ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année Sections : Matériaux et Microtechnique

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Algèbre Linéaire Bachelor ère année Sections : Matériaux et Microtechnique Support du cours de Dr Lara Thomas Polycopié élaboré par : Prof Eva Bayer Fluckiger Dr Philippe Chabloz Version de septembre 27

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3 Table des matières Systèmes d équations linéaires et matrices 7 Introduction aux systèmes d équations linéaires 7 Systèmes linéaires et matrices 2 Elimination Gaussienne 2 2 Algorithme d élimination de Gauss 3 22 Méthode de résolution d un système d équations linéaires 6 3 Systèmes homogènes d équations linéaires 7 2 Eléments du calcul matriciel 9 2 Quelques définitions et opérations 9 22 Le produit matriciel 2 22 Matrice identité 2 23 Règles du calcul matriciel 2 24 Ecriture matricielle des systèmes d équations linéaires L inversion des matrices Matrices Puissances d une matrice Les matrices élémentaires Calcul de l inverse d une matrice Matrices triangulaires La transposition 3 2 La trace 3 2 Matrices symétriques Matrices antisymétriques 32 3 Le déterminant 33 3 Permutations et déterminants 33 3 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2 2 et Déterminants et opérations élémentaires Les cofacteurs et la règle de Cramer Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs Calcul de l inverse par la méthode des cofacteurs Systèmes linéaires : règle de Cramer 47 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l espace 49 4 Définitions et règles de calcul 49 4 Systèmes de coordonnées 5 42 Propriétés du calcul vectoriel Le produit scalaire Projection orthogonale Le produit vectoriel (cross product Interprétation géométrique du produit vectoriel Le produit mixte (triple product Droites et plans dans l espace de dimension Equation du plan passant par un point P et ayant vecteur normal n 6 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES 452 Droites dans l espace de dimension Espaces euclidiens et applications linéaires 65 5 Espaces de dimension n 65 5 Définitions et notations Produit scalaire Norme et distance dans R n Représentation matricielle des vecteurs de R n Formule matricielle du produit scalaire Multiplication des matrices et produit scalaire 7 52 Applications linéaires 7 52 Rappels sur les applications Applications linéaires Quelques exemples d applications linéaires Rotations Composition d applications linéaires Propriétés des applications linéaires 77 6 Espaces vectoriels 8 6 Définition et premières propriétés 8 62 Sous-espaces vectoriels Espace des solutions d un système d équations linéaires homogènes Combinaison linéaire Indépendance linéaire Interprétation géométrique de la dépendance linéaire Bases et dimension Espace des lignes et colonnes d une matrice Changements de bases Changement de bases en 2 dimensions Dimension quelconque 7 Produits scalaires généralisés 3 7 Définition et premières propriétés 3 72 Angles et orthogonalité 6 72 Angle formé par deux vecteurs 7 73 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt 74 Matrices orthogonales 4 74 Définition et Propriétés Changement de bases orthonormées Décomposition Q-R : application du théorème La méthode des moindres carrés 7 75 Solution approximative d un système d équations linéaires 7 8 Valeurs propres et vecteurs propres 2 8 Définitions et premières propriétés 2 8 Calcul des vecteurs propres Diagonalisation Méthode pour diagonaliser une matrice Matrices symétriques et diagonalisation 28 9 Applications linéaires 3 9 Définitions et exemples 3 9 Propriétés des applications linéaires Expression d une application linéaire dans une base Noyau et image d une application linéaire Applications linéaires inversibles Matrice d une application linéaire 4

5 TABLE DES MATIÈRES 5 Applications multilinéaires et tenseurs 43 Formes linéaires 43 Formes linéaires sur V : tenseurs d ordre (, 43 2 Espace dual, bases duales 43 3 Formes linéaires sur V : tenseurs d ordre (, 45 2 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d ordre (, m 46 2 Formes bilinéaires sur V : tenseurs d ordre (, Tenseurs d ordre (, m Quelques interprétations physiques 47 3 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d ordre (m, 48 3 Une remarque sur les tenseurs d ordre (, Formes bilinéaires sur V : tenseurs d ordre (2, Tenseurs d ordre (m, 48 4 Tenseurs mixtes d ordre (p, q 49 4 Tenseurs d ordre (p, q Exemple des tenseurs d ordre (, 49 5 Opérations sur les tenseurs 5 6 Changement de bases 5 6 Cas des tenseurs d ordre (, (vecteurs de V 5 62 Cas des tenseurs d ordre (, (formes linéaires sur V 5 63 Cas des tenseurs d ordre (, 2 (formes bilinéaires sur V Cas des tenseurs (2, (formes bilinéaires sur V Cas des tenseurs d ordre (, Cas des tenseurs d ordre (p, q 54 7 Champs tensoriels 54 7 Définitions Changements de coordonnées Cas d un champ tensoriel d ordre (, (champ vectoriel Cas d un champ tensoriel d ordre (, Cas d un champ quelconque 56 Index 58 Index des notations 6

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Chapitre Systèmes d équations linéaires et matrices L algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques appliquées, en particulier lorsqu il s agit de modéliser puis résoudre numériquement des problèmes issus de divers domaines : des sciences physiques ou mécaniques, des sciences du vivant, de la chimie, de l économie, des sciences de l ingénieur, Par exemple, la physique abonde de relations linéaires : les lois fondamentales du mouvement sont presque toutes linéaires, ou se déduisent de lois linéaires Les systèmes électriques sont fondamentalement décrits par des lois linéaires (V = RI, etc C est pourquoi, le présent cours commence avec une étude des équations linéaires et de leur résolution Introduction aux systèmes d équations linéaires L équation d une droite dans le plan xy s écrit a x + a 2 y = b où a, a 2 et b sont des paramétres réels Cette équation s appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues x et y Exemple 2x + 3y = 6 y 2 x Exemple 2 Les équations suivantes ne sont pas des équations linéaires : 2x + y 2 = y = sin(x x = y 7

