MAGISTER MODÉLISATION ET SIMULATION NUMÉRIQUE DES ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES EN CHARGE PAR LA MÉTHODE DES VOLUMES FINIS

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1 الجمھوریة الجزاي ریة الدیمقراطیة الشعبیة Républque Algérenne Démocratque et Populare وزارة التعلیم العالي و البحث العلمي Mnstère de l ensegnement supéreur et de la recherche scentfque Unversté Mohamed Khder Bskra Faculté des Scences et de la technologe Département : Géne Cvl et ydraulque Ref : جامعة محمد خیضر بسكرة كلیة العلوم و التكنولوجیا قسم: المرجع: Mémore présenté en vue de l obtenton du ttre de MAGISTER En ydraulque Opton : ydraulque urbane et Ouvrages MODÉLISATION ET SIMULATION NUMÉRIQUE DES ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES EN CARGE PAR LA MÉTODE DES VOLUMES FINIS Présenté par : AMARA Lyes Ingéneur d Etat en ydraulque de l Unversté de Bejaa Soutenu publquement le 9 / 06 / 03 Devant le jury composé de : Présdent : OUAMANE Ahmed Professeur Unversté de Bskra Rapporteur : ACOUR Bachr Professeur Unversté de Bskra Examnateur : DEBABECE Mahmoud Professeur Unversté de Bskra Examnateur : BOUZIANE M ed Toufk M.C.A Unversté de Bskra Invté : BERREKSI Al M.C.B Unversté de Bejaa

2 Remercements Arrvé au terme de ce traval, manuscrt enfn clôt, au-delà de la pérode de son élaboraton, l est l aboutssement d un chemnement débuté l y a fort longtemps, et s j en tre aujourd hu seul les honneurs, le mérte en revent en réalté à beaucoup d autres. En préambule, je tenas donc à adresser mes remercements sncères en ces lgnes, à tous ceux, qu de prêt ou de lon, y ont contrbué. Au début, l est de clarvoyance et avant tous de remercer Deu. C est en réalté par Sa msércorde que j a pu parvenr au bout de mes espérances tant sur le plan académque que personnel en me donnant pussance, confance et courage. Sans conteste, c est avec leur amour, appu, leur encouragement et souten ncessant que je me retrouve là. En conséquence, et en deuxème leu, je remerce ma très chère Mère et mon très cher Père pour leur souten, de m avor épaulé et prêté consels durant toute ma ve. Je ne saura évdement les remercer autant, mas ces quelques mots sauront trouver échos dans leur cœur. Je tens à exprmer ma profonde grattude et mes vfs remercements à Mr. ACOUR Bachr, Professeur et drecteur du laboratore de recherche LARYSS, qu a agullé le présent traval, pour sa dsponblté et ses consels judceux, la confance qu l m a témognée, pour sons ade morale et documentare, sans oubler son accompagnement au cours de mon séjour d étude à Bskra. Je dra smplement que je sus très honoré d être drgé par lu. Que ses compétences et connassances dans la drecton de ce traval trouvent c l assurance de ma reconnassance la plus sncère. Je remerce le Mr. OUAMANE Ahmed pour l honneur qu l me fat en présdant le jury du présent traval. Mes plus sncères remercements vont de même à Mr. DEBABECE Mahmoud et Mr BOUZIANE M ed Toufk pour avor accepter la lourde tâche d examner le traval et d apporter leur appont qu ne saura qu être bénéfque à mon égard. Je tens également à présenter toute ma grattude et ma reconnassance très partculère à Mr. BERREKSI Al, sans doute celu qu m a de lon marqué durant toute ma formaton unverstare. orms son savor pontu et son érudt dans un domane auss vaste que celu de l hydraulque numérque qu a généreusement partagé avec mo, l a su mplanté en mo un esprt d autonome, découverte de confance en so, de rgueur scentfque, ngrédents essentels pour y aller de l avant, et auss sur le plan personnel, que j a tant apprécé, en partageant avec mo beaucoup de choses, et en me fasant apprendre même avec un slence. Je n oublera jamas son ade préceuse, surtout documentare, graceusement mse en ma dsposton et même ramenée de l étranger (Malase et France). Que ces smples lgnes, qu mettront à mal sa modeste, pussent refléter mon profond respect à son égard. Je ne saura oubler c de remercer chaleureusement Mr. AMIRECE Mohamed de m avor suv et accompagné depus mes premers pas de formaton d hydraulcen, en me fasant part de son savor avec générosté, cœur et amté, horms ses orentatons et consels qu m ont été fort utle, sans omettre les moyens et documentatons qu a ms en ma dsposton. Je sus heureux d être un de ses élèves préférés.

3 Je sas cette occason pour remercer c l ensemble des ensegnants du département d ydraulque de l Unversté de Bejaa qu ont assuré ma formaton de base, pour l appu et l ade qu m ont apporté tout le long de mon cursus ans que leur esprt d amté, spécalement Messeurs A. CENAFI, M. BELOCINE, A. AMMOUCE, S. AMCAOUI, A. BEDJOU, A. BRAKENI et partculèrement A. BENZERRA surtout pour la documentaton ramenée de l INSA de Lyon. Il m est auss nécessare et de devor c d exprmer mes chaleureux remercements pour mes ensegnants de la P.G. à l Unversté de Bskra spécalement Mr. A. BENKALED, Mme. S. ACOUR, Mr. A. OUAMANE et M elle S. GUERGAZI pour leur souten et leurs encouragements et la sympathe qu ls mon témogné. Auss je n ouble pas l ensemble du personnel du département de Géne cvl et ydraulque de l Unversté de Bskra, à leur tête Mr. T. BOUZIANE. Je tens également à exprmer mes remercements à mes ams pour leur souten, ade, encouragements et leur appu, je sus très fer d eux tous notamment Loucf BENAMED, Mokrane AMIROUCE, Samy TOUAZI, amza KLIFA et tous les autres chacun son nom et dont la lste ne sera jamas exhaustve. Il est évdent de ne jamas oubler c mon très cher am et frère Soufane TEBACE, celu avec qu j a partagé de très bons moments, et avec qu j a apprs beaucoup de choses. Je ne réussra pas de le remercer autant pour son ade, surtout la masse d artcles scentfques transmse de l Ecole Polytechnque de Montréal, mas que ces modestes mots réussssent à lu témogner de mon amté et mon respect et ma profonde reconnassance envers lu. Mes remercements dstngués vont également à ceux qu ont contrbué de près ou de lon à l élaboraton de ce traval, tous les gens qu m ont faclté l accès à une rare et préceuse documentaton (Lvres et artcles etc.). J en ctera parm d autres le personnel de la bblothèque de l Ecole Natonale Polytechnque d Alger, spécalement Amm SALA, ceux de la bblothèque de l Unversté de Bejaa, de l USTB sans oubler Mr. Chrstophe RAVANEL du CCU d Alger de ses efforts fourns pour m assurer une préceuse documentaton de France. Je pense que beaucoup d autres personnes dovent être ctées c, mas je sus persuadé que ceux-c m excuseront de ne pas pouvor le fare snon des tomes ne réussront pas à enfermer l encre nor dépensé en sgne de reconnassance, cependant ls parvendront à comprendre que ma reconnassance envers eux dépasse largement l apttude de quelques mots ben manpulés et tssés à mroter ce que mon cœur leur dot. Un chaleureux merc à tous!

