Outils Mathe matiques pour les Sciences. COURS et EXERCICES
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- Arnaud Bureau
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1 14-15 Portail SI 1e re anne e Outils Mathe matiques pour les Sciences COURS et EXERCICES Responsable U.E. : pascale.senechaud@unilim.fr OMPS-Faculte des Sciences et Technique-Limoges
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3 Planning des séances Contenus Séances Semaines Annexes Dérivées partielles et opérateurs 1, et 3 1 et Annexe 1 Récré : inéquations : introduction aux systèmes 4 Début de l annexe Calculs sur les nombres complexes 5, 6 3 Annexes 3 et 4 Équations différentielles 7, 8 4 Début de l annexe 5 Devoir surveillé Pas de séance 5 Équations différentielles 9, 1 6 Début de l annexe 5 Récré : Systèmes d équations linéaires 11, 1 7 Annexe 6 Intégrales 13, 14, 15 8 et 9 Annexe 5 Caculs approchés et différentielle 16 9 Récré : Systèmes d inéquations linéaires 17, 18 1 Annexe Ce document est divisé en deux parties : Le travail en séances proprement dit et des annexes. Les annexes ont été écrites afin de vous donner : 1) les prérequis nécessaires au travail en séances, ) des repères plus théoriques, 3) des exercices avec leur corrigés pour vous entraîner. Il s agit pour vous, de travailler ces annexes à la maison en suivant les indications du document et de votre enseignant. Un exercice issu des annexes ne pourra pas faire directement l objet d une partie d un devoir surveillé. En revanche, les connaissances et compétences développées dans les annexes seront des pré-requis aux exercices posés en contrôles, qui seront proches du programme développé en séances. 3
4 Séances 1, et 3 Fonctions de deux variables : dérivées partielles et opérateurs différentiels Pré-requis : La notion de dérivée développée dans l Annexe 1. Une motivation pour la suite La notion de fonction d une ou de plusieurs variables est à la base de la plupart des modèles mathématiques utilisés dans les sciences expérimentales. C est le cas du volume d un gaz qui dépend de la pression et de la température, de la tension aux bornes d un circuit constitué de différents composants (résistances, capacités), d un champ électrique que l on représente à l aide de trois fonctions dépendant des trois coordonnées de l espace x, y et z. Ainsi, par exemple, dans un repère orthonormé (, i, j, k ), si x, y et z sont les coordonnées d un point M, les expressions l(x, y, z) = x + y + z et v(x, y, z) = xyz représentent respectivement la longueur du vecteur OM et le volume du parallélépipède rectangle de diagonale OM. Les fonctions de plusieurs variables peuvent aussi modéliser des situations économiques, sociologiques ou biologiques. Avertissement Tout le long de ce chapitre, nous ne cherchons pas à savoir où est définie la fonction, ni si elle est continue ou non. Le traitement numérique de ces fonctions, indispensable en fin de toute application, porte presque toujours sur des valeurs approximatives, c est-à-dire, des valeurs entachées d erreurs, dues principalement 1. aux relevés des données,. ou aux moyens, règles et/ou modes de calcul. Pour estimer l impact de ces erreurs sur les fonctions à évaluer, nous aurons besoin plus tard de la notion de différentielle et pour définir la différentielle, nous avons besoin des dérivées partielles. Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux fonctions de deux variables réelles : (x, y) f(x, y). Nous ne reviendrons pas sur la notion de dérivées pour les fonctions à une variable. Vous trouverez en annexe (Annexe 1) un résumé de ce qu il est nécessaire de savoir ainsi que des exercices corrigés. 4
5 A- Dérivées partielles A-1 Dérivées partielles premières Définition 1 (et notation) On appelle dérivée partielle de la fonction f par rapport à la première variable x, au point (x, y ), le nombre (s il existe) : f x (x f(x + h, y ) f(x, y ), y ) = lim. h h De même, on définit la dérivée partielle par rapport à la seconde variable y, en (x, y ) : f y (x f(x, y + k) f(x, y ), y ) = lim. k k Remarque importante La définition de la dérivée partielle repose sur l accroissement d une seule variable. C est donc une dérivée simple par rapport à une variable, l autre restant fixe. Par conséquent, toutes les techniques de calcul des dérivées simples s appliquent aux dérivées partielles. Exemple Pour la fonction (x, y) f(x, y) = x ln y, nous avons : f x (x, y) = x ln y et f x (x, y) = y y. Exercice 1 1. Calculer les dérivées partielles des fonctions f(x, y) = ln(x + xy) et g(x, y) = sin x cos y.. Écrire la définition des dérivées partielles d une fonction de trois variables réelles. 3. Calculer les dérivées partielles des fonctions f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = xyz. A- Dérivées partielles d ordre supérieur à 1 Comme pour les fonctions d une variable réelle, on peut définir des dérivées partielles d ordre supérieur à 1 pour les fonctions de plusieurs variables. Les notations universellement utilisées sont : ( f ) x x = f x, ( f ) = f y x y x, ( f ) = f x y x y, ( f ) y y = f y. Remarque À l exception de cas marginaux, l égalité f y x = f x y On pourra utiliser cette remarque à titre de vérification. Exercice est vraie. Reprendre les fonctions f et g de la question 3) de l exercice 1 et calculer toutes leurs dérivées partielles d ordre. 5
6 Exercice 3 Il existe de nombreuses manières de repérer un point dans un plan. Les plus utilisées sont le système orthonormé de coordonnées cartésiennes (x, y) et le système de coordonnées polaires (r, θ). Le passage de l un à l autre se fait grâce aux relations suivantes : x = r cos θ, y = r sin θ. Si l on définit les fonctions x et y par x(r, θ) = r cos θ et y(r, θ) = r sin θ, calculer les dérivées partielles premières et secondes de x et de y par rapport aux variables r et θ. Exercice 4 Dans l espace géométrique à trois dimensions, rapporté à un repère orthonormé, un point est repéré par un triplet (x, y, z) de nombres réels, appelées aussi coordonnées cartésiennes. Les relations suivantes (r, θ, ϕ) u(r, θ, ϕ) = r cos θ cos ϕ, (r, θ, ϕ) v(r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, (r, θ, ϕ) w(r, θ, ϕ) = r sin ϕ. définissent les coordonnées sphériques. Calculer les dérivées partielles premières et secondes de ces trois fonctions par rapport aux variables