Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536. Éric Brunelle

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1 Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle

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3 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Quelques rappels 3 1. Les ensembles 3 2. Arithmétique sur les nombres réels 9 3. Les polynômes 15 Chapitre 2. Équations et inéquations Les équations Les fractions algébriques Intervalles et inéquations 34 Chapitre 3. Étude graphique de fonctions 39 Introduction Éléments de l étude des fonctions Opérations sur les fonctions Rôle des paramètres a, b, h et k 52 Chapitre 4. La droite La fonction constante La fonction linéaire Relations entre deux droites Modélisation Les distances 69 Chapitre 5. La parabole La parabole de base La fonction transformée Recherche de la règle Résolution d équations ayant une fonction du second degré Modélisation Résolution d inéquations ayant une parabole Exercices sur la section 6 88 Chapitre 6. Fonctions particulières Fonction rationnelle 89 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES 2. Fonction racine carrée Fonctions définies par parties Fonction valeur absolue 103 Chapitre 7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques Les exponentielles Les logarithmes 122 Chapitre 8. Les fonctions trigonométriques Le cercle trigonométrique La fonction sinus La fonction cosinus La fonction tangente Les fonctions sécante, cosécante et cotangente Identités trigonométriques 155

5 Introduction 1

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7 CHAPITRE 1 Quelques rappels 1. Les ensembles 1.1. Introduction. Les ensembles sont des éléments importants des mathématiques. La compréhension de ceux-ci est essentielle pour faire l étude des différentes notions de ce cours. Regardons tout d abord ce qu est un ensemble. Définition 1.1. Un ensemble est une collection d objets appelés éléments ayant ou non une relation entre eux. NOTATION Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule et les éléments d un ensemble par une minuscule. Par exemple, un élément a est dans l ensemble A. Cette phrase peut être écrit en mathématique comme suit : a A, où le symbole signifie élément de. Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Ici, 1 A, maison B, mais 1 / C, c est-à-dire que l élément 1 n appartient pas à l ensemble C. On remarque que pour rassembler les éléments d un ensemble, on les met entre accolades {}. Cependant si le nombre d éléments d un ensemble est trop grand, cette notation est très peu utile. La façon de faire est présentée dans le prochain exemple. Exemple 1.2. Soit l ensemble G, l ensemble des garçons d une classe et F l ensemble des filles de cette classe. On les écrit comme suit : G = {x x est un garçon de la classe} et F = {x x est une fille de la classe}. NOTATION La barre verticale,, signifie tel que. Ainsi, l ensemble G se lit comme suit : "G est l ensemble des x tel que x est un garçon de la classe." 3

8 4 1. QUELQUES RAPPELS Définition 1.2. On dit que deux ensembles sont égaux si tous les éléments du premier sont dans le deuxième et vice-versa. Définition 1.3. Soit un ensemble E. On dit qu un ensemble S est un sous-ensemble de E si tous les éléments de S sont dans l ensemble E. NOTATION À ce moment, on écrit S E. Exemple 1.3. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. On a que C A, mais B A car maison / A Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est une manière visuelle de représenter les ensembles. Afin d illustrer cette méthode, revenons à l exemple précédent. Exemple 1.4. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2,maison} et C = {3, 4}. Le diagramme de Venn de ces ensembles est Sur cette B maison C A Fig. 1. Diagramme de Venn. figure, on voit bien que l ensemble C est inclu dans l ensemble A. Ce diagramme sera très utile pour étudier les opérations sur les ensembles que l on abordera dans la prochaine section. Définition 1.4. L ensemble vide, noté ou {}, est l ensemble qui ne contient aucun élément. Il est à noter que l ensemble vide est un sous-ensemble de tous les ensembles. NOTATION A, ensembles A. Le symbole est un quantificateur universel et signifie "pour tout".

9 1. LES ENSEMBLES Opérations sur les ensembles. Tout comme pour les nombres, il existe des opérations entre les ensembles. Le résultat de ces opérations est un ensemble. Définition 1.5. Soit A et B, deux ensembles. L union ou réunion de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent dans A et/ou B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et/ou x B}. Exemple 1.5. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {1, 2, 3, 4, 5}. L union de deux ensembles se visualise avec le diagramme de Venn. La partie ombragée de la figure 2 montre la réunion des ensembles A et B. Une autre opération importante est l intersection de deux ensembles A B Fig. 2. Diagramme de Venn pour l union de A et B. Définition 1.6. Soit A et B, deux ensembles. L intersection de A et B est l ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent à la fois dans A et dans B. On note cette opération A B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x B}. Exemple 1.6. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors C = A B = {3}. La partie ombragée de la figure 3 montre l intersection entre l ensemble A et l ensemble B. La dernière opération de cette section est la différence entre deux ensembles. Définition 1.7. Soit A et B, deux ensembles. La différence, notée A B ou A \B, est l ensemble des éléments qui sont dans A, mais qui ne sont pas d en B. En mathématique, on écrit A B := {x x A et x / B}.

10 6 1. QUELQUES RAPPELS A B Fig. 3. Diagramme de Venn pour l intersection de A et B. Exemple 1.7. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors A B = {1, 2} et B A = {4, 5}. Il est à noter que A B B A. On dit alors que cette opération n est pas commutative. Par contre, l intersection et la réunion le sont, c est-à-dire 4. A B = B A et A B = B A. L ensemble résultant de la différence A B est illustré à la figure A Fig. 4. Diagramme de Venn pour A B. B 1.4. L ensemble universel ou référenciel. L étude des ensembles est souvent reliée à certaines situations de la vie. À ce moment, les valeurs possibles pour les éléments d un ensemble sont soumises à des contraintes qui forment ce que l on nomme l ensemble universel ou référentiel. On note cet ensemble U. Pour bien comprendre ceci, regardons un exemple. Exemple 1.8. Un jeu de dés à six faces consiste à lancer simultanément deux dés. On gagne si on obtient deux chiffres identiques. Trouvez l ensemble référentiel et l ensemble des possibilités gagnantes. Ici, l ensemble U est constitué de tous les couples (x, y) où x et y sont des nombres de 1 à 6 obtenus respectivement par le premier et deuxième dé. Ainsi, on peut écrire U = {(x, y) x {1, 2, 3, 4, 5, 6} et y {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

11 1. LES ENSEMBLES 7 Pour ce qui est de l ensemble des possibilités gagnantes G, on a G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}. Il est à noter que G U. Définition 1.8. Soit un ensemble A dans un ensemble universel U. On appelle complément de A, l ensemble de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A. On note cet ensemble A ou A c. En mathématique, cet ensemble est décrit par A := {x x U et x / A}. Exemple 1.9. Soit U = {1, 2, 3, 4,..., 9, 10} et A = {2, 4, 6, 8}. Alors, A = {1, 3, 5, 7, 9, 10}. A est représenté à la figure 5. U A A Fig. 5. Diagramme de Venn pour A Les ensembles de nombres réels. Dans cette section, regardons cinq ensembles très importants en mathématiques et dans la vie quotidienne. Ces ensembles ont tous la particularité d être infinis, c est-à-dire qu ils contiennent un nombre infini d éléments. Ceci n était pas le cas des ensembles qu on a vu jusqu ici. Le premier ensemble est celui des nombres dits naturels. Définition 1.9. L ensemble des nombres naturels, notéæ, est l ensemble suivant : Æ:= {0, 1, 2, 3, 4,...}. NOTATION Lorsque l on A := B, le := signifie que l ensemble B est la définition de l ensemble A. Ainsi,Æest par définition l ensemble {0, 1, 2, 3, 4,...}. Il ne faut pas confondre := avec = qui signifie seulement égalité entre les deux ensembles.

