École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Local B Site internet : MAT145.

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1 École de technologie supérieure Service des enseignements généru Locl B Site internet : MAT45 CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL NOTES DE COURS e PARTIE PAR GENEVIÈVE SAVARD, ROBERT MICHAUD ET ANDRÉ BORDELEAU RÉDIGÉ EN OCTOBRE 006 RÉVISÉ EN AOÛT 04 Si vous désirez une version ppier de ce tete, nous vous conseillons de vous l procurer à l Coop ÉTS plutôt que d imprimer l version PDF : l résolution ser meilleure en générl, prticulièrement celle des grphiques, des boîtes grisées et de certins smboles mthémtiques. Ce document est mis à disposition selon les termes de l licence Cretive Commons Attribution - Ps d Utilistion Commercile - Ps de Modifiction 4.0 Interntionl.

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3 Tble des mtières Avnt-propos vii 4 L intégrle 4. L intégrle définie Unités de l intégrle définie Propriétés de l intégrle définie Théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl L intégrle indéfinie Tble d intégrles indéfinies Interpréttion de l intégrle définie Preuve du théorème fondmentl du clcul Techniques d intégrtion Intégrtion pr substitution Complétion de crré Intégrtion pr prties Intégrles impropres Autres pplictions de l intégrle définie Forces distribuées Clculs d ires, de volumes et de longueurs Aires Solides de révolution Méthode des disques Méthode des tubes Longueurs d rc iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES 6 Polnômes et séries de Tlor Approimer une fonction grâce à un polnôme Les séries Des polnômes de Tlor de degré de plus en plus grnd Séries numériques Séries de puissnces, séries de Tlor Intervlle de convergence et test du rpport Séries lternées Obtention de nouvelles séries Séries de bse Dérivtion et intégrtion des séries de puissnces Substitution dns une série de puissnce Utilistion des séries Applictions en phsique Clcul d intégrles Séries géométriques Annee 6 A. Quelques notions de cinémtique A.. Comment obtenir l position à prtir de l vitesse A.. Comment obtenir l vitesse à prtir de l ccélértion A. Aide-mémoire TI-Nspire A.. Suites A.. Sommtions A.. Intégrles définies A..4 Intégrles indéfinies A..5 Construction de primitives A..6 Polnômes de Tlor A. Règles et formules de dérivtion A.4 Tble d intégrles indéfinies A.5 Tble des séries de bse

5 TABLE DES MATIÈRES v Réponses 77 Chpitre Chpitre Chpitre Bibliogrphie 05 Inde 07

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7 Avnt-propos Le tete que vous vez entre les mins est le fruit d une réfleion morcée il quelques nnées u sein du groupe de mthémtiques de l ÉTS. Deu défis nous interpellient à ce moment :. Comment rendre les mthémtiques intéressntes et vivntes à un groupe d étudints en génie? Notre clientèle provient principlement du secteur technique u collégil et elle, en conséquence, «soif» de concret et d pplictions.. Étnt donnés l vènement et l ccessibilité grndissnte de divers outils de clcul, quelle ttitude dopter à l égrd de ceu-ci? L première question en est une d ctulité dns chque fculté ou école de génie u Québec. À l ÉTS, certines lignes directrices se sont déggées à l issue des nombreuses discussions et échnges sur les prtiques pédgogiques de chcun. Ces lignes directrices colorent en quelque sorte le tete qui suit ; nous reviendrons... L deuième question s est conclue pr l doption d une résolution de l prt du groupe llnt dns le sens d une «permissivité contrôlée». Permissivité en ce sens que plutôt que de chercher à mener un combt qui s vérerit toujours d rrière-grde (et en définitive, perdu) contre les «nouvelles technologies», il été décidé d en fire un usge étendu. Contrôlée, en ce sens que le choi de l outil été rrêté et le clculteur smbolique produit pr Tes Instrument (TI-9+ à l époque, Voge 00 ensuite et Nspire mintennt) été retenu pour usge. Dire que cette décision eu un impct senti sur l enseignement (et l pprentissge) des mths à l ÉTS serit un euphémisme... D emblée, une constttion s est imposée : il n eistit ps de mnuel qui correspondit à ce que le groupe recherchit. Il fllit donc plonger dns l venture de l rédction. Celle-ci début u printemps 006 et résult en l production d un recueil d eercices couvrnt l ensemble de l mtière enseignée. L étpe suivnte, l rédction à proprement prler de notes de cours, début u printemps 007 et se poursuivit peu à peu u fil des sessions. Les «lignes directrices» uquelles nous référions plus hut ont déterminé l llure globle du tete produit. Elles se mnifestent dns l présenttion des concepts et dns le choi des eemples et eercices, entre utres. Quelles sont-elles?. Mettre l ccent sur l interpréttion et le tritement grphiques.. Avoir recours u pplictions comme support u développement des hbiletés et comme contete d utilistion des notions enseignées. À ce titre, nous jugeons pertinent de signler l espce importnt consenti u pplictions relevnt spécifiquement du génie et des sciences en générl. vii

8 viii AVANT-PROPOS. Encourger et susciter l utilistion judicieuse (prfois nécessire) du clculteur smbolique TI dont l emploi est imposé à toute l communuté étudinte de l ÉTS depuis 999. Les fonctionnlités grphiques et l puissnce de clcul de l outil fcilitent d illeurs le suivi des deu premières lignes directrices. Ces notes de cours nt comme propos d gir comme support didctique u cours MAT45, il urit été contre-productif selon les uteurs d ller, dns l présenttion, u-delà des notions enseignées «sur le terrin», c est-à-dire en clsse. Si on privilégie une pproche en enseignement centrée sur l utilistion de représenttions grphiques et le recours à des situtions «concrètes» comme contete pour fire des mths, il fut être prêt à per le pri concomitnt en ce qui trit à l rigueur de certins tritements et de certines discussions. Ainsi, le lecteur observer que les théorèmes ne sont ps tous ccompgnés de démonstrtions formelles. Celles qui pprissent ont été jugées utiles prce qu elles servent spécifiquement les fins de l discussion. À ceu qui désirerient se procurer un mnuel de référence, nous suggérons les ouvrges [] ou [] de l bibliogrphie, disponibles à l bibliothèque de l ÉTS. Remerciements Plusieurs personnes ont consenti temps et efforts dns le but de rendre ce tete lisible, compréhensible et, nous l espérons, de fcture gréble à l œil. D utres ont grcieusement prtgé quelques eercices de leur cru. Nous les en remercions sincèrement. Nous tenons à remercier prticulièrement Mme Kthleen Pineu du Service des enseignements généru pour s contribution (eercices, eemples et résumés), MM. Alin Hénult et Frédérick Henri (ussi du SEG) pour le temps qu ils ont imblement consenti à l révision, insi que M. Mrtin Chicoine, du déprtement de phsique de l Université de Montrél pour ses révisions de tetes et le développement d outils grphiques fort utiles. Nous tenons finlement à eprimer notre reconnissnce à l endroit des étudints qui se sont prêtés de bonne grâce u jeu de l «chsse à l erreur» des premières éditions insi qu à ceu qui nous ont encourgés à poursuivre l entreprise. Les commentires et suggestions seront toujours ppréciés... Geneviève Svrd, Robert Michud et André Bordeleu, Mîtres d enseignement à l École de technologie supérieure Août 0