4 Table des matères TABLE DES MATIÈRES Introducton générale... PARTIE PREMIÈRE Revue de la Lttérature Chaptre I : Généraltés et état de l art I.. Introducton... 6 I.. Catégore d écoulements... 6 I... Ecoulement permanent et non permanent... 6 I... Régme transtore... 7 I..3. Ecoulement unforme et non unforme... 7 I..4. Régme oscllatore établ ou pérodque... 7 I.3. Notons sur les ondes élastques... 7 I.3.. Mécansme de propagaton... 7 I.3.. Réflexon des ondes planes... 8 I.4. Phénomène du coup de béler... 9 I.4.. Défnton... 9 I.4.. Causes fréquentes du coup de béler... 9 I.4.3. Rsques et dommages conséquents aux coups de béler... 0 I.5. Synthèse bblographque et état de l art... I.5.. Méthode des caractérstques (MOC)... 5 I.5.. Méthode des plans d ondes... 7 I.5.3. Méthode des dfférences fnes... 7 I.5.4. Méthode des éléments fns... 8 I.5.5. Méthode des volumes fns... 9 I.6. Concluson... 0 Chaptre II : Modélsaton mathématque II.. Introducton... II.. Consdératons prélmnares... II.3. Equatons dfférentelles de base... II.3.. Equaton dynamque... II.3.. Equaton de contnuté... 6 II.4. Dscusson des équatons de base... 3 II.5. Intégraton du système dfférentel II.5.. Soluton générale II.5.. Interprétaton physque des équatons d Allev Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

5 Table des matères II.6. Forme admensonnelle des équatons de base II.7. Célérté des ondes II.8. Concluson Chaptre III : Modèles numérques aux dfférences fnes III.. Introducton... 4 III.. Méthodes d analyse... 4 III.3. Méthode des caractérstques... 4 III.3.. Formulaton mathématque du modèle aux caractérstques III.3.. Interprétaton physque de la méthode des caractérstques III.3.3. Soluton numérque du système dfférentel III.3.4. Condtons aux lmtes... 5 III.4. Méthode des dfférences fnes III.4.. Approxmaton en dfférences fnes III.4.. Schémas explctes et mplctes III.4.3. Schéma de MacCormack III Formulaton générale III Applcaton du schéma de MacCormack au modèle mathématque III Condtons aux lmtes... 6 III Stablté du schéma III.5. Equatons caractérstques d organes hydraulques III.5.. Réservor à charge constante III.5.. Apparel mposant une foncton connue du débt III.5.3. Vanne à l extrémté d une condute III.5.4. Pompe centrfuge III.5.5. Bout mort III.5.6. Organes capactfs III.6. Concluson Chaptre IV : Méthode des Volumes Fns IV.. Introducton IV.. Facultés et pussance de l approche aux volumes fns IV... Lmtes de l approche aux dfférences fnes et apparton de dscontnutés. 68 IV... Formulaton ntégrale et proprétés des solutons fables IV..3. Avantages de l approche aux volumes fns... 7 IV.3. Formulaton générale pour les los de conservaton IV.4. Crtères de stablté et convergence IV.5. Méthode à double pas de Rchtmyer Lax-Wendroff IV.6. Schémas décentrés à capture d nformatons IV.7. Méthode de Godunov IV.7.. Problème de Remann IV.7.. Invarants de Remann et soluton analytque IV.7.3. Solveur de Remann approché LL IV.8. Tratement des condtons aux lmtes... 9 IV.9. Incorporaton du terme source IV.0. Concluson Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

6 Table des matères PARTIE DEUXIÈME Modélsaton et Smulaton Numérque Chaptre V : Dscrétsaton par Volumes Fns V.. Introducton V.. Analyse de stablté harmonque des équatons du mouvement V.3. Dscrétsaton du modèle mathématque par volumes fns... 0 V.3.. Applcaton du schéma de Rchtmyer Lax-Wendroff... 0 V.3.. Applcaton de la méthode de Godunov V.3... Résoluton exacte du problème de Remann V.3... Solveur LL pour le problème de Remann V.3.3. Calcul des flux ntercellulares V.4. Condtons aux lmtes... V.4.. Cas d un bassn à charge constante... 3 V.4.. Cas d un obturateur... 4 V.4... Varaton de la secton de passage en foncton du temps... 5 V.4... Varaton du débt en foncton du temps... 6 V.4.3. Cas d un ballon ant-béler (réservor d ar)... 7 V.4.4. Cas d une chemnée d équlbre... 0 V.5. Intégraton du terme source... V.6. Concluson... 3 Chaptre VI : Applcatons et expérmentatons numérques VI.. Introducton... 4 VI.. Applcaton I : Manœuvres d obturateur sur les condutes forcées... 5 VI... Test I : Fermeture nstantanée de l obturateur... 6 VI... Test II : Fermeture lente de l obturateur VI..3. Conclusons des deux tests VI.3. Applcaton II : Condute élévatore protégée par ballon ant-béler VI.3.. Descrpton de l nstallaton étudée VI.3.. Test I : Réponse transtore sans étranglement à la base du ballon VI.3.3. Test II : Réponse transtore avec étranglement à la base du ballon... 5 VI.3.4. Conclusons des deux tests VI.4. Applcaton III : Problème de chemnée d équlbre sur aménagements hydro-électrques VI.4.. Descrpton de l aménagement étudé VI.4.. Test I : Réponse transtore du système en absence de pertes de charge... 6 VI.4.. Test II : Réponse transtore du système tenant compte des pertes de charge 69 Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