8 8 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Définition 3 De maniére générale, on appelle équation linéaire dans les variables x,, x n toute relation de la forme a x + + a n x n = b ( où a,, a n et b sont des nombres réels Il importe d insister ici que ces équations linéaires sont implicites, c est-à-dire qu elles décrivent des relations entre les variables, mais ne donnent pas directement les valeurs que peuvent prendre les variables Résoudre une équation signifie donc la rendre explicite, c est-à-dire rendre plus apparentes les valeurs que les variables peuvent prendre Une solution de l équation linéaire ( est un n-uple s,, s n de valeurs des variables x,, x n qui satisfont à l équation ( Autrement dit a s + + a n s n = b Par la suite, nous étudierons l ensemble des solutions d une équation linéaire Exemple 4 Trouvons l ensemble des solutions de l équation x 4x 2 + 3x 3 = 5 Nous donnons des valeurs arbitraires s et t à x 2 et x 3 respectivement et résolvons l équation par rapport à x : x 2 = s, x 3 = t et x = 4s 3t + 5 L ensemble des solutions est alors où s et t sont des nombres réels quelconques x = 4s 3t + 5, x 2 = s, x 3 = t Définition 5 Un ensemble fini d équations linéaires dans les variables x,, x n s appelle un système d équations linéaires Tout n uplet de nombres s,, s n satisfaisant chacune des équations s appelle solution du système d équations linéaires Exemple 6 Le système admet comme solution { x 3x 2 + x 3 = 2x + 4x 2 3x 3 = 9 x = 8, x 2 = 6, x 3 = Par contre x = 7 x 2 = 2 x 3 = ne satisfait que la première équation Ce n est donc pas une solution du système Définition 7 Un système d équations est dit incompatible ou inconsistant s il n admet pas de solutions Exemple 8 Le système linéaire { x + x 2 = 2x + 2x 2 = est clairement incompatible

9 INTRODUCTION AUX SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES 9 Considérons le système { a x + a 2 x 2 = b a 2 x + a 22 x 2 = b 2 (2 avec a a 2 et a 2 a 22 Ces deux équations représentent deux droites d et d 2 dans le plan x x 2 et une solution du système est un point (s, s 2 qui est sur les deux droites Trois cas se présentent alors : ( Les droites d et d 2 se coupent en un seul point Dans ce cas, illustré par la figure, le système (2 a une seule solution (2 Les droites d et d 2 sont parallèles Alors le système est incompatible et n a pas de solution La figure 2 illustre cette situation (3 Les droites d et d 2 sont confondues et, dans ce cas, le système a une infinité de solutions Nous verrons plus loin que ces trois cas de figures (aucune solution, une seule solution, une infinité de solutions sont les seuls cas qui peuvent se présenter pour n importe quel système d équations linéaires x 2 d 2 d x Fig Droites se coupant en un seul point x 2 d 2 d x Fig 2 Droites parallèles

10 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES x 2 d = d 2 x Fig 3 Droites confondues Systèmes linéaires et matrices Considérons un système quelconque de m équations à n inconnues, a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m où le nombre réel a ij est le coefficient de la j-ème inconnue dans la i-ème équation (3 Définition 9 (Matrice augmentée Nous obtenons la matrice augmentée associée au système en «oubliant» les variables x i et les signes «+» et «=» La matrice augmentée aasociée au système (3 est alors a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b m Exemple Considérons le système linéaire x + x 2 + 7x 3 = 2x x 2 + 5x 3 = 5 x 3x 2 9x 3 = 5 Sa matrice augmentée est La méthode de base pour résoudre un système d équations linéaires est de remplacer le système par un autre, plus simple, ayant le méme ensemble de solutions Ceci se fait par une succession d opérations, appelées opérations élémentaires : ( multiplier une équation par une constante non nulle ; (2 permuter deux équations ; (3 ajouter un multiple d une équation à une autre équation Les opérations (, (2 et (3 ne changent pas l ensemble des solutions Elles correspondent à des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée Ces opérations sont les suivantes : ( multiplier une ligne par une constante non nulle ; (2 permuter deux lignes ; (3 ajouter un multiple d une ligne à une autre ligne (

11 INTRODUCTION AUX SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES Exemple Utilisons ces opérations élémentaires pour résoudre le système suivant x + y + 7z = 2x y + 5z = 5 x 3y 9z = 5 Nous calculons la matrice augmentée associée au système : puis faisons les opérations élémentaires nécessaires sur le système et sur la matrice augmentée (3 l 2 l 2 2l (3 l 2 l 2 2l x + y + 7z = 3y 9z = 3 x 3y 9z = Nous remarquons que les opérations élémentaires peuvent être faites uniquement sur la matrice augmentée pour revenir à la fin au système d équations C est ce que nous faisons dans la suite (3 l 3 l 3 + l ( l 2 3 l (3 l 3 l 3 + 2l ( l 3 4 l (3 l l 7l 3

12 2 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES 6 3 (3 l 2 l 2 3l (3 l l l Cette matrice augmentée correspond au système x = 2 y = 4 z = On obtient ainsi l unique solution su système : x = 2, y = 4 et z = Cet exemple est généralisé dans le paragraphe suivant 2 Elimination Gaussienne Il s agit d une méthode qui permet de trouver l ensemble des solutions de n importe quel système d équations linéaires La méthode consiste à mettre la matrice augmentée du système sous une forme simple, dite forme échelonnée (réduite par une série d opérations élémentaires (, (2, (3 de ( Commençons par poser la définition suivante : Définition 2 (matrice échelonnée Une matrice est appelée matrice échelonnée si elle a les propriétés suivantes : (i Dans toute ligne non nulle, le premier élément non nul vaut Il est appelé le directeur (ii Les lignes dont tous les éléments sont nuls sont regroupées en bas de la matrice (iii Dans deux lignes successives (contiguës ayant des éléments non nuls, le directeur de la ligne inférieure se trouve à droite du directeur de la ligne supérieure Exemple 3 La matrice satisfait la propriété (i mais pas la propriété (iii, alors que la matrice suivante ( 3 ne satisfait pas la propriété (i En revanche, la matrice 7 6

13 2 ELIMINATION GAUSSIENNE 3 satisfait (i, (ii et (iii : elle est donc sous forme échelonnée Finalement, la matrice 3 satisfait (i, (ii mais pas (iii On peut raffiner un peu la définition précédente en posant : Définition 4 (matrice échelonnée réduite Si, en plus des propriétés (i-(iii ci-dessus, la matrice satisfait la propriété (iv ci-dessous, on parle de matrice échelonnée réduite : (iv Toute colonne contenant un directeur a des zéros partout ailleurs Exemple 5 La matrice est échelonnée réduite, alors que la matrice 3 2 est sous forme échelonnée non réduite (é cause de la 3-ème colonne On peut transformer n importe quelle matrice en une matrice échelonnée (réduite en utilisant l algorithme de Gauss 2 Algorithme d élimination de Gauss Cet algorithme permet de transformer n importe quelle matrice sous sa forme échelonnée réduite à l aide des opérations élémentaires (-(3 de ( Voici la marche à suivre illustrée par un exemple ( Identifier la colonne se trouvant le plus à gauche contenant au moins un élément non nul Exemple : ème colonne (2 Permuter, s il le faut, la première ligne avec une autre, pour que l élément en haut de la colonne identifiée en ( devienne non nul Exemple (suite : l l (3 Si l élément se trouvant en haut de la dite colonne vaut a, multiplier la première ligne par a pour y faire apparaître le directeur Exemple (suite :