9 i Clcultrice smbolique Lorsque nous mentionnons l emploi d une clcultrice smbolique dns ce tete, nous référons à l clcultrice ctuellement en usge à l ÉTS, soit l TI-Nspire CX CAS de Tes Instrument (version clcultrice ou logiciel). Pour une introduction à l clcultrice smbolique TI-Nspire ou pour de l ide sur son utilistion, nous vous suggérons de visiter le site conçu spécilement pour les étudints de l ÉTS : Liens intéressnts Une version en ligne du présent tete, vec hperliens et en couleurs, est disponible sur le site de Geneviève Svrd et sur le site Moodle Si vous désirez une version ppier, nous vous conseillons de vous l procurer à l Coop ÉTS plutôt que d imprimer l version PDF : l résolution ser meilleure en générl, prticulièrement celle des grphiques. Si une imge vut mille mots, combien de mots vut une nimtion? Visionnez des nimtions illustrnt des concepts mthémtiques u dresses suivntes : seg/gsavard/animtions/inde.html et RepertoireNspire.html. Le répertoire de Robert Michud contient des centines de fichiers en formt tns (pour le logiciel ou l clcultrice Nspire) qui sont directemement en lien vec les eercices que nous vous proposons ici. L ensemble du document été rédigé vec l éditeur de tete TeXnicCenter et le logiciel MikTe, une version Windows du tritement de tete scientifique TEX (de Donld Knuth) et de son préprocesseur LATEX (de Leslie Lmport). Ces logiciels sont grtuits. Voir le site de logiciels libres Quelques grphiques de ce recueil d eercices ont été rélisés à l ide du logiciel Grph, un logiciel convivil et grtuit disponible à l dresse suivnte : L mjorité des grphiques cependnt été créé directement en LATEX, vec PSTricks et PSTricks-dd de Herbert Voss, que nous tenons à remercier pour ses puissntes libriries et pour son empressement à répondre à nos questions sur leur utilistion et leur développement. Voir PSTricks/min.cgi. Remrque u enseignnts concernnt l version d oût 04 Cette nouvelle version ne propose ps de chngement importnt. Nous vons simplement corrigé de petites erreurs signlées u fil des ns.

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11 Chpitre 4 L intégrle Comment concevoir l prtique de l ingénierie sns les outils mthémtiques essentiels que sont les clculs de longueur, d ire et de volume? De tout temps, les mthémticiens ont cherché à développer ces outils ; pensons u formules donnnt l ire d un tringle, l longueur de l circonférence d un cercle, son ire, le volume d une prmide, l ire d une section d ellipse ou l longueur de son rc... Au e millénire v. J.-C., les Bbloniens et les Égptiens svient déjà clculer l ire d un tringle. Au e siècle v. J.-C., Archimède découvrit l formule donnnt l ire sous une prbole. e millénire v. J.-C. e siècle v. J.-C. 7 e siècle Mis c est l rrivée du clcul différentiel et intégrl u 7 e siècle qui enfin fourni une fçon sstémtique de clculer l ire d une région de forme quelconque, de même que l longueur d une courbe et le volume d un solide. L L 8

12 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Dns ce chpitre, nous présenterons l intégrle, concept clé des clculs d ire, de volume et de longueur. Nous verrons l définition de l intégrle, son interpréttion grphique en tnt qu ire sous une courbe, des fçons de clculer les intégrles (ppelées techniques d intégrtion) insi que diverses pplictions de l intégrle. Nous reviendrons u clcul d ire u chpitre 5, en étudint cette fois des formes plus générles. 4. L intégrle définie Il est souvent nécessire d évluer l surfce d une région délimitée pr une ou plusieurs courbes. Considérons pr eemple l région délimitée pr l e des, l courbe = f ()= et les droites verticles = et = 9. f A=? FIGURE 4. Comment clculer l ire de cette région? Aucune formule de l géométrie élémentire ne permet de clculer cette ire : il ne s git ni d un cercle, ni d un tringle, ni d un rectngle... Nous pouvons cependnt pproimer l ire de l région grâce à une somme d ire de rectngles. L bse de chcun des rectngles repose sur l e des et un de ses sommets se situe sur l courbe. Si l région considérée est découpée en rectngles dont les bses sont égles et dont les sommets de guche sont en contct vec l courbe, lors l ire recherchée ser pproimée pr l somme des ires de ces n rectngles, ppelée somme de guche et notée G n.

13 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE En guise d eemple, clculons l somme de guche G 4 de l fonction f () = entre = et = 9. G 4 f (5) f (7) f () f () f G 4 = f ( i ) où = lrgeur des rectngles i=0 = f ( 0 ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) = f () + f () + f (5) + f (7) = ,7740 Si les n rectngles utilisés ont leur sommet de droite en contct vec l courbe, lors l somme des ires de ces n rectngles ser désignée somme de droite et notée D n. D 4 f (7) f (9) f (5) f () f 4 D 4 = f ( i ) i= = f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( 4 ) = f () + f (5) + f (7) + f (9) = ,7740 Définition 4. Si l intervlle [ ;b] est divisé en n sous-intervlles de lrgeur = b n, et si 0 = = + = +... i = + i... n = b lors les sommes de guche et de droite de l fonction f entre et b sont définies pr G n D n = n i=0 f ( i ) = n f ( i ) i= = f ( 0 ) + f ( ) + f ( ) f ( n ) = f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( n ) Consultez l ide-mémoire TI à l pge 70 pour l implémenttion des commndes droite et guche.

14 4 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE L pproimtion de l ire ser meilleure si un plus grnd nombre de rectngles est utilisé. G 8 D G 6 D G 4 D G 4 = 5, D 4 = 9, G 8 = 6, D 8 = 8, G 6 = 6, D 6 = 7, G 4 = 6, D 4 = 7, G 50 = 7,76... D 50 = 7, G 00 = 7, D 00 = 7, G 00 = 7, D 00 = 7, G 400 = 7,... D 400 = 7,5... G 800 = 7,0... D 800 = 7,40... On remrque que, pour une fonction croissnte sur [ ;b] comme l fonction f () = de l eemple, on G n < A< D n et que plus le nombre n de rectngles ugmente, plus l écrt entre G n et D n diminue.

