b. + x 5 tels que : 0. Ce sont les éléments de l ensemble : ; 5 x ( x )( x ) + ( x )( x ) ( x )( x ) ( )( )( ) x x x x x x x + ( x )( x )( x ) 0 Un tableau de signe donne pour solution : ] ; ] ] ; [ ] ; + [

49 DEVOIR NUMERO 8 EXERCICE Les réels a et b sont deux nombres positifs. Comparer les nombres A = a + b et B = a+ b. EXERCICE x + y x+ y = Résoudre les système :. x y x y = EXERCICE Résoudre l inéquation : x x 5 x 6. Ecrire l ensemble des solutions en utilisant les intervalles. EXERCICE Soit l expression : x+ + x+5 Ecrire cette expression sans les barres de valeur absolue. EXERCICE 5 Résoudre l inéquation : + x. 5+ x

50 EXERCICE 6 Les questions sont indépendantes.. Pour la fonction suivante, calculer l image du nombre α indiqué. f ( x). La fonction f est définie par : ( ) f x = x + x. = x x +. α =. La courbe Γ représente f. Les points suivants sont-ils sur Γ? ( ; ), ;, ( 5 ; 5 ) A B C +. f est définie par : ( ) f x = x. La courbe Γ représentef. Calculer la coordonnée manquante possible sachant que le point est sur Γ? A ( 7 ;... ), B(...; ). EXERCICE 7 Les questions sont indépendantes. Une fonction f admet comme représentation graphique, la courbe ci-dessous a. Sur quel intervalle la fonction f est-elle définie? b. Déterminer les images par f de : -. c. Quels sont les nombres qui ont pour image par f?

51 EXERCICE SOLUTIONS Puisque les nombres A et B sont positifs, comparer A = a + b et B = a+ b, est équivalent à comparer leur carrés A et B. A = a + b, B a b ab = B A = ab. Puisque les nombres a et b sont positifs, B A 0 donc B A donc B A puisque A et B sont positifs. Donc a+ b a + b. EXERCICE x+ y x+ y = Résolution du système :. x y x y = x+ y x+ y = Le système précédent est équivalent au système : x y x y = 6 6 soit encore au système: x+ y x y = x y x+ y = soit encore au système: y = x y = Ce système a une solution : x = 5; y = EXERCICE Résolution l inéquation : x x 5 x 6. x x 5 x x x x 5 6x x+ x 0 5x x L ensemble des solutions, en utilisant les intervalles, est: EXERCICE 5 ; 9 x x+ -x- -x- x+ x+5 -x-5 x+5 x+5 f(x) -x-7 x+7

52 EXERCICE 5 Résolution de l inéquation : + x. 5+ x ( + x) ( + x) ( ) + x x 0 x 5+ x 5+ x 5+ x L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble: EXERCICE 6 5 ;. f = 7.. A appartient à la courbe Γ car f ( ) = B n appartient pas à la courbe Γ car f C appartient à la courbe Γ car f ( 5) = + 5. ( 7 ; 7 ), ( ; ) ou ( ; ) A B B EXERCICE 7 a. La fonction f est définie sur l intervalle : [- ; ]. b. L image par f de - est c. le nombres qui a pour image par f est.

53 EXERCICE DEVOIR NUMERO9 Pour charger un camion de caisses de bière, Pierre met h0mn. Si Pierre et Jean travaillent ensemble, chacun à leur rythme, le camion est chargé en une heure. Si Jean travaille seul, combien de temps met-il pour charger le camion? EXERCICE Le tableau ci-dessous présente les émissions de gaz à effet de serre dans l'union Européenne en millions de tonnes d'équivalent CO. Source : Agence européenne pour l'environnement, 00. Dans la dernière colonne on a indiqué pour chaque pays les objectifs prévus dans le protocole de Kyoto réduction d'émissions de gaz à effet de serre ou de hausse maximale autorisée. Par exemple : o l'allemagne doit réduire ses émissions d'au minimum % entre 990 et 00 o L ' Espagne peut les augmenter d'au maximum 5 % entre les années 990 et 00. Certaines données ont été effacées. Le but de l exercice est de calculer certaines données manquantes.. Ecrire l équation vérifiée par x. Calculer alors x. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Emissions en 990».. Ecrire l équation vérifiée par y. Calculer alors y. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Emissions en 00».. Ecrire l équation vérifiée par z. En déduire la valeur de z. Calculer les autres données manquantes de la colonne «Variation entre 990 et 00». Emissions en 990 Emissions en 00 Variation en pourcentage entre 990 et 00 Allemagne 6 y -8, Autriche 78, 9,6 Belgique, 50, 6, Danemark 69,5 69, -0, Espagne 89,8 8,8, Finlande 77,,7 France 558,6 0, Grèce x,,5 Irlande 5, 70 z Italie 55, 7, Luxembourg 6, -, Pays Bas 9,7, Portugal 6, 8,8 6,5 Royaume Uni 657, - Suède 70,5 -, Ensemble de l'union européenne 08, -,