14 4 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES l 3 l (4 Ajouter des multiples adéquats de la première ligne aux lignes en-dessous pour annuler les éléments en dessous du directeur Exemple (suite : l 3 l 3 3l 3 (5 Couvrir la première ligne de la matrice, et aller à ( Exemple (suite : ( 3 (4 l 2 l 2 l ( (3 l 2 2 l ( 3 (6 La matrice entiére est échelonnée Exemple (suite : On remet la première ligne en place 3 (7 Pour la mettre sous la forme échelonnée réduite, il faut ajouter à une ligne des multiples adéquats des lignes situées au-dessous d elle en allant du bas vers le haut Exemple (suite : 3 l 2 l 2 3l 3 l l 3 l 3 3

15 2 ELIMINATION GAUSSIENNE 5 Les deux exemples ci-dessous illustrent encore l algorithme L exemple 6 illustre le point (7 à partir d une matrice qui est déjà sous forme échelonnée mais pas réduite Dans l exemple 7, on effectue l algorithme dans son entier Exemple l 2 l 2 2l l l 4l Exemple ( ère colonne (2 l l 3 ( ème colonne (4 l 2 l 2 l ( On remet en place la première ligne pour obtenir La matrice est maintenant sous forme échelonnée Il reste à la mettre sous la forme échelonnée réduite (7 l 2 l 2 + 2l (7 l l 2l 3

16 6 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES (7 l l + 3l La matrice est sous forme échelonnée réduite Un système dont la matrice augmentée est sous forme échelonnée réduite est très simple à résoudre comme nous allons le voir ci-aprés 22 Méthode de résolution d un système d équations linéaires Après avoir mis la matrice augmentée du système sous forme échelonnée réduite, on procède selon les deux étapes suivantes ( Donner une valeur arbitraire à chaque variable dont la colonne ne contient pas de directeur Ces variables sont les variables libres (2 Résoudre chaque équation en exprimant la variable correspondant au directeur, appelée variable directrice, en fonction des autres variables Exemple 8 La matrice est échelonnée réduite Elle correspond au système x 2 4 = 2 y = 4 z = Toutes les variables sont des variables directrices La solution est donc Exemple 9 La matrice x = 2, y = 4, z = 3 5 est échelonnée réduite Elle correspond au système { x + x 2 + 3x 3 + x 4 = x 4 = 5 Les variables directrices sont x 2 et x 4 car les colonnes 2 et 4 de la matrice contiennent un directeur, alors que x et x 3 sont les variables libres Posons x = s, x 3 = t On obtient et l ensemble des solutions du système est : x 2 = 3t, x 4 = 5 x = s, x 2 = 3t, x 3 = t, x 4 = 5, pour tout t, s R

17 3 SYSTÈMES HOMOGÈNES D ÉQUATIONS LINÉAIRES 7 3 Systèmes homogènes d équations linéaires Un système homogène est un système dont les termes constants sont tous nuls Il est de la forme a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = a m x + a m2 x a mn x n = Tout système homogène d équations linéaires est consistant, car il a au moins la solution dite triviale x = x 2 = = x n = Un système homogène d équations linéaires a ou bien une seule solution (la solution triviale, ou bien une infinité de solutions En effet, supposons que le système admette la solution x = t,, x n = t n avec au moins l un des t i Alors, pour un nombre réel k quelconque, est aussi solution du système x = kt,, x n = kt n Théorème 2 Tout système homogène d équations linéaires dont le nombre d inconnues est plus grand que le nombre d équations a une infinité de solutions Démonstration Soit m le nombre de colonnes et n le nombre d équations La matrice augmentée du système a alors m+ colonnes et n lignes Il s ensuit que sa forme échelonnée réduite doit comporter au moins une colonne sans directeur Supposons que ce soit la j-ème avec j m Cette colonne correspond à une variable libre x j = s et il y a donc une infinité de solutions puisque le système est compatible Exemple 2 Considérons le système homogène 3x + 3x 2 2x 3 x 5 = x x 2 + x 3 + 3x 4 + x 5 = 2x + 2x 2 x 3 + 2x 4 + 2x 5 = x 3 + 8x 4 + 4x 5 = Sa matrice augmentée est et la forme échelonnée réduite est Cette matrice correspond donc au système x + x 2 + 3x 5 = x 3 + 2x 5 = x 4 2x 5 = Les variables directrices sont x, x 3 et x 4 alors que les variables libres sont x 2 et x 5 Posons alors x 2 = s x 5 = t

18 8 CHAPITRE SYSTÈMES D ÉQUATIONS LINÉAIRES ET MATRICES On obtient x = s 3t x 3 = 2t x 4 = 2t L ensemble des solutions est donc x = s 3t, x 2 = s, x 3 = 2t, x 4 = 2t, x 5 = t, qui est bien infini

19 Chapitre 2 Eléments du calcul matriciel 2 Quelques définitions et opérations Définition 2 (Matrice Une matrice (réelle A est un tableau rectangulaire de nombres (réels Elle est dite de taille m n si le tableau posséde m lignes et n colonnes Les nombres du tableau sont appelés les éléments de A L élément situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté a ij La matrice A est également notée A = (a ij i n j m ou plus simplement A = (a ij ij si le nombre de lignes et de colonnes est connu par ailleurs Exemple 22 A = ( est une matrice 2 3 avec, par exemple, a = et a 23 = 7 Si n = m, la matrice est dite carrée a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn matrice carrée n n Dans le cas d une matrice carrée, les éléments a, a 22, a nn sont appelés les éléments diagonaux a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Deux matrices sont égales lorsqu elles ont la même taille et que les éléments correspondants sont égaux Définition 23 (Somme de deux matrices On peut définir la somme de deux matrices si elles sont de même taille Soient A etb deux matrices de taille m n On définit leur somme C = A + B, de taille m n, par c ij = a ij + b ij En d autres termes, on somme composante par composante 9