7 Table des matères VI.4.3. Etude de l nfluence des dmensons de la chemnée d équlbre VI.4.4. Synthèse de l applcaton VI.5. Concluson... 8 Concluson générale et perspectves... 8 Références bblographques Appendces Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

8 Notatons NOTATIONS - a : Célérté des ondes, vtesse d un sgnal d nformaton - A : Secton horzontale du plan d eau, matrce jacobenne - a, a : Paramètres lés au tracé d une pompe centrfuge - B : Impédance de la condute - C : Cellule lée au pont de dscrétsaton "" - C : Caractérstque négatve - C : Caractérstque postve - C d : Coeffcent de débt - C M : Constante le long de la caractérstque négatve - C P : Constante le long de la caractérstque postve - C r : Nombre de Courant - d C : Damètre de la chemnée d équlbre - D : Damètre de la condute - d P : Damètre de la condute forcée (puts blndé) - d T : Damètre de la galere d amenée (tunnel) - e : Epasseur de la condute - E : Module de Young - F / : Flux aux nterfaces gauche et drot de la cellule - F : Flux de la zone ntermédare de problème de Remann - F R : Flux drot du problème de Remann - F L : Flux gauche du problème de Remann - f : Foncton scalare ou vectorelle quelconque - F f : Forces de frottement - F ext : Forces extéreures - F : Vecteur flux - g : Accélératon de la pesanteur - G : Vecteur source - 0 : Charge ntale en régme permanent - : Charge pézométrque - R : Charge pézométrque de la surface lbre d un bassn - g : auteur géométrque de refoulement - bar : Presson barométrque - I : Intégrale du terme de frottement le long d un bef - : Indce de mallage suvant x - j : Perte de charge untare, ndce du mallage dans le temps t - J : Perte de charge totale le long d un flet lqude - J s : Perte de charge sngulère - J Se : Perte de charge sngulère à l entrée du ballon ant-béler - J Ss : Perte de charge sngulère à la sorte du ballon ant-béler Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

9 Notatons - J P : Perte de charge totale dans la condute forcée (puts blndé) - J T : Perte de charge totale dans la galere d amenée (tunnel) - K : Vecteur propre - K e : Module de compressblté de l eau - L : Longueur de la condute - L P : Longueur de la condute forcée (puts blndé) - L T : Longueur de la galere d amenée (tunnel) - L t : Opérateur dans la méthode de Godunov - m : Masse du lqude, nombre d ondes, ordre d une équaton dfférentelle - N : Dscrétsaton spatale de la condute - n : Vecteur normal, ndce de dscrétsaton temporelle - P : Presson - Q : Débt volumque - Q e : Débt entrant - Q s : Débt sortant - R : Résstance de la condute - S C : Secton de la chemnée d équlbre - S : Secton de la condute - S b : Secton horzontale du ballon ant-béler - t : Temps - t S : Temps de smulaton - T : Matrce de passage en calcul des flux - T : Pérode propre - T F : Temps de fermeture de la vanne - U : Vecteur des varables d état - u : Vtesse locale longtudnale, varable quelconque - u k : Constante - U k : Soluton élémentare exprmée en sére de Fourer - U : Varable d état de la zone ntermédare de problème de Remann - U R : Varable d état drot du problème de Remann - U L : Varable d état gauche du problème de Remann - V t : Vtesse dans la tubulure de branchement - V : Vtesse moyenne d écoulement - V 0 : Vtesse moyenne d écoulement en régme permanent - W / : Saut ou ampltude d une onde d nformaton - w : Foncton de pondératon - W : Invarant de Remann - x : coordonnée spatale - Y : Matrce de passage en calcul des flux - z : Cote géométrque (nveau géodésque) - Z max : Nveau maxmum dans la chemnée d équlbre - Z mn : Nveau mnmum dans la chemnée d équlbre - α,, 3 : Paramètres lés aux schémas aux dfférences fnes - β : Exposant propre à la vanne Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

10 Notatons - γ : Exposant polytropque - δx : Elément nfntésmal de longueur - ε : Déformaton élastque longtudnale - ε : Déformaton élastque radale - ζ : Coeffcent de perte de charge sngulère - θ : Angle d nclnason de la condute avec l horzontale - λ : Coeffcent de frottement - Λ : Nombre de Mach, matrce dagonale formée par des valeurs propres - ρ : Masse volumque du lqude (constante dans le temps) - ρ t : Masse volumque (varable ou quas-statonnare) - σ k : Constante utlsée en sére de Fourer complexe - σ : Contrante normale longtudnale - σ : Contrante normale radale - τ w : Contrante tangentelle - τ v : Taux d ouverture de la vanne - υ : Coeffcent de proportonnalté de Posson - Φ : Relaton fonctonnelle - ψ : Rapport admensonnel, foncton quelconque du débt - ω k : Constante utlsée en sére de Fourer complexe - ω : Fréquence angulare - ω f : Fréquence d exctaton - ω' : Fréquence des harmonques - Ω : Relaton fonctonnelle - : Foncton numérque de flux - : Paramètre d Allev - : Pods spécfque du lqude - : Valeur propre, multplcateur de Lagrange - V : Volume d ar - v : Rapport admensonnel de la vtesse à celle de référence - h : Rapport admensonnel de la charge à celle de référence - x : Rapport admensonnel de l abscsse à la longueur de référence - t : Rapport admensonnel du temps à celu de référence - : Rapport admensonnel de la perte de charge à la charge de référence - I : Rapport admensonnel de la dénvelée de la condute à la charge de référence - : Varaton de la charge - P : Varaton de la presson - t : Pas de dscrétsaton temporelle - x : Pas de dscrétsaton spatale - "~" : Notaton relatve à l étape de prédcton - "^" : Notaton relatve à l étape de correcton Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