r, θ et ϕ. B- Opérateurs différentiels B-1 Préliminaires : produit vectoriel, champs de scalaires, champs de vecteurs On munit l espace R 3 d un repère orthonomé R. Soient u, v deux vecteurs de R 3 de composantes respectives (x, y, z) et (x, y, z ). On appelle produit vectoriel de u et v et on note u v, le vecteur de composantes (yz zy, zx xz, xy yx ). Par exemple, si u = (1,, ) et v = (, 1, ) alors u v = (,, 1). Calculer v u. Le vecteur u v est de direction orthogonale au plan défini par u et v : on peut vérifier dans le cas général que les produits scalaires u (u v) et v (u v) sont nuls. On a la relation importante ci-dessous (où sin(u, v) désigne le sinus de l angle entre les vecteurs u et v) : u u = u v sin (u, v). Exercice 5 Calculer u v et v u avec u = (1,, 3) et v = ( 1, 3, ) puis avec u = (1, 5, 1) et v = (, 1, ). Evaluer dans chaque cas sin (u, v). Si u = (x, y, ) et v = (x, y, ) alors u v = (,, xy yx ) et sa dernière coordonnée est l aire algébrique du parallélogramme délimité par les vecteurs u et v. Un champ de scalaires désigne une fonction f qui, à chaque point de l espace R 3, associe un réel r. C est une fonction de R 3 dans R. Un champ de vecteurs désigne une fonction A qui, à chaque point M de l espace R 3, de coordonnées (x, y, z) associe un vecteur A (M). C est donc une fonction de R 3 dans R 3. On note A (M) = A x A y A z 6
7 Exemple : La fonction f de R 3 dans R définie par f : (x, y, z) x + y + xyz est un champ de scalaires. La fonction G de R 3 dans R 3 définie par G : (x, y, z) vecteurs. 4xy + z x 5xy yz z sin(y) + x est un champ de Les physiciens sont amenés à manipuler les champs de vecteurs, les champs de scalaires et les fonctions comme des objets et ils s intéressent aux opérations que l on peut appliquer à ces fonctions pour fabriquer d autres fonctions. On introduit alors la notion d opérateur, qui à une fonction, en associe une autre. Soit, par exemple, l ensemble de toutes les fonctions dérivables sur R. À chacune de ces fonctions, on peut associer sa dérivée. On note D l opérateur de dérivation et on le définit par D f = f pour toute fonction f dérivable sur R. Ainsi, si f : x x, alors D f : x x. B- Gradient - Divergence - Rotationnel - Laplacien scalaire Définition On appelle gradient, et on note grad, l opérateur qui, à un champ de scalaires f, associe le champ de vecteurs défini par : Pour tout point M de coordonnées (x, y, z) grad f(x, y, z) = f (x, y, z) x f (x, y, z) y f (x, y, z)) z qui est un vecteur de R 3. Exercice 6 Déterminer les composantes du vecteur grad f(x, y, z) lorsque : 1) f(x, y, z) = xyz ; ) f(x, y, z) = x + y ; 3) f(x, y, z) = z cos y sin x. Définition 3 On appelle divergence, et on note div, l opérateur qui, à un champ de vecteurs A, associe le champ de scalaire div A défini par : M R 3, div A (M) = A x x + A y y + A z z Si A est un champ de vecteurs, div A est donc une fonction de R 3 dans R. 7
8 Exercice 7 Calculer div A où, lorsque M est un point de l espace de coordonnées (x, y, z), A (M) = z sin y z cos y sin x z cos y Définition 4 On appelle rotationnel, et on note rot, l opérateur qui, à un champ de vecteurs A, associe le champ de vecteurs rot A défini par : M R 3, rot A (M) = A z y A y z A x z A z x A y x A x y Exercice 8 Calculer le rotationnel du vecteur A de l exercice 7 et celui des gradients calculés dans l exercice 6. Définition 5 On appelle laplacien scalaire, et on note, l opérateur qui, à un champ de scalaires f, associe le champ de scalaires f défini par : (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = div grad f(x, y, z). Autrement dit : f(x, y, z) = f x (x, y, z) + f y (x, y, z) + f (x, y, z) z Exercice 9 Calculer le laplacien scalaire du champ f, donné par f(x, y, z) = x + y + z. Remarque Les définitions de gradient, divergence et laplacien ont été donnés pour 3 variables mais sont analogues pour deux variables. Définition 6 On appelle fonction harmonique une fonction dont le laplacien est nul. Exercice 1 Vérifier que la fonction f de R dans R, donnée par f(x, y) = x y, est harmonique. Exercice 11 Soit A un champ de vecteurs et f un champ de scalaires. Pour tout M = (x, y, z) R 3, montrer que : 8
9 1- rot grad f(x, y, z) =. - div rot A (M) =. Exercice 1 Calculer la divergence et le rotationnel des champs de vecteurs suivants : x y A 1 : (x, y, z) x + 3y A 4 : (x, y, z) 6z 6xyz + 6y cos x 3x z + sin x 3x y + z ; A : (x, y, z). x y z 6z + y x ; A 3 : (x, y, z) e x e x+y e z Donner si possible, pour chaque champ de vecteurs précédent, un champ de scalaires dont il est le gradient (potentiel scalaire). ; B-3 Exercices pour s entraîner Exercice 1 Montrer que chacune des fonctions définies ci-dessous vérifie la relation qui lui est associée. 1. f de R dans R définie par f(x, y) = x 3 3x y y 3 vérifie : x f f (x, y) + y (x, y) = 3f(x, y). x y. f de R dans R définie par f(x, y) = x + y vérifie : x + y x f f (x, y) + y x y (x, y) = 3 f(x, y). 3. f de R dans R définie par f(x, y) = 3 x + y vérifie : 3x f x y (x, y) + 3y f f (x, y) + (x, y) =. y y 4. f de R dans R définie par f(x, y) = ln (x + y + z ) vérifie : x f y z (x, y, z) = y f x z (x, y, z) = z f (x, y, z). x y Exercice 1mm] Montrer que chacune des fonctions définies ci-dessous est harmonique. 1. f de R dans R définie par f(x, y) = x 3 3xy.. f de R dans R définie par f(x, y) = y 3 3x y. 3. f de R 3 dans R définie par f(x, y) = xz x + y. Exercice 3 Vérifier que les rotationnels des champs de vecteurs ci-dessous sont nuls et écrire leur potentiel scalaire (champ de scalaires dont chacun est le gradient) : x + y + z 1. V : (x, y, z) x + y + z ;. W : (x, y, z) Réponses : V x + y + z x yz y zx. z xy = grad (x + y + z + xy + yz + xz) ; W = grad ( 1 3 x y z3 xyz). 9
10 B-4 Complément : opérateur nabla et écriture des opérateurs Pour une écriture plus synthétique des opérateurs vus dans le paragraphe précédent, et une mémorisation plus aisée, on introduit un nouvel opérateur. Soit une fonction f de trois variables à valeurs dans R (c est donc un champ de scalaires) dont les dérivées partielles existent. On peut lui associer le triplet de ses dérivées partielles. Attention il s agit d un triplet de fonctions qui, une fois évaluées en un point de l espace R 3, donnera un vecteur de l espace R 3. On note et on appelle nabla cet opérateur. On écrit : = x y z Ce qui signifie que, si f est un champ scalaire, alors f = Exercice 1 Soit f : (x, y, z) 3xy + 4yz + x. On note f 1 : (x, y, z) 3y + 1, f : (x, y, z) 6xy + 4z et f 3 : (x, y, z) 4y. Vérifier que f = (f 1, f, f 3 ). f x f y f z Avec la notation, on a : grad f = f, Le vérifier. M R 3 M R 3 div A (M) = A (M), rot A (M) = A (M). 1