15 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE 5 Si l fonction f est continue sur [ ;b], lors l écrt entre G n et D n tend vers zéro lorsque l on fit tendre le nombre n de rectngles vers l infini. Ainsi, les deu sommes convergent vers l même vleur : lim G n = A= lim D n. n n Définition 4. Soit f une fonction continue sur l intervlle [ ;b]. L limite des sommes de droite (ou de guche) qund n tend vers l infini est ppelée l intégrle définie de l fonction f sur l intervlle [ ;b] et elle est désignée pr le smbole b f ()d. f b f ()d = lim n D n = lim n G n = lim n i= n = lim n i=0 n f ( i ) f ( i ) b f ()d L intégrle définie est donc égle à l ire lgébrique de l région comprise entre l e des, l courbe = f () et les droites verticles = et = b. b L ire lgébrique d une région située u-dessus de l e des bscisses (e des ) est simplement son ire, et celle d une région située sous l e des est son ire ffectée du signe moins. L ire lgébrique d une région située de prt et d utre de l e des est clculée en dditionnnt l ire lgébrique de chcune de ses prties (voir figure 4.). f b f b f ()d > 0 b b f ()d < 0 f FIGURE 4. Illustrtion de l notion d ire lgébrique. b f ()d > 0 b Résumé et générlistion Le principe de bse du clcul d ire est donc de couvrir une région pr l jutposition d un grnd nombre n (plus précisément l limite qund n ) de rectngles très étroits et d en dditionner les ires. Nous verrons ultérieurement qu il en v de même du clcul du volume d un objet ou de l longueur d une courbe : il suffir de remplcer les rectngles pr des petits volumes ou segments de droites. L intégrle est l outil qui permet d dditionner toutes les petites quntités ; elle est d illeurs désignée pr un smbole en forme de «s» provennt du mot ltin summ (somme) :.

16 6 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4.. Unités de l intégrle définie Eemple 4. Soit P(t ) l puissnce électrique utilisée pr une résidence u temps t, où P est eprimée en kw et t en h. Déterminez quelles sont les unités de l intégrle définie Solution : Utilisons l définition de l intégrle 0 P(t )d t. 4 0 n P(t )d t = lim D n = lim P(t i ) t n n 4 Les unités de l intégrle sont donc celles de l somme de droite D n (ou de l somme de guche G n ), c est-à-dire les unités du produit P(t i ) t. i= Ainsi, les unités de l intégrle sont P (kw) kw h P 0 P(t )d t s eprime en kw h 4 P(t i ) t 4 t i 0 t (h) N.B. L intégrle 0 4 P(t )d t correspond à l énergie électrique consommée entre l instnt t = 4 h et l instnt t = 0 h. En l multiplint pr le pri du kw h, on obtient le coût de cette consommtion. Eemple 4. Soit Q(t ) le débit (eprimé en L/min) de liquide entrnt ou sortnt d un réservoir à l instnt t, où t est le nombre de minutes écoulées depuis midi. Un débit positif signifie que le réservoir se remplit, lors qu un débit négtif signifie qu il se vide. () Déterminez quelles sont les unités de l intégrle définie ci-dessous. 80 Q(t )d t. 0

17 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE 7 (b) Pour chcun des grphes de Q(t ) ci-dessous, déterminez le signe de l intégrle définie Q(t )d t et donnez son interpréttion dns le contete du réservoir Q (L/min) (i) Q (L/min) (ii) 0 80 Q t (min) 0 80 Q t (min) Solution : () Utilisons l définition de l intégrle 80 0 Q(t )d t = lim D n = lim n n n Q(t i ) t Les unités de l intégrle sont donc celles de l somme de droite D n (ou de l somme de guche G n ), c est-à-dire les unités du produit Q(t i ) t. Ainsi, les unités de l intégrle sont L min min = L (b) (i) Le résultt de l intégrle 80 0 Q(t )d t correspond à l ire lgébrique de l région comprise entre l e des t et l courbe = Q(t ), pour 0 t 80. Puisque cette région est un rectngle situé sous l e des t, son ire lgébrique est négtive. Q (L/min) i= 0 80 ( ) Q t (min) Donc 80 Q(t )d t < 0 0 Ce résultt négtif signifie que le volume de liquide contenu dns le réservoir à 5h (t = 80) est inférieur à celui de h0 (t = 0) (rppelons qu un débit négtif correspond u fit que le réservoir se vide). (ii) Cette fois, l ire lgébrique qui correspond à l intégrle est positive cr l région située udessus de l e est plus grnde que l région située en-dessous. Dns le contete, cel signifie que le réservoir contient plus de liquide à 5h qu à h0. Q (L/min) Q (+) ( ) t (min) Donc 80 Q(t )d t > 0 0

18 8 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4.. Propriétés de l intégrle définie Théorème 4. Si f et g sont des fontions continues sur l intervlle I contennt, b et c, lors b b. k f ()d = k f ()d où k R b c f ()d + b f ()d = 0 f ()d = b f ()d = f ()d b c f ()d b b b ( ) f ()d + g ()d = f ()+ g () d Ces propriétés découlent directement de l définition d intégrle définie. Leur démonstrtion est lissée u lecteur. Eercices 4. À l ide du grphe, estimez les sommes de guche et de droite G 5 et D 5 de l fonction f cidessous entre = 5 et =

19 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE 9 4. L ccélértion (en m/s ) d un objet se déplçnt en ligne droite diminue durnt une période de 0 secondes. Le grphique suivnt présente un relevé de l ccélértion u secondes. () (b) (c) (m/s ) Clculez D 5 et G 5 pour l fonction ccélértion sur l intervlle [0;0] (sns oublier de mentionner leurs unités). Accompgnez vos résultts des grphiques ppropriés. De plus, fin de mieu décortiquer l nottion utilisée à l définition 4., présentez le clcul détillé D 5 et G 5 en utilisnt cette nottion. Epliquez ce que représentent D 5 et G 5 dns le contete. Schnt que l vitesse de l objet u temps t = 0 étit de 40 m/s, estimez l vitesse u temps t = 0 s. t (s) 4. Un objet prt du repos et ccélère jusqu à tteindre s vitesse mimle en prcournt une trjectoire rectiligne. Il poursuit ensuite son chemin à vitesse constnte. L vitesse de l objet, relevée 4 fois pr seconde, est présentée dns le tbleu suivnt. t (s) 0,00 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00 v (m/s) 0,0, 5, 7, 8,5 9, 9,5 9,5 9,5 Si désigne l position de l objet u temps t, estimez l écrt entre l position de déprt et l position de l objet près secondes ( = () (0)) en le bornnt entre une vleur minimle et une vleur mimle. vleur minimle vleur mimle Conseil : trcez le grphe de v(t ). 4.4 Considérons l fonction f ()= () (b) (c) En trçnt clirement les rectngles utilisés, clculez les sommes de guche et de droite G, D, G 4 et D 4 de l fonction f entre = et =. En utilisnt un logiciel de clcul smbolique muni des fonctions «somme de guche» et «somme de droite», vérifiez vos résultts puis clculez ussi G 00 et D 00. Clculez l moenne de G 00 et D 00 pour donner une pproimtion de l ire sous l courbe f entre et.

