Les polynômes du second degré

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1 Les polynômes du second degré exercices corrigés 12 septembre 2013 Les polynômes du second degré

2 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Les polynômes du second degré

3 Exercice 1 Les polynômes du second degré

4 Enoncé Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Les polynômes du second degré

5 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2

6 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2

7 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(

8 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1)

9 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x

10 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x + 4

11 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x )

12 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2

13 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5)

14 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5) d où P 1 (x) = 2(x + 2) 2 10

15 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5) d où P 1 (x) = 2(x + 2) 2 10 Commentaire Le minimum de la fonction P 1 vaut 10 atteint en 2.

16 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1

17 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1

18 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x

19 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x + 9 4

20 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x

21 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 ) 2 2

22 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 )

23 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 ) Commentaire Le maximum de la fonction P 2 vaut 5 4 atteint en 3 2.

24 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5

25 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5

26 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (

27 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5)

28 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x

29 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x + 1

30 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x )

31 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2

32 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6)

33 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6) d où P 3 (x) = (x 1) 2 + 6

34 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6) d où P 3 (x) = (x 1) Commentaire Le maximum de la fonction P 3 vaut 6 atteint en 1.

35 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4

36 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4

37 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 ( donc P 4 (x) = 3

38 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3

39 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x

40 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x

41 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x ) 3

42 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 donc P 4 (x) = 3 ( ( x + 1 ) 2 6 )

43 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) )

44 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) ) ( d où P 4 (x) = 3 x + 1 )

45 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) ) ( d où P 4 (x) = 3 x + 1 ) Commentaire Le minimum de la fonction P 4 vaut atteint en 1 6.

46 Exercice 2 Les polynômes du second degré

47 Enoncé Résoudre chacune des équations (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0 (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0 (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Les polynômes du second degré

48 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0.

49 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0

50 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0

51 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0 donc (E 1 ) (x 3) 2 =0

52 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0 donc (E 1 ) (x 3) 2 =0 Résolution de l équation Cette équation admet une solution double : S = {3}

53 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0

54 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1)

55 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24

56 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23

57 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle.

58 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle. Résolution de l équation Il n y a pas de solution réelle à cette équation.

59 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0.

60 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1)

61 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) =

62 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28

63 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2

64 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont x 1 = et x 2 =

65 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont donc x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 =

66 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont donc x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Résolution de l équation { 2 7 Cette équation admet une solution double : S = ; 2 + } 7 3 3

67 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0

68 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1)

69 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8

70 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7

71 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle.

72 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle. Résolution de l équation Il n y a pas de solution réelle à cette équation.

73 Exercice 3 Les polynômes du second degré

74 Enoncé On considère la fonction trinôme f : x 2x 2 + 4x 1 définie sur R. 1 Déterminer la forme factorisée de f. 2 Déterminer la forme canonique de f. 3 Tracer la courbe P représentative de f dans un repère (O; #» ı, #» j ). Les polynômes du second degré

75 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré

76 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) Les polynômes du second degré

77 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = Les polynômes du second degré

78 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 Les polynômes du second degré

79 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Les polynômes du second degré

80 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont x 1 = et x 2 = Les polynômes du second degré

81 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont après simplification, x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Les polynômes du second degré

82 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont après simplification, x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Conclusion on peut affirmer que f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) Les polynômes du second degré

83 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré

84 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré

85 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 ) 2 Les polynômes du second degré

86 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 ) 2 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x ) 2 Les polynômes du second degré

87 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) ) Les polynômes du second degré

88 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) d où f (x) = 2(x + 1) 2 3 ) Les polynômes du second degré

89 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) d où f (x) = 2(x + 1) 2 3 ) Conclusion Le minimum de la fonction f vaut 3 atteint en 1. Les polynômes du second degré

90 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré

91 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y 5 4 la fonction f est un polynôme du second degré O 1 2 x Les polynômes du second degré

92 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x Les polynômes du second degré

93 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole 2 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut O 1 2 x Les polynômes du second degré

94 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole 2 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut O 1 2 x Les polynômes du second degré

95 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = Les polynômes du second degré

96 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 2 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = 1 donc, la courbe coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée Les polynômes du second degré

97 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 2 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = 1 donc, la courbe coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée Les polynômes du second degré

98 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x Les polynômes du second degré

99 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y pour tout réel x, f (x) O 1 2 x Les polynômes du second degré

100 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut O 1 2 x Les polynômes du second degré

101 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = Les polynômes du second degré

102 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = 3 donc, le minimun est atteint en Les polynômes du second degré

103 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = 3 donc, le minimun est atteint en Les polynômes du second degré

104 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x Les polynômes du second degré

105 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions O 1 2 x Les polynômes du second degré

106 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x O 1 2 x Les polynômes du second degré

107 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x O 1 2 x 1 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré

108 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x 1 l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x 2 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré

109 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x 1 l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x 2 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré

110 Enoncé 4 La courbe C tracée ci-contre représente une fonction g : x ax 2 + bx + c (où a,b et c sont trois réels que l on déterminera graphiquement). (a) Lire graphiquement les coordonnées des points d intersection de C avec les axes de coordonnées. (b) En déduire la forme factorisée de g, puis que g(x) = 1 2 x x + 2 (c) Déterminer les coordonnées des points d intersection des courbes P et C. y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré

111 Informations recueillis sur un graphique Les polynômes du second degré

112 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré

113 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré

114 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx O 1 2 x Les polynômes du second degré

115 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 4 C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et O 1 2 x Les polynômes du second degré

116 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x Les polynômes du second degré

117 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 Les polynômes du second degré

118 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 on trouve donc a = 1 2 Les polynômes du second degré

119 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 on trouve donc a = 1 2 et g(x) = 1 2 x x + 2 Les polynômes du second degré

120 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C Les polynômes du second degré

121 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) Les polynômes du second degré

122 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 Les polynômes du second degré

123 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 Les polynômes du second degré

124 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 Les polynômes du second degré

125 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 Les polynômes du second degré

126 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 Les polynômes du second degré

127 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 car 1 est une racine évidente Les polynômes du second degré

128 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 car 1 est une racine évidente conclusion les courbes P et C se coupent aux points d abscisses 2 et 1 Les polynômes du second degré

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1. x 4 7x 2 + 12 = 0. 2. x 4 + 3x 2 + 2 = 0. 3. 4x 4 + 4x 2 3 = 0. 4. x 3 x 4 = 0. Aide 1 Équations du e degré Résoudre dans R les équations suivantes : 1 3 5 = 0 5 + = 0 3 + 6 = 0 4 6 + 9 = 0 5 ( 3) = ( 1) 6 ( )( + 3) = ( )(4 + 1) Équations avec changements de variable Résoudre dans R les

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