11 Séance 4 Récréation : Sur les équations et inéquations On commencera ici à travailler à la maison l annexe. Un problème simple de bénéfice Un commerçant achète des produits pour les vendre. Son fournisseur lui accorde une remise de 1% sur le prix de vente étiqueté en magazin. Lorsqu il vend ces produits le commerçant offre à ses clients des chèques cadeaux de 5 euros pour l achat de chaque produit. Pour quelle valeur du prix de vente le commençant peut-il réaliser un bénéfice? Ensembles et fonctions Exercice 1 On considère les fonctions données par les expressions suivantes : f 1 (x) = 1 x x 5, f (x) = x 6x + 5 et f 3(x) = x 1. x a) Dans quels intervalles se trouve f 1 (x) et f (x) lorsque x [ 1, 1[? b) Comment choisir x pour que f 1 (x) < 1? c) Comment choisir x pour que f (x) > 3? d) Comment choisir x pour que f 3 (x) < 3? Exercice On considère les fonctions données par les expressions suivantes : f 1 (x) = cos x, f (x) = sin (3x π). a) Dans quels intervalles se trouvent f 1 (x) et f (x) lorsque x [, π 4 ]? Même question avec x ], π 6 ]. b) Comment choisir x pour que < f 1 (x) < 1? c) Comment choisir x pour que f (x) > 1? Inéquations linéaires à deux inconnues et systèmes d inéquations linéaires à deux inconnues Méthode de résolution d une inéquation linéaire à deux inconnues Dans R, toutes les inéquations linéaires à deux inconnues se ramènent à la forme fondamentale (1) ax + by + c où a, b et c sont des nombres réels et x et y les inconnues. 11
12 Résoudre l inéquation ax + by + c, c est trouver l ensemble de tous les couples de réels (x, y) tels que l inégalité ax + by + c soit vraie. Un tel couple de réels (x, y) est appelé une solution de l inéquation (1). Soit S l ensemble des solutions de l inéquation (1) : - si (a, b) (, ), c est-à-dire si a ou b est différent de, S peut être représenté graphiquement par un demi-plan dont la frontière est la droite d équation ax + by + c = ; - si (a, b) = (, ), c est-à-dire si a = b =, alors : (1) c et on a donc soit S = R, soit S =. En pratique, si la droite frontière ne passe pas par l origine, on teste le couple (, ) pour savoir si le demi-plan solution contient l origine O ou pas. Cas d un système : l ensemble des solutions d un système de deux (ou plus) inéquations linéaires à deux inconnues sera représenté par une région du plan déterminé par deux (ou plusieurs) droites. Ces systèmes permettent de modéliser des problèmes concrets. Exercice 3 Représenter graphiquement l ensemble des solutions de chacune des inéquations ci-dessous : 1. x y. y 5 < 3. x 5 Exercice 4 1-Représenter graphiquement l ensemble des solutions du système : { x + y 5 x + y 1. -On dispose d un budget compris entre 4 euros et 8 euros et on veut acheter au moins deux acacias à 8 euros et au moins deux peupliers à 16 euros pièce. Ecrire le système des contraintes issu de ce problème et représenter graphiquement l ensemble des couples solutions. Le vendeur paye les acacias 6 euros pièce et les peupliers 1 euros pièce. Quel est alors le bénéfice maximal et pour quelles quantités d acacias et de peupliers est-il réalisé? 1
13 Séances 5 et 6 Nombres Complexes Vous trouverez en annexe (Annexe 3) des exercices sur la trigonométrie à avoir fait à la maison avant cette séance, ainsi qu une annexe (Annexe 4) contenant les principales définitions et propriétés des nombres complexes vues en Terminale S. Attention, en physique, on utilise la lettre j pour désigner le nombre complexe tel que j = 1. Ici, nous utilisons la notation mathématique i pour ce nombre complexe. En mathématiques, la lettre j désigne le nombre complexe tel que j 3 = 1. Forme algébrique des nombres complexes Exercice 1 Résoudre dans C les équations d inconnue z ci-dessous : (a) (i + z)(z + i(3 z)) = ; (b) i z + 7 = z + i. Exercice a) Montrer que l équation (E) : z 3 ( + i)z + (1 + i)z i = admet une solution imaginaire pure. En déduire une factorisation du premier membre de cette équation sous forme d un facteur du premier degré et d un facteur du second degré, puis résoudre (E) dans C. b) Calculer ( 1 + i 3 ) et ( 1 i 3 ), puis, en posant Z = z, résoudre z 4 + z + 1 =. Forme trigonométrique et forme exponentielle des nombres complexes Rappelons que tout nombre complexe z non nul peut s écrire sous la forme z = r (cos θ + i sin θ), où r est son module et où θ est un de ses arguments (défini à kπ près, k Z). On note également z sous la forme re iθ. En utilisant cette notation explonentielle, rappelons encore trois formules importantes : - la formule de De Moivre : (e iθ ) n = e inθ. - les formules d Euler : pour tout réel x cos x = eix + e ix et sin x = eix e ix. i Exercice 3 a) Soit le nombre complexe z = i = r (cos θ + i sin θ), où (r, θ) R + R. Calculer r et θ, puis écrire z sous forme exponentielle. b) Ecrire sous formes trigonométriques et exponentielles les nombres complexes z = 1 + i 3 et z = 1 i 3. 13
14 c) Écrire en notation exponentielle les complexes suivants : z 1 = i, z = 1, z 3 = 1 + i, z 4 = 1 i, z 5 = + i, z 6 = 1 i, z 7 = 1 + i 3. Les représenter ensuite dans le plan complexe. d) Soit z = e iθ, avec π < θ < π. Trouver, si c est possible, un argument de 1+z, 1 z et 1 z 1 + z Exercice 4 Ecrire le nombre complexe z 1 = ie i π 3 sous forme exponentielle. On donne aussi z = e i π et z 3 = 4e i π 3. Calculer z1 z z 3, puis z 1 (z ). Exercice 5 a) En utilisant la forme exponentielle d un nombre complexe, retrouver les formules concernant les sinus et cosinus de la somme et de la différence de deux nombres réels a et b. Ecrire les formules obtenues pour a = b = α où α réel donné. b) En utilisant la formule de Moivre, écrire cos 3θ et sin 3θ en fonction de cos θ et sin θ. c) En utilisant les formules d Euler et la formule de Moivre, montrer que cos 3 θ = 1 4 cos θ+ 3 4 sin θ et exprimer de même sin 3 θ en fonction de cos θ et sin θ. d) Soit (p, q) R. d 1 ) Montrer que : e ip + e iq = e i p+q (e i p q + e i q p ). d ) En déduire la factorisation de cos p + cos q et de sin p + sin q. d 3 ) Résoudre dans R l équation cos x + cos x =. Exercice ( 6 Soit z = i ). 1. Calculer z et le mettre sous forme trigonométrique.. En déduire le module et un argument de z. Exercice 7 Soit z = i Calculer z et z 4 et en déduire que z = ( cos 13π ) 13π + i sin 8 8. Déduire de la première question les valeurs de cos π 8 et sin π 8 3. Vérifier ce résultat à partir des valeurs de cos π 4 et sin π 8 trigonométrie connues. en utilisant des formules de 14