12 8 1. QUELQUES RAPPELS Il est à noter que dans certains livres 0 n est pas dans l ensembleæ. Le deuxième ensemble est celui des nombres entiers. Définition L ensemble des nombres entiers est l ensemble := {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. On peut facilement remarquer que l ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble des nombres entiers,æ. Le prochain ensemble est l ensemble de toutes les fractions. C est l ensemble des nombres rationnels. Définition L ensemble des nombres rationnels,éest l ensemble de tous les nombres de la forme p où p est un nombre entier et q q, un nombre naturel sauf 0. En mathématique, on écrit É:= p q p, q Æ/{0}µ. Malgré ces trois ensembles, on ne peut pas décrire la vie réelle. Par exemple, le nombre π, qui est nécessaire dans l étude des cercles, n est dans aucun des ensembles. Pourtant, il s agit bel et bien d un nombre de la vie puisqu il est le rapport entre la circonférence et le diamètre d un cercle. Il faut donc ajouter un ensemble qui est l ensemble des nombres irrationnels, c est-à-dire les nombres qui ne s écrivent pas comme une fraction. On note cet ensembleé. Définition L ensemble des nombres réels,êest l ensemble Ê de tous les nombres de la vie. En réalité,êest l union deéet deé, Ê:=É É. La relation entre ces ensembles est donnée grâce au diagramme de Venn à la figure 6. On remarque queæ É Ê Æ É Fig. 6. Diagramme de Venn des ensembles de nombres réels.

13 2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS 9 Exemple Regardons dans quels ensembles sont les nombres suivants : 1.3 : ce nombre est un nombre rationnel, car 1.3 = 13/10. Ainsi, 1.3 É. 2 : ce nombre est irrationnel. Dans un cours plus avancé, on peut le montrer. Il est très rare qu une racine soit rationnelle est un nombre avec un développement décimal infini, mais il est tout de même rationnel, car 1. 2 = 11/ Exercices sur la section 1. (1) Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 7} et C = {2, 4, 5}. a) Trouvez A B, A C, (C B) A et (A B)/C. b) Supposons que ces ensembles sont dans l ensemble univers U, l ensemble des dix premiers nombres naturels non nuls. Trouvez A, B et C A. c) Dessinez le diagramme de Venn de cette situation. (2) Écrire tous les éléments des ensembles suivants : a) {x x Æet x < 4} b) {x x est une couleur de l arc en ciel} c) {x x est une journée de la semaine contenant un a}. (3) Dites si les nombres sont rationnels ou irrationnels. a) 1 b) π c) 5 d) 4 e) (4) Écrire avec l aide des opérations sur les ensembles (,, /,..) les ensembles suivants : a) {x x A et x / B} b) {x x A ou x / B} c) {x x A ou x B et x C} (5) Écrire en extension, c est-à-dire sous la forme {x x...}, les ensembles suivants : a) (A B) (B A) b) (A C) (A B) c) A A d) A A e) A B. (6) ***Montrez que A (B C) = (A B) (A C). 2. Arithmétique sur les nombres réels La base de l arithmétique sur les nombres réels est connue depuis le primaire. Il s agit d une opération faite entre deux ou plusieurs nombres réels. Il y a quatre opérations de base :

14 10 1. QUELQUES RAPPELS l addition ou somme de deux nombres réels : x + y, la soustraction ou différence : x y, la multiplication ou produit : x y et la division ou le quotient : x y. Ici, il faut bien prendre en note que pour la division, y 0. NOTATION La multiplication entre x et y est écrite à l aide du symbole. Ce symbole peut être confondu avec la lettre x qui est souvent utilisée. C est pourquoi, on notera le produit entre x et y comme x y ou simplement xy lorsqu il n y a pas d ambiguïtés. ßÞ Ð n fois 2.1. Les exposants entiers. Définition Soit un nombre a Ê\{0} et n Æ\{0}. On note alors que a n = a a... a. Ici, n est l exposant de a ou puissance de a. On définit a 0 = 1. Par contre, 0 0 n est pas défini. Cela signifie que 0 0 est indéterminé. Proposition 1.1. Soit un nombre a Ê\{0} et n Æ. On a que si n est pair, alors a n > 0, a Ê\{0}, si n est impair, alors a n a le même signe que a. Exemple Trouvons les valeurs de ( 5) 2 et ( 5) 3. ( 5) 2 = 5 5 = 25 et ( 5) 3 = = 125. Il faut bien noter que 5 2 signifie que c est 5 qui est au carré et non 5, d où l importance des parenthèses. Proposition 1.2 (Lois des exposants). Soit n, m Æ. Alors, on a les égalités suivantes : (1) a m a n = a m+n, (2) a n = 1 si a 0, an (3) am a n = am a n = a m n, (4) (a m ) n = a nm, (5) (ab) m = a m b m, a (6) a = b n n, avec b 0. bn

15 2. ARITHMÉTIQUE ßÞ Ð SUR LES NOMBRES RÉELS 11 a a... a m fois (n+m) fois Démonstration. Regardons la preuve de quelques-uns de ces résultats. Pour la première loi : a m a n = a a... a = a a... a ßÞ Ð n fois = a n+m (par la définition de l exposant) Pour la troisième loi : a m = a m 1 a n a n = a m a n (par la deuxième loi) = a m n (par la loi 1) Le principe pour démontrer les autres lois est le même. Nous reviendrons plus loin à ces lois lors de l étude des exposants qui ne sont pas nécessairement naturels Les priorités d opérations. Lorsque nous avons une grande expression, il faut savoir comment la simplifier. C est pourquoi, il existe ce que l on appelle la priorité d opération. Voici les étapes : Étape 1: On résoud l intérieur des parenthèses en suivant la priorité d opérations. Étape 2: On simplifie les exposants. Étape 3: On effectue les multiplications et divisions. Étape 4: On fait les additions et les soustractions. Exemple (5 + 2) 2 36 (3 2 3) = (7) 2 36 (9 3) les parenthèses = (7) 2 36 (6) = le exposants = les et = 193 les + et 2.3. Les fractions. Rappellons qu une fraction est un nombre réel de la forme a b, où a et b Æ\{0}. Définition On dit que deux fractions a b et c sont équivalentes si ad = d bc. Exemple Regardons quelques exemples :

