10 Chapitre 10. Alfred Logarithme, un arrondi catastrophique

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1 Chapire 0 Chapire 0. Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique Das cerais calculs, les erreurs d'arrodis peuve deveir si imporaes qu'elles ôe ou ses aux résulas obeus : cela ie à la représeaio des ombres-machie e virgule floae, uilisée a das les calcularices scieifiques que das les ordiaeurs les plus puissas. Cee représeaio discrèe du coiu des ombres réels peu parfois poser de gros problèmes. Sommaire Chapire 0. Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique Le problème d Alfred Moey Approche à la calcularice Expressio de la suie (u ) e focio de U passage par les mahémaiques Première expressio de ore suie Ue deuxième expressio de ore suie Éude de la suie Calcularice : le reour! Ifluece du premier erme sur le comporeme de la suie. 92 Aexe : problème de ermiale S Chrisia Vassard (IUFM Roue)

2 84 Mahémaiques e TI-Nspire. Le problème d Alfred. Moey Exraie d u uméro spécial de la revue la Recherche, cosacrée aux ombres, l hisoire édifiae d Alfred Logarihme es racoée par Jea-Michel Muller. Alfred Logarihme, e bo père de famille, désire faire u placeme à rès log erme pour assurer l'aveir de sa descedace. Nul e peu l e blâmer, bie au coraire! Il se reseige doc auprès du direceur de la Sociéé Chaoique de Baque (SCB) peu-êre devraiil se méfier qui lui propose so ouveau pla d'éparge e ces ermes : «Vore appor iiial es de e euros. La première aée, vous êes perda, o muliplie vore capial par, e l'o y prélève euro pour frais de gesio. La deuxième aée, c'es beaucoup mieux, o muliplie vore capial par 2 e l'o prélève oujours euro pour frais de gesio. La roisième aée, o muliplie vore capial par 3 e l'o prélève euro, e aisi de suie : la -ième aée, o muliplie vore capial par e l'o prélève euro. Au bou de 25 as, vous pouvez reirer vore arge. Iéressa, 'es-ce pas?» Discours for ea... Mais Mosieur Logarihme es prude e décide de réserver sa répose. Pouvos-ous l'aider à predre sa décisio?.2 Approche à la calcularice u La siuaio se mahémaise sas grade difficulé. Il s'agi ou simpleme d'éudier la suie défiie par so premier erme u0 e, où e es la base des logarihmes épéries ; la relaio de récurrece u u. Qui plus es, seul le erme de rag 25 ous iéresse. À première vue, 25 muliplicaios e 25 sousracios, ce 'es pas le bou du mode sur ue calcularice scieifique for performae! L écriure d ue focio pour le calcul du erme de rag peu se faire e lige de commade avec l isrucio whe 2, e s appuya sur la récursivié. Il fau juse décaler la relaio de récurrece pour qu elle exprime u e focio de u. O peu s assurer que les premières valeurs de la suie so coformes à ce que l o aed. Or doc, quel résula cee focio doe--elle pour u 25 c es-à-dire pour le capial obeu au bou de 25as? U résula approché a priori suffi (/ ) : e es la célèbre base des logarihmes épéries, vala 2, Le direceur de ore baque, qui a sûreme fai des éudes fiacières de poie coaî rès préciséme ce ombre. 2 Do la syaxe es, rappelos-le, whe(codiio, raieme lorsque la codiio es vraie, raieme lorsqu elle es fausse). Ue roisième possibilié, opioelle, peu êre ajouée, rès uile oamme e calcul formel pour idiquer ce que l o fai lorsque la codiio es i vraie i fausse T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