11 Lste des fgures LISTE DES FIGURES Fgure (I.) : Réflexon des ondes...8 Fgure (I.) : Vue d une condute forcée éclatée de la centrale électrque d'ogawa, du Japon...0 Fgure (I.3) : Vue d une condute aplate due à un vacuum de la centrale électrque d'ogawa... Fgure (II.) : Forces exercées sur un volume de contrôle lqude...3 Fgure (II.) : Blan des masses à travers un volume de contrôle...6 Fgure (II.3) : Etat de contrante dans une porton élémentare de la condute...8 Fgure (II.4) : Forces exercées sur une condute en équlbre statque...9 Fgure (II.5) : Sgnfcaton physque de l onde de presson F...34 Fgure (II.6) : Concept de superposton des ondes F et f...35 Fgure (III.) : Lgnes caractérstques dans le plan x, t...45 Fgure (III.) : (a) Schéma d une condute forcée, (b) Dagramme x, t...46 Fgure (III.3) : Domane d nfluence des condtons ntales d un système excté en A et B...47 Fgure (III.4) : Intégraton numérque des équatons sur le plan x, t...48 Fgure (III.5) : Réseau des caractérstques pour le calcul du régme transtore...5 Fgure (III.6) : Interpolaton des varables et Q aux peds des caractérstques...5 Fgure (III.7) : Drotes caractérstques aux lmtes du domane...53 Fgure (III.8) : Mallage du domane de calcul et notatons...55 Fgure (III.9) : Molécules de calcul d un schéma aux dfférences fnes...57 Fgure (III.0) : Frontères du domane et ponts fctfs de calcul...6 Fgure (IV.) : Apparton d une soluton dscontnue dans le cas d une foncton de flux convexe...69 Fgure (IV.) : Dscrétsaton en volumes fns et transfert de flux dans le plan x, t...73 Fgure (IV.3) : Illustraton du sens physque de la règle de stablté de Courant...77 Fgure (IV.4) : Approxmaton du flux par la méthode de Rchtmyer...79 Fgure (IV.6) : Approche décentrée pour le problème d advecton lnéare...80 Fgure (IV.7) : Interprétaton du schéma décentré au sens de propagaton d ondes...8 Fgure (IV.8) : Représentaton du problème de Remann...85 Fgure (IV.9) : Caractérstques au travers d ondes smple dans l espace des phases...88 Fgure (IV.0) : Structure de la soluton du problème de Remann pour un système hyperbolque d équatons de conservaton...89 Fgure (IV.) : Prncpe du solveur LL. Soluton analytque et soluton approchée...9 Fgure (IV.) : Cellules frontères et resttuton des flux perdus...9 Fgure (V.) : Dscrétsaton en volumes fns d une condute...0 Fgure (V.) : Dscrétsaton en volumes fns type Godunov de premer ordre...04 Fgure (V.3) : Soluton du problème de Remann dans le plan physque et en espace des phases...06 Fgure (V.4) : Invarants de Remann dans l espace des phases...07 Fgure (V.5) : Invarants de Remann généralsés dans l espace des phases...08 Fgure (V.6) : Mallage excentré du domane de calcul et cellules vrtuelles... Fgure (V.7) : Tratement numérque des cellules frontères en mallage excentré... Fgure (V.8) : Condton d écoulement au réservor (bassn)...3 Fgure (V.9) : Condton d écoulement à la vanne...4 Fgure (V.0) : Lo de manœuvre de la vanne en foncton du temps...6 Fgure (V.) : Schématsaton et notaton de la condton pour un ballon d ar...7 Fgure (V.) : Illustraton de la varaton des varables d état en foncton du temps...9 Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

12 Lste des fgures Fgure (V.3) : Paramètres de calcul d une chemnée sur le tracé d une condute... Fgure (V.4) : Prncpe de calcul de la varaton du volume de la chemnée... Fgure (VI.) : Schéma de l nstallaton étudée...5 Fgure (VI.) : Varaton temporelle de la charge à l obturateur (fermeture brusque, sans pertes de charge)...7 Fgure (VI.3) : Vue axonométrque de la varaton de la charge en foncton de l espace-temps (Fermeture brusque - sans pertes de charge)...9 Fgure (VI.4) : Vue axonométrque de la varaton des débts en foncton de l espace-temps (Fermeture brusque - sans pertes de charge)...30 Fgure (VI.5) : Varaton temporelle de la charge à l obturateur (fermeture brusque, avec pertes de charge)...3 Fgure (VI.6) : Avancée du front d onde en foncton du temps (méthode des volumes fns)...3 Fgure (VI.7) : Avancée du front d onde et dsperson numérque (schéma de MacCormack)...35 Fgure (VI.8) : Vue axonométrque de la varaton de la charge en foncton de l espace-temps (Fermeture brusque - avec pertes de charge)...35 Fgure (VI.9) : Varaton temporelle de la charge à l obturateur (fermeture lente, sans pertes de charge)...37 Fgure (VI.0) : Vue axonométrque de la varaton de la charge en foncton de l espace-temps (Fermeture lente - sans pertes de charge)...39 Fgure (VI.) : Vue axonométrque de la varaton des débts en foncton de l espace-temps (Fermeture lente - sans pertes de charge)...39 Fgure (VI.) : Varaton temporelle de la charge à l obturateur (fermeture lente, avec pertes de charge)...40 Fgure (VI.3) : Vue axonométrque de la varaton de la charge en foncton de l espace-temps (Fermeture lente - avec pertes de charge)...4 Fgure (VI.4) : Schéma smplfé de l nstallaton de refoulement...45 Fgure (VI.5) : Varaton temporelle de la presson au drot du ballon (sans étranglement)...47 Fgure (VI.6) : Varaton du volume d ar du ballon en foncton du temps (sans étranglement)...48 Fgure (VI.7) : Fluctuaton du débt arrvant dans le réservor de refoulement (sans étranglement)...49 Fgure (VI.8) : Vue axonométrque de la varaton de la presson dans le plan spato-temporel (sans étranglement)...5 Fgure (VI.9) : Varaton temporelle de la presson au drot du ballon (avec étranglement)...5 Fgure (VI.0) : Varaton du volume d ar du ballon en foncton du temps (avec étranglement)...54 Fgure (VI.) : Fluctuaton du débt arrvant dans le réservor de refoulement (avec étranglement)...54 Fgure (VI.) : Vue axonométrque de la varaton de la presson dans le plan spato-temporel (avec étranglement)...56 Fgure (VI.3) : Courbes comparatves de la presson au ped du ballon ssue des deux tests...57 Fgure (VI.4) : Enveloppes des pressons avec un ballon ant-béler mun d un étranglement symétrque...57 Fgure (VI.5) : Courbes comparatves de l évoluton des volumes d ar ssue des deux tests...58 Fgure (VI.6) : Courbes comparatves de l évoluton du nveau d eau dans le ballon pour les deux tests...58 Fgure (VI.7) : Schéma descrptf de l aménagement hydro-électrque smulé...6 Fgure (VI.8) : Varaton du nveau d eau dans la chemnée d équlbre (sans pertes de charge)...63 Fgure (VI.9) : Varaton du débt entrant et sortant de la chemnée d équlbre (sans pertes de charge)...64 Fgure (VI.30) : Varaton temporelle de la charge au bas de la condute forcée (sans pertes de charge)...65 Fgure (VI.3) : Battement du débt de la chemnée et de la condute forcée (sans pertes de charge)...66 Fgure (VI.3) : Varaton temporelle de la charge dans la galere d amenée (sans pertes de charge)...67 Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