15 Séances 7, 8, 9 et 1 Équations différentielles Pré-requis : les notions sur les primitives vues en terminale S (voir résumé en annexe 5). A-Un exemple que vous connaissez déjà! En terminale, en calculant des primitives, vous avez en fait résolu le type le plus simple d équations différentielles, celles de la forme : y (x) = f(x). Dans cette écriture : - f est une fonction donnée et y représente la fonction inconnue ; - l équation est dite d ordre 1, car l inconnue y figure sous la forme d une dérivée première ; - les solutions sont exactement les primitives de f, et donc définies sur des intervalles où f est continue. Exemple : la solution générale de l équation différentielle y 1 (x) = est ln( 1 + x ) + C 1 + x où C est une constante. Cela signifie que : - sur l intervalle ], 1[, les solutions sont de la forme y(x) = ln( 1 x) + C 1, C 1 R ; - sur l intervalle ] 1, + [, les solutions sont de la forme y(x) = ln(1 + x) + C, C R. Chaque valeur numérique de C 1 ou C définit une solution particulière. Par exemple, la solution telle que y(1) = ln() est définie sur ]1, + [ et obtenue pour C =. On dit que cette solution vérifie la contrainte y(1) = ln(). En sciences expérimentales, on parle souvent de conditions initiales, ce sont en général des contraintes en. Exercice 1 Résoudre les équations différentielles du premier ordre ci-dessous : 1. y (x) = sin x + cos x ; y (x) = x + 4x + e x ; y (x) = tan x + ;. y (x) = cos 3 x sin x ; y (x) = x x + 1 ; y (x) = sin x cos x ; 3. y (x) = (x + 1)e x +x ; y (x) = 4x3 + x x 4 + x ; 4. y (x) = cos(ωx + ϕ), puis y (x) = sin(ωx + ϕ) où (ω, ϕ) R et ω ; 5. y (x) = sin αx où α R ; y (x) = sin x ; y (x) = cos x. B- Quelques exemples plus compliqués! Plus généralement : Définition 7 Soit n N, on appelle équation différentielle d ordre n toute relation : R(x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) =, (1) entre une fonction (inconnue) y, sa variable x et ses dérivées successives y, y,..., y (n). On appelle solution de l équation différentielle (1), toute fonction y, n fois dérivable sur un intervalle ouvert I et qui vérifie, sur I, la relation (1). 15
16 Remarque Les dérivées successives de y sont également notées dy dx, d y dx,..., dn y dx n. Exemples 1. Les solutions de l équation différentielle y (3) (x) = sont les trinômes de degré inférieur ou égal à deux : ax + bx + c où (a, b, c) R 3. De manière générale, les solutions de l équation différentielle d ordre n, n N, de la forme y (n) (x) = sont tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n 1.. On vérifie que la fonction y(x) = e 14x est solution de l équation différentielle : y (x) 14y(x) =. Exercice Pour chacune des équations ci-dessous, donner son ordre et vérifier que la fonction proposée est bien solution (éventuellement en tenant compte de la contrainte donnée) : 1. (E 1 ) y tan x y =, y(x) = k sin x où k R, avec k = si y( π 6 ) = 1 ;. (E ) y + 4y =, y(x) = λ 1 sin x + λ cos x où (λ 1, λ ) R, avec λ 1 = 1 et λ = si y() = et y () = ; 3. (E 3 ) xy + y xy = sin x, y(x) = 1 x (C 1e x + C e x 1 sin x) où (C 1, C ) R ; 4. (E 4 ) x y (4) y =, y(x) = C 1 x ln x + C x 4 + C 3 x + C 4 où (C 1, C, C 3, C 4 ) R 4. C- Les équations différentielles linéaires! Dans cette unité d enseignement, résoudre une équation différentielle, c est trouver toutes ses solutions qui s expriment à l aide des fonctions élémentaires (polynomiales, rationnelles, trigonométriques, logarithmiques, exponentielles) et leurs réciproques. 1. Il existe très peu de méthodes de résolution systématique des équations différentielles.. Dans cette unité d enseignement, nous ne nous intéresserons qu aux équations différentielles linéaires d ordres 1 et (et encore, pas à toutes). Parmi les équations différentielles du premier ordre et du deuxième ordre R(x, y(x), y (x)) = ou R(x, y(x), y (x), y (x)) =, une place particulière est en effet occupée par celles qui sont linéaires, c est-à-dire les équations différentielles de la forme : a(x)y (x) + b(x)y(x) = f(x) ou a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) = f(x) où a, b, c et f sont des fonctions définies et continues sur un même intervalle I et a(x) pour tout x I. Ce sont les équations différentielles linéaires d ordres respectifs 1 et. Si f(x) =, pour tout x I, on dit alors qu elles sont homogènes ou encore sans second membre. Les fonctions a(x), b(x) et c(x) sont les coefficients de l équation. Attention : le qualificatif homogène n a pas le même sens que celui que vous verrez dans les équations aux dimensions en physique et en chimie. 16
17 C-1 Résolution des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre Soit une telle équation : a(x)y (x) + b(x)y(x) =. où a et b sont des fonctions définies et continues sur un même intervalle, a n étant pas la fonction nulle. Pour résoudre ces équations, il est commode de les réécrire sous la forme y (x) = α(x)y(x) ou encore y (x) y(x) = α(x) où α est une fonction continue sur un intervalle. On remarquera que ces deux formes ne sont pas équivalentes, puisque dans la première écriture la fonction y peut s annuler et pas dans la deuxième. On perd en particulier dans le deuxième forme la la fonction nulle comme solution. Cependant, il est très simple de résoudre l équation y (x) = α(x) dite à variables séparées en utilisant la dérivée logarithmique de y. On en déduit y(x) en effet : ln y = α(x)dx + C, où C R. Si on remarque en plus que C peut s écrire ln k où k R, on écrit directement : ln y k = α(x)dx, où k R. Par passage à l exponentielle, on obtient alors : y(x) = k exp α(x)dx où k R. Remarques On retrouve pour k = la fonction nulle qui avait été perdue en chemin comme solution. Une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre est dite à variables séparables. Cas coefficients constants : α(x) = λ où λ est constante. Dans ce cas, l écriture au-dessus se simplifie et finalement : y (x) = λy(x) y(x) = k e λx où k est une constante. Remarque (pouvant être sautée en première lecture) On explique facilement dans ce cas une autre méthode de résolution : on remarque que les solutions de l équation différentielle y (x) = λy(x) sont aussi celles de l équation différentielle [y (x) λy(x)]e λx = et réciproquement. Autrement dit y sera solution de y (x) = λy(x) si et seulement si elle est solution de [(y(x)e λx ] =. D où, par intégration, y vérifie [(y(x)e λx ] = k (où k est une constante), et on retrouve la formule ci-dessus. La démarche utilisée dans cette deuxième méthode reste valable dans le cas non constant et permet de retrouver la solution donnée plus haut. Vous pouvez y réfléchir à titre d exercice. Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : 1-4y (x) 3y(x) = pour tout x R. 17