54 EXERCICE SOLUTION Notons x le nombre de caisses chargées par Pierre en une minute. Notons y le nombre de caisses chargées par Jean en une minute. Par suite en une minute, les deux hommes chargent x+y caisses. Le nombre de caisses dans le camion est : o de 90x (car Pierre charge x caisses à la minute et met 90mn pour charger le camion) o de 60(x+y) (car Pierre et Jean chargent x+y caisses à la minute et mettent 60mn pour charger le camion). On en déduit donc que 90x=60(x+y) soit que 0x=60y soit encore que x=y. Jean va moitié moins vite que Pierre. Il met donc h pour charger le camion. EXERCICE Emissions en 990 Emissions en 00 Variation en pourcentage entre 990 et 00 Allemagne 6,00 99,7-8,0 Autriche 78,0 85,9 9,60 Belgique,0 50,0 6,0 Danemark 69,50 69,0-0,0 Espagne 89,80 8,80,0 Finlande 77,0 80,9,70 France 558,60 560,8 0,0 Grèce 07,0,0,50 Irlande 5,0 70,00,09 Italie 509, 55,0 7,0 Luxembourg 0,9 6,0 -,0 Pays Bas,05 9,70,0 Portugal 6,0 8,80 6,50 Royaume Uni 76,8 657,0 -,00 Suède 7,9 70,50 -,0 Ensemble de l'union européenne 0,69 08,0 -,0, 5. L équation vérifiée par x est: x + =, 0 00, 0 0 D où x = = = 07, 0., 5, L équation vérifiée par y est: y 8, = 6. D où y=99,7 00 z. L équation vérifiée par z est : 5, 0 + = 70. D où , z = 00x =, 09 5,

55 EXERCICE DEVOIR NUMERO 0 Pour la fonction suivante, calculer l image du nombre α indiqué puis déterminer le domaine de définition. f ( x) x = x +. α =. EXERCICE a. La fonction f est définie par : ( ) f x = x + x. La courbe Γ représente f. Les points suivants sont-ils sur Γ? ( ; ), ;, ( 5 ; 5 ) A B C +. b. f est définie par : ( ) f x = x. La courbe Γ représentef. Calculer la coordonnée manquante possible sachant que le point est sur Γ? A ( 7 ;... ), B(...; ) EXERCICE On considère le tableau de la fonction f. Tracer une courbe pouvant représenter cette fonction f. x f ( x )

56 EXERCICE Soit f la fonction définie sur - {} par : f ( x) x + = x. Montrer que sur l intervalle ] ; + [ la fonction est décroissante. EXERCICE 5. Le plan est associé à un repère orthogonal ( Oi ;; j) Tracer dans ce repère la fonction f définie par : f ( x) = x EXERCICE 6 Soit f une fonction affine : f ( x) = ax+ b. Calculer a et b sachant que la représentation graphique de f passe par les points A et B. A ( ) B( ) ; 7 ; 0 ;. EXERCICE 7 Tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur par : ( ) f x x+ si x < = x+ si x. EXERCICE 8 Après avoir précisé leur ensemble de définition, étudier la parité des fonctions suivantes : f x = x + x + a. ( ) b. f ( x) c. f ( x) x. x 6 = = x 5. ( x )

57 EXERCICE f ( α ) =. D ] ; [ 7 f = +. SOLUTIONS EXERCICE a. A appartient à la courbe Γ car f ( ) = B n appartient pas à la courbe Γ car f D appartient à la courbe Γ car f ( 5) = + 5 b. ( 7 ; 7 ), ( ; ) ou ( ; ) A B B EXERCICE

58 EXERCICE Soient deux réels x et y tels que x>y. Comparons f ( x) et f ( y ). Pour cela calculons f ( x) f ( y) ( ) f ( y) f x. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x+ y + x + y x y + x y = = = x y x y x y On a x > y, x >, y > donc f ( x) f ( y) < 0. La fonction f est donc décroissante EXERCICE 5 Tracé de la fonction affine f définie par : f ( x) x =