16 12 1. QUELQUES RAPPELS est équivalente à est équivalente à, car = Par contre 2 7 est équivalente à 3, car Addition et soustraction de fractions. important important important important important Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur. À ce moment, on additionne les numérateurs et le dénominateur reste le même. En mathématique, a b + c b = a + c b a b c b = a c. b Par contre, si les deux fractions n ont pas le même dénominateur, il faut effectuer une opération supplémentaire. On doit mettre les deux fractions sur le même dénominateur. La façon la plus simple est la suivante : a b + c d = ad bd + cb bd a b c d = ad bd cb bd Par la suite, on simplifie le résultat. = ad + cb bd ad cb =. bd Exemple = = 5 6 Ici, 5 est irréductible, c est-à-dire qu on ne peu plus simplifier cette 6 fraction Multiplication et division de fractions. La multiplication de deux fractions est définie comme suit : a b c d = ac bd. En d autres mots, la multiplication de deux fractions cnsiste à multiplier es numérateurs ensembles et les dénominateurs ensembles. Par

17 2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS 13 contre, la division demande c un peu plus de travail. a b c = a b c loi des exposants d 1 d = a b c 1 1 lois des exposants d 1 = a b d lois des exposants = ad multiplication de fractions. bc Ce revient à dire que la division de deux fractions est le produit du numérateur par l inverse du dénominateur. 1 Exemple = = 6 3 = Les racines ou exposants fractionnaires. Nous avons vu plus tôt les lois des exposants dans le cas où ces derniers sont des nombres naturels. Regardons maintenant le cas où les exposants sont des nombres fractionnaires. Définition Soit n un nombre naturel impair et a un nombre réel. On écrit alors que a 1 n = n a. n a est la n e racine de a. Une forme équivalente à cette formulation est : b = n a b n = a Il est très important de noter qu ici n est impair. Le cas où n est pair est vu dans quelques instants. Exemple Trouvons la valeur de b si b = Une forme équivalente est de chercher b tel que b 3 = 125. On sait que 5 3 = 125. Donc, = 5. Définition Si n est pair, alors la racine n e de a est définie seulement si a 0. Cette contrainte provient du faire que b n 0 pour tout nombre n pair. Ainsi, si a = b n, alors b = n a existe seulement si a 0. De plus, si a = b n avec a > 0 et n pair, alors il existe deux valeurs de b qui satisfont cette égalité : b = n a ou b = n a.

18 14 1. QUELQUES RAPPELS Exemple Si x 2 = 4. On a que x = 2 satisfait l équation et que x = 2 la satisfait aussi. Puisque la racine d un nombre est en réalité un exposant, elle est sousmise aux mêmes lois que les exposants. Proposition 1.3. Voici les règles pour manipiler les racines : (1) a 1 n = 1 a 1 n = 1 n a, (2) a m n = ( n a) m = n a m, (3) n ab = n a n b et (4) nöa b = n a n b. important important important important important n a + b n a + n b 2.5. Exercices sur la section 2. (1) Simplifier les expressions suivantes : a) ( ) b) 3 c) d) d) e) y y 2y 1 3 f) (( 3)2 ) 4 (x 2 ) 3 (9 2 ) 4 (x 4 ) 2 g) 3 64x 6 y x 3 y 15 (2) Évaluer avec une calculatrice les nombres suivants : y 9 4 a) 2 b) c) (3) Trouver deux fractions équivalentes à chacune des fractions suivantes : a) 7 6 b) 3 16 c) 15 32

19 3. LES POLYNÔMES Les polynômes Définition Une variable est une quantité qui peut prendre n importe quelle valeur dans un ensemble donné. Une constante est une quantité fixe. Un monôme est une expression formée d un produit d une constante et de variables ayant des exposants naturels. Exemple Voici quelques exemples : (1) 3x 2 est un monôme ayant pour constante 3 et la variable x. (2) 14x 4 y 3 z est un monôme ayant comme variables x, y et z. (3) 4x 3 y 7 z 3 n est pas un monôme, car l exposant de z n est pas un nombre naturel. (4) 3 est un monôme dit monôme constant. Définition Un polynôme est une somme ou différence de monômes. Si le polynôme est la somme de deux monômes, on l appelle binôme. Si le polynôme est la somme de trois monômes, on l appelle trinôme. Exemple Voici quelques exemples : (1) 3x 2 + y est un binôme. On dit que 3 est le coefficient de x 2 et 1 le coefficient de y. (2) 3xy 9 z+8ab+4 est un trinôme. On appelle 4 le terme constant. (3) 2x + 4y 6z est un polynôme. (4) 2x 4xy 10 n est pas un polynôme, car 4xy 10 n est pas un monôme. Définition Le degré d un monôme est la somme des exposants de ses variables. Le degré d un monôme constant est 0. Le degré d un polynôme est le plus grand degré de ses monômes. Exemple (1) 3x 2 + y est de degré 2. (2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est de degré = 11. (3) 2x + 4y 6z est de degré 1. (4) 8 est de degré 0.

20 16 1. QUELQUES RAPPELS 3.1. Somme et différence de polynômes. Pour additionner deux polynômes, P 1 et P 2, il faut additionner les coefficients des termes identiques, c est-à-dire ceux qui ont les mêmes variables et mêmes exposants. Exemple Soit P 1 = 3x + 4xy et P 2 = 6xy 2 4x. Alors, P 1 + P 2 = 3x + 4xy + 6xy 2 4x = (3x 4x) + 4xy + 6xy 2 = x + 4xy + 6xy 2 Exemple Soit P 1 = 3x 2 y 4xy 2 + 6xy 7x + 15 et P 2 = x 3 5xy 2 + xy + 3y + 4x 2. Alors, P 1 + P 2 = x 3 + 3x 2 y 9xy 2 + 7xy 3x + 3y Pour ce qui est de la soustraction de deux polynômes, P 1 P 2, revient à multiplier tous les coefficients de P 2 par 1 et à additionner ce résultat à P 1. Exemple Soit P 1 = 3x + 4yz 2 et P 2 = 3yz 2 + x. Alors P 1 P 2 = (3x + 4yz 2 ) (3yz 2 + x) = (3x + 4yz 2 ) + ( 3yz 2 x) = 2x + yz La multiplication de polynômes Multiplication monôme-monôme. Avant de passer à la multiplication de polynômes, regardons la multiplication de deux monômes à l aide d un exemple. Exemple Soit P 1 = 3x 2 y et P 2 = 5x 8 y 3 z. Alors, P 1 P 2 = (3x 2 y) (5x 8 y 3 z) = (3 5)(x 2 x 8 )(y y 3 )z = 15x 10 y 4 z Multiplication monôme-polynôme. La multiplication d un monôme et d un polynôme consiste à multiplier chaque terme du polynôme par le monôme et faire la somme du résultat. Exemple x (x + 3y 3xy) = x y + x 3y x 3xy = xy + 3xy 3x 2 y = 4xy 3x 2 y. Le principe de distribuer la multiplication du monôme sur chaque terme du polynôme se nomme la distributivité.