20 0 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4.5 Considérons à nouveu l fonction f ()= () Grâce u smbole de sommtion Σ, eprimez D n, l somme de droite vec n sousintervlles de l fonction f entre = et =. (b) (c) À l ide d un logiciel de clcul smbolique, trouvez une forme close pour D n, c est-à-dire une formule eempte du smbole de sommtion. Clculez D et D 4 et comprez vos résultts à ceu de l eercice précédent. (d) Clculez D 0, D 00, D 000 et D (e) L ire ecte sous l courbe = f () entre = et = est égle à l limite de l somme de droite (ou de guche) qund n. Clculez cette limite. N. B. Nous verrons à l section 4. que le théorème fondmentl du clcul permet, pour certines fonctions, d obtenir l vleur de l ire sous l courbe en évitnt tout le trvil du clcul de l limite de D n ou G n. 4.6 Soit f une fonction continue sur l intervlle [ ;b] et soient D n et G n les sommes de droite et de guche de f entre = et = b. () (b) Schnt que sur l intervlle [ ;b] f prend des vleurs positives et f des vleurs négtives là où elle est définie, dites si D n constitue une sous-estimtion ou une surestimtion de Fites de même pour G n. b f ()d. Schnt que sur l intervlle [ ;b] f ne prend que des vleurs positives et f que des vleurs positives là où elle est définie, dites si D n constitue une sous-estimtion ou une surestimtion de b Fites de même pour G n. f ()d. (c) Si l on ne précise ps que l fonction f est continue sur [ ; b], les résultts précédents demeurent-ils vris? Justifiez. 4.7 Donnez une pproimtion à une décimle ecte de l intégrle suivnte en clculnt les sommes de droite ppropriées (D 0, D 50, D 50,...). () sin( )d (b) d L vitesse (en m/s) d un objet se déplçnt sur une tige rectiligne est donnée pr le grphique suivnt, où t est eprimé en secondes.

21 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE v (m/s) t (s) () À quelle distnce de son point de déprt l objet se trouve-t-il près 5 secondes? Et près 9 secondes? (b) À quel moment l vitesse de l objet chnge-t-elle de sens? (c) Quelle est l ccélértion de l objet u temps t = s, u temps t = 4 s, et u temps t = 6 s? (d) L objet repsser-t-il pr s position de déprt? Si oui, à quel moment cel se produir-t-il pour l première fois? Pour l deuième fois? (e) Au temps t = 7,5 s, l objet est-il en trin de rlentir? 4.9 À l ide du grphique de f, évluez les intégrles suivntes. () 0 f ()d (d) 8 f ()d 4 (b) (c) 4 6 f ()d f ()d (e) (f) f ()d f ()d Eprimez le résultt de l opértion à l ide d une seule intégrle. () (b) (c) f ()d + f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d. L terminologie utilisée est celle des vecteurs. L vitesse est un vecteur : elle une grndeur, une direction (verticle ou horizontle, pr eemple) et un sens (hut ou bs, guche ou droite, etc.). Les vitesses m/s et m/s sont de même grndeur mis de sens opposés. Pour d utres informtions, vous pouvez consulter l nnee A. du volume.

22 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4. Évluez les intégrles suivntes de fçon géométrique (sns utiliser le théorème fondmentl). Pour chque intégrle : trcez l région dont l ire lgébrique est donnée pr l intégrle, évluez l ire grâce u formules de géométrie élémentire. Attention u signe du résultt! () (b) (c) d (0 )d ( )d (d) (e) (f) π 0 ( ) 4 4 d sin()d d 4. Soit V (t ) le volume de liquide (eprimé en litres) d un grnd réservoir u temps t (eprimé en minutes). Au temps t = 0, le réservoir contient 40 L de liquide. Soit Q(t ) le débit (eprimé en L/min) de liquide entrnt ou sortnt de ce réservoir. Un débit positif signifie que le réservoir se remplit, lors qu un débit négtif signifie qu il se vide. Q (L/min) t (min) () Clculez le volume de liquide contenu dns le réservoir u temps t = 0 min, t = 60 min et t = 0 min. (b) Trcez le grphique de l fonction V (t ) pour 0 t 0. (c) Trcez le grphique de l dérivée de l fonction V (t ) pour 0 t 0. Que remrquez-vous? (d) Soit t f une vleur de t comprise entre 0 et 0. Écrivez une epression contennt une intégrle définie décrivnt V (t f ), le volume u temps t f. t 4. Quelles sont les unités de l intégrle définie f (t )d t si t () (b) (c) f est eprimée en m/s et t est eprimé en secondes ; f est eprimée en L/h et t est eprimé en heures ; f est eprimée en C/min et t est eprimé en minutes ; (d) (e) (f) f est eprimée en individus pr nnée et t est eprimé en nnées ; f est eprimée en (km/h)/ C et t est eprimé en C ; f est eprimée en newtons (N) et t est eprimé en mètres.

23 4.. L INTÉGRALE DÉFINIE 4.4 Du lit se déverse d un cmion-citerne à un tu de f (t ) litres pr minute, où t est eprimé en minutes. Dns ce contete, que représente f (t )d t? Et que représente f (t )d t? Un économiste étudie le tu p (t ) de production de pétrole dns un nouveu puits. Le tu p (t ) est donné en nombre de brils pr mois où t est le temps mesuré en mois depuis l mise en service du puits. Epliquez ce que représente, dns ce contete, l églité suivnte : 8 p (t )d t = 00

24 4 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4. Théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl Définition 4. Soit f et F des fonctions définies sur l intervlle ] ; b[. On dit que F est une primitive de f sur l intervlle si, pour tout de l intervlle, l dérivée de F () est égle à f () : pour ] ;b[, F ()= f (). Eemple 4. Donnez une primitive de f ()= sur ]0; [ et de g ()=cos() sur R. Solution : F ()=ln() est une primitive de f ()= cr F ()= [ ln() ] = = f () pour tout de l intervlle ]0; [. G()=sin() est une primitive de g ()=cos() cr G ()= g () pour tout nombre réel. Remrque. L fonction F n est ps l unique primitive de f. Pr eemple, F ()=ln()+5 est ussi une primitive de f (). De même, G n est ps l seule primitive de g. Nous reviendrons sur cet spect un peu plus loin. Théorème 4. Théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl (TFC) Soit f une fonction continue sur l intervlle I. Soit et b dns l intervlle I. Alors :. Construction d une primitive de f L fonction g, définie de l fçon suivnte, g ()= f (t )d t, pour I est une primitive de f sur l intervlle I, c est-à-dire que pour I, g ()= f ().. Évlution d une intégrle définie b f () d Si F est une primitive de f, c est-à-dire si F = f, lors b f ()d = F (b) F(). Nottion L nottion suivnte est souvent emploée pour désigner l soustrction F (b) F () : F () b = F (b) F()