20 2 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL Exemple 24 A = A = ( ( ( 5, B = 2 ( 2, B = 8 ( 3 3, A + B = 3 6, A + B n est pas définie La matrice (de taille m n dont tous les éléments sont des zéros est appelée la matrice nulle et notée nm ou plus simplement C est l élément neutre pour l addition, c est-à-dire que A + = A Définition 25 (Produit d une matrice par un scalaire Le produit d une matrice A par un scalaire k est formé en multipliant chaque élément de A par k Il est noté ka Exemple 26 Soient A = ( Alors ka = et k = 3 ( La matrice ( A est notée A et la différence A B est définie par A + ( B Exemple 27 ( 2 A = ( 4 2 B = ( A B = 3 22 Le produit matriciel Le produit AB de deux matrices A et B est défini seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B : Définition 28 (Produit de deux matrices Soit A = (a ij une matrice m n et B = (b ij une matrice n p Alors le produit C = AB est une matrice m p dont les éléments c ij sont définis par c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a im b mj = AB = C : a a m a 2 a 22 a 2m a n a nm n a ik bkj k= b b r b 2 b m b mr c c r c 2 c n c nr c 2 = a 2 b + a 22 b a 2m b m

21 23 RÈGLES DU CALCUL MATRICIEL 2 Exemple 29 ( = (8 6 3 = ( Exemple ( 2 3 = Matrice identité Définition 2 La matrice carrée n n I n = s appelle la matrice identité Ses éléments diagonaux sont égaux à et tous ses autres éléments sont égaux à Dans le calcul matriciel, la matrice identité joue un réle analogue à celui du nombre dans l arithmétique des scalaires C est l élément neutre pour la multiplication En d autres termes, si A une matrice m n, alors 23 Règles du calcul matriciel I m A = A et AI n = A Sous l hypothèse que les tailles des matrices soient compatibles avec les opérations indiquées, on a les règles suivantes : (a Commutativité de la somme : A + B = B + A (b Associativité de la somme : A + (B + C = (A + B + C (c Associativité du produit : A(BC = (ABC (d Distributivité du produit par rapport à la somme : A(B + C = AB + AC (B + CA = BA + CA (e A + = A (f AI = IA = A (g A = A = ATTENTION! Le produit des matrices n est pas nécessairement commutatif On peut avoir AB BA Exemple 22 A = AB = ( 2 5 ( 2 2 B = BA = ( 2 3 ( 4 5 3

22 22 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL ATTENTION! Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul En d autres termes, on peut avoir A, B et AB = Exemple 23 A = ( 5 ( 2 3, B = et AB = ( Ce qui précède implique, par distributivité, que l on peut avoir AB = AC et B C Exemple 24 A = ( 3 ( 4, B =, C = 5 4 ( 5 4 AB = AC = 5 2 ( Ecriture matricielle des systèmes d équations linéaires Le système linéaire a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m peut s écrire sous forme matricielle : a a n x b a 2 a 2n x 2 b 2 = } a m {{ a mn } } x n {{ } } b m {{ } A x B On appelle A la matrice des coefficients du système Le vecteur x est une solution du système si et seulement si Ax = B Théorème 25 Un système d équations linéaires n a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions Démonstration Soit Ax = B la représentation matricielle du système On est nécessairement dans l un des cas ci-dessous : (a le système est incompatible (aucune solution ; (b le système a une seule solution ; (c le système a plusieurs solutions Pour démontrer le théorème, il suffit alors de montrer que dans le cas (c il y a une infinité de solutions Soient x et x 2 des solutions distinctes du système Alors Ax = B et Ax 2 = B Donc Ax Ax 2 = et A(x x 2 = Posons x = x x 2 On a x, car x x 2 et l expression x + kx est une solution du système pour tout nombre réel k En effet, A(x +kx = Ax +kax = B+

23 25 L INVERSION DES MATRICES 23 Théorème 26 Supposons que le système a y + a 2 y a n y n = c a 2 y + a 22 y a 2n y n = c 2 a m y + a m2 y a mn y n = c m détermine les variables y,, y n en fonction de constantes c,, c m, et que le système b x + b 2 x b p x p = y b 2 x + b 22 x b 2p x p = y 2 b n x + b n2 x b np x p = y n exprime les variables x,, x p en fonction des variables y,, y n Écrivons ces systèmes sous la forme compacte Ay = c, Bx = y Alors le système déterminant les variables x,, x p en fonction des constantes c,, c m est donné par (ABx = c Quelques cas particuliers Dans le cas particulier ù n = m = 2 (2 équations à 2 inconnues le système linéaire correspond à l intersection de deux droites dans le plan Nous avons vu, dans le chapitre, que trois cas pouvaient se présenter : les droites sont soit parallèles, soit sécantes, soit confondues et ces trois cas correspondent aux trois cas du théorème ci-dessus Si le système est homogène, les deux droites passent par le point (, et ne peuvent donc être parallèles Le cas sans solution est donc exclu Dans le cas ù l on a 2 équations (m = 2 à 3 inconnues (n = 3, ceci correspond à l intersection de deux plans dans l espace Trois cas se présentent alors : les plans sont parallèles et il n y a alors aucune solution au système ; les plans sont confondus et il y a une infinité de solutions au système ; les plans se coupent en une droite et il y a une infinité de solutions ; Du point de vue du nombre de solutions, nous constatons qu il n y a que deux possibilités, à savoir aucune solution ou une infinité de solutions Mais les deux derniers cas ci-dessus sont néanmoins très différents géométriquement et il semblerait que dans le second cas (plans confondus, l infinité de solutions soit plus grande que dans le troisième cas Les chapitres suivants nous permettront de rendre rigoureuse cette impression 25 L inversion des matrices Définition 27 (Matrice inverse Soit A une matrice carrée de taille n n S il existe une matrice carrée B de taille n n telle que AB = I et BA = I, on dit que A est inversible et on appelle B un inverse de A (on verra plus tard qu il suffit de vérifier une seule des conditions AB = I, BA = I Exemple 28 La matrice ( est inversible et un de ses inverses est ( 3 5 2

24 24 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL En effet, on a ( 2 ( = ( et ( ( = ( Exemple 29 La matrice n est pas inversible En effet, soit A = B = ( 3 5 ( b b 2 b 2 b 22 une matrice quelconque Alors le produit ( ( b b BA = 2 3 = b 2 b 22 5 ne peut jamais être égal à la matrice identité Théorème 22 Si B et C sont des inverses de A, alors B = C ( Démonstration On a I = AC = BA du fait que B et C sont des inverses de A ; donc B = BI = B(AC = (BAC = IC = C Si A est une matrice inversible, son inverse est noté A On a donc AA = I et A A = I 25 Matrices 2 2 Considérons les matrices 2 2 ( a b A = c d On vérifie que ( d b et B = c a ( AB = BA = (ad bc Donc A est inversible si ad bc, et on a alors ( A d b = ad bc c a 252 Puissances d une matrice Soit A une matrice n n On définit Si A est inversible, on définit A m = AA A } {{ } m facteurs A m = ( A m = A A A } {{ } m facteurs Théorème 22 Soit A une matrice inversible Alors