3 Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique 85 L affaire e semble pas boe du ou, e même foreme déficiaire... La valeur exace e doe pas grad-chose de plus : sa relaive complicaio la red iexploiable e e perme pas e ou cas qu o aide Alfred. Passos au ableur pour observer d u peu plus près comme les valeurs évolue : la formule saisie e B3 (voir ci-dessous) es recopiée e C3 ; la coloe B doe les valeurs exaces e la C des valeurs approchées. La derière lige doe la même chose! U résula exac qui déped de e e u résula approché qui laisse croire qu il vau mieux refuser la proposiio du baquier La suie des valeurs affichées semble décroîre vers 0 jusqu à u 5 puis elle coiue à décroîre e eda semble--il vers. Pire! Ue valeur approchée calculée direceme à parir de B27 doe -E2 T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

4 86 Mahémaiques e TI-Nspire De quoi demeurer perplexe... E que di DERIVE, le vrai DERIVE des ordiaeurs? Qui présee l avaage de ravailler avec aua de chiffres sigificaifs qu o le désire, ce que e perme pas la TI-Nspire, aussi puissae soi-elle! O peu défiir u de la faço suivae, quasime comme sur ore machie : u() := IF(=0,e, u( ) ). O obie les résulas suivas, qui e so aures que les valeurs exaces de la calcularice : Mais avec ue différece... qui mérie d êre souligée... Le résula approché avec ue précisio de 50 chiffres es eviro égal à 0, Bref, selo Derive, Mosieur Logarihme se rerouverai doc au bou de 25 as avec le ridicule capial d à peie 4 ceimes... pour ue mise de e euros, soi,78 euros. L affaire e semble pas iéressae, mais les peres e so pas aussi fracassaes que celles que laissaie supposer ore calcularice..3 Expressio de la suie (u ) e focio de L exame des premières valeurs exaces obeues laisse peser que le coefficie de e das l expressio de u es aure que! : c es immédia sur les premiers ermes e, de proche e proche, o peu vérifier que c es vrai jusqu à u 25 : e Moros ce résula das le cas gééral. T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

5 Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique 87 Théorème Pour ou eier aurel o a : u! e w. Démosraio Ue récurrece s impose, d aua qu o a vérifié la propriéé jusqu à = 25. Supposos doc que la propriéé soi vraie pour u eier aurel arbiraire. O a doc : u! e w. D aure par : u u! u w! u w qui es bie de la forme u! u w e posa w w. O peu alors mieux compredre ce qui se passe. Das le erme de rag 25, e es muliplié par 25! 3,c es-à-dire u éorme ombre de 26 chiffres... D aure par, e es u ombre irraioel : comme o l a vu das le chapire précéde, la calcularice le remplace par le décimal 2, (0) e faisa ue erreur d affecaio. Plus préciséme, comme la valeur e es arrodie, o a l ecadreme : 2, e < 2, Par coséque, le résula exac obeu pour le calcul de u 25 : e es compris ere 0 2 e 0 2, comme le more l écra suiva : 3 O peu s e douer puisqu o a d abord muliplié le capial par, puis par 2, puis par 3,... puis par 25 T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

6 88 Mahémaiques e TI-Nspire Aua dire que rie e peu êre di. L erreur a explosé : o compred que l o puisse à peu près obeir impore quoi... Nous e sommes plus e mesure de corôler le résula, soumis à ue espèce d «effe papillo calculaoire» : ue peie perurbaio ifiiésimale au dépar mulipliée par u ombre rès grad a pris le pas sur le calcul meé, au poi de e plus doer aucu ses au résula revoyé! Bila : face à la faillie complèe du calcul approché de la calcularice, ue éude mahémaique s impose U passage par les mahémaiques Il s impose u professeur de mahémaiques e peu que s e réjouir puisque ore recherche à la calcularice es das l impasse. Teos pour commecer d obeir ue expressio de la suie (u ) e focio de. 2. Première expressio de ore suie O a vu plus hau que, pour ou eier aurel,, u! e w e ous savos que la suie (w ) vérifie : w w () Quelle es la valeur iiiale de cee suie? Comme u 0 = e, o e dédui que w 0 =. O rerouve bie les premières valeurs els que le ableur ous les a morées : w = w 0 + = 2 w 2 = 2 w + = 5 w 3 = 3 w 2 + = 6 ec. Cherchos maiea à obeir ue expressio de w e focio de. E divisa les deux membres de l égalié () par ( + )!, o e dédui que : w w!!! 0 D aure par, w. De proche e proche, ou par récurrece si l o préfère, o e dédui que : 0! 0! w w0! 0!! 0!! w2 w 2!! 2! 0!! 2! w w...!!! 0!!! 4 Comme quoi, sas mahémaiques, la calcularice e peu pas grad chose... T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