18 - y (x) = y(x) cos x pour tout x R. 3- xy (x) + x y(x) = pour x ], + [. 4- y(x) cos x + y (x) sin x = pour x ] π, π [. Pour cette équation, on cherchera la solution y telle que y() =. C- Résolution des équations linéaires du premier ordre non homogènes L équation que l on cherche à résoudre peut s écrire : y (x) = α(x)y(x) + β(x) où α et β sont définies et continues sur un même intervalle. La résolution des équations linéaires non homogènes s appuie sur le principe dit principe de superposition (terminologie utilisée en sciences expérimentales) : La solution générale de l équation différentielle linéaire du premier ordre non homogène y (x) = α(x)y(x) + β(x) est égale à la somme d une de ses solutions particulières et de la solution générale de l équation différentielle homogène associée. Premier cas : on connaît (ou on sait trouver simplement) une solution particulière de l équation complète y (x) = α(x)y(x) + β(x). Il suffit alors de résoudre l équation homogène associée pour construire par addition la solution cherchée. Exercice 4 Soit l équation y = αy + β, avec α et β deux réels et α. 1. Vérifier que y = β est une solution particulière de cette équation. α. Construire sa solution générale. Exercice 5 Montrer que la solution générale de l équation différentielle 1. y (x) + y(x) = e x est Ce x ex.. xy (x) + y(x) = 3x est C x + x pour x ], + [. Exercice 6 Déterminer la fonction q telle que 3q (t) + q(t) = 6 et q() = (on pourra utiliser l exercice 4). Deuxième cas : on ne connaît pas de solution particulière de l équation complète y (x) = α(x)y(x) + β(x). On utilise la méthode dite de variation de la constante qui se déroule en deux temps : 1. Tout d abord, on résout l équation homogène associée : y (x) = α(x)y(x) 18
19 . Ensuite, dans la solution générale de cette dernière, on remplace la constante k par une fonction inconnue, notée C(x) et on injecte la fonction obtenue dans l équation non homogène du départ. On obtient systématiquement une simplification de telle sorte que l équation peut toujours s écrire sous la forme C (x) = g(x) où g est la fonction ainsi obtenue. En intégrant C sans oublier la constante, on obtient l expression de la solution générale de l équation différentielle non homogène. Exemple : résoudre l équation différentielle xy y = x On résout l équation homogène associée xy y =. On obtient y(x) = kx où k R.. On remplace k par une fonction C(x) inconnue et on injecte la nouvelle expression de y(x) dans l équation complète, en calculant d abord y (x) ; on obtient : C (x)x 3 + C(x)x C(x)x = x On observe bien la simplification annoncée et on obtient : C (x) = 1 d où C(x) = x + λ, λ R. 4. En reportant dans l expression de y, on en déduit la solution complète : y(x) = (x + λ)x soit encore y(x) = x 3 + λx, λ R. Remarque : on s aperçoit sur cet exemple qu en fait, si on oublie la constante dans l intégration de C, cela revient à calculer une solution particulière de l équation complète et qu alors, on retrouve la solution générale de l équation complète par le principe de superposition. Complément qui peut être sauté en première lecture : justification de la méthode de variation de la constante Dans le cas général, en notant γ(x) = α(x)dx, on a : y (x) = (C(x)e γ(x) ) = α(x)c(x)e γ(x) + β(x) on obtient : [C (x) + α(x)c(x)]e γ(x) = α(x)c(x)e γ(x) + β(x), c est-à-dire, C (x) = β(x)e γ(x). D où, C(x) = k + β(x)e γ(x) dx, k R et, finalement l expression de la solution générale de l équation différentielle non homogène. Exercice 7 Retrouver les solutions générales des équations différentielles de l exercice 5 en utilisant la méthode de variation de la constante. Exercice 8 Déterminer la solution générale de l équation xy (x) ln (x)y(x) = e (ln x) pour x >. 19
20 C-3 Résolution des équations différentielles linéaires d ordre, homogènes et à coefficients constants Elles sont de la forme : avec a, b, c trois réels et a. ay (x) + by (x) + cy(x) = Nous nous intéressons à ce cas, car il n existe pas de méthode générale pour résoudre toutes les équations différentielles linéaires du second ordre. On cherche les solutions de la forme : y(x) = e rx où r est un nombre ( inconnu. ) En injectant cette fonction dans l équation considérée, on obtient l expression ar + br + c e rt = qui n est vérifiée que si le nombre r satisfait l équation algébrique, dite équation caractéristique : ar + br + c =. () Les racines de cette équation algébrique du second degré, notées r 1 et r, dépendent (bien sûr) du signe du discriminant = b 4ac. Dans le cas où <, les nombres complexes conjugués r 1 et r s écrivent : r 1 = α iβ, r = α + iβ avec (α, β) R. La solution générale de l équation différentielle linéaire homogène de second ordre s exprime alors comme suit : ay (x) + by (x) + cy(x) = K 1 e r1x + K e rx, si > (r 1, r R); y(x) = (K 1 x + K )e rx, si = (r 1 = r = r R); e αx( ) K 1 cos(βx) + K sin(βx), si <. où (K 1, K ) R. Remarque qui peut être sautée en première lecture : autre expression de la solution générale utilisée en mécanique, dans le cas où <. En mécanique, lorsque <, on présente parfois la solution générale sous la forme Ce αx cos(βx ϕ) où C et ϕ sont de nouvelles constantes qui influent respectivement sur l amplitude et la phase du mouvement. Pour obtenir cette forme, on suppose que les constantes K 1 et K ne s annulent pas simultanément et on considère l angle ϕ tel que cos(ϕ) = K 1 K 1 + K et sin(ϕ) = K. K 1 + K Ainsi, de l expression y(x) = e αx( ) K 1 cos(βx) + K sin(βx), on déduit y(x) = K1 + K eαx( K 1 K ) cos(βx) + sin(βx) K 1 + K K 1 + K = Ce αx cos(βx ϕ).