25 26 LES MATRICES ÉLÉMENTAIRES 25 (a A est inversible et (A = A ; (b A m est inversible et (c ka est inversible si k et (ka = k A (A m = } A A {{ A } m facteurs = (A m = A m ; Théorème 222 Soient A et B deux matrices n n inversibles Alors (a AB est inversible et (b (AB = B A Démonstration Il suffit de montrer Cela suit de (B A (AB = (AB(B A = I (B A (AB = B (AA B = B IB = B B = I, et (AB(B A = A(BB A = AIA = AA = I De façon analogue, on montre que si A,, A m sont inversibles, alors Exemple 223 A = B = (A A 2 A m = A m A m A ( ( A = B = ( ( ( 2 AB = 5 3 B A = ( ( ( ( 6 7 = 39 7 ( 7 7 = 39 6 On a alors bien ( (AB(B A 6 7 = 39 7 ( = ( = ( 26 Les matrices élémentaires Définition 224 (Matrice élémentaire On dit qu une matrice E est élémentaire si elle peut être obtenue par une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité (voir ( pour la définition des opérations élémentaires Il existe donc trois types de matrices élémentaires correspondant aux trois opérations élémentaires ( La matrice E i (c est la matrice élémentaire obtenue en multipliant par c la i-ème ligne de I n, ù c est un nombre réel non nul Exemple 225 E 2 (5 = 5

26 26 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL (2 La matrice E ij est la matrice élémentaire obtenue en permutant les i-ème et j-ème lignes de I n Exemple 226 E 24 = E 42 = (3 La matrice E ij (c est la matrice élémentaire obtenue en ajoutant c fois la j-ème ligne de I n à la i-ème ligne Exemple 227 E 2 ( 5 = 5 L opération élémentaire «permuter les lignes i et j» correspond à multiplier une matrice sur la gauche par la matrice élémentaire E ij ; et de même pour toutes autres opérations élémentaires C est ce qu indique le théorème suivant : Théorème 228 Si la matrice élémentaire E est le résultat d une opération élémentaire effectuée sur I m, alors pour toute matrice A de taille m n le produit matriciel EA est égal à la matrice obtenue en effectuant la même opération élémentaire sur A Ainsi, multiplier une matrice A sur la gauche par E ij revient à échanger les lignes i et j de A ; multiplier A sur la gauche par E i (c revient à multiplier la ligne i de A par c ; et multiplier A sur la gauche par E ij (c revient à ajouter c fois la ième ligne à la jéme Exemples : ( E (2 A = ( 2 ( ( a a 2 a 3 2a 2a = 2 2a 3 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 23 (2 (3 E 23 A = E 2 (9 A = 9 a a 2 a 2 a 22 a 3 a 32 a a 2 a 3 = = a a 2 a 3 a 32 a 2 a 22 a 9a + a 2 a 3 Les opérations élémentaires sur les lignes sont réversibles Ceci entraîne l inversibilité des matrices élémentaires Théorème 229 Toute matrice élémentaire est inversible En particulier, on a : [E ij (c] = E ij ( c E ij = E ij ( [E i (c] = E i c Exemple 23 On a E 2 ( 4 = ( 4 et E 2 (4 = ( 4 et ( 4 ( 4 = ( = ( 4 ( 4

27 27 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE 27 Définition 23 On dit que deux matrices sont équivalentes par lignes si l une peut être obtenue à partir de l autre par une suite d opérations élémentaires sur les lignes Théorème 232 Pour toute matrice A de taille n n, les affirmations suivantes sont équivalentes : (a A est inversible (b Le système AX = B a une et une seule solution pour toute matrice B de taille n Cette solution est donnée par X = A B (c AX = n a que la solution triviale X = (d A est équivalente par lignes à I n (e A est un produit de matrices élémentaires Démonstration (a (b Si A est inversible, on a les équivalences suivantes : ce qui prouve (b AX = B A AX = A B X = A B (b (c C est évident car (c est un cas particulier de (b avec B = (c (d Par hypothèse, le système AX = est équivalent au système X = X 2 = X n = La matrice associée à ce dernier système est la matrice identité La matrice A est donc équivalente par lignes à I n et ceci prouve le point (d (d (e On sait, par hypothèse, qu une succession d opérations élémentaires sur A conduit à la matrice I n Par le théorème 228, ceci signifie qu il existe des matrices élémentaires E, E r telles que E r E r E A = I n Comme une matrice élémentaire est inversible, ceci implique que A = E E 2 E r Mais l inverse d une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire et l on a le résultat cherché (e (a Ceci découle du fait que toute matrice élémentaire est inversible et que le produit de matrices inversibles est encore inversible 27 Calcul de l inverse d une matrice Le théorème précédent donne une méthode pour déterminer l inverse d une matrice inversible La méthode consiste à faire les opérations élémentaires mettant la matrice A sous la forme échelonnée réduite, qui est I n On fait ensuite les mémes opérations élémentaires sur la matrice I n On aboutit alors à A En pratique, on fait les deux opérations en même temps selon la procédure suivante : Former la matrice (A : I et effectuer sur cette matrice augmentée les opérations élémentaires mettant A sous la forme échelonnée réduite On obtient alors la matrice (I : A Exemple 233 Calculons l inverse de A =

28 28 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL (A : I = 4 : 2 : 2 2 : l 2 := l 2 4l 2 : 8 5 : : l 3 := l 3 + l 2 : 8 5 : : l 2 := 8 l 2 2 : 5/8 : /2 /8 4 3 : l 3 := l 3 4l 2 2 : 5/8 : /2 /8 /2 : /2 l 3 := 2l 3 2 : 5/8 : /2 /8 : 2 2 l 2 := l l 3 2 : 7 : : 2 2 l := l 2l 2 l : 2 7 : : 2 2 A =

29 28 MATRICES TRIANGULAIRES Matrices triangulaires Définition 234 Soit A une matrice de taille n n On dit que A est triangulaire inférieure si ses éléments au dessus de la diagonale sont nuls, autrement dit si i < j = a ij = Une matrice triangulaire inférieure a donc la forme suivante : a a 2 a 22 a n a n2 a nn On dit que A est triangulaire supérieure si ses éléments en dessous de la diagonale sont nuls, autrement dit si i > j = a ij = Une matrice triangulaire supérieure a donc la forme suivante : a a 2 a n a 22 a 2n a nn Exemple 235 Matrices triangulaires inférieures : ( 5 2 Exemple 236 Matrices triangulaires supérieures : ( 3 6 Définition 237 Une matrice qui est triangulaire inférieure et triangulaire supérieure est dite diagonale Exemple 238 Exemples de matrices diagonales : 6 et ( 2 3 Théorème 239 Une matrice A de taille n n, triangulaire, est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls Démonstration Supposons que A est triangulaire supérieure Si les éléments de la diagonale sont tous non nuls, alors, en multipliant chaque ligne i par l inverse de l élément diagonal a ii, on obtient la forme échelonnée de A Elle ne contient que des sur la diagonale De ce fait, la forme échelonnée réduite de A sera la matrice identité Le théorème 232 permet de conclure que A est inversible