59 EXERCICE 6 Puisque A est sur la courbe représentative de f, f ( ) = 7 donc : a+ b = 7. Puisque B est sur la courbe représentative de f, f ( 0) = donc : b =. Par suite a =. La fonction affine cherchée est définie par : f ( x) = x + EXERCICE 7 Représentation graphique de la fonction f définie sur par : f ( x) x+ si x < = x + si x. EXERCICE 8 Etudier de la parité f x = x + x +. f est ni impaire ni pair. Domaine. a. ( ) b. f ( x) x. f est paire. Domaine - { - ; } x 6 = c. f ( x) = x ( x 5 ) 5 5. f est impaire Domaine ;

60 DEVOIR NUMERO EXERCICE On considère le tableau de la fonction f. Tracer une courbe pouvant représenter f. x f ( x ) + - EXERCICE Le plan est associé à un repère orthonormal ( Oi ;; j) Tracer dans ce repère la fonction f définie par : f ( x) EXERCICE.Unité sur chaque axe cm x = 5 Soit f une fonction affine : f ( x) = ax+ b. Calculer a et b sachant que la représentation graphique de f passe par les points A et B. A( ) B( ) ; 5 ; 0 ;. EXERCICE Tracer la représentation graphique de la fonction f définie par : f ( x) EXERCICE 5 x si x = x + si x <. Après avoir précisé leur ensemble de définition, étudier la parité des fonctions suivantes : a. ( ) f x = x x+ b. f ( x) c. f ( x) + x. x = = EXERCICE 9 x ( x ) 5. Les fonctions f et g ont pour représentations graphiques deux droites et. Calculer, s il existe, les coordonnées du point d intersection de et. 5 f x = x+ g x = x+.. ( ) ; ( )

61 EXERCICE SOLUTIONS EXERCICE Tracé de la fonction affine f définie par : f ( x) x = 5

62 EXERCICE Puisque A est sur la courbe représentative de f, f ( ) = 5 donc : a+ b = 5. Puisque B est sur la courbe représentative de f, f ( 0) = donc : b =. Par suite a = 7. La fonction affine cherchée est définie par : f ( x) = 7x + EXERCICE Représentation graphique de la fonction f définie sur par : f ( x) x+ si x < = x si x. EXERCICE 5 Etudier de la parité a. ( ) f x = x x+. f est ni impaire ni pair. Domaine. b. f ( x) c. f ( x) + x. f est paire. Domaine - { - ; } x = = x ( x 5 ). f est impaire Domaine { 5 ; 5} EXERCICE 6 Les coordonnées ( x,y) des points d intersection des deux droites et sont solutions du système : y = x + 5 y = x + 9 Ce système a une solution : x =, y =. Les deux droites ont 9 donc un point d intersection, c est le point H de coordonnées : ;.

63 DEVOIR NUMERO FUNCTIONS QUE FAIRE? Find the given values for the following Répondre aux questions posées en anglais. functions: a. g:y y. Find g0 ( ),g ( ),g( ) b. h:x x +. Find h ( ),h,h ( 0 ) Range (S ONLY) The set of values which is produced by the right-hand side can also be limited. Example: g: x x +. We can see that since x is always greater than or equal to zero, x + for any value of x. The set of values taken by the transformed number is called the range of the function (g in this case). Find the range of the following functions for the given domain: a. f:x x. x 0. b. g:t t +. t. Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées. c. h:y y < <.. y (S ONLY) The function f is defined for real values of x by : f:x x. Répondre aux questions en anglais. Find the range of f corresponding to a domain of - x. State another domain for which f has the same range. If f(x)=ax+b with f() = and f( ) = 7, find a and b. Répondre aux questions en anglais.

64 FUNCTIONS QUE FAIRE? (S ONLY) 5 5 If we look at the following function: f:x x. Sketch the graph of f. Any value that we choose is transformed to a unique value. So, given a value after the transformation, we can find the value of x from which this could have come. As an example, goes to 8 an no other value of x would be transformed to 8. In this case, we call the function one to one, written -. Determine whether the following functions are - or many-one in the given domain: a. f:x x, x. b. f:x x f:x x, x. c. ( ), x. Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées en anglais. d. f:x, x 0. x e. f:x x, x 0 6 Intersection of graphs The intersection of two graphs is found by 6 solving the two equations simultaneously: the number of solutions gives the number of places where they cross. Example: Find the points where the following graphs meet: : y = x and y =. x Solving the two equations simultaneously, 8 x = x = 8 x =, y =. x They intersect at (,). Find the coordinates of the points of intersection: a. y = 7x and y =. x b. 8 y = and y = x x Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées.