13 Lste des fgures Fgure (VI.33) : Varaton du nveau d eau dans la chemnée d équlbre (avec pertes de charge)...70 Fgure (VI.34) : Varaton du débt entrant et sortant de la chemnée d équlbre (avec pertes de charge)...7 Fgure (VI.35) : Varaton temporelle de la charge au bas de la condute forcée (avec pertes de charge)...7 Fgure (VI.36) : Fluctuaton du débt de la chemnée et de la condute forcée (avec pertes de charge)...73 Fgure (VI.37) : Varaton temporelle de la charge dans la galere d amenée (avec pertes de charge)...74 Fgure (VI.38) : Influence du damètre de la chemnée sur l ampltude du nveau haut...77 Fgure (VI.39) : Influence du damètre de la chemnée sur l ampltude du nveau bas...77 Fgure (VI.40) : Influence du damètre de la chemnée sur la charge maxmale dans la condute forcée...78 Fgure (VI.4) : Influence du damètre de la chemnée sur les mouvements de plan d eau dans la chemnée...79 Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

14 Lste des tableaux LISTE DES TABLEAUX Tableau (III.) : Typologe des schémas numérques Tableau (IV.) : Prncpe et partculartés des prncpales méthodes de dscrétsaton numérque... 7 Tableau (VI.) : Données relatves au cas d étude... 6 Tableau (VI.) : Résultats de smulaton du Test (sans pertes de charge)... 8 Tableau (VI.3) : Résultats de smulaton du Test (avec pertes de charge) Tableau (VI.4) : Résultats de smulaton du Test (sans pertes de charge) Tableau (VI.5) : Résultats de smulaton du Test (avec pertes de charge)... 4 Tableau (VI.6) : Données de l nstallaton de pompage Tableau (VI.7) : Comparason des mesures expérmentales et soluton numérque (sans étranglement) Tableau (VI.8) : Comparason des mesures expérmentales et soluton numérque (avec étranglement) Tableau (VI.9) : Données hydraulques de l nstallaton hydro-électrque... 6 Tableau (VI.0) : Comparatf de la soluton numérque et méthodes de calcul usuelles (sans PDC) Tableau (VI.) : Comparatf de la soluton numérques et méthodes de calcul usuelles (avec PDC) Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

15 Introducton générale Introducton générale. L étude des écoulements non permanents en charge revêt depus long temps une mportance captale dans le domane de l hydraulque, auss ben pour les scentfques que pour les Ingéneurs, mas cependant forment une extrême complexté, lorsque nous l envsageons dans toute son ntégralté. En effet, l est ben connu que dans une condute transtant un flude sous presson, s l on modfe localement les condtons d écoulement, comme par exemple une mse en route ou arrêt d une pompe, manœuvre d une vanne... etc., on ntrodut dans le flude une dscontnuté portant sur les paramètres de cet écoulement eux-mêmes, à savor la presson et le débt, qu sont les varables d état de ce système, ou sur leur dérvées. En rason de l élastcté du mleu (flude et condute), cette dscontnuté ou perturbaton, dont l ampltude peut être mportante, se propage de part et d autre de ce pont sous forme d ondes, affectant ans rapdement une zone étendue de l écoulement consdéré. Un nouveau régme d écoulement prend alors nassance et subsste à celu régnant au temps antéreur. Il est de coutume chez les Ingéneurs de regrouper sous le vocable de coup de béler l ensemble de ces phénomènes transtores, lequel désgne ans une varaton brutale du régme d écoulement. En pratque, l apparton de ces phénomènes peut avor des conséquences fâcheuses et engendrer de séreux dommages matérels tels que la rupture de canalsatons, désordres dans les nstallatons de pompage ou de turbnage, et parfos même des pertes de ve humane. Il est donc captal de prévor et d étuder ces phénomènes transtores avec fnesse dans l objectf de rédure leurs effets néfastes par l utlsaton de dspostfs spécaux et le dmensonnement correct des dfférents composants des nstallatons hydraulques. Comme pour tout problème de la mécanque des fludes, et de physque en général, ce problème obét à des concepts mécanstes et est décrt en conséquence par un modèle mathématque ben défnt. Ce derner étant obtenu par l applcaton des los de conservaton de la masse et de la quantté de mouvement dans le mleu flude étudé. L applcaton de ces Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

16 Introducton générale prncpes permet alors de formuler les équatons du mouvement régssant l écoulement étudé qu sont dans ce cas un système d équatons aux dérvées partelles. A l nstar d un grand nombre de problèmes de la physque mathématque, qu sont régs par des équatons aux dérvées partelles, le système, dt parfos de Sant-Venant, décrvant les écoulements transtores en charge est de type hyperbolque non lnéare. L examen de ce type de système représente actuellement un des plus mportants champs d nvestgaton des équatons aux dérvées partelles, tant sur le plan physque que mathématque en rason de la manfestaton des ondes de choc et l apparton de dscontnutés dans la soluton. Toutefos, et jusqu à ce jour, encore nombre de questons mathématques concernant ces équatons restent sans réponse. Lorsque l écoulement est monophasque, un des problèmes qu résste encore et toujours d assaut aux mathématcens est l exstence de solutons classques générales à ces équatons. Face à cette mpasse, où une soluton analytque exacte est tout smplement nenvsageable et presque mpensable, l ne reste alors que le recours à l utlsaton des méthodes numérques. Ces dernères sont à vocaton de calcul scentfque. L une des technques de calcul numérque les plus utlsée et répandue actuellement dans le domane de la mécanque des fludes et l hydraulque est ben la méthode des volumes fns. Après avor marquée un succès notables dans la résoluton des problèmes ellptques et parabolque, la dscrétsaton par volumes fns a réusst à sédure depus quelques années dans la smulaton des problèmes hyperbolques et phénomènes assocés aux propagatons d ondes, tel que la dynamque des gaz, les écoulements à surface lbre, et très récemment les écoulements transtores en charge. A l nverse des autres méthodes de dscrétsaton utlsées dans le passé, la méthode des volumes fns joue de certanes facultés détermnantes, comme la capture parfate des chocs et la conservatvté. Ces deux partculartés découlent de la formulaton ntégrale utlsée dans la méthode des volumes fns qu reste valde même lorsque des dscontnutés apparassent dans la soluton et où les autres technques aux dfférences fnes tombent à défaut. C est dans ce contexte que nous entreprîmes le présent traval en se proposant comme objectf de résoudre par voe numérque les équatons dfférentelles du mouvement transtores en charge, en d autre terme, la modélsaton et smulaton numérque de ce type d écoulement complexe moyennant la méthode des volumes fns. En outre, nous tenterons de mettre en exergue les performances des technques de dscrétsaton par études comparatves avec d autres modèles numérques aux dfférences fnes, ntensvement utlsés à ce jour dans la pratque du calcul des régmes non permanents et d en dégager les conclusons. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

