Etude du circuit RLC série : Sujet 5

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1 Etude du circuit RLC série : Sujet 5 LACROIX Axel LARDET Florie LUCACIU Sonia RAJERISON Nasiantsoa Partie : Modélisation du circuit : Régime forcé Régime général Le générateur G délivre une tension sinusoïdale d expression : u(t)=u*cos(*t) Le générateur et la bobine comportent les résistances :r et r, la résistance totale du circuit sera : R total=r+r+r On obtient le tableau suivant : Bobine Condensateur Résistor Notation réelle Notation complexe di ( t) d² q( t) u L= j*l*i u L (t)=l* =L* dt dt² q ( t) u C (t)= u C = *i C j * C * dq ( t) u R =R total *i u R (t)=(r+r+r )* dt La loi d Ohm dans le circuit nous donne : u(t)=u L(t)+u C(t)+u R(t) d² q( t) dq ( t) q ( t) L* +(R+r+r )* + = Um*cos(*t) dt² dt C On obtient ainsi l équation différentielle régissant le circuit. Partie:Usage des impédances en régime harmonique, résolution de l équation différentiel du circuit Résoudre un circuit RLC série c est déterminer l amplitude et le déphasage de i(t) par rapport à u(t). Pour un régime harmonique, en prenant la tension comme origine, on peut écrire : u(t)=u Mcosωt et i (t)=i Mcos(ωt-φ) On se rend compte que mathématiquement, c est beaucoup plus facile de passer à des notations complexes :u(t)=u Mexp(jωt), dont la partie réelle,le module et l argument ont une signification physique. Par analogie : i(t)=i Mexp(jωt-φ).Dans ce cas, l impédance complexe Z est de la forme : Z=R T+j(Lω- /Cω) (on retrouve Z =Z en notation réelle ). Et comme (exp(jωt)) =jωexp(jωt) et (exp(jωt-φ)) =jωexp(jωt-φ), en remplaçant dans l équation différentielle qui régit le circuit, on obtient rapidement : I=U/[R T^2+(Lω-/Cω)^2]^.5 et tan φ=(lω-/cω)/r T Si en plus, on est dans un régime harmonique forcé, le second membre de l équation différentielle n est pas nul :u g(t)=u gmcost. En notations complexes : u g(t)=u gmexp(jt).

2 Dans ce cas, la solution de l équation est : s=s +s 2, où s - solution générale de l équation sans second membre et s 2 la solution particulière de l équation complète. On s aperçoit qu en régime permanent (t suffisamment grand ), s,donc s s 2. Partie2 : Modélisation du signal générateur, calcul de G(et de φ( Nous sommes bien dans le cas d un régime harmonique forcé. La tension délivrée par le générateur basse fréquence est sinusoïdale :définie par son amplitude et sa fréquence. Le générateur va imposer sa fréquence au circuit, la fréquence propre du circuit prendra la valeur de la fréquence du GBF. On sait que si z est l impédance totale du circuit : u =z*i Il existe une pulsation pour laquelle le circuit va entrer en résonance. La valeur de cette pulsation dépend des caractéristiques des composants du circuit (inductance,capacité). Pour cette valeur particulière l impédance totale du circuit va devenir minimale, on sait que : Z=R+j*L*+ j * C * On remarque que les impédances du condensateur et de la bobine sont des fonctions de la pulsation du GBF. L intensité du circuit va devenir maximale, comme l impédance devient minimale : u Um* e j t Um et i= = z de plus u c=z c*i () d où U c= () R j( ) C * * R² ( )² C C Pour la pulsation à la résonance, la partie imaginaire de l impédance totale est nulle donc : Uc L* la tension Uc va alors devenir maximale. H () = C * U Uc On en déduit la fonction gain en tension :G(=2*log =2*log[ ] U C * * R² ( )² C Si la résistance du circuit est faible, la pulsation de résonance est très proche de la pulsation pour laquelle u c sera maximale : =, et dans ce cas G( )=Gmax=2*log[/(R*C* Avec Q facteur de qualité de la bobine. Rappel : u=z*i d où U m*e j(*t+ z*i m*e j(*t) avec i origine des phases: Um d où z=r+j( (cos( ) j sin( )) après identification des parties réelles et complexes, on C Im cond/générateur= obtient : tan 2 C d où 2( ) Arc tan C tension/int= 2 R R De () on tire que : cond/générateur=- /2- tension/int d où =- /2- Arc tan RC Partie3 :Variation de la tension uc(t) aux bornes du condensateur, en fonction de la pulsation : résonance en tension : Recherche de la pulsation de résonance en tension ωo : A partir de () on voit bien que Uc admet un maximum si (R T²+(Lω-/Cω)² admet un minimum, c est à dire lorsque la dérivée de ce terme par rapport à ω s annule. Après calcul on obtient le maximum de Uc pour : ωo = (/LC-R T²/2L²). Le maximum de Uc, appelé résonance en tension aux bornes du condensateur, il se produit pour une pulsation ωo différente de ωo, pulsation de résonance en courant. Rappel : ωo=/ (LC). 2