65 FUNCTIONS QUE FAIRE? 7 Odd and even functions. 7 There are two kinds of functions that have an interesting property. Even functions: If f is an even functions then: f( x) = f( x). Graphs of even functions. When plotted on a graph an even function is symmetrical about the vertical axis. Odd functions: If f is an odd functions then: f( x) = f( x). Graphs of odd functions. If you turn the page upside down, the graph still looks the same. This rotational symmetry is a property of the odd functions. Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées. Determine whether the following functions are odd, even or neither: a. f( x) = x. b. f( x) c. f( x) d. f( x) e. f( x) x =. x = x +. x x + x+ =. x = x + 5x + 7 x 8 Sketch the graphs of: 8 x+ a. f( x) =. ( ) x b. f( x) =. f( x) x c. f( x) =. f( x) x f x = + x = =. x Répondre aux questions.

66 FUNCTIONS QUE FAIRE? 9 Sketch the graphs of: 9 f x = x. = +. ( ) a. f( x) x b. f( x) = x c. f( x) =. x d. f( x) = x+ x. Répondre aux questions posées. (S ONLY) 0 The modulus sign. 0 The modulus sign of a function f( x ) written f( x ), means that regardless of whether the Expliquer quelle notion est exprimée dans ce texte. Répondre aux questions posées. value at any point is positive or negative, we always take the positive value The graph of y f( x) =. The process applied to find the graph of ( ) y = f x stem from that of any function ( ) y = f x : the parts of the graph where y is positive, i.e. above the x-axis remain the same, while any part of the curve below the x-axis is reflected so that the whole of the curve lies above on the x-axis The graph of f : ( ) f x = x x + is : Sketch the graphs of y f( x) =.

67 REPONSES FUNCTIONS Find the given values for the following functions: a. g:y y. Find g0 ( ),g ( ),g( ) b. h:x x +. Find h ( ),h,h ( 0 ) REPONSES a. g ( ) ; g ( ) ; g( ) 0 = = =. = = = 5 7. b. h ( ) ; h ; h( 0) Range (S ONLY) The set of values which is produced by the right-hand side can also be limited. Example: g: x x +. We can see that since x is always greater than or equal to zero, x + for any value of x. The set of values taken by the transformed number is called the range of the function (g in this case). Find the range of the following functions for the given domain: a. f:x x. x 0. b. g:t t +. t. La notion expliquée ici est la notion d image (Range) d une fonction. L image d une fonction f est l ensemble des images f ( x) des éléments x du domaine de définition. a. L image de f est [ ; + [. b. L image de g est [ ; + [. c. L image de h est ] 8 ; 8 [. c. h:y y < <.. y (S ONLY) The function f is defined for real values of x by : f:x x. Find the range of f corresponding to a domain of - x. State another domain for which f has the same range. L image de f est [ 0 ; 9 ]. Les domaines [ ; ], [ ; ] même image par f 0 ont If f(x)=ax+b with f() = and f( ) = 7, find a and b. a et b sont solutions du système a+ b =. On trouve : a ; b a+ b = 7 = =

68 FUNCTIONS (S ONLY) If we look at the following function: f:x x. Sketch the graph of f. Any value that we choose is transformed to a unique value. So, given a value after the transformation, we can find the value of x from which this could have come. As an example, goes to 8 an no other value of x would be transformed to 8. In this case, we call the function one to one, written -. Determine whether the following functions are - or many-one in the given domain: a. f:x x, x. b. f:x x f:x x, x. c. ( ) d. f:x, x 0. x e. f:x x, x 0, x. Intersection of graphs The intersection of two graphs is found by solving the two equations simultaneously: the number of solutions gives the number of places where they cross. Example: Find the points where the following graphs meet: : y = x and y =. x Solving the two equations simultaneously, 8 x = x = 8 x =, y =. x They intersect at (,). Find the coordinates of the points of intersection: a. y = 7x and y =. x b. 8 y = and y = x x 6 REPONSES En français, les fonctions one to one sont appelées des fonctions bijectives. Elles vérifient la propriété suivante :tout élément de l ensemble d arrivée n est l image que d un seul élément. Autrement dit, tout élément de l ensemble d arrivée n a qu un seul antécédent. a. f:x x, x. bijective b. f:x x c. ( ) f:x x, x. non bijective, x. non bijective d. f:x, x 0. bijective x e. f:x x, x 0. bijective Les points d intersection des représentations des fonctions f et g ont leurs coordonnées ( x;y ) solutions du systéme : a. y = 7x ; y = x ( ) ( ) y = f x y = g x Le point d intersection est : ; 9 b. y = et y = x x Le point d intersection est :( ; )