30 3 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL Inversement, supposons qu au moins l un des éléments diagonaux soit nul et notons a mm le premier élément nul de la diagonale En multipliant les lignes à m par l inverse de leur élément diagonal, on obtient une matrice de la forme a ll a nn où l = m + Il est alors clair que la colonne m de la forme échelonnée ne contiendra pas de directeur La forme échelonnée réduite de A ne peut donc pas être I n et par le théorème 232, A n est pas inversible Dans le cas d une matrice triangulaire inférieure, on utilise la transposition qui fait l objet de la section suivante et on obtient une matrice triangulaire supérieure On applique alors la démonstration ci-dessus 29 La transposition Soit A la matrice de taille m n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn Définition 24 On appelle matrice transposée de A, la matrice A T de taille n m définie par : a a 2 a m A T a 2 a 22 a m2 = a n a 2n a mn Autrement dit, la i-ème colonne de A T est la i-ème ligne de A, ou encore Exemple 24 a T ij = a ji ( 2 5 T = T 3 5 = 2 ( T 2 = (4 T = (4 2 5 ( ( 2 Théorème 242 L opération de transposition obéit aux règles suivantes : (a (A + B T = A T + B T (b (ka T = ka T (c (AB T = B T A T (d (A T T = A (e Si A est inversible, alors A T l est aussi et on a (A T = (A T qui sera notée A T

31 2 LA TRACE 3 2 La trace Soit A la matrice n n A = a a n a n a nn Définition 243 On appelle trace de A,et on note trace(a, le nombre obtenu en additionnant les éléments diagonaux de A Autrement dit, trace(a = a + + a nn Exemple 244 Soient A = ( 2 5 et B = Alors trace(a = = 7 et trace(b = =-7 Théorème 245 Soient A et B deux matrices n n Alors (a trace(a + B = trace(a + trace(b ; (b trace(λa = λ trace(a pour tout λ R ; (c trace(a T = trace(a ; (d trace(ab = trace(ba Démonstration (a Pour tout i n, (A + B ii = A ii + B ii Ainsi, on a bien trace(a + B = trace(a + trace(b (b On a trace(λa = λa + + λa nn = λ(a + + A nn (c Etant donné que la transposition ne change pas les éléments diagonaux, la trace de A est égale à la trace de A T (d On a Ainsi, AB ii = A i B i + A i2 B 2i + + A in B ni trace(ab = A B +A 2 B 2 + +A n B n + A 2 B 2 +A 22 B A 2n B n2 On peut réarranger les termes pour obtenir + A n B n +A n2 B 2n + +A nn B nn A B +A 2 B 2 + +A n B n + A 2 B 2 +A 22 B A n2 B 2n + A n B n +A 2n B n2 + +A nn B nn En utilisant la commutativité de la multiplication dans R, la premiére ligne devient B A + B 2 A B n A n qui vaut BA En faisant de même avec les autres lignes, on voit finalement que trace(ab = BA + + BA nn = trace(ba

32 32 CHAPITRE 2 ELÉMENTS DU CALCUL MATRICIEL 2 Matrices symétriques Définition 246 Une matrice A de taille n n est dite symétrique si elle est égale à sa transposée, c est-à-dire si A = A T ou encore si a ij = a ji pour tout i, j =,, n Exemple 247 Les matrices 5 2, 5 ( 2 2 4, I n et n,n sont symétriques Théorème 248 Pour une matrice B quelconque, les matrices BB T et B T B sont symétriques Démonstration Par le théorème 242, on a (BB T T = (B T T B T = BB T (B T B T = B T (B T T = B T B 22 Matrices antisymétriques Définition 249 Une matrice A de taille n n est dite antisymétrique si A T = A c est-à-dire si a ij = a ji pour tout i, j =,, n Exemple 25 (, (, Remarquons que les éléments diagonaux d une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls Théorème 25 Toute matrice A de taille n n est la somme d une matrice symétrique B et d une matrice antisymétrique C Démonstration Posons B = (A + A T /2 et C = (A A T /2 On a alors A = B + C ; et B est symétrique, car B T = (A T + (A T T /2 = B ; et C est antisymétrique, car C T = (A T (A T T /2 = C Exemple 252 Soit ( 2 A = 8 3 ( ( 2 9 A = } {{ } } {{ } symétrique antisymétrique

33 Chapitre 3 Le déterminant 3 Permutations et déterminants Nous allons construire dans ce chapitre une fonction appelée le déterminant qui associe un nombre réel à chaque matrice carrée et qui permettra de caractériser facilement les matrices inversibles puisque ce sont celles dont le déterminant est non nul Exemple 3 Soit ( a b A = c d On a vu que si ad bc, alors A est inversible On a alors ( A d b = ad bc c a On définit alors le déterminant de A comme étant det(a = ad bc On va maintenant généraliser cette notion à des matrices carrées de taille n n Définition 32 On appelle permutation de l ensemble d entiers {,, n} un arrangement de ceuxci sans omissions ni répétitions Autrement dit, une permutation de {,, n} est une bijection de l ensemble {,, n} sur lui-mème Une permutation quelconque σ de {,, n} sera notée σ = (j, j 2,, j n où j = σ(, j 2 = σ(2,, j n = σ(n L ensemble de toutes les permutations de n éléments sera noté S n Exemple 33 Il y a deux permutations de l ensemble {, 2} : (, 2 est l identité car σ ( = et σ (2 = 2 σ = (, 2 et σ 2 = (2, Exemple 34 Il y a 6 permutations de l ensemble {, 2, 3} : (, 2, 3 (, 3, 2 (2,, 3 (3, 2, (2, 3, (3,, 2 Plus généralement, l ensemble {,, n} a n! = 2 n permutations En effet, il y a n possibilités pour le premier nombre, n possibilités pour le deuxième et ainsi de suite ce qui nous donne n(n (n 2 2 différents arrangements possibles des nombres, 2,, n 33