21 3. LES POLYNÔMES Multiplication polynôme-polynôme. La multiplication de deux polynômes, P 1 P 2, est très similaires. Elle consiste à multiplier P 2 par chacun des monômes de P 1 et à additionner ces produits. Ceci revient à effectuer une double distributivité. Exemple Soit P 1 = x + y et P 2 = 3xz + 4y 3 4. Alors, P 1 P 2 = (x + y) (3xz + 4y 3 4) = x(3xz + 4y 3 4) + y(3xz + 4y 3 4) (1 ère disbritubivitée) = (x 3xz + x 4y 3 4x) + (y 3xz + y 4y 3 4y) (2 e distributivité) = 3x 2 z + 4xy 3 4x + 3xyz + 4y 4 4y 3.3. Le quotient de polynômes Quotient monôme-monôme. Le quotient de deux monômes est très simple si l on se souvient de l égalité suivante : a n a m = an a m = a n m. Ainsi, pour trouver le quotient, il suffit de diviser les coefficients ensemble et de soustraire les exposants des mêmes variables du dénominateur de ceux du numérateur. Exemple x 8 y 2 z 3 w = 12 8x 5 yz 5 8 x8 x y2 z 3 5 y z 5w étape intermédiaire = 3 2 x8 5 y 2 1 z 3 5 w par la loi des exposants = 3 2 x3 yz 2 w. important important important important important Le quotient de deux monômes, ou plus généralement de deux polynômes, n est pas toujours un monôme ou un polynôme, comme le montre l exemple précédent. On peut effectuer la division directement en faisant les étapes dans notre tête. Exemple x 8 y 2 z 3 2x 5 yz 3 = 6x 3 y. Dans ce cas, on obtient un monôme.

22 18 1. QUELQUES RAPPELS Quotient polynôme par un monôme. On sait que la fraction a + c b = a b + c b. La même règle s applique si le numérateur est un polynôme et le dénominateur un monôme. On peut diviser chaque terme du polynôme par le monôme. Exemple x 4 3x 3 + 2x 2 2x 2 = 6x4 2x 2 3x3 2x 2 + 2x2 2x 2 = 3x x Quotient polynôme-polynôme. La méthode pour diviser un polynôme par un polynôme est un peu plus complexe. On va expliciter la façon de faire à l aide d un exemple. Celle-ci est la même que celle utilisée pour la division des grands nombres réels. Exemple On veut diviser 2x 2 + 8x 8 par x + 3. Étape 1: Écrire les termes des polynômes en ordre décroissant de degré. Ici, c est déjà le cas. Étape 2: Écrire la division à l aide du crochet,. 2x 2 + 8x 8 x + 3 Étape 3: On regarde combien de fois le premier terme du polynôme de droite entre dans le premier terme du polynôme de gauche. Ici, x entre 2x fois dans 2x 2. On écrit ce résultat sous le crochet. Par la suite, on multiplie x + 3 par 2x et on écrit se produit sous 2x 2 + 8x 8. 2x 2 + 8x 8 x + 3 2x 2 + 6x 2x Étape 4: On effectue la soustraction entre le polynôme de gauche et celui en dessous de lui. 2x 2 + 8x 8 x + 3 (2x 2 + 6x) 2x 2x 8

23 3. LES POLYNÔMES 19 Étape 5: On répète les deux dernières étapes jusqu à ce que le degré du polynôme gauche soit plus petit que le degré du polynôme diviseur. 2x 2 + 8x 8 x + 3 (2x 2 + 6x) 2x + 2 2x 8 (2x + 6) 14 Étape 6: Puisque 14 est de degré 0 et x + 3 de degré 1, on ne peut plus diviser. Alors, la réponse est 2x 2 + 8x 8 x + 3 = 2x x + 3. On appelle 14 le reste de la division Les priorités d opérations. Les priorités des opérations sont les mêmes que pour les expressions contenant seulement des nombres réels. Exemple Simplifions 3(x+2) 2 (2x 5)(3x+1)+(x 3 x) x. 3(x + 2) 2 (2x 5)(3x + 1) + (x 3 x) x = 3(x + 2)(x + 2) (2x 5)(3x + 1) + (x 3 x) x On fait les exposants. = 3(x 2 + 2x + 2x + 4) (6x 2 + 2x 15x 5) + (x 2 1) On multiplie les () ensembles. = 3x x x x x 2 1 On simplifie les parenthèses. = 2x x + 16 On effectue les + et Mise en évidence simple. La mise en évidence simple est l opération inverse de la distributivité. Pour ce faire, on trouve le monôme qui est en commun à chacun des termes du polynôme. Par la suite, on place ce monôme en avant de la parenthèse qui contient le quotient de chaque terme du polynôme par le monôme. Exemple Faire la mise en évidence simple de 3x 2 y+6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2. On remarque que chaque coefficient est un multiple de 3 et que chaque terme possède au moins un x et un y. Ainsi, on mettra 3xy en évidence. 3x 2 y + 6xy 2 z 9x 4 y 3 z 2 = 3xy(x + 2yz 3x 3 y 2 z 2 ) Exemple On peut faire une mise en évidence simple pour ax + ay. Ainsi, ax + ay = a(x + y).

