Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés

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1 Chapitre 1 - Suites I Suites géométriques I.1 Définition et propriétés TD 1 : Évolutions de populations Le premier janvier 2011, une ville A compte habitants. A la même date, une ville B compte habitants. On a constaté que la population de la ville A diminue de 2% par an et que celle de la ville B augmente de 3% par an. On suppose que les croissances et les diminutions vont se poursuivre à ce rythme. Pour tout entier naturel n, on désigne par u n la population de la ville A le premier janvier de l année ( n) et par v n la population de la ville B le premier janvier de l année ( n). 1. Déterminer le nombre d habitants prévus dans les villes A et B le premier janvier 2012, puis le premier janvier Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont géométriques et, pour chacune d entre elles, donner leur raison. En déduire l expression de u n et v n en fonction de n. 3. On se propose de déterminer en quelle année la population de la ville B dépassera, pour la première fois, celle de la ville A. Montrer que cela revient à déterminer le plus petit entier naturel n tel que : 0, 98 n ( 1, 03 ) Utiliser la calculatrice pour déterminer cette valeur de n. Définition 1 Une suite (u n ) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q, appelée la raison. Pour tout entier naturel n, u n+1 = qu n. Remarque Une suite géométrique est définit dès que l on connaît son premier terme et sa raison. Pour tout entier naturel n, le terme général d une suite géométrique (u n ) de raison q et de premier terme u 0 est : u n = u 0 q n Exemple Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 4 et de raison q = 0, 5. Pour tout entier n, u 0 = 4 0, 5 n. Ainsi u 1 = 4 0, 5 1 = 2 et u 7 = 4 0, 5 7 = 0,

2 Remarque Quand le premier terme est u 1 on utilise la relation u n = u 1 q n 1. Une suite géométrique de raison q est monotone si, et seulement si, q 0. Lorsque q = 0 ou q = 1, la suite est constante. Lorsque q > 1, la suite est croissante si u 0 > 0 et décroissante si u 0 < 0. Lorsque 0 < q < 1, la suite est décroissante si u 0 > 0 et croissante si u 0 < 0. Démonstration : Pour déterminer le sens de variation d une suite (u n ), on peut étudier le signe de la différence u n+1 u n. 1. Montrer que pour tout entier naturel n, u n+1 u n = q n u 0 (q 1). 2. Étudier le signe de la différence u n+1 u n dans chacun des cas suivants et en déduire le sens de variation de la suite (u n ) : (a) Si u 0 > 0 et q > 1 (b) Si u 0 < 0 et 0 < q < 1 (On démontre de la même manière les cas où u 0 < 0). EXERCICE n o 1 Exercices 47 à 52 page 35 I.2 Somme de 1 + q + q q n TD2 : Petite histoire du jeu d échecs Une légende raconte que l inventeur du jeu d échecs présenta ce jeu à son roi qui, enthousiasmé, lui demanda ce qu il désirait comme récompense. L inventeur demanda simplement que lui soit remis un grain de blé pour la première case de l échiquier, deux grains de blé pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième... et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains à chaque fois. Le roi lui accorda aussitôt cette demande en apparence modeste. En réalité cette demande était-elle vraiment modeste? 1. On numérote les soixante-quatre cases de l échiquier de 1 à 64, et, pour chaque entier n (1 n 64), on note u n le nombre de grains de blé que le roi doit déposer sur la n-ième case. (a) Calculer u 1, u 2, u 3,..., u 10. (b) Comment passe-t-on d un terme au suivant? (c) En déduire que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (d) Exprimer u n en fonction de n. (e) Calculer u