34 34 CHAPITRE 3 LE DÉTERMINANT Définition 35 Dans une permutation on a une inversion si un nombre plus grand précède un nombre plus petit De manière plus précise, le nombre d inversions d une permutation (j, j 2,, j n est la somme du nombre de successeurs de j plus petits que j, plus le nombre de successeurs de j 2 plus petits que j 2, plus le nombre de successeurs de j n plus petits que j n Exemple 36 La permutation (4, 2, 5, 3, contient 7 inversions En effet,il y a 3 successeurs plus petits que 4, successeur plus petit que 2, 2 successeurs plus petits que 5, successeur plus petit que 3 et pas de successeur plus petit que En additionnant ces nombres, on obtient bien 7 Exemple 37 La permutation contient = 8 inversions (6,, 3, 4, 5, 2 Définition 38 Une permutation ayant un nombre pair d inversions est appelée permutation paire, sinon elle est appelée permutation impaire On définit la signature de la permutation σ comme suit : { si σ est paire sign(σ = si σ est impaire Exemple 39 Classification des permutations de {, 2, 3} : Permutation Nbre d inversions Parité (, 2, 3 paire (, 3, 2 impaire (2,, 3 impaire (2, 3, 2 paire (3,, 2 2 paire (3, 2, 3 impaire Lemme 3 Soit n, i, j {,, n} avec i < j et σ S n Posons σ = (σ(,, σ(i, σ(j, σ(i +,, σ(j, σ(i, σ(j +,, σ(n Alors sign(σ = sign(σ «Démonstration» : Nous illustrons la méthode de la démonstration par un cas particulier Considérons les deux permutations de S 8 suivantes : σ = (, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 8 et σ = (, 3, 5, 7, 6, 2, 4, 8 Pour calculer leur signature, il faut calculer le nombre d inversions de σ et de σ On voit que, 4 et 8 ont le même nombre de successeurs plus petits dans σ et σ Pour passer de σ à σ, on permute 2 et 3 Dans σ, 3 n est pas un successeur de 2 plus petit, alors que dans σ, 2 est un successeur de 3 plus petit Dans σ, 5 n est pas un successeur de 2 plus petit, mais 3 est un successeur de 5 plus petit,alors que dans σ, 5 n est pas un successeur de 3 plus petit, mais 2 est un successeur de 5 plus petit En répétant le même raisonnement avec 7 et 6, on remarque que le nombre de successeurs de 5, 7 et 6 plus petits est le même que cela soit dans σ ou dans σ Globalement, on voit donc que σ a une et une seule inversion de plus que σ Ainsi, leurs signatures sont opposées

35 3 PERMUTATIONS ET DÉTERMINANTS 35 Définition 3 Soit A = a a n a n a nn une matrice carrée de taille n n Un produit élémentaire de A est le produit de n éléments de A, choisis de façon qu aucun couple d entre eux ne provienne de la méme ligne ou de la même colonne Autrement dit, tous les éléments du produit sont dans des lignes et des colonnes différentes Exemple 32 Les produits élémentaires de la matrice ( a a A = 2 a 2 a 22 sont a a 22 et a 2 a 2 Les produits élémentaires de a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 sont : a a 22 a 33 a a 32 a 23 a 2 a 2 a 33 a 2 a 32 a 3 a 3 a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 Plus généralement, à partir d une matrice de taille n n, on peut former n! produits élémentaires En effet, on constate qu un produit élémentaire de A n est rien d autre qu un produit a j a 2j2 a njn où (j, j 2,, j n est un élément de S n Définition 33 Un produit élémentaire signé d une matrice A est un produit sign(σ a j a 2j2 a njn où σ = (j, j 2,, j n est une permutation à n éléments Exemple 34 Les produits élémentaires signés de ( a a 2 a 2 a 22 sont a a 22 (la permutation (, 2 est paire et a 2 a 2 (la permutation (2, est impaire Les produits élémentaires signés de a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 sont a a 22 a 33, a a 23 a 32, a 2 a 2 a 33, a 2 a 23 a 3, a 3 a 2 a 32 et a 3 a 22 a 3 Définition 35 Le déterminant d une matrice A est le nombre obtenu en effectuant la somme de tous les produits élémentaires signés de A Il est noté det(a Autrement dit, det(a = σ S n sign(σ a i a nin, où σ = (i,, i n Exemple 36 A = ( a a 2 a 2 a 22 det(a = a a 22 a 2 a 2

36 36 CHAPITRE 3 LE DÉTERMINANT Exemple 37 A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det(a = sign((, 2, 3a a 22 a 33 + sign((2, 3, a 2 a 23 a 3 + sign((3,, 2a 3 a 2 a 32 + sign((3, 2, a 3 a 22 a 3 + sign((2,, 3a 2 a 2 a 33 + sign((, 3, 2a a 23 a 32 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 Théorème 38 Si A est une matrice ayant une ligne formée de zéros, alors det(a = Démonstration Par définition, le déterminant est la somme des produits élémentaires signés de A Mais chacun de ces produits élémentaires contient un élément nul provenant de la ligne de zéros de A Donc det(a = Théorème 39 Le déterminant d une matrice A triangulaire (inférieure ou supérieure est égal au produit a a 22 a 33 a nn des éléments diagonaux Démonstration Le seul produit élémentaire signé non nul est a a 22 a nn La permutation correspondante est (, 2,, n qui contient inversions et qui est donc une permutation paire On a donc bien det(a = a a 22 a 33 a nn Examinons maintenant ce qui se passe si deux lignes de la matrice sont égales Exemple 32 Soit A = a b c a b c d e f, on a det(a = abf abf + ace ace + bcd bcd = et l on remarque que tous les produits élémentaires apparaissent deux fois avec des signes opposés (cf lemme 3 Ceci nous amène au théorème suivant : Théorème 32 Soit A une matrice avec deux lignes égales Alors det(a = Démonstration Dans le déterminant d une telle matrice, tous les produits élémentaires apparaissent deux fois, avec des signes opposés Donc det(a = 3 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2 2 et 3 3 Nous décrivons ici la règle de Sarus pour calculer des déterminants 2 2 et 3 3 Matrice 2 2 a a 2 a 2 a 22 + det(a = a a 22 a 2 a 2