24 20 1. QUELQUES RAPPELS 3.6. Mise en évidence double. La mise en évidence double est un peu l inverse de la multiplication de deux polynômes. Exemple Soit l expression ax + bx + ay + by. On remarque qu il n y a rien en commun dans chacun des termes. Par contre, il y a x qui est dans les deux premiers et y dans le deuxième. Mettons ces termes en évidence. ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) À ce moment, il y a a+b en commun dans les deux termes. Effectuons une autre mise en évidence. ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) Nous venons donc de faire une double mise en évidence. Exemple Effectuons une double mise en évidence de l expression 2x 2 + 4x 5ax 10a. 2x 2 + 4x 5ax 10a = 2x(x + 2) 5a(x + 2) = (x + 2)(2x 5a) Les expressions spéciales Trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le résultat du développement de (x + y) 2. Ainsi, le membre de droite de (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 est un trinôme carré parfait. Le but est donc de repérer les expressions qui proviennent d un carré parfait. Pour y arriver, on vérifie si deux des termes sont des carrés et si c est le cas, on regarde si le dernier terme vaut le double du produit des racines des deux autres termes. À ce moment, le trinôme est un carré parfait et on peut l écrire comme le carré de la somme des racines des deux carrés Exemple Soit l expression 4x xy + 25y 2. On a que 4x 2 est le carré de 2x et 25y 2 est celui de 5y. On vérifie maintenant que le double du produit entre 2x et 5y vaut le troisième terme qui est 20xy. 2(2x)(5y) = 20xy Ainsi, 4x xy + 25y 2 = (2x + 5y) 2. Il est à noter que si le terme du centre est négatif, x 2 2xy + y 2, alors on place un signe négatif entre x et y, x 2 2xy + y 2 = (x y) 2.

25 3. LES POLYNÔMES Trinôme de la forme x 2 + bx + c. Ici, on aimerait écrire x 2 +bx+c, où b, c Ê, comme un produit (x+u)(x+v) toujours avec u, v Ê. Mais comment trouver u et v? On sait que x 2 + bx + c = (x + u)(x + v) = x 2 + (u + v)x + uv. On a donc deux conditions sur u et sur v. Il faut que u + v = b et uv = c. Ainsi, si l on trouve u et v qui satisfont ces conditions, on peut facilement factoriser le trinôme. Exemple Soit le trinôme x x On cherche u et v tels que u + v = 40 et uv = 300. Si u = 10 et v = 30, on respecte les conditions. Alors, on a que x x = (x + 10)(x + 30) Trinôme de la forme ax 2 + bx + c. Encore une fois, on veut factoriser, c est-à-dire de mettre sous la forme d un produit, le trinôme ax 2 + bx + c, où a, b, c sont des constantes réelles. La différence avec le cas précédent est la présence du coefficient a. Pour y parvenir, on veut séparer le terme central, bx, en une somme de deux termes pour pouvoir faire une mise en évidence double. Mais comment séparer ce terme? Voici comment. Faire une mise en évidence double revient à écrire ax 2 + bx + c sous la forme (ux + v)(kx + l). En développant ce terme, on obtient ax 2 + bx + c = ukx 2 + (ul + vk)x + vl. En posant λ = ul et γ = vk, on obtient que λ + γ = b et λγ = ac. Ainsi, en trouvant deux nombre dont la somme est b et dont le produit est ac, on peut séparer le terme central en somme de λx + γx) et faire une mise en évidence double. Exemple Factorisons 6x 2 +7x 3. On cherche deux nombres λ et γ tels que λ + γ = b = 7 et λγ = ac = 18. Si λ = 9 et γ = 2, on respecte les conditions. Ainsi, 6x 2 + 7x 3 = 6x 2 + 9x 2x 3 (séparation du terme central) = 3x(2x + 3) 1(2x + 3) (première mise en évidence) = (3x 1)(2x + 3) (deuxième mise en évidence) Différence de carré. Si une expression est une différence de carrés, c est-à-dire de la forme x 2 a 2, on peut factoriser facilement. Cette factorisation est x 2 a 2 = (x + a)(x a).

26 22 1. QUELQUES RAPPELS Exemple Soit l expression 25x 2 144y 2. Ici, 25x 2 est le carré de 5x et 144y 2 est celui de 12y. Puisqu il y a un signe négatif entre les deux, on obtient que 25x 2 144y 2 = (5x + 12y)(5x 12y). important important important important important La somme de deux carrés n a pas de factorisation, c està-dire que l on ne peut pas factoriser les expressions de la forme x 2 + a Exercices sur la section 3. (1) Dites si les expressions suivantes sont de polynômes. Si oui, trouvez son degré et son terme constant s il existe. a) xyz 2 + 4x x 10, b) 2x 1 + 4, c) x 2 + bx + c où b, c Ê. (2) Soit P 1 = x et P 2 = x 4 + 3x 3 + 7x 2 + 9x Trouvez a)p 1 + P 2, b)p 2 P 1, c)p 1 P 2, d)p 2 P 1. (3) Effectuez les multiplications suivantes : a) (x + y)(xy 2 + 2x 4x 4 y) b) (x 2 + 3x + 5)(x + 1) c) (3x 1)(x + 5) d) (x 1)(x + 1) e) (x + y) 2 f) (x + y) 3 (4) Effectuez les divisions suivantes : a) (x 2 + 2x + 4) (x + 3) b) (x 3 + a 3 ) (x + a) c) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x + 1) d) (x 3 + 4x + 2) (x + 1) e) 27x6 yz 2 + 3xz 6x 4 z 15 3x 2 z (5) Factorisez au maximum les expressions suivantes : a) ax 2 + ay 2 b) 7x + 14y x 2y c) x 2 5x + 6 d) 9x 2 81y 2 e) 9x 4 81y 4 f) x 2 x + 6 g) 3x x + 12 h) 8x 4 y 6 + 4xy 4 12x 3 y 5 i) 14x 2x 2 20

27 CHAPITRE 2 Équations et inéquations Dans ce chapitre, nous ferons l étude de la manipulation des équations et des inéquations. On abordera également la résolution de cellesci ainsi que la notion de domaine d une équation et d une inéquation. Nous nous restreindrons au cas d une seule variable. Finalement, on verra comment résoudre certaines situations. 1. Les équations 1.1. Introduction aux équations. Définition 2.1. Voici quelques définitions : Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou plusieurs variables. Le domaine d une équation est l ensembe des valeurs qu on peut attribuer à sa ou ses variables. La ou les solutions d une équations sont la ou les valeurs des variables qui rendent l égalité vraie. L ensemble solution d une équation, noté ES, est l ensemble constitué de toutes les solutions de cette équation. Exemple 2.1. Regardons quelques exemples que nous expliquerons par la suites. (1) x + 5 = 7. Le domaine estêet la solution est x = 2. (2) x 1 = 4. Le domaine est x 1 et la solution est x = 17. (3) x + 7 x 4 = 0. Le domaine estê\{4} et la solution est x = 7. Comment avons-nous trouvé le domaine et la solution des équations de l exemple? Nous reviendrons au domaine plus loin. Pour l instant concentrons-nous sur la manipulation des équations Propriétés des équations. Pour résoudre une équation, il faut isoler la variable d un côté et avoir une constante de l autre. Pour ce faire, on peut faire les quatre opérations que voici : On débute avec une équation A = B et soit C une expression. Alors, 23