17 Introducton générale Pour y parvenr à cette fn, le traval effectué c s artculera sur deux grandes partes dstnctes et complémentares, à savor : Parte premère : Revue de la lttérature Cette parte du traval consste en la présentaton de la synthèse bblographque effectuée à ce sujet, en conséquence, quatre chaptres composent ce volet : Le premer chaptre aura pour objectf de présenter les généraltés et état de l art actuel sur la modélsaton numérque des régmes transtores dans les condutes sous presson. Il abordera des notons sur le mécansme de propagaton d ondes, explcter le phénomène du coup de béler avec les causes qu lu donne nassance et les conséquences qu l engendre dans les nstallatons hydraulques. Le chaptre deuxème quant à lu sera consacré à la modélsaton mathématque des écoulements nstatonnares en charge. En premer leu, l sera procédé à la dérvaton des équatons dfférentelles de base dtes de Sant-Venant en défnssant les hypothèses fondamentales. Une dscusson et la smplfcaton du système d équatons ans trouvé, forme admensonnelle et formules des célértés des ondes sont données en fn. Cec étant, dans le chaptre suvant nous aborderons les modèles numérques aux dfférences fnes, très répandus aujourd hu dans le calcul des régmes non permanents. Nous y présenterons la méthode des caractérstques (MOC), formulaton dscrétsaton et ncorporaton des condtons aux lmtes. En second leu, on se focalsera sur le schéma aux dfférences fnes de MacCormack, de type prédcteur-correcteur très réputé en écoulement à surface lbre. Dans le chaptre quatrème, cœur de la premère parte du traval, on abordera la méthode des volumes fns applquée pour les los hyperbolques de conservaton. Sont présenté alors dans ce chaptre, le schéma de Rchtmyer Lax-Wendroff et la méthode de Godunov ans que la soluton exacte et approchée au problème de Remann aux nterfaces ntercellulares. On termnera par les méthodes d ncorporaton des condtons aux lmtes et le tratement du terme source. Parte deuxème : Modélsaton et smulaton numérque Dans cette parte prenante, qu consttue le noyau de notre traval, nous nous penchons sur la mse en applcaton de la méthode des volumes fns au sujet étudé. Elle est formée par deux chaptres. Le premer portera sur la dscrétsaton des équatons dfférentelles du mouvement par la méthode aux volumes fns. Nous détallerons l mplémentaton du schéma à double pas de Rchtmyer Lax-Wendroff pour le calcul des flux numérques aux nterfaces des cellules pus la Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 3

18 Introducton générale méthode de Godunov. On y trouvera le détal de la soluton exacte au problème de Remann ans que l applcaton du solveur approché de type LL. Par la sute, un exposé de la méthode d ncorporaton des condtons aux lmtes par le concept de mallage excentré, ntrodute par nous dans le présent traval sera donné. La technque proposée est élucdée aux cas d apparels hydraulques fréquemment rencontrés en pratque. Le chaptre se termne par le tratement du terme source par la méthode à pas fractonné de Runge-Kutta. Nous consacrerons le sxème et derner chaptre du traval à la phase d applcatons et d expérmentatons numérques. Ce chaptre mportant se concentrera sur l applcaton de la méthode aux volumes fns à des cas pratques choss à cet effet. Premèrement une valdaton du modèle numérque sera fate sur un banc d essa formé par un cas smple de condute gravtare (modèle à blanc) pour apprécer les résultats avec ceux du modèle analytque d Allev et avec ceux fourns par la méthode des caractérstques et le schéma de MacCormack. Ce test rentre dans l optque d une étude comparatve des dfférents schémas numérques et leurs performances pour le cas de fermeture brusque et lente avec omsson et prse en compte des pertes de charge. Dans un second temps, nous enchaînerons par l analyse des écoulements nstatonnares en charge dans le cas réel d une nstallaton de pompage protégée par un ballon ant-béler et cec par la méthode aux volumes fns de Godunov. Dans ce cas, une confrontaton avec les mesures expérmentales permettra d apprécer les résultats obtenus. L applcaton couvre deux tests portant sur l analyse de la réponse dynamque du système dans le cas d un ballon à passage lbre sans étranglement à sa base et le cas où le dspostf est mun d un organe déprmogène. On entamera par la sute l analyse du problème des régmes transtores dans le cas d un aménagement hydroélectrque mun d une chambre d équlbre. La smulaton portera sur le cas d un rejet nstantané de la charge sur les turbne avec et sans prse en compte des pertes de charge dans le système. Les deux analyses vsent à mettre en exergue le comportement de la chemnée d équlbre et effet absorbant sur les ondes élastques émses par la condute forcée et leur pénétraton dans la galere en charge. En parallèle, nous tacherons à montrer les lmtes d applcaton des méthodes de calcul algébrques usuellement applquées dans ces cas de fgure et celle de l hypothèse admse dans la séparaton présomptueuse du phénomène d oscllaton en masse et coup d ondes. Ces applcatons ne manqueront pas entre autres de dégager les remarques pratques ntéressant les Ingéneurs pratcens de lever le vole sur certans phénomènes assocés aux régmes transtores. Le traval se termnera en fn par une concluson générale et perspectves envsageables dans la lgne de portée du sujet étudé dans le présent mémore. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 4

19 PARTIE PREMIÈRE Revue de la lttérature «L hstore du développement de la physque nous montre qu une théore serat ben présomptueuse en se flattant d être défntve ; nous ne voyons guère les théores s élever que pour crouler. Mas, en s écroulant, une théore qu a été construte avec le désr sncère de parvenr au vra ne dsparaît jamas complètement ; parm ses débrs se trouvent toujours des matéraux propres`a entrer dans la composton de quelques autres systèmes plus parfats et plus durables...» Perre Duhem (chmste et physcen)