21 Exercice 9 Résoudre les équations différentielles 1. y (x) 3y (x) + y(x) =.. y (x) y (x) + y(x) =. 3. y (x) 6y (x) + 9y(x) =. Exercice 1 Déterminer la fonction x vérifiant x (t) + 16x(t) = et telle que x() = 1 et x () =. C-4 Résolution des équations du deuxième ordre, linéaire et à coefficients constants non homogènes Soit une équation de la forme ay (x) + by (x) + cy(x) = f(x). Le principe de superposition, vu pour les équations différentielles linéaires d ordre 1, agit aussi pour les équations différentielles linéaires du second ordre. La solution générale de l équation différentielle linéaire du second ordre a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) = f(x) est égale à la somme d une de ses solutions particulières et de la solution générale de l équation différentielle homogène associée. Suivant ce principe, la résolution de telles équations différentielles se fait en deux étapes. La première consiste à résoudre l équation différentielle homogène associée et la seconde étape, à trouver une solution particulière dont la forme sera toujours suggérée dans les exercices. Exercice 11 Résoudre l équation différentielle : y y 6y = e x (x x + 1) sachant qu elle admet une solution particulière de la forme (ax 3 +bx +cx+d)e x où (a, b, c, d) R 4. Exercice 1 Soit l équation différentielle : d P (t) dt + dp (t) dt = e t (eq) 1) Déterminer une solution particulière de l équation (eq) sous la forme P (t) = ae t avec a réel. ) Exprimer la solution générale de l équation (eq). 3) Parmi les fonctions P trouvées à la question ), on considère celle telle que P () = 1 3 et dp () dp () = ainsi que celle telle que P () = et =. Tracer dans le plan rapporté à un dt dt repère orthonormé les courbes représentatives de ces deux fonctions. 1
22 D-Exercices pour s entraîner Résoudre les équations différentielles ci-dessous où l inconnue est la fonction y de la variable x : 1. y = x + x 3 ; Réponse : y = x4 1 + x3 6 3 x + C 1 x + C, (C 1, C ) R.. xy + y = avec y() = 1 ; Réponse : sans contrainte, les solutions sont sur ], [ ou sur ], + [, y = K, K R et avec la contrainte, la solution est y = sur ], + [. x x 3. xy y = x 3 ; 4. y + y tan x = sin x Réponse : y = kx + x 3, k R. Réponse : y = cos x + k cos x, k R. 5. y + y y = x 3 3x + 1 (indication : on cherchera une solution particulière sous la forme d un polynôme du second degré) ; Réponse : y = C 1 e x + C e x x + 1 x 5 4, (C 1, C ) R. 6. y + y + y = x x + 3 (indication : on cherchera une solution particulière sous la forme d un polynôme du second degré) ; Réponse : y = e x 7 7 (C1 cos x + C sin x) + x 3 x + 5 4, (C 1, C ) R. 7. y + y = x 4x + 3 (indication : on cherchera une solution particulière sous la forme d un polynôme de degré 3) ; Réponse : C 1 + C e x x3 5 4 x x, (C 1, C ) R.
23 Séances 11 et 1 Récréation : Sur les systèmes d équations linéaires Les méthodes de résolution des systèmes d équations linéaires sont expliquées dans l Annexe 6. Les exercices de cette annexe sont à faire à la maison. La méthode de Gauss sera expliquée en cours. Petits préliminaires Fabriquer un système d équation dont l unique solution soit (, 3). Fabriquer un système ayant pour solution les couples (k, k + 1) où k décrit l ensemble des réels. Fabriquer un système n ayant pas de couple de réels solutions. Un problème simple de robinets Un bassin de litres est alimenté par deux fontaines A et B de débits constants. Une première fois, on laisse couler la fontaine A pendant quatre heures et la fontaine B pendant deux heures. Elles ont versé dans le bassin 64 litres. Une deuxième fois, on laisse couler A pendant trois heures et B pendant quatre heures. Elles ont versé 6 litres. a- Quel est le débit de chaque fontaine? b- Combien faudrait-il de temps pour remplir le bassin si les deux fontaines coulent ensemble? (d après le manuel Mathématiques troisième programme IREM de Strasbourg-Éditeur Istra.) Ça roule! Un automobiliste effectue un trajet de 55 km en 5 h mn. La consommation d essence correspondante a été de 47 litres. Le trajet comporte des portions de routes, d autoroutes et de traversées de villes. On sait que la vitesse moyenne de l automobiliste est de 8 km/h sur route, 1 km/h sur autoroute et de 5 km/h en ville. Par ailleurs la consommation moyenne du véhicule est respectivement de 8, 1 et 1 litres sur route, autoroute et en ville. Déterminer le kilométrage du trajet sur route, sur autoroute et en traversées de villes. (d après le manuel Mathématiques Seconde programme 199. Collection Decreton-Poret-Éditions Gamma.) Deux problèmes très anciens 1. Chercher trois nombres tels que : le premier augmenté de 73 égale le double de la somme des deux autres ; le second augmenté de 73 égale le triple de la somme des deux autres ; le troisième augmenté de 73 égale le quadruple de la somme des deux autres (in Arithmetica Pracica, Christophore Clavius, Rome 1586). 3
24 . Le problème concerne quatre hommes. Le premier, le second et le troisième, à eux trois, possèdent 7 pièces. D autre part le second, le troisième et le quatrième ont, eux tous, 31 pièces. Le troisième, le quatrième et le premier ont, quant à eux, 34 pièces. Enfin le quatrième, le premier et le second ont un total de 37 pièces. On demande combien de pièces possède chacun des hommes (in Liber Abaci, 18. Leonardo Fibonacci Traduction du latin de J.-P. Levet, brochure de l IREM de Poitiers, 1997.). Un problème plus compliqué de robinets Un bassin peut-être rempli par des conduits A, B et C de débits constants. On le remplit en 7 mn par les conduits A et B ; en 84 mn par les conduits A et C et en 14 mn par les conduits B et C. 1- En combien de temps le bassin peut-il être rempli par chacun des conduits coulant seul? - Puis par les trois conduits ensemble? (d après le manuel Mathématiques Seconde programme 199. Collection Decreton-Poret-Éditions Gamma.) 4