28 24 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (1) A+C = B +C, la somme de l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (2) A C = B C, la soustraction de l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (3) AC = BC, le produit par l expression C des deux côtés ne change pas l égalité, (4) A n = B n, la même puissance des deux côtés ne change pas l égalité et (5) A C = B, la division par l expression C des deux côtés ne change C pas l égalité à la condition que C ne soit jamais nul. Ces propriétés nous permettent de résoudre les équations de ce chapitre. Exemple 2.2. Trouvons l ensemble solution des équations de l exemple précédent. (1) x + 5 = 7 x = 7 5 = 2 en soustrayant 5 des deux côtés (2) Ainsi, ES = {2}. x 1 = 4 x 1 2 = 4 2 on élève au carré les deux côtés. x 1 = 16 x = 17 en additionnant 1 de chaque côté. (3) L ensemble solution est donc ES = {17}. x + 7 x 4 = 0 x + 7 = 0 en multipliant les deux côtés par x 4. x = 7 en soustrayant 7 de chaque côté. D où, ES = { 7}. Le prochain exemple montre que l on peut arriver à des résultats ridicules si on ne fait pas attention par quoi l on divise.

29 1. LES ÉQUATIONS 25 Exemple 2.3. a = b hypothèse de départ a 2 = ab en multipliant les deux côtés par a. a 2 b 2 = ab b 2 en soustrayant b 2 de chaque côté. (a + b)(a b) = b(a b) différence de carrés à gauche et mise en évidence à droite a + b = b en divisant les deux côtés par a b. Maintenant, si l on pose a = 1, on a aussi b = 1 par l hypothèse de départ. En reportant ces valeurs de a et b dans la dernière équation, on obtient 2 = 1. Ceci est vraiment une absurdité. Elle provient du fait que l on a divisé par 0 au moment de la division par a b, car a = b. Il faut donc être très vigilant avec la division Le domaine d une équation. Jusqu ici, nous avons trouver l ensemble solution de diverses équations sans tenir compte du domaine de définition de ces équations. Le domaine sera spécifié lors de l étude des différentes fonctions. La seule chose que nous dirons pour l instant sur le domaine est que l ensemble solution ES doit être un sousensemble du domaine. Ainsi, si certaines valeurs de la variable rendent l équation vraie, il se peut qu elles soient rejettées si elles ne sont pas dans le domaine Les équations linéaires d une seule variable. Définition 2.2. Une équation linéaire d une seule variable est une équation entre deux polynômes de degré 1. Exemple 2.4. Voici deux exemples : (1) 3x + 4 = 2x 4 est une équation linéaire. (2) 3x 2 = 4 n est pas linéaire, car il y a la présence d une racine. Proposition 2.1. Le domaine d une équation linéaire estê. Cette proposition signifie donc qu il n y a jamais de problèmes de domaine avec les équations linéaires sauf dans le cas où l équation décrit une situation. Nous y reviendrons plus tard. Pour résoudre une équation linéaire, il faut manipuler l équation pour la mettre sous la forme x = c où c est une constante. Exemple x + 4 =2x 4 3x 2x = 4 4 x = 8

30 26 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Donc, ES = { 8}. Il arrive parfois qu une équation ne possède aucune solution comme le montre l exemple suivant : Exemple x + 1 =3x 5 3x 3x = = 6 Ceci ne se peut pas et donc il n y a pas de valeurs de x qui rendent l équation vraie. On écrit alors ES = Mises en situation ou modélisation. La modélisation mathématique consiste à mettre en équations des phénomènes de la vie courrante. Regardons deux situations qui peuvent être décrites par des équations linéaires. Exemple 2.7. Un vendeur téléphonique reçoit un salaire de base de 20$ par jour plus 4$ par vente effectuée. Combien de ventes doit-il faire par jour s il veut obtenir un salaire quotidient de 100$? La première étape est d identifier la variable de cette situation. Ici, posons que la variable x est le nombre de vente par jour. La deuxième étape est de déterminer le domaine de cette variable. Ici, on est dans une situation où x est le nombre de vente. Donc, x doit être un nombre naturel. On écrit dom =Æ. La troisième étape consiste à écrire l équation à résoudre. Ici, on cherche x tel que x = 100. Le membre de gauche correspond au salaire quotidien du vendeur selon le nombre de vente et le membre de droite est le salaire désiré. La quatrième étape est de résoudre l équation x = 100 4x = 80 x = 20. La cinquième et dernière étape est de vérifier si la solution est dans le domaine. Ici, 20 Æ. Donc, la réponse est 20 ventes par jour. Exemple 2.8. Un père a 24 ans de plus que son fils. Dans 13 ans, il aura le double de l âge de son fils. Quel est l âge du père et du fils présentement?

31 1. LES ÉQUATIONS 27 Étape 1: Posons x : l âge du fils présentement. Étape 2: Le domaine est dom =Æ, car un âge est toujours un nombre naturel. Étape 3: L âge du père est de x Dans 13 ans il aura le double de l âge de son fils. En mathématique, on a x + 37 =2(x + 13). Le membre de gauche correspond à l âge du père dans 13 ans et le membre de droite est le double de l âge du fils dans 13 ans. Étape 4: La résolution de l équation : x + 37 =2(x + 13) x + 37 =2x =x Étape 5: On a que 11 est effectivement un nombre naturel. Ainsi, la réponse est que l âge du fils est de 11 ans et celui du père est de 35 ans La règle du produit nul. Proposition 2.2. Soit A et B deux expressions. Si AB = 0, alors soit A = 0 ou B = 0. Cette proposition se généralise pour le produit de plusieurs facteurs. À ce moment, l un ou l autre de ces facteurs est nul. Exemple 2.9. Ainsi, ES = { π, 6}. (x 6)(x + π) = 0 x 6 = 0 OU x + π = 0 x = 6 OU x = π Cependant, il est très rare d avoir une équation déjà sous cette forme. Il faut travailler un peu.