3 Recherche du facteur de qualité Q Si la résistance totale du circuit R T est faible, alors ωo est très proche de ωo: ωo ωo=/ (LC),car R T²/2L²<<. Dans ce cas Uc/U = / ((R TCωo )²+(LCωo ²-)²) = /R T* (L/C) Mais Q=/R T* (L/C) (rappel résonance en courant), donc Q= Uc/U si R T faible. Recherche de la bande passante Δω La bande passante est l intervalle des fréquences (ω,ω2) t.q. U C>U max/ 2. Le facteur de qualité Q est défini par : Q= ωo / ω2- ω. Les solutions positives de l équation U C=U max/ 2 : ω= 2 C ( R 2 C 2 R 4 C 2 4 R 2 C L ) ω2 = 2 C ( R 2 C 2 L2 C R 4 C 2 4 R 2 C L ) Le facteur de surtension G(max) sur le condensateur a la valeur du facteur de qualité Q à la résonance en 2 C L tension : Q = G(max) =Uc/U. Illustration du circuit RLC série Filtre passe-bas d ordre 2 Les circuits non purement résistifs, tels que les filtres RC et RLC, possèdent la propriété de modifier le contenu en fréquence d un signal donné. Le rôle d un filtre est de supprimer ou d atténuer fortement le signal pour certaines fréquences, et de le transmettre presque intégralement pour d autres. La fonction de transfert F(j), rapport du signal de sortie sur le signal d entrée, permet de caractériser la réponse en fréquence de ce type de circuit, par l intermédiaire du gain G () et du déphasage () déjà décrits précédemment. L ensemble des courbes G(dB)=f(log()) et =f(log()) constituent le diagramme de Bode. Pour ce filtre, F(j) s écrit : Us ZC F(j) Ue R ZL ZC jcω (R jl ) LCω² jrcω jcω F() = G()*exp(j()) G() est la norme de la fonction de transfert, et (= est son argument. G()=, et tan= RC R² C² ² ( LC²)² LC Représentation graphique : ² 3

4 DEPHASAGE GAIN Ce circuit est donc un filtre passe-bas. Les fréquences inférieures à la fréquence de coupure seront transmises, les autres seront atténuées. La fréquence de coupure est la fréquence pour laquelle le gain Gmax est divisé par 2 en échelle linéaire, ou chute de -3dB en échelle logarithmique. Pour ce filtre, la fréquence de coupure peut être assimilée à la fréquence propre : fc fo 2π LC Cela signifie que la bande passante est très petite. Seule les fréquences les plus basses plus basses pourront être transmise. Un filtre d ordre 2 est donc plus efficace qu un filtre d ordre. En fait, il atténue de -4 db par décade à partir de sa fréquence de coupure, alors que le filtre d ordre n atténue que de -2 db. Ces filtres sont beaucoup utilisé pour le filtrage audio, mais également dans de nombreux domaines pour éliminer le bruit. Synthèse On a un circuit «RLC série» sortie condensateur, fonctionnant en régime harmonique forcé. Caractériser un circuit «RLC série» c est trouver l amplitude et le déphasage de i(t) par rapport à u(t). Pour cela, on cherche les meilleures notations mathématiques pour résoudre l équation différentielle le régissant. La solution de l équation différentielle du régime harmonique forcé est égale à la somme de celle obtenue en régime général et une solution particulière, qui est la seule importante en régime permanent. Le signal sinusoïdal générateur d un circuit RLC a pour caractéristiques sa phase et son amplitude. L amplitude et le déphasage de la tension u c aux bornes du condensateur, sont des fonctions de la pulsation d excitation. Grâce à la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales, on peut représenter mathématiquement l amplitude et la phase de la tension de sortie et déduire les grandeurs G(et φ( qui sont liées à la fonction de transfert. La résonance en tension ωo peut se trouver par plusieurs moyens : avec la représentation graphique de G(ω) et de φ(ω) ou avec les conditions sur le maximum de Uc. On peut assimiler la pulsation de résonance en tension avec la pulsation de résonance en courant si la résistance totale du circuit est faible. Le facteur de surtension G(max) coïncide avec le facteur de qualité Q à la résonance en tension. Le circuit RLC utilisé en régime harmonique est un filtre qui permet de laisser passer seulement certaines fréquences. Sortie capacité, il s agit d un filtre passe-bas. Seules les fréquences inférieures à la fréquence de coupure seront transmises. Cette fréquence de coupure est égale à la fréquence propre du circuit. Ainsi, la bande passante est très petite, et peu de fréquences pourront franchir le filtre. Exemple d application:r=2 Ω, L=,6 H, C=6 μf 4

5 Courbe gain G( 5 Series Pulsation de résonnance: 527 rad*s ,5 - -,5-2 -2,5-3 -3,5 Déphasage condensateur avec tension du générateur φ cond/générateur = π/2 Série 5

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