25 Séances 13, 14 et 15 Intégrales Pré-requis : les notions sur les primitives et intégrales vues en terminale S (voir résumé dans l Annexe 5). A-Intégrales simples Exercice 1 Calculer les primitives et intégrales ci-dessous : π 1 - (x 3 + sin x + e x ) dx et (x 3 + sin x + e x ) dx. 1 π 6 - (sin 3x + cos x) dx et (sin 3x + cos x) dx. π (1 + tan x + 1 π 4 cos ) dx et (1 + tan x + 1 x π cos x ) dx ( 1 1 x + x + e3x ) dx et ( 1 x + x + e3x ) dx x dx, x dx, x dx, x dx, x dx, x dx. Exercice Calculer les primitives et intégrales ci-dessous : π 1 - (sin x cos 4 x) dx et (sin x cos 4 x) dx. 1 x x - x dx et 1 x 1 dx. 1 x x 3 - (x dx et 1) 3 (x 1) 3 dx. 4 - ( ln x 3 ) dx et ( ln x x 1 x ) dx. 5 - (x 1 x + 1) dx et (x x + 1) dx. Exercice 3 Dans cet exercice, on utilisera la technique d intégration par parties qui découle de la formule de dérivation d un produit : udv = uv vdu, où dv représente v dx et du représente u dx. On indiquera systématiquement la fonction qui joue le rôle de u et celle qui joue le rôle de v. Calculer les primitives et intégrales ci-dessous : π x sin x dx et x sin x dx. - xe x dx et xe x dx. 1 5
26 x ln x dx et ln x dx et e x sin x dx et x ln x dx. ln x dx. 1 e x sin x dx. Exercice 4 Calculer en utilisant les propriétés des fonctions mises en jeu : 1 x x π +π x + 1 dx, sin x, dx et cos x dx. 1 Exercice 5 Soit I la fonction définie sur R par I(t) = sin(ωt) où ω est une constante réelle. Après avoir déterminé la période T de la fonction I, calculer, en fonction de ω, l intégrale de cette fonction sur l intervalle [, T/] puis sur l intervalle [, T ]. Exercice 6 Calculer les intégrales définies suivantes : b a b a 1 e 1 e cu du où (a, b, c) R 3 et c. dω ω c où (a, b, c) R3 et c [a, b]. y 1 + y dy. (t ln t 3 ) dt (où e désigne la base du logarithme népérien). t Exercice 7 Dans cet exercice, on devra utiliser la technique de changement de variable dont voici un exemple. x dx Calculons, en posant t = x + 1. Cela équivaut à t = x + 1, d où dx = tdt. On en x + 1 déduit : Calculons maintenant x dx = x (t 1) dt = ( t3 3 t) + c, où c R. x dx x + 1. On pose toujours t = x + 1, ce qui équivaut à t = x + 1, d où dx = tdt. Mais on doit exprimer les bornes x = et x = 3 en fonction de la nouvelle variable. Pour x =, on calcule t = 1 et pour x = 3, on calcule t =. On en déduit : 3 x dx x + 1 = 1 (t 1) dt = [ t3 3 t] 1 = 8 3 Il faut retenir que, quand on fait un changement de variable dans une intégrale comme dans une primitive, on doit effectuer le changement de variable dans la fonction à intégrer et aussi dans l élément différentiel. Quand on calcule une primitive, on donne en général le résultat par rapport à la variable d origine. Dans le cas d une intégrale, on ne revient bien sûr pas à la variable d origine, mais il ne faut pas oublier de modifier les bornes en accord avec la nouvelle variable. a) Remarquer qu on peut traiter les exemples de l exercice par une méthode de changement de variable. Traiter quelques cas. b) Calculer les primitives et intégrales ci-dessous, en utilisant le changement de variable indiqué : 1 - x dx a 6 x 6 et 1 x dx a 6 x 6, où a R+, en posant t = x 3. 6
27 - sin x + cos x 3 + sin x dx et π π 4 sin x + cos x 3 + sin x Réponses : dx, en posant t = sin x cos x. Réponses : a 3 ln a3 + x 3 a 3 x 3 et 1 6a ln sin x cos x ln sin x + cos x et 1 ln 3. 4 Exercice 8 Soit I = x cos tdt et J = x sin tdt. Calculer I + J et I J puis en déduire les valeurs de I et de J. Mettre ces résultats en liaison avec ceux de l exercice 4 page 17. Exercice 9 Π 4 sin x Soit I = dx et J = cos x + sin x les valeurs de I et de J. Π 4 cos x dx. Calculer I + J et I J puis en déduire cos x + sin x Exemples d utilisation 1 - Mesure de l aire comprise entre deux courbes : Exercice Soit f et g les fonctions de de la variable réelle x telles que f(x) = x ln x et g(x) = sin x. Calculer l aire comprise entre les coubes représentatives de f et g, limitée à gauche et à droite par les droites verticales d équation x = 1 et x = 3 (cf. figure). - Calculer, après l avoir représentée, l aire comprise entre les courbes représentatives des fonctions x et x 3 entre les valeurs et de la variable x. ^ y x-ln(x) A sin(x) 1 3 > x Exercice 11 Soit C la courbe représentative de y = x 4x. Représenter la surface comprise entre l axe Oy, C, l axe x et la droite d équation x = x, puis calculer son aire lorsque : a) x = 4 ; b) x = 6. Réponses : a) 3 3 ; b)
28 Exercice Expliquer pourquoi l intégrale A = R R R x dx représente l aire du demi-disque de centre (, ) et de rayon R et évaluer A en fonction de R. - Calculer A en utilisant le changement de variable x = R cos ϕ. (Indication : on montrera au passage que A = π R sin φ dφ). - Calcul de la longueur d une courbe : L intégrale permet aussi le calcul de la longueur d une courbe, et non le calcul d une surface. En voici un exemple. Si l on considère le cercle de rayon R, et si l on note φ l angle entre (x) et (OM) on a : y La mesure, en radians, de l arc AM est Rdφ. M Pour calculer la longueur p du cercle (périmètre R dφ du disque), on pose : A x p = π R dφ et l on retrouve l expression du périmètre : p = πr. B- Intégrales doubles Nous nous proposons d étendre la notion d intégrale de Riemann à certaines fonctions numériques définies sur une partie de R (et plus tard de R 3 ). Ces intégrales sont notamment utilisées pour calculer des surfaces et des volumes. Nous nous restreindrons ici à l étude de l intégrale d une fonction continue sur un rectangle : on appelle rectangle fermé de R le produit des segments [a, b] [c, d]. Exercice 13 Dessiner dans le plan le rectangle [, 1] [, 1], puis le rectangle [ 1, ] [, 3]. Exercice 14 Calculer : 1. I 1 =. J 1 = y=1 y= y=3 y= ( x=1 x= ( x= x= 1 ) (3x y + x) dx dy, puis I = ) (3x y + x) dx dy, puis J = x=1 x= x= x= 1 ( y=1 y= ( y=3 y= ) (3x y + x) dx dy. ) (3x y + x) dx dy. Dans la suite, f désigne une fonction à deux variables définie sur un rectangle : f : (x, y) f(x, y). 8
29 Théorème 1 Si toutes les intégrales écrites ci-dessous existent, alors on a : On remarquera que dépend de y. b a d c ( b a ) f(x, y)dx dy = b a ( d c ) f(x, y)dy dx. f(x, y)dx est une intégrale définie au sens vu en début de chapitre, qui Définition 8 On appelle intégrale double de la fonction f sur la valeur commune des intégrales On la note b a f(x, y)dxdy. ( d c ) f(x, y)dy dx et d c ( b Exercice Soit D = {(x, y) R, x < 1 et y [, 1]}. Calculer. Soit D = [, 1] [, 1]. Calculer 3. Soit D = [, π ] [, 1]. Calculer 4. Soit D = [, 1] [, 1], calculer D D D dxdy (1 + x + y). a (y cos x + 1)dxdy. x y dxdy. ) f(x, y)dx dy. D e x y dxdy. Exercice Soit D = {(r, θ) R, < r < 1 et θ [, π ]}. Représenter D sachant qu il s agit de coordonnées polaires. Calculer r 3 sin θ cos θ drdθ. D. Soit D = {(r, θ) R 1, < r < 3 et θ [ π, π ]}. Représenter D sachant qu il s agit de coordonnées polaires. Calculer r 3 drdθ. D Attention, les physiciens notent φ l angle polaire dans le plan (au lieu de θ). Nous utiliserons cette notation dans la suite. Exemples d utilisation des intégrales doubles 1 - Calcul de volumes Comme l intégrale simple permet de calculer l aire sous une courbe, l intégrale double permet de calculer le volume sous une surface. A titre d exemple, calculons le volume V du parallélépipède rectangle représenté ci-après. 9