32 28 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Exemple Trouvez l ensemble solution de a 3 + 3a 2 = 4a a 3 + 3a 2 = 4a + 12 a 3 + 3a 2 4a 12 = 0 a 2 (a + 3) 4(a + 3) = 0 (a + 3)(a 2 4) = 0 (a + 3)(a + 2)(a 2) = 0 On a trois possibilités. a + 3 = 0 a + 2 = 0 a 2 = 0 a = 3 a = 2 a = 2 Donc, ES = { 3, 2, 2} 1.5. Exercices sur la section 1. (1) Résoudre les équations linéaires suivantes : a) 3x 4 = 2x + 6 b) 9x 6 = 0 c) x 7 = 9 + 5x d) πx 4 = πx + 6 e) 10x = 3x f) x = 4x 6 (2) Trouver l ensemble solution des équations suivantes : a) (3x 6)(4x + 8) = 0 b) x 2 81 = 0 c) x 2 x 6 = 0 d) (x + 1)(x 1)(x 2 4) = 0 e) 6x 4 = x f) x 4 16 = 0 (3) Deux restaurants possèdent un bar à salade où l on paie au poid. Au premier restaurant, il en coûte 3$ de base et 0.50$ par kilogramme de salade. Au deuxième, le prix de base est de 2$ et c est 0.75$ le kilogramme. a) Combien coûte 1kg de salade dans les deux restorants? b) Combien a-t-on de salade dans les deux restaurants s il en coûte 5$? c) Quel quantité de salade revient au même prix dans les deux restaurants? (4) Gaston achète des actions à la bourse. Le coût initial est de 30$. La valeur de cette action augmente de 0.05$ par jour. Après combien de jour l action vaudra 40.10$? (5) Roger roule 100km/h vers Québec à partir de Montréal. Il doit faire 332km. Dans combien de temps arrivera-t-il à destination s il a déjà parcouru 112km? (6) Deux F18 de l armé sont en plein vol. Il reste le tier de caburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un avion ravitailleur vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour remplir le premier et 6 minutes pour le second. Si le débit de transfert d essence est le même pour les deux F18,

33 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 29 a) écriver une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien la variable), b) trouver le débit du transfert d essence (en L/min), c) quelle quantitée d essence peut contenir le réservoir d un F18? (7) À quelle heure précise, entre 3h et 4h, les aiguilles d une horloge sont-elles superposées? 2.1. Introduction. 2. Les fractions algébriques Définition 2.3. Une fraction algébrique est une expression de la forme P Q où P et Q sont des polynômes avec Q 0. Exemple Voici deux exemples : x + 4 (1) est une fraction algébrique. 2x x + 4 (2) n est pas une fraction algébrique, car le numérateur 2x n est pas un polynôme. Proposition 2.3. Le domaine d une fraction algébrique est l ensemble de toutes les valeurs deêsauf les valeurs qui rendent le dénominateur nul. Exemple x + 8 x 3 + 3x 2 4x 12 On sait par l exemple 2.10 que le dénominateur s annule pour x = 3, x = 2 et x = 2. Ainsi, le domaine estê\{ 3, 2, 2}. Jusqu ici, pour trouver le domaine d une équation, on a deux étapes à faire. Étape 1: Vérifier le contexte de l équation. Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur s annule. On ajoutera des étapes lorsqu on étudiera d autres notions. sont équiva- Définition 2.4. Deux fractions algébriques P Q et R S lentes si PS = RQ.

34 30 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS Par contre, deux fractions équivalentes ne le sont pas nécessairement pour toutes les valeurs de la variable. Il faut donc trouver le domaine d équivalence de deux fractions. Définition 2.5. Le domaine d équivalence, dome, de deux fractions algébriques, P Q et R, est l intersection du domaine de chacune S des fractions. En mathématique, dome = dom P Q domr S. 1 Exemple Soit x + 2 et x 1. Ces deux fractions (x + 2)(x 1) sont équivalentes, car 1(x + 2)(x 1) = (x + 2)(x 1). Trouvons le 1 domaine d équivalence. Le domaine de x + 2 estê\{ 2} et le domaine x 1 de (x + 2)(x 1) estê\{ 2, 1}. Ainsi, l ntersection des deux nous donne dome =Ê\{ 2, 1} Simplification de fractions algébriques. Montrons la façon de procéder afin de simplifier une fraction algébrique avec un exemple. Exemple On veut simplifier la fraction algébrique 6x 3 10x 2 4x 18x x x 2. Étape 1: Factorisation du dénominateur. 6x 3 10x 2 4x 18x x x = 2x(3x2 5x 2) 2 6x 2 (3x x + 4) 2x(x 2)(3x + 1) = 6x 2 (x + 4)(3x + 1). Étape 2: Trouver le domaine. Ici, on veut que le dénominateur soit différent de 0. Donc, dom =Ê\{ 4, 1 3, 0}. Étape 3: Déterminer les facteurs du numérateur et du dénominateur qui sont en commun. Ici, les facteurs en commun sont 2, x, 3x + 1. Étape 4: Simplifier les facteurs en commun. 2x(x 2)(3x + 1) 6x 2 (x + 4)(3x + 1) = x 2 3x(x + 4).

35 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 31 important important important important important Il est à noter que le domaine de cette fraction reste le domaine de départ, car pour les autres valeurs de la variable, la fraction n est pas définie Addition de fraction. L addition de fractions algébriques se fait de la même façon que la somme de fractions de nombre. On additionne les numérateurs lorsque nous avons le même dénominateur. Si le dénominateur est différent, il faut trouver le dénominateur commun. Exemple On veut simplifier x + 4 2x 2 + 5x x 2 + x 14. Étape 1: On factorise les dénominateurs afin de trouver le domaine x + 4 (2x + 1)(x + 2) + 3 (4x 7)(x + 2). Ainsi, le domaine estê\{ 2, 1 2, 7 4 }. Étape 2: On cherche le dénominateur commun. Il manque 4x 7 à la première fraction et 2x + 1 à la deuxième. On multiplie donc chaque fraction par ce qui manque comme suit : x + 4 (2x + 1)(x + 2) 4x 7 4x (4x 7)(x + 2) 2x + 1 2x + 1. Étape 3: On peut maintenant additionner les fractions et simplifier. (x + 4)(4x 7) + 3(2x + 1) (2x + 1)(x + 2)(4x 7) = 4x x 25 (2x + 1)(x + 2)(4x 7) Multiplication et division de fractions algébriques. La multiplication et la division se fait exactement comme pour les fractions de nombres. Soit P, Q, R et S des polynômes. Alors, P Q R S = PR QS P Q R S = PS QR

36 32 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 2.5. Les fractions algébriques complexes. Une fraction algébrique complexe est une expression qui contient plusieurs étages. Il n existe pas de recette pour les simplifier. Il faut seulement respecter l ordre des opérations et les étages. Exemple Exemple a + 1 b 1 a 1 b = b + a ab b a ab = a + b ab = a + b b a ab b a 1 m + 1 p 1 m 2 1 p 2 = p + m mp p 2 m 2 m 2 p 2 = p + m mp m 2 p 2 p 2 m 2 (p + m)mp = p 2 m 2 (p + m)mp = (p m)(p + m) = mp p + m Équations contenant des fractions algébriques. La résolution des équations contenant des fractions algébirques nécessite les mêmes étapes que pour résoudre une équation linéaire. Exemple Trouvons l ensemble solution de x x x + 6 = 1. Étape 1: On trouve le domaine de l équation. Ici, on ne veut pas de division par 0. Donc, dom =Ê\{ 6, 2}.