25 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 5 Nous vons choisi de présenter des eemples et eercices sur l utilistion du théorème fondmentl vnt d en présenter une preuve. Celle-ci ser epliquée à l section Quoique cel puisse prître étrnge, nous commencerons pr trviller sur l deuième prtie du théorème : l évlution d une intégrle définie. Elle est plus fcile à comprendre. Une fois cette prtie comprise, on est en générl mieu prépré pour border l première prtie : l construction d une primitive. Eemple 4.4 Clculez l intégrle définie suivnte : 4 d. Solution : L fonction F ()= est une primitive de f ()= cr ) On donc ( d F ()= d 4 d = 4 = = = f (). = 4 = 6 =. Vlidtion rpide à l ide du grphe. L vleur de l intégrle définie correspond à l ire de l région ombrgée f ()= On peut estimer grossièrement cette ire grâce à un trpèze : ( ) ( ) b+ B +6 A h= ()= 5,5 Or l surfce de l région ombrgée est plus petite que celle du trpèze et on obtenu qui est effectivement plus petit que 5. Le résultt semble donc plusible.

26 6 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Eemple 4.5 Clculez l ire de l région située sous l courbe = entre = et = Solution : Puisque l fonction f ()= est positive, l ire de l région est égle à l intégrle définie : A= A=? 9 L fonction F ()= / est une primitive de f () cr On donc 9 / d = d. F ()= / = / = f (). 9 = 9/ / = 7 = 5 = 7, Vlidtion. En comprnt cette vleur vec les sommes de guche et de droite clculées u début du chpitre, on constte qu on effectivement G 00 < 7, <D 00. Le tout semble donc cohérent. Définition 4.4 L vleur moenne de l fonction f sur l intervlle [ ;b] est donnée pr f mo = b f ()d. b Grphiquement, l vleur moenne est l huteur du rectngle de bse [ ;b] dont l ire lgébrique est égle à celle de l région comprise entre l courbe = f () et l e des, entre = et = b. = f () = f () f mo f mo A = A A A b b

27 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 7 Eemple 4.6 () (b) Clculez l vleur moenne de l fonction f ()= sur l intervlle [;9]. De plus, indiquez à quoi correspond cette vleur sur le grphique de f. Notez qu il s git de l même fonction qu à l eemple 4.5. Si f représente l vitesse en m/s et, le temps en s, déterminez les unités de l vleur moenne clculée en () et epliquez ce qu elle représente. Solution : () f mo = b b f ()d = 9 9 d = 8 5 = 6 =, 6 Grphiquement, l vleur moenne est l huteur du rectngle de bse [;9] dont l ire lgébrique est égle à celle de l région comprise entre l courbe = f () et l e des, entre = et = f mo =, 6 (b) f mo =, 6 m/s. Cel correspond à l vitesse moenne de l objet entre l première et l neuvième seconde. Autrement dit, un objet dont l vitesse est, 6 m/s prcourt l même distnce durnt cet intervlle qu un objet dont l vitesse est v(t )= t. 4.. L intégrle indéfinie Comme nous l vons vu, l emploi du théorème fondmentl pour évluer l ire lgébrique sous une courbe = f () entre = et = b requiert une primitive F de l fonction f, c est à dire une fonction F telle que F ()= f () pour b. Pr eemple, si f () =, nous pouvons utiliser F () = + 5 cr F () = ( + 5) =. Bien sûr, F () = est ussi une primitive de f. En fit, peu importe l vleur de l constnte C, F ()= +C est une primitive de f () =. Y -t-il des primitives de f qui ne sont ps de cette forme? Le théorème suivnt nous dit que non.

28 8 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Théorème 4. Soit f une fonction continue sur un intervlle et soient F et F des primitives de f sur cet intervlle, c est-à-dire F ()= f ()=F (). Alors il eiste un nombre C tel que, pour tout de cet intervlle, F ()=F ()+C. Autrement dit, les fonctions F et F sont égles à une constnte près. F () = F () F C C F C Démonstrtion Si F = f = F sur l intervlle, lors F F = (F F ) = 0. Puisque s dérivée est nulle sur l intervlle, l fonction (F F ) est constnte. Il eiste donc un nombre réel C tel que, pour tout de l intervlle, F () F ()= C. Ainsi F ()=F ()+C. fin de l démonstrtion Lors de l évlution d une intégrle définie à l ide du théorème fondmentl, le choi d une primitive plutôt qu une utre ne modifie en rien le résultt (heureusement!) : en effet, l constnte C est éliminée lors de l soustrction F (b) F(). Illustrons cel vec un eemple : 4 ( ) 4 ( 4 ) ( ) ( 4 d = +C = +C +C = ) + (C C )=. Définition 4.5 L intégrle indéfinie de l fonction f, notée f ()d est l fmille de toutes les primitives de f. Elle est définie pr l équivlence suivnte : f ()d = F ()+C si et seulement si F ()= f () où C désigne une constnte réelle rbitrire.

29 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL Tble d intégrles indéfinies Attention! À l eception de u qui désigne une vrible et de f et g qui désignent des fonctions, les utres lettres désignent des constntes. Notez ussi : > 0. Règles d intégrtion. c f (u)du= c f (u)du (. f (u)+ g (u)) du= f (u)du+ g (u)du (. f (u) g (u)) du= f (u)du g (u)du 4. u d v = u v v du (l règle d intégrtion pr prties) Formules d intégrtion. u n du= un+ +C, où n n+. du= ln( u )+C u. e u du= e u +C 4. b u du= ln(b) bu +C où b> 0 et b 5. sin(u)du= cos(u)+c 6. cos(u)du= sin(u)+c 7. sec (u)du= tn(u)+c 8. csc (u)du= cot(u)+c 9. sec(u) tn(u)du= sec(u)+c 0. csc(u) cot(u)du= csc(u)+c tn(u)du= ln( cos(u) )+C cot(u)du= ln( sin(u) )+C sec(u)du= ln( sec(u)+tn(u) )+C csc(u)du= ln( csc(u) cot(u) )+C u + du= ( u ) rctn +C u du= ( ln u+ ) +C u u du= ( ln u ) +C u+ ) ( u u + du= ln + + u +C ( u ) u du= rcsin +C ( ) u u du= ln + u +C Formules prticulières d intégrtion. 5. e d = e +C sin()d = cos() +C 6. cos()d = sin() +C