20 Chaptre premer Généraltés et état de l art On fat la scence avec des fats, comme on fat une mason avec des perres ; mas une accumulaton de fats n est pas plus une scence qu un tas de perres n est une mason. enr Poncaré. Généraltés et état de l art I.. Introducton Dans le présent chaptre, des rappels théorques succncts sur les régmes d écoulements et phénomènes lés aux régmes transtores et propagaton d ondes élastques dans les nstallatons en charge seront donnés en un premer temps. Il sera ensute enchaîné par une présentaton de l état de l art, où nous présenterons un aperçu bblographque des prncpaux résultats de recherche théorques et numérques dans le domane du calcul des écoulements nstatonnares en charge. I.. Catégores d écoulements Nous donnons à présent la défnton de certans types d écoulements en charge fréquemment abordés dans la lttérature spécalsée dont nous ferons usage dans notre traval (Chaudhry, 979). I... Ecoulement permanent et non permanent S les condtons d écoulement, telle que la presson, la vtesse ou le débt en un pont donné de la condute restent nvarables dans le temps, alors l écoulement est dt permanent. V t 0, 0 (I.) t S par contre ces condtons changent en foncton du temps, le régme d écoulement subsstant dans le système est dt non permanent ou nstatonnare. Ans, l écoulement sera foncton de quatre varables ndépendantes, à savor (x,y et z) du pont examné et le temps (t). V t 0, 0 (I.) t En réalté, un écoulement turbulent est toujours non permanent sute aux varatons enregstrées dans la vtesse du flude en un pont donné. Cependant, en consdérant la valeur moyenne de cette dernère sur une courte pérode, le régme sera consdéré comme permanent s cette valeur moyenne est constante dans le temps. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 6

21 Chaptre premer Généraltés et état de l art I... Régme transtore On appelle régme transtore, un état d écoulement qu se manfeste entre deux régmes statonnares, autrement dt c est un écoulement varé, où les varables d état (, V ) changent. Il peut se produre sot dans un canal à cel ouvert, sot dans une condute à écoulement en charge par accrossement ou décrossement du débt. Les exemples qu on peut cter dans le cas d écoulements transtores d une condute en charge sont : - écoulements dus à des machnes hydraulques à charge varable (pulsatore); - phénomène du coup de béler. I..3. Ecoulement unforme et non unforme S la vtesse du flude est constante le long de la coordonnée prvlégée ( x) de l écoulement à dfférents nstants, on dra que cet écoulement est unforme. V x 0 (I.3) Contrarement au cas précèdent, lorsque la vtesse d écoulement vare d une secton à l autre, l écoulement est dt non unforme. V x I..4. Régme oscllatore établ ou pérodque 0 (I.4) S les condtons d écoulement sont varables en foncton du temps et s elles se répètent à des ntervalles de temps fxes, le régme est dt oscllatore établ ou ben pérodque. Le temps d apparton de deux états dentques du régme est appelé pérode T, et la fréquence angulare (rad/s), couramment notée, est lée à cette pérode T par : (I.5) T L exemple typque de la manfestaton de ce type de régme est celu de l ouverture et fermeture pérodque à une fréquence f à l aval d une condute en charge. I.3. Notons sur les ondes élastques I.3.. Mécansme de propagaton S dans un mleu contnu, au repos, on provoque le déplacement rapde d un élément, on constate que les éléments vosns se déplacent et agssent à leurs tours sur les partcules en contact ; ans, le déplacement se propage, de proche en proche, avec une vtesse fne dans tout le mleu. S l ébranlement est de fable ampltude, la vtesse de propagaton est appelée célérté et on la désgne habtuellement par «a». Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 7

22 Chaptre premer Généraltés et état de l art Dans un lqude, cette propagaton s effectue dans une drecton confondue avec celle de l ébranlement. Elle s accompagne, à cette même célérté, d une varaton de presson, de débt ou ben de la vtesse (Freln, 00). I.3.. Réflexon des ondes planes L expérence montre qu un ébranlement se propageant par ondes planes dans un mleu flude, comme par exemple celu contenu dans une condute, s arrête lorsqu l arrve à l une de ses extrémtés. Il est alors réfléch et remplacé par un ébranlement se propageant en sens nverse avec des caractérstques dfférentes suvant la nature de la parte rencontrée. Cette extrémté peut être : - fermée par une paro mmoble comme, par exemple, une vanne fermée ; - ouverte comme le raccordement avec un réservor ; - un comproms entre les deux ; daphragme, vanne sem-ouverte, etc. Le premer de ces ébranlements est appelé "ébranlement ncdent" et le second "ébranlement réfléch". Ans, l ébranlement ncdent n a plus de sgnfcaton physque lorsque l onde dépasse l extrémté en queston, c est l nverse pour l écoulement réfléch (Fgure (I.)). t L / a Ebranlement réfléch Ebranlement ncdent L / a Pas de sgnfcaton physque L 0 L x Fgure (I.) : Réflexon des ondes Remarque : Les ondes planes se propagent sans modfcaton dans un mleu sotrope, mas sont susceptbles de réflexon et de réfracton quand elles rencontrent une surface séparant deux mleux dfférents, à savor : - lors de la réflexon d une onde plane sur une paro rgde (extrémté fermée) et mmoble, l y a changement de sgne pour les vtesses et pas de changement de sgne pour les varatons de presson, ans une onde de compresson se réfléche en une onde de compresson ; Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 8