37 32 DÉTERMINANTS ET OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 37 Matrice 3 3 On recopie les colonnes et 2 à la suite de la colonne 3 et on calcule comme suit : a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 2 a 22 a 33 a 3 a det(a = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a 2 Exemple 322 Calculer det donc det = ATTENTION : Cette méthode ne s applique pas pour les matrices de dimensions supérieures é 3 32 Déterminants et opérations élémentaires Nous allons voir que la réduction d une matrice à la forme échelonnée nous fournit une méthode efficace pour calculer son déterminant Théorème 323 Soit A une matrice de taille n n, et soit E une matrice élémentaire (E = E i (k, E ij ou E ij (k Alors ( det(e i (k = k (2 det(e ij = (3 det(e ij (k = (4 det(ea = det(e det(a Démonstration ( Soit k R, k Rappelons que E i (k = k det(e i (k = σ S n sign(σ a j a njn, où σ = (j,, j n

38 38 CHAPITRE 3 LE DÉTERMINANT Comme il n y a qu un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne, le seul produit élémentaire non nul est k = k De plus, la permutation (, 2,, n n a pas d inversion Sa signature est donc Ainsi det(e i (k = k (2 Sans perte de généralité, on peut supposer que i < j On a E ij = Comme avant, il y a un seul produit produit élémentaire non nul, qui vaut Le déterminant sera donc ± Il reste à déterminer la signature de la permutation (, 2,, (i, j, (i +, (i + 2,, (j, i, (j +,, n j a (j successeurs plus petits Les nombres compris entre (i + et (j ont chacun un succeseur plus petit Or, il y a (j nombres entre i et j Ainsi, le nombre d inversions de la permutation est (j i + (j i = 2j 2i C est un nombre impair La signature est donc et le déterminant de E ij est (3 En écrivant la matrice E ij (k, on voit que le seul produit élémentaire non nul est et que la signature de la permutation à étudier est celle de (, 2,, n C est une permutation paire, ce qui implique que det(e ij (k = (4 Pour montrer que det(ea = det(a det(e, nous allons considérer trois cas, E = E i (k, E = E ij et E = E ij (k Premier cas E = E i (k, k et A = (a ij EA = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n ka i ka i2 ka in a n a n2 a nn Le déterminant est la somme des produits élémentaires signés Chaque produit élémentaire a exactement un élément de chaque ligne,en particulier un élément de la i-ème ligne Ainsi, dans chaque terme de la somme, on peut mettre k en évidence Finalement, det(ea = k σ S n sign(σa σ( a nσ(n = det(e det(a

39 32 DÉTERMINANTS ET OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 39 Deuxième cas E = E ij On peut supposer que i < j Posons B = E ij A On a a a 2 a n a j a j2 a jn E ij A = a i a i2 a in a n a n2 a nn Les produits élémentaires de B et de A sont les mêmes Comme det(e ij =, pour montrer que det(e ij A = det(e ij det(a il faut montrer que les produits élémentaires signés de A et de B sont opposés Par définition du déterminant, det(b = σ S n sign(σ b σ( b iσ(i b jσ(j b nσ(n = σ S n sign(σ a σ( a jσ(i a iσ(j a nσ(n La deuxième égalité vient du fait que la i-ème ligne de B est la j-ème ligne de A (et réciproquement Posons σ = (σ(,, σ(i, σ(j, σ(i +,, σ(j, σ(i, σ(j +,, σ(n σ est la composition de σ avec la permutation qui échange i et j Par le lemme 3, sign(σ = sign(σ Ainsi det(b = σ S n ( sign(σ a σ ( a nσ (n = σ S n sign(σ a σ ( a nσ (n = det(a Troisième cas E = E ij (k On peut supposer que i < j Posons C = E ij (ka On a a a n a i + ka j a in + ka jn C = a j a jn a n a nn Alors, det(c = σ S n sign(σ b σ( b nσ(n = σ S n sign(σ a σ( a (i σ(i (a iσ(i + ka jσ(i a (i+σ(i+ a nσ(n = σ S n sign(σ a σ( a nσ(n + k σ S n sign(a σ( a (i σ(i a jσ(i a (i+σ(i+ a nσ(n } {{ } =α = det(a + k α

40 4 CHAPITRE 3 LE DÉTERMINANT Comme det(e ij (k =, pour montrer que det(c = det(a det(e ij (k, il suffit de montrer que α = Mais, a a n a (i a (i n α = det a j a jn a (i+ a (i+n a n a nn et la i-ème ligne de cette matrice est a j a jn Elle a donc deux lignes identiques (la i-ème et la j-ème, ce qui implique que α = Ce théorème nous permet de calculer le déterminant d une matrice de façon relativement simple, en utilisant l algorithme de Gauss pour réduire la matrice à la forme échelonnée (qui est triangulaire et en utilisant les théorèmes 323 et 39 En effet, si A = E E r D où D = (d ij est une matrice échelonnée (triangulaire Alors det(a = det(e det(e r det(d = det(e det(e r d d 22 d nn Exemple 324 Calculer det(a, où A = det(a = det = ( det = ( 3 det = ( 3 det = ( 3 det = ( 3( 55 det = ( 3( 55 = Exemple 325 Soit A =

41 32 DÉTERMINANTS ET OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 4 Alors, en soustrayant deux fois la ligne à la ligne 2, on obtient det(a = det = Notation : Pour toute matrice carrée A, on note A = det(a Théorème 326 Soit A une matrice carrée Alors A est inversible si et seulement si det(a On a, dans ce cas, det(a := det(a Démonstration Supposons d abord que A est inversible On peut alors écrire A comme produit de matrices élémentaires, A = E E r En appliquant successivement le théorème 323, on a det(a = det(e E r = det(e det(e 2 E r = = det(e det(e r Comme le déterminant d une matrice élémentaire n est jamais nul, on en déduit que le déterminant de A n est pas nul Ensuite, A = Er E, et on vérifie aisément que det(e = det(e pour toute matrice élémentaire E On a donc det(a = det(e r det(e, et donc det(a = det(a Réciproquement, supposons que det(a Nous montrerons qu alors A est équivalente par lignes à I, ce qui implique, par le théorème 232, que A est inversible Soit R la forme échelonnée réduite de A On peut donc trouver des matrices élémentaires E,, E k telles que On en déduit que E k E A = R, ou encore A = E E k R A = E E k R Mais par hypothèse A Donc R On en déduit que chaque ligne de R contient un directeur Donc R = I Le théorème suivant est essentiel et nous affirme que le déterminant est multiplicatif : Théorème 327 Soient A et B deux matrices de taille n n Alors det(ab = det(a det(b Démonstration Si A et B sont les deux inversibles, on les écrit comme produit de matrices élémentaires : A = E E r et B = F F s On a alors det(ab = det(e E r F F s = det(e det(e 2 E r F F s = = det(e det(e r det(f F s = det(e E r det(f F s = det(a det(b Si A ou B n est pas inversible, alors AB n est pas inversible non plus ; et det(ab = Le déterminant est invariant par transposition :

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