3 2. On note S le nombre total de grains sur l échiquier. Ainsi, S = (a) Montrer que 2S = (b) En déduire que 2S S = Le roi avait-il raison de sourire de cette demande? Pour répondre, sachez qu un grain de blé pèse en moyenne gramme et que la production mondiale en 2011 était de 660 millions de tonnes. La somme des termes consécutifs de la suite géométrique (q n ) de raison q 1 est : S = 1 + q + q q n = n+1 Démonstration : Soit S = 1 + q + q q n. En multipliant la somme par q on obtient : q S = q 1 + q q + q q q q n Donc : qs = q + q 2 + q q n + q n+1 Ainsi par soustraction, il reste : S qs = n+1 En mettant S en facteur, on obtient : S() = n+1 Si q 1, alors la somme s écrit : S = n+1 Pour une suite géométrique de premier terme u 0 : S = u 0 n+1 Et dans le cas général on peut garder en mémoire : S = 1 er de termes 1 raisonnb terme 1 raison EXERCICE n o 2 Exercices 68 à 76 et 79 page 38-3-

4 II Limite de la suite (q n ) TD3 : Une balle qui rebondit On lâche une balle d une hauteur u 0 = 100 mètres. A chaque rebond, la balle remonte aux quatre-cinquièmes de la hauteur atteinte précédemment. Pour un entier n supérieur ou égal à 1, on note u n la hauteur en mètres du n-ième rebond de cette balle. 1. Justifier que (u n ) est une suite géométrique de raison 4 5 et de premier terme u 0 = En déduire l expression de u n en fonction de n. 3. Déterminer à quelle hauteur la balle rebondira au bout du dixième rebond. 4. On peut imaginer que lorsque le rebond n excède pas un centimètre, la balle ne rebondira plus et se mettra à rouler. A l aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de rebonds ce phénomène se produira. 5. Intuitivement, vers quel nombre semblent se rapprocher les termes u n de cette suite lorsque n devient très grand? Définition 2 Chercher la limite d une suite (u n ), c est étudier le comportement des termes u n quand n prend des valeurs entières aussi grandes que l on veut. On dit que l on cherche la limite de la suite (u n ) lorsque n "tend vers plus l infini". (Admises) Si la raison q est strictement supérieure à 1, la suite géométrique (q n ) a pour limite +. lim n + qn = + Si la raison q est comprise strictement entre 0 et 1, la suite géométrique (q n ) a pour limite 0. On dit aussi que la suite q n converge vers 0. lim n + qn = 0 Si la raison q est égale à 1, la suite géométrique (q n ) est constante et égale à 1, et sa limite est

5 TD4 : Recherche de seuil Voici un algorithme : Initialisation, entrées : A prend la valeur 1 I prend la valeur 0 Traitement : Tant que A > I prend la valeur I + 1 A prend la valeur 5 6 A Fin Tant que Sortie : Afficher la valeur de I 1. (a) Programmer cet algorithme sur une calculatrice. (b) Vérifier que la calculatrice affiche I = 379. (c) Caractériser le nombre affiché par cet algorithme. (d) Comment modifier cet algorithme pour afficher le plus petit entier naturel n tel que : ( 5 6 ) n < 10 50? 2. Soit la suite (u n ) définie par son premier terme u 0 = 3 et par la relation u n+1 = 0, 2u n. Modifier l algorithme précédent afin de déterminer le plus petit entier n tel que u n < III Suites arithmético-géométriques TD5 : Un placement Un couple dépose au premier janvier 2012 une somme de euros sur un compte rémunéré au taux annuel de 4%. Par la suite, ce couple possède une capacité d épargne annuelle de euros, épargne versée tous les premiers janvier sur le compte précédent. Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année. Pour tout entier naturel n, on note S n la somme dont le couple dispose au 1 er janvier de l année ( n). 1. (a) Calculer les valeurs S 0, S 1, S 2, S 3. (b) La suite (S n ) est-elle arithmétique? géométrique? 2. (a) Montrer que l expression de S n+1 en fonction de S n est donnée par la relation : S n+1 = 1, 04S n (b) A l aide de la calculatrice, obtenir le tableau des valeurs de S n pour n variant de 0 à 20. (c) Au 1 er janvier de quelle année le couple possédera-t-il une épargne supérieure à euros? Définition 3 Une suite arithmético-géométrique (u n ) est une suite définie pour tout entier naturel n par une formule de récurrence : u n+1 = q u n +a où a et q sont deux réels, le premier terme u 0 étant donné. -5-

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