30 z z = h L m y x Le parallélépipède rectangle est le volume situé sous la surface définie par l équation z = h, c est-à-dire par la surface représentative de la fonction de deux variables f(x, y) = h, et limité par les surfaces x = L et y = m. On a alors : V = h dx dy où = [, L] [, m]. On remarquera que dans cette formule dx dy représente la surface élémentaire. m ( L ) m On a donc : = h dx dy = hl dy = hlm. Exercice Que calcule-t-on avec l intégrale double D h dx dy où D est le disque de centre (, ) et de rayon R?. Calculer cette intégrale en utilisant les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z), sachant que la surface élémentaire est alors ρdρdφ,. - Calculs d aires Lorsqu on peut écrire la variation ds de la surface en fonction de deux paramètres, on a : S = ds. Exemple : calcul de l aire d un disque de rayon R Dans ce cas, l élément ds vaut rdrdφ. L aire du disque vaut : R π r dφ dr. La fonction à intégrer ne dépend que de la variable r, donc : R ( π ) R [ ] π [ r ] R r dφ dr = r φ dr = π = πr. On peut remarquer que l aire ds = dessinée ci-dessus. π rdφ dr = πr dr est l aire de la couronne de largeur dr, 3
31 Exercice 18 Déterminer la mesure de la surface latérale S d un cylindre d axe Oz, de rayon r et de hauteur h. (Indication : on expliquera que l élément de surface ds = rdφdz.) z r r dφ dz O h y x Dans les exemples traités ci-dessus, ainsi que dans l exercice, on remarque que la fonction à intégrer f(r, φ), s écrit : f(r, φ) = f 1 (r)f (φ). Dans ce cas, si on intègre sur un rectangle tel que = [a, b] [c, d], on a : C- Intégrales triples ( b )( d f(r, φ)drdφ = f 1 (r)dr a c ) f (φ)dφ. Pour définir les intégrales triples, on procède comme précédemment, avec une fonction à trois variables x, y et z appartenant à un rectangle de R 3 (en fait un parallélépipède rectangle) de la forme [a, b] [c, d] [e, f]. Une intégrale triple permet de calculer un volume lorsqu on peut écrire la variation dv du volume en fonction de trois paramètres, on a : S = dv. Ainsi, on peut retrouver le volume d un cylindre calculé plus haut avec une intégrale double, en posant dv = rdrdφdz (voir dessin précédent), et on a alors : Exercice 19 V = h π R r dr dφ dh = h πr dh = πr h Calculer la surface et le volume d une sphère de rayon R, sachant que l élément de surface s écrit ds = R sin θ dθdφ et l élément de volume dv = r dr sin θ dθdφ. 31
32 Séances 16 Calcul approché et différentielle Il s agit ici de définir la notion de différentielle et de l utiliser pour approcher les valeurs prises par une fonction. A- À une variable Revenons aux fonctions réelles d une variable réelle. On peut interpréter la dérivée de la fonction x f(x) en x comme étant un nombre f (x ) tel que le rapport f(x + h) f(x ) f (x )h h tende vers lorsque h tend aussi vers. Cela veut dire que le numérateur tend vers plus vite que h. Autrement dit, si l on remplace f(x + h) par f(x ), l erreur commise est égale à f x = f(x + h) f(x ). On peut l estimer en fonction de l écart x = h par la formule : f x f (x ) x = f (x )h. Définition 9 La fonction réelle définie dans R par h f (x )h est appelée différentielle de f au point x. On la note df x et on a, pour tout h réel : df x (h) = f (x )h. Si l on introduit la notation (abusive) dx(h) = h, l égalité précédente se transforme en égalité de fonctions df x = f (x )dx. Exemple Soit la fonction f définie sur R par f(t) = at, où a est une constante réelle. En x = 1, f (x ) = a, on écrira que : f(1 + h) f(1) ha, on encore que a(1 + h) a + ah. La fonction h h est la différentielle de f en 1. Exercice 1 Soit la fonction f définie sur R par f(t) = sin t. Déterminer la différentielle de f au point x =. Donner une approximation de sin(h) en fonction de h. B- À deux variables Définition 1 Une fonction (x, y) f(x, y) est différentiable en (x, y ) si les dérivées partielles α = f(x, y ) et β = f(x, y ) existent et vérifient la condition : x y lim h k La fonction, notée df (x,y ) et définie par f(x + h, y + k) f(x, y ) αh βk h + k (h, k) df (x,y )(h, k) = f(x, y ) x est appelée différentielle de f en (x, y ). =. h + f(x, y ) k y 3
33 Exemple La différentielle en (, ) de la fonction (x, y) f(x, y) = x 3 y + y est définie par df (,) (h, k) =, et en (, 1) par df (, 1) (h, k) = 1h + 6k. La différentielle de f en (x, y ) qui, rappelons-le est une fonction, est souvent notée : df (x,y ) = f(x, y ) x dx + f(x, y ) dy y où dx et dy sont les applications définies par dx(h, k) = h et dy(h, k) = k. Lorsqu il n y a pas d ambiguïté sur le point (x, y ), la différentielle donne lieu à la formule d approximation suivante : f f f x + x y y. Exercice Calculer la différentielle de la fonction (x, y) xy. Appliquer le résultat à la formule (de physique) U = RI. 3- À trois variables Exercice 3 Écrire la différentielle d une fonction de trois variables réelles. Grâce à la notion de différentielle, nous pouvons rigoureusement approcher les valeurs prises par une fonction au voisinage d un point (x, y, z ). Notons x, y et z, les écarts subis respectivement par les variables x, y et z en (x, y, z ). Alors l écart f (x,y,z ) = f(x + x, y + y, z + z) f(x, y, z ) subi par la fonction f au point (x, y, z ) est approché par ou en abrégé, f (x,y,z ) f x (x, y, z ) x + f y (x, y, z ) y + f z (x, y, z ) z f f f f x + y + x y z z. Exercice 4 Pour un nombre fixe n de moles d un gaz, on définit la fonction (P, V, T ) G(P, V, T ) par G(P, V, T ) = P V nrt où R est la constante des gaz parfaits ( R = 8, 31447JK 1 mol 1 ), V, le volume qu il occupe, T, sa température et P, sa pression. On sait que pour le modèle de gaz parfait, cette fonction est constamment nulle. 1. Calculer la différentielle de G en un point (P, V, T ).. Que devient cette différentielle si l on suppose que (a) T est constante, (b) P est constante, 33
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