30 0 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Eercices sur l évlution d intégrles définies et indéfinies 4.6 À l ide du théorème fondmentl du clcul, clculez l ire des régions suivntes. Pour chcune, donnez l vleur ecte et l vleur rrondie à l deuième décimle. () (b) f ()=sin() f ()= (c) (d) 4 f ()=sec () 5 0 f ()=8 5 (e) (f) f ()= f ()=

31 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 4.7 Pour chque fonction de l eercice précédent, clculez l vleur moenne de l fonction sur l intervlle ombrgé en tennt compte du fit que est eprimé en heures et en km/h. De plus, trcez l droite = f mo dns le même sstème d es que l fonction. 4.8 Clculez l intégrle indéfinie et vérifiez ensuite votre résultt vec un clculteur smbolique. () 8d (h) d (b) 4sin() d (i) d (c) (e cos())d (j) sec () d (d) (6+ )d (k) (e) ( 4+ 9)d + d (f) d (l) d 4 (g) d (m) d 4.9 Clculez l intégrle définie et vérifiez ensuite votre résultt vec un clculteur smbolique. () 6 e d (d) 9 d (b) d (e) π sin()d (c) 4 ( + ) d (f) 0 8 5d Déterminez f () en utilisnt les informtions suivntes. () f ()=cos(), f ( π ) = 4 (b) f ()=+ 5, f ()= 0 (c) f ()= 5, f ()=0 (d) f ()= sin(), f (0)= 6, f (0)= (e) f ()=, f ()=7, f ()= 4 (f) f ()=6, f (0)=, f ()=0

32 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4.. Interpréttion de l intégrle définie Eemple 4.7 Soit : T () l tempérture en un point d une brre métllique en degrés kelvins (K) l position le long de l brre en mètres (m) T ()=400 K. Répondez u questions suivntes en utilisnt le grphe du tu de vrition de l tempérture pr rpport à l position. dt d 6,8 S = 59,0 6,8 5 () (b) Trouvez les unités du tu de vrition dt d. Étblissez ce à quoi correspond l surfce de l zone ombrgée et spécifiez ses unités. (c) Clculez T (5). (d) Déterminez si l tempérture de l brre est plus grnde en = ou en = 5. (e) Clculez T (). (f) Évluez le signe de T (). (g) Estimez T (,5). (h) Schnt que T ()=8, pouvez-vous méliorer l pproimtion de T (,5)? Solution : () Unités de dt d (b) = Unités de T Unités de = K/m. L surfce correspond à l vrition de l tempérture entre = m et = 5 m, cette vrition est eprimée en K. En effet, puisque T est une primitive de dt d, le théorème fondmentl permet de conclure que S = 5 dt d d T FC = T (5) T (). (c) L tempérture en = 5 m est obtenue en isolnt T (5) dns l éqution précédente : T (5)=T ()+S = 559 K. (d) L tempérture de l brre est plus grnde en = 5 qu en =. Attention, il ne fut ps se lisser berner pr le fit que le grphe psse pr un mimum utour de =. Rppelons qu il représente le tu de vrition dt et non l tempérture d

33 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL elle-même. Ce tu est positif sur tout l intervlle considéré, indiqunt de ce fit que l tempérture est croissnte sur l intervlle. Elle est donc plus grnde en = 5 qu en =. (e) (f) (g) T ()>0 pour ]0;5[ = T est croissnte sur ]0;5[ = T ()<T (5). T ()= dt = 6,8 K/m (vleur lue directement sur le grphe). = d T () correspond à l pente de T () en =. Sur le grphe de T, on voit que cette pente est positive. Ainsi, T ()>0. Nous devons estimer T (,5) et nous connissons T (). Nous devons donc estimer l différence : T = T (,5) T ()? D près le théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl (TFC), nous svons que, T = T (,5) T () T FC =,5 dt d d = surfce sous l courbe dt d entre = et =,5 dt d dt d 6,8 T(,5) T(),5 5 T () 0, 5,5 5 Approimons cette surfce pr l ire du rectngle de bse 0,5 et de huteur T () : Ainsi, T ire du rectngle = T () 0,5 T (,5) = T ()+ T T ()+T () 0, ,8 0,5 48,4 K En fit, cette vleur constitue une sous-estimtion de T (,5) puisque l ire du rectngle est inférieure à T.

34 4 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Remrque importnte. Nous vons emploé le TFC pour estimer l vrition de tempérture entre = et =,5 et vons été conduits à l pproimtion T (,5) T ()+T () 0,5. Le procédé d pproimtion vit déjà fit l objet d une discussion à l section. insi qu à l eercice.5 de l première prtie des notes de cours. Le grphe de T () illustre cette fçon différente d border l pproimtion de T (,5) : l pproimtion pr l droite tngente. T T(,5) T() + T () 0,5 T() T () 0,5 T(),5 Cette figure confirme ussi l conclusion à lquelle nous étions rrivés, à svoir que T ()+T () 0,5 constitue une sous-estimtion de T (,5) étnt donnée l concvité de l courbe (ellemême déduite du fit que T ()>0). (h) Nous voulons méliorer l pproimtion de T (,5) en utilisnt le fit que T ()=8. Comme nous venons de le voir en (g), cel psse pr une méliortion de l pproimtion de l ire sous l courbe T () entre = et =,5. Ajoutons l ire d un petit tringle à celle du rectngle. dt d ( T () 0,5) 0,5 tngente T () 0,5 ire du tringle = huteur bse = (T () 0,5) 0,5 T () = T () 0,5 T () 0,5 T ire rectngle + ire tringle,5 5

35 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 5 Ainsi, T (,5) = T ()+ T T () + ire rectngle + ire tringle T ()+T () 0,5+ T () 0,5 (I) 400+6,8 0,5+ 8 0, ,4+,5 40,65 K Remrque. Notons l forme du résultt (I). Nous verrons à l section 6. (pge ) qu il est possible d méliorer encore l pproimtion de T (,5) si l on connît l dérivée troisième de T en =. Nous montrerons en effet (en utilisnt un polnôme de Tlor de degré ) que T (,5) T ()+T () 0,5+ T () 0,5 + T () 6 0,5 Eercices sur l interpréttion et l utilistion du TFC - évlution d une intégrle définie 4. Soit : T (t ) l tempérture u temps t d une substnce en kelvins (K) t le temps en minutes (min) T (0)=00 K. Répondez u questions suivntes en utilisnt le grphe du tu de vrition de l tempérture pr rpport u temps. Notez le nouveu smbole utilisé pour désigner une pente de 5. 6 dt dt S 5 () (b) Trouvez les unités du tu de vrition dt 0 0 dt. Eprimez l surfce de l zone ombrgée à l ide d une intégrle définie. De plus, étblissez ce à quoi elle correspond dns le contete décrit et spécifiez ses unités. (c) Clculez T () et T (0).