7 Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique 89 Par coséque, pour ou eier aurel : w!...! 0!!!. k 0 k! Ce que cofirme ore calcularice pour les valeurs suivaes : O e dédui la première expressio suivae de u, pour ou eier aurel : car o sai que u! e!! e! k0 k! k0 k! k k! e. k! k 0 (2) Malheureuseme, cee derière expressio e perme pas d éablir la limie de u quad ed vers l ifii, si jamais elle exise! O ombe sur ue forme idéermiée Par core, l écriure obeue more que la suie (u ) es posiive, comme produi de deux ombres posiifs : cee remarque discrédie le calcul des u pour > 5, e par corecoup, sas doue aussi les ermes précédes. 2.2 Ue deuxième expressio de ore suie Théorème Pour ou réel x sriceme posiif, o a 2 x x x x x e x... e d. 2!! 0! Démosraio : Cela résule immédiaeme de la formule de Taylor avec rese iégral, appliquée à la focio expoeielle sur l'iervalle [0 ; x] (x éa u réel sriceme posiif) 5. E posa f(x) = e x, alors pour ou eier aurel de * ( ), f adme ue dérivée d'ordre égale à x f x e. E pariculier, f ( ) 0 pour ou eier aurel o ul. La formule de Taylor doe alors Appliquos le résula précéde à x =. O obie : e e d k!! 0 k 0 2 x x x x x e x... e d. 2!! 0! 5 Sio o peu démorer cee égalié par récurrece, e c es suffisa au iveau des ermiales scieifiques de lycée... T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

8 90 Mahémaiques e TI-Nspire e e remplaça das (2), il vie u e d. 0 C es ue deuxième expressio de u, sous la forme d ue iégrale. 2.3 Éude de la suie Cee derière expressio va ous permere de meer rapideme l éude de la suie. O rerouve le fai que la suie (u ) es posiive, car pour ou x de [0 ; ], e 0. Par ailleurs la suie (u ) es sriceme décroissae. E effe : u u e d e d e d L iégalié es bie srice car la focio défiie sur [0 ; ] par es égaive e g e coiue sur [0 ; ] e e s aule qu e 0 e. So iégrale ere 0 e es doc sriceme égaive. Décroissae e miorée par 0, cee suie (u ) es doc covergee, ce que la calcularice e laissai pas devier! D aure par, pour ou de I N, E effe, pour ou de [0 ; ], e e. E iégra ere 0 e, o obie : + u e +. e e. Comme d e d e d U calcul simple doe : 0 d ce qui prouve fialeme que 0 e u. 0 sur [0 ; ], o e dédui : Fialeme la suie (u ) coverge vers 0 6, selo le héorème des gedarmes, car elle es ecadrée par deux suies covergea vers 0. Cela cofirme bie e ou cas le résula doé par Derive : le pauvre Alfred 'a aucu espoir de s'erichir avec ce placeme doueux : bie au coraire, plus le emps passe e plus so capial se rapproche du éa. Placeme à décoseiller formelleme Ceci éa, sa pere es loi de l apocalypse aocée par os premiers calculs. 6 u C es d ailleurs la seule valeur possible de la limie, si l o remarque que la relaio de récurrece peu aussi s écrire u l o passe à la limie das les deux membres... e si T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