23 Chaptre premer Généraltés et état de l art - lors de la réflexon d une onde plane sur une extrémté ouverte (surface lbre d un lqude par exemple), l y a changement de sgne pour les varatons de presson et pas pour les vtesses, ans une onde de compresson donne nassance à une onde de dépresson. I.4. Phénomène du coup de béler I.4.. Défnton Les changements du régme d écoulement d un flude contenu à l ntéreur d une condute entraînent souvent de brusques varatons de presson. Ces écarts seront d autant plus mportants que la modfcaton du débt a été brutale. D'une manère générale, le coup de béler exprme toute varaton de presson dans une condute en charge, consécutve à une manœuvre quelconque de l'obturateur aval. Le coup de béler est un phénomène non statonnare de propagaton d'ondes de presson à très hautes vtesses. Autrement dt, c est l arrêt brutal de la crculaton de l eau lorsqu un organe provoque une prompte modfcaton du débt. Par conséquent, les forces dynamques qu en résultent peuvent engendrer des ruptures de canalsatons, dégâts matérels et quelques fos des pertes de ves humanes, d où la nécesstée de renforcement des ouvrages concernés, en partculer les condutes appelées alors condutes forcées (Bollat et De Souza, 004). I.4.. Causes fréquentes du coup de béler En ngénere d hydraulque, les causes fréquentes occasonnant des coups de béler sont (Wyle et Streeter, 978; Meuner, 980; Tulls, 989) : - l ouverture ou la fermeture des vannes dans les condutes gravtares en charge ; - la mse en marche ou l arrêt des pompes sur des condutes de refoulement ; - vdange ou remplssage nadéquat de la condute en charge ; - mploson des poches d ar sute à une cavtaton ; - modfcaton de la vtesse angulare d une pompe ; - coupure électrque nopnée dans une staton de pompage qu est la cause la plus fréquente du coup de béler en hydraulque urbane ; - la mse en marche ou la modfcaton de l opératon d une turbne ; - varaton d un plan d eau relé à un réseau en charge ; - vbraton des accessores de contrôle comme les vannes. Cette lste est lon d être exhaustves, et beaucoup d autres stuatons complexes engendrent ce phénomène. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 9

24 Chaptre premer Généraltés et état de l art I.4.3. Rsques et dommages conséquents aux coups de béler Potentellement, le coup de béler peut poser de graves conséquences pour les nstallatons hydraulques. Les rsques et avares causés par ce régme transtore sont de pluseurs ordres, nous ctons (Meuner, 980 ; Thorley, 004): a) Surpressons excessves : Condut à des déformatons permanentes ou la rupture des condutes ans que ses organes hydraulques de contrôle, déboîtement de jonts, futes massves et désordres d nfrastructures. Cec peut arrver s la presson totale, c'est-à-dre la presson en régme permanent majorée de la valeur de surpresson due au coup de béler dépasse la presson maxmale admssble des canalsatons. A ttre llustratf, les photos c-après (Fgure (I.)) représentent une rupture d une condute forcée. Fgure (I.) : Vue d une condute forcée éclatée de la centrale électrque d'ogawa, du Japon (d après Chaudhry, 979) b) Très basse presson : Peut causer l aplatssement des condutes et aspraton des jonts, et contamnaton du flude s en un pont de la condute la presson attent le vde barométrques (-0 m.c.e), alors une cavtaton (lbératon de gaz dssous + vapeur d eau) se produrat, ce qu donne leu à une séparaton de la vene lqude. En ayant un profl en long tourmenté, lors de la phase de surpresson, la poche de vapeur se résorbe engendrant une presson attegnant jusqu à quatre fos la presson de servce (Morel, 994). Donc, c est un rsque à évter à tout prx. Les photos c-dessous (Fgure (I.3)) llustrent le rsque nhérent à ce cas dangereux. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS) 0

25 Chaptre premer Généraltés et état de l art Fgure (I.3) : Vue d une condute aplate due à un vacuum de la centrale électrque d'ogawa, du Japon (d après Chaudhry, 979) c) Inverson de l écoulement : L nverson du sens d écoulement condut à un fonctonnement en dévrage de la pompe, s cette dernère est démune de clapet de retenue (comme c est le cas de certanes grandes statons de pompage), causant ans des dégâts au groupe motopompe. Notons auss que cette stuaton de fonctonnement entraînerat la vdange des réservors de stockage et d accumulaton. d) Mouvements et vbraton des condutes : A pour conséquence la surcharge et sollctaton dynamque des supports d ancrage et butées condusant par conséquent à la rupture de ces derners et de la condute elle-même. Ce phénomène se manfeste généralement quand la condute entre en état de résonance. I.5. Synthèse bblographque et état de l art Nous allons à présent llustrer, en passant en revue, l essentel de l état de connassances sur les régmes transtores en charge ans que les méthodes de calcul numérques développées en vu de la résoluton des équatons dfférentelles de base régssant le phénomène. Ayant à l esprt que le problème des écoulements non permanents reçot de larges applcatons dans dfférents domanes, tels que la bologe, statons hydroélectrques, thermques et nucléares, système d njecton de carburant et autres problèmes nvoquant la transmsson de substance ou de fludes dvers, nous nous attacherons c aux problèmes d hydrodynamque en charge. Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)

26 Chaptre premer Généraltés et état de l art Selon Ghdaou et al. (005), le problème des écoulements transtores en charge, connu chez les pratcens sous le vocable de «coup de béler», a été étudé pour la premère fos par Menabrea (885). Les chercheurs qu ont en succédé comme Weston (885), Carpenter (893) et Frzell (898), ont essayé de développer une expresson relant le changement de presson dû au changement de vtesse dans une condute. Frzell (898) a en fat réusst dans ses efforts. Cependant, des travaux semblables par ses contemporans Joukowsky et Allev (90) ont pu attrer la plus grande attentons. Joukowsky a élaboré la formule ben connue dans les écoulements nstatonnares, appelée souvent «équaton fondamentale du coup de béler». Cette formule s écrt : a P a V ou V (I.6) g Où a désgne la vtesse de l onde acoustque, P g z est la presson, z étant la cote géométrque de l axe de la condute par rapport à un plan de référence, la masse volumque du flude. V u ds, représente la vtesse moyenne à travers la secton S S transversale S de la condute, avec u la vtesse locale longtudnale, et enfn g l accélératon de la pesanteur. Le sgne postf dans l équaton (I.6) s applque lorsque l onde de surpresson prend nassance, et le sgne opposé quand l onde de dépresson lu succède. Allev (93) est le premer à pouvor nterpréter avec une rgueur mathématque le phénomène physque du coup de béler et en donner la théore générale. Il démontre ans la légtmté de néglger les termes convectfs dans l équaton dynamque du mouvement, et a ntrodut deux mportants paramètres admensonnels caractérsant la condute et la manœuvre de la vanne ans que des abaques pour le calcul des suppressons sutes à des fermetures lnéares d un obturateur. Ultéreurement, des extensons et raffnement des équatons de base des écoulements transtores par dfférents chercheurs ont vu jour, à l mage de Jaeger (933 et 977), Parmakan (955) et Wyle et Streeter (967). Les efforts combnés de ses chercheurs ont eu comme résultats l aboutssement aux équatons de contnuté et de mouvement pour les écoulements en charge nstatonnares undmensonnels (D) suvantes : - Equaton de contnuté : t a g V x 0 (I.7) Laboratore de Recherche en ydraulque Souterrane et de Surface (LARYSS)