36 6 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4. Soit : v(t ) l vitesse u temps t d un corps qui se déplce en ligne droite, une vitesse positive indiqunt un déplcement vers le hut eprimée en m/s l ccélértion eprimée en m/s t le temps eprimé en secondes v (0)= 50 m/s, donc l objet se déplce vers le bs à l vitesse de 50 m/s. 5 0 Demi-cercle t () Étblissez ce à quoi correspond l surfce de l zone ombrgée et spécifiez ses unités. (b) Clculez v() et v(5). (c) En quelle vleur de t l ccélértion est-elle mimle? (d) En quelle vleur de t l vitesse est-elle mimle? (e) En quelle vleur de t l objet commence-t-il à remonter? 4. Soit : U (V ) l énergie eprimée en kj d une substnce occupnt un volume V V le volume de l substnce eprimé en m U (0)=0. du dv Qurts de cercle () (b) Trouvez les unités du tu de vrition du dv. Étblissez ce à quoi correspond l surfce de l zone ombrgée et spécifiez ses unités. (c) Clculez U (). V

37 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL Le tu uquel l réserve de pétrole mondile est consommée ugmente continuellement. Si on suppose que ce tu (en millirds de brils pr nnée) est donné pr l fonction r (t ) où t est mesuré en nnée depuis le début de 00, que représente dns ce contete l intégrle définie cidessous? 5 0 r (t )d t = 8,7 4.5 Des mesures de l rdition solire cptée durnt l journée indiquent que celle-ci est donnée pr une fonction r (t ) où r est mesurée en joules pr heure et t est mesuré en heures. Epliquez ce que représente, dns ce contete, l églité suivnte : r (t )d t 6, Soit : V le volume de l substnce eprimé en cm t le temps eprimé en secondes V ()=0 cm. 5 dv d t, 4 t 5 () (b) Trouvez les unités du tu de vrition dv dt. Étblissez ce à quoi correspond l surfce de l zone ombrgée et spécifiez ses unités. (c) Estimez V (,). (d) À quel moment durnt les 4 premières secondes le volume est-il miml? Suggestion : esquissez le grphe de V à l ide du tbleu de signes de V (t ). (e) À quel moment durnt les 4 premières secondes le volume est-il miniml? (f) (g) Écrivez une epression contennt une intégrle définie donnnt l vleur du volume u temps t = s. Estimez grossièrement cette vleur d près le grphe donné. Écrivez une epression contennt une intégrle définie donnnt l vleur du volume u temps t = s.

38 8 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4.7 Étblissez ce à quoi correspond l surfce de l zone ombrgée. dy d S b Remrque. À l eercice précédent, si l on renomme Y () = F () et dy d résultt se récrit de l fçon suivnte : = f (), lors le b S= f ()d = F (b) F() et l on retrouve insi le théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl. 4.8 L vitesse v (en m/s) d un objet se déplçnt sur une tige verticle est donnée pr v(t )= t, pour 0 t 6 5 où t est eprimé en secondes. Une vitesse positive indique un déplcement vers le hut. Au temps t = 0, l huteur de l objet est de 5 m. () Eprimez l huteur en fonction du temps. (b) À quelle huteur se trouve l objet près secondes? Et près 5 secondes? (c) À quel moment l vitesse de l objet chnge-t-elle de sens? (d) Quelle est l ccélértion de l objet u temps t = s? Au temps t = 4 s? (e) L objet repsser-t-il pr s position de déprt? Si oui, à quel moment cel se produir-t-il pour l première fois? (f) Au temps t = s, l objet est-il en trin de rlentir? (g) Au temps t = s, l objet se dirige-t-il vers le hut ou vers le bs?

39 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL Voici le grphique de l ccélértion (en cm/s ) d un objet se déplçnt sur une tige verticle. (cm/s ) t (s) où t est eprimé en secondes. Une vitesse positive indique un déplcement vers le hut. Au temps t = 0, l huteur de l objet est de 0 cm et s vitesse est de 5 cm/s vers le hut. () À quel moment durnt les 6 premières secondes l vitesse de l objet est-elle minimle? (b) À quel moment durnt les 6 premières secondes l vitesse de l objet est-elle mimle? (c) Estimez grossièrement l vitesse à l instnt t = 6 s. (d) À quel moment durnt les 6 premières secondes l vitesse de l objet est-elle nulle? (e) Esquissez le grphique de l vitesse pour les 6 premières secondes. (f) À quel moment durnt les 6 premières secondes l huteur de l objet est-elle mimle? (g) Vous servnt du grphique, étblissez si l ccélértion moenne durnt les 6 premières secondes est supérieure, inférieure ou égle à 4,5 cm/s. Justifiez. 4.0 Vous pprenez que l ccélértion (en cm/s ) de l eercice précédent est donnée pr (t )=6t t, où t est eprimé en secondes. () Clculez l vitesse à l instnt t = 6 s. (b) Comment s eprime l vitesse pr rpport u temps à l instnt t? (c) Comment s eprime l position pr rpport u temps à l instnt t? (d) Clculez l huteur mimle tteinte pr l objet durnt les 6 premières secondes. (e) Clculez mo, l ccélértion moenne durnt les 6 premières secondes. 4. Un grnd réservoir contient initilement 500 litres d essence. À 8 heures commence le remplissge du réservoir d essence vec un débit d entrée de Q(t )=00 6 t+ 000, où Q s eprime en litres pr heure et où t désigne le nombre d heures écoulées depuis le début du remplissge. () Combien de litres d essence le réservoir contiendr-t-il à 4 heures? (b) Quel est le débit moen durnt les 6 premières heures? Représentez-le sur le grphe de Q(t ). Quelle intégrle définie permet de le clculer? (c) Quel est le débit instntné à 4 h? Représentez-le sur le grphe de Q(t ). (d) Epliquez ce que représente l ire sous l courbe Q(t ) entre t = 0 et t = 6 dns le contete du réservoir.

40 0 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE 4. Un mobile se déplce le long d une ligne droite et s vitesse (en m/s) en fonction du temps est donnée pr v(t )=e t / sin( t ) où t est eprimé en secondes. Utilisez un logiciel de clcul smbolique pour répondre u questions suivntes. () (b) Donnez l position (t ) du mobile près t secondes si s position initile étit (0) = m et trcez son grphique pour 0 t. Dns le même pln crtésien, trcez ussi l fonction vitesse. Donnez l position du mobile près secondes, près 4 secondes, près une minute et près di minutes. (c) Étblissez à quels moments l vitesse du mobile chnge de sens entre les instnts 0 et 4 secondes. (d) Déterminez l distnce totle prcourue pr ce mobile entre 0 et 4 secondes. 4. Soit A() l ire de l région située sous l courbe = f (t )=t + et u-dessus de l e des t entre les droites verticles t = et t = (c est-à-dire l ire du trpèze délimité pr ces qutre droites) pour un quelconque tel que f (t )=t+ A() t () (b) (c) Clculez A() et A(). Eprimez A() à l ide d une intégrle définie. Clculez A() à l ide de l formule de géométrie élémentire donnnt l ire d un trpèze. Clculez ensuite A() à l ide de l prtie «évlution d une intégrle définie» du théorème fondmentl du clcul (TFC). (d) Clculez A (). Que remrquez-vous? 4.4 Refites les étpes (b), (c) et (d) de l eercice précédent vec l courbe = f (t )= t+ b et les droites verticle t = c et t =. Considérez > 0, b> 0, c > 0 et un quelconque tel que c.