37 2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES 33 Étape 2: On résoud en manipulant l équation. x x x + 6 = 1 x(x + 6) + 4(x + 2) = 1 addition de fractions (x + 2)(x + 6) x(x + 6) + 4(x + 2) = (x + 2)(x + 6) multiplication par (x + 2)(x + 6) x x + 8 = x 2 + 8x + 12 développement 2x 4 = 0 x = 2 Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici, c est le cas, c est-à-dire que 2 dom. Ainsi ES = {2} Exercices sur la section 2. (1) Trouver le domaine des fractions algébriques suivantes : a) x + 3 (x 2 1 b) x + 4 x 2 x 6 c) x + 4 x 4 16 (2) Simplifier les expressions suivantes en n oubliant pas de spécifier le domaine de validité : a) x + 3 x x2 x + 1 c) 4x2 24x + 36 x 3 x 2 6x e) (x2 18x + 80)(x 2 6x 7) (x 2 5x 50)(x 2 15x + 56) g) x3 6x + 36x x + 7 x 2 49 x 2 x 42 b) x + 1 x 3 x2 9 x 2 1 d) x2 x x 2 + 2x f) 2 x 2 2x + 1 x 2 x + x + 3 x 3 x 2 (3) Simplifier les fractions complexes suivantes : a) c) 1 x x 1 3x 2 1 3x x 2 b) x d) 1 + x 1 x x 1 + x + 2x2 1 x

38 34 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (4) Résoudre les équations suivantes : 1 a) x x 2 9 = 3 b) x2 x 6 = x c) 1 a 1 x = 1 x 1 2 x où a et b des constantes d) b 3x = 4 3. Intervalles et inéquations 3.1. Les intervalles. Les nombres réels peuvent être mis sur une droite, dite la droite réelle. Cette dernière est représentée à la figure Fig. 1. La droite réelle. Définition 2.6. Un intervalle est un sous ensemble de la droite réelle, c est-à-dire une partie de la droite. NOTATION La façon d écrire un intervalle allant du nombre a au nombre b dépend si ces nombres sont compris ou non dans l intervalle. Trois cas sont possibles : Cas 1: Si a et b sont inclus dans l intervalle, on écrit cet intervalle [a, b]. On représente graphiquement cet intervalle comme illustré à la figure 2. On note que les points aux extrémités sont pleins ce qui signifie qu ils sont inclus. C est un intervalle fermé. Cas 2: Si a et b sont exclus de l intervalle, on écrit cet intervalle ]a, b[. La figure 3 montre comment le dessiner. Ici, les extrémités sont des cercles vides, ce qui signifie qu ils ne sont pas dans l intervalle. On dit alors que ces un intervalle ouvert. Cas 3: Si a est inclus et b exclus ou l inverse, on note les respectivement [a, b[ et ]a, b]. Les figures 4 et 5 montrent ces intervalles. Si a ou b valent ±, le crochet est ouvert par définition. Par exemple, [a, [ où le crochet de droite est ouvert. Pour s en rappeler, on peut se dire que l infini ne fait pas partie des nombres réels.

39 3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS 35 a b Fig. 2. Un intervalle fermé à gauche et à droite. a b Fig. 3. Un intervalle ouvert à gauche et à droite. a b Fig. 4. Un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite. a b Fig. 5. Un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite Les inéquations. Définition 2.7. Une inéquation est une inégalité, indentifiée par un des symboles,, < ou >, entre deux expressions. Exemple Voici quelques exemples d inéquations : (1) x > 3, (2) 3x 3 < 2x 2, (3) x + 8 x 4 1. Résoudre une inéquation consiste à déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles l inégalité reste vérifiée. Pour ce faire, on isole la variable d un côté de l inégalité, tout comme pour une équation. Par contre, la manipulation se fait avec un peu plus de difficulté. Soit une inégalité de départ entre deux expressions A et B. Prenons par exemple A < B. Ce sont les mêmes propriétés qui s appliquent pour les autres inégalités. Soit C une autre expression. Alors, (1) A ± C < B ± C, c est-à-dire que l addition ou la soustraction d une expression des deux côtés ne change pas l inégalité.

40 36 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS (2) AC < BC si C est positif et AC > BC si C est négatif. Ainsi, si on multiplie les deux côtés par une expression qui est négative, on change l inégalité de côté. Si C est positif, rien ne change. (3) A/C < B/C si C est positive et on change le signe de l inéquation si C est négatif. Exemple Voici quelques exemples pour illustrer ces propriétés. (1) On veut résoudre 3x 1 < 4. 3x 1 < 4 3x < 5 addition de 1 de chaque côté. x < 3 division par 5 qui ne change pas l inégalité. 5 Ainsi, l ensemble solution est noté ES =], 3[. Ici, 3 n est 5 5 pas inclus dans l intervalle, x est strictement plus petit que 3. 5 On représente cet ensemble solution comme suit : Fig. 6. Représentation graphique de x < Trouvons l ensemble solution de 3x 4 5x x 4 5x + 6 2x 10 x 5 Ainsi, ES =], 5]. addition de 4 et de 5x de chaque côté. division par 2 qui change l inégalité de côté. important important important important important Il est à noter que si A < B alors A 2 B 2. Par exemple, si 2 < 1, on a alors 4 1. Par contre, parfois l inégalité persiste comme dans le cas 1 < 2 alors 1 < 4. Il faut donc faire attention et étudier ceci cas par cas Étape pour la résolution d inéquations. Tout comme pour la résolution des équations, la première étape à effectuer lors de la résolution d inéquations est de trouver le domaine. Rappelons que pour le trouver, on vérifie les points suivants : Étape 1: Vérifier le contexte de l équation.

41 3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS 37 Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles les dénominateurs s annulent. Par la suite, on isole la variable à l aide des propriétés. Finalement, l ensemble solution est l intersection du domaine et de l intervalle trouvé pour la variable. Exemple Trouvons l ensemble solution de l inéquation (x 2)(2x + 5) < 3x x + 5 Tout d abord, il faut déterminer le domaine. On ne doit pas diviser par zéro, donc x 5. D où dom =Ê\{ 5}. 2 2 (x 2)(2x + 5) < 3x + 8 2x + 5 x 2 < 3x < 2x 5 < x en simplifiant le terme de gauche Ainsi, ES =] 5, [\{ 5 }. Ici, on enlève le point qui n est pas dans le 2 domaine. On peut représenter cet ensemble solution sur la droite réelle comme suit : Fig. 7. Représentation graphique de l ensemble solution ES =] 5, [\{ 5 2 }.