41 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 4.5 L chleur spécifique d une substnce est définie comme l quntité de chleur qu un kilogrmme de cette substnce doit bsorber pour voir s tempérture s élever d un degré. Cette quntité est en générl elle-même fonction de l tempérture ; en effet, les chleurs nécessires pour husser l tempérture de 450 à 45 K et de 600 à 60 K diffèrent. L epression de l chleur spécifique de l vpeur d eu en fonction de l tempérture est de l forme qui suit ; les vleurs des coefficients pprissnt u tbleu. C p (T )= T 5 + bt 4 + ct + et + f T + g T + h T 400 T 00 K b c e f g h, ,757 0,4 0 8, ,49 0 7, , L tempérture T s eprime en Kelvin et l chleur spécifique C p en kj K kg. () Quelles sont les chleurs spécifiques u tempértures de 400 et 600 K? (b) (c) Intégrez l epression de l chleur spécifique en termes des constntes à g (sns les remplcer pr leurs vleurs numériques). L chleur totle qu on doit fournir à m kg de substnce lorsque celle-ci voit s tempérture psser de T à T s obtient pr le clcul suivnt : Q = m T T C p (T ) dt (d) Clculez l chleur fournie à 0,5 kg de vpeur d eu si l tempérture psse de 500 à 800 K d une prt, et de 600 à 400 K, d utre prt. Interprétez les signes des réponses. L chleur spécifique vrie peu sur l intervlle de tempérture spécifié. De ce fit, on l considère souvent comme constnte, utilisnt l vleur qu elle présente à 400 K. Clculez à nouveu l chleur bsorbée pr 0,5 kg de vpeur d eu entre 500 et 800 K, mis de fçon pproimtive cette fois (considérnt C p constnte) et comprez-l u résultt «ect» de l question précédente. Étblissez en termes reltifs l erreur qui résulte de l emploi de l méthode pproimtive. vl. ppro. vl. ecte Rppel : erreur reltive % = 00% vl. ecte 4.6 Suite de l eercice 4.5. On veut définir une fonction Q(T ) qui permet d étblir l chleur bsorbée pr m kg de vpeur d eu lorsque s tempérture psse de 500 K à T K. Cette fonction ser lors obtenue vi le clcul : T Q 500 (T )=m C p (u) du 500 () (b) Trouvez l epression de Q 500 (T ) pour une msse de,5 kg de vpeur d eu. Déduisez l chleur bsorbée pr les,5 kg d eu lorsque leur tempérture psse de 500 K à 800 K insi que de 500 K à 400 K. Interprétez les signes des résultts. (c) Utilisez Q 500 (T ) pour déduire l chleur bsorbée qund l tempérture psse de 600 K à 900 K.

42 CHAPITRE 4. L INTÉGRALE Remrque. À l eercice 4.6, nous vons rencontré une intégrle dont l borne supérieure est l vrible T. T Q 500 (T )=m C p (u) du 500 Le nom de l vrible d intégrtion donc été modifié : on utilise u plutôt que T. En effet, le smbole choisi pour désigner l borne supérieure doit être différent de l vrible d intégrtion. On rencontre prfois des tetes où cette nunce n est ps prise en compte. Cependnt, celle-ci est fondmentle lors de l implémenttion de telles intégrles dns un sstème smbolique. Eercices sur l prtie du TFC : construction de primitive (p. 4) 4.7 Considérez le grphe de l fonction f (t ) ci-dessous f t Soit g et h les fonctions définies pr g ()= f (t )d t et h()= f (t )d t 0 () Clculez g (0), g (), g () et g (4). Idem pour h. (b) Clculez g (0), g (), g () et g (7). Idem pour h. (c) Clculez g (0), g (), g () et g (7). Idem pour h. (d) Quel est le minimum bsolu de g () sur l intervlle [;8]? En quelle vleur de est-il tteint? Idem pour h. (e) Quel est le minimum bsolu de g () sur l intervlle [0;8]? En quelle vleur de est-il tteint? Idem pour h. (f) Quel est le mimum bsolu de g () sur l intervlle [;8]? En quelle vleur de est-il tteint? Idem pour h. De plus, trcez une esquisse des grphes de g et h.

43 4.. THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 4.8 Considérez le grphe de l fonction f (t ) ci-dessous. Soit g l fonction définie pr g ()= 0 f (t )d t. Complétez vec un des trois smboles suivnts : < = > () g (0)? 0 f t (b) g ()? 0 (c) g (4)? g () (d) g ()? 0 (e) g ()? 0 (f) g (7)? 0 (g) g (7)? 0 (h) g (0)? 0 De plus, trcez une esquisse du grphe de g (). 4.9 L fonction sinus intégrl Si() est définie pr sin(t ) Si() = d t. t L intégrnde f (t )= sin(t ) t n est ps définie en t = 0, mis puisque l on sit que lim lors f (0)= de sorte que f (t ) est une fonction continue sur ] ; [. () 0 sin(t ) t 0 t =, on définit Fites trcer le grphe de Si() et celui de s dérivée sur ] 0; 0[ dns un même pln crtésien. Vous pouvez utiliser un logiciel de clcul comme Mple ou Derive (ou l clcultrice smbolique si vous êtes ptient!). Sns même voir fit trcer le grphe demndé en (), vous pouvez répondre u questions suivntes. (b) Clculez Si(0), Si() et Si() vec 6 bonnes décimles. (c) (d) (e) (f) Trouvez l vleur de l ou des solutions de l éqution Si()=,6 pour 0 0 vec si bonnes décimles. Indice : regrdez le grphique de Si () pour déterminer le nombre de solutions et leur vleur pproimtive. En quelles vleurs de cette fonction tteint-elle des vleurs mimles ou des vleurs minimles? Déterminez les coordonnées du premier point d infleion situé à l droite de l origine. Cette fonction dmet-elle des smptotes horizontles = k? Si oui, pour quelles vleurs de k (vleur rrondie à l deuième décimle)? 4.40 À l eercice 4.6, nous vons défini l fonction T Q 500 (T )=m C p (u) du () En considérnt m constnte, clculez l dérivée de Q 500 (T ). (b) (c) 500 En posnt m= kg, évluez Q 500 (600). Conseil : évitez des clculs en réutilisnt des résultts de l eercice 4.5. Interprétez l vleur clculée en (b) dns le contete.