9 Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique Calcularice : le reour! Cosidéros l expressio iégrale de la suie (u ) : u e d. 0 Cee ouvelle formule se prêe parfaieme à u calcul approché, ou exac d ailleurs, comme le more l écra suiva. E quelques secodes, o rerouve avec u 25 la valeur de Derive! Les problèmes de calcul posés par la relaio de récurrece se so évidemme volailisés lors du calcul direc de l iégrale Fau-il pour aua abadoer la relaio de récurrece? L explosio du calcul d erreur es pas rès ecourageae, il fau bie l avouer... Sauf... si o fai les calculs à l evers Au lieu de parir de u 0, paros de u 00 e cherchos à calculer u 25 e iversa la relaio de récurrece c es-àdire e écriva pour ou eier aurel : u... u Mais quelle valeur peu-o predre pour u 00? Uilisos l ecadreme de la suie o sai que e u 00 soi 0,009 9 u 00 0, Par exemple, e commea ceres ue erreur, o peu acceper de predre u 00 0,02. D aua que cee fois l erreur de calcul sur u 00 es divisée par u grad ombre ( ). Au lieu d exploser, elle implose liéraleme! Le ableur es pariculièreme recommadé : T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

10 92 Mahémaiques e TI-Nspire Chose curieuse, si l o chage la valeur de u 00, o rerouve la même valeur pour u 25, qui es décimale après décimale celle doée par DERIVE, ou par le calcul de l iégrale! Après oue cee éude, ore coclusio es doc sas appel : le baquier es u escroc, e il e fau à aucu prix acceper sa proposiio malhoêe Ifluece du premier erme sur le comporeme de la suie E si ous chagios le erme iiial? E d aures ermes, éudios maiea la suie (v ) défiie par : Théorème Démosraio so premier erme v 0 = a, où a es u réel quelcoque ; la relaio de récurrece v + = ( + )v. Pour ou eier aurel, v u! a e. La démosraio peu se faire par récurrece. Ceci es e effe vrai pour = 0 car v0 a u0 0! a e. O suppose maiea la propriéé démorée pour u eier arbiraire. Alors : u! a e u! a e v v u! a e ce qui prouve que la propriéé es vraie pour l eier +. Nous avos bie démoré le résula par récurrece. Nous e savos suffisamme pour déermier la limie de la suie (v ). O sai que lim u 0. Par coséque : si a > e, alors a + e > 0 e lim v ; si a < e, alors a + e < 0 e lim v. Par ailleurs, si a = e, la suie coverge vers 0. Nous avos doc affaire à ue suie qui coverge pour ue seule valeur iiiale, e, valeur qui plus es irraioelle. Icapable das ue arihméique de ype fii de représeer le ombre irraioel e, ue calcularice la remplacera par soi ue valeur approchée décimale par défau, faisa edre la suie vers (c es le cas des calcularices TI ou Casio), soi ue valeur approchée décimale par excès, faisa edre la suie vers + (cela serai le cas par exemple avec la HP48 pour laquelle e 2, ). T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

11 Alfred Logarihme, u arrodi caasrophique 93 Coseil ulime à Alber : qu il propose à so baquier de placer u ou pei peu plus, pas grad chose, que e euros, par exemple,72 euros... O sai que la suie diverge vers. Après 25 as de placeme, il récupère la coquee somme de 2, euros. De quoi assurer ses vieux jours, e ceux de sa descedace! Si so baquier accepe, c'es la faillie de la SCB... T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée

12 94 Mahémaiques e TI-Nspire Aexe : problème de ermiale S 7 Ci-dessous l'hisoire édifiae d'alfred Logarihme qui, e bo père de famille, désire faire u placeme à rès log erme pour assurer l'aveir de sa descedace. Il se reseige doc auprès du direceur de la Sociéé Chaoique de Baque (SCB) qui lui propose so ouveau pla d'éparge e ces ermes : «Vore appor iiial es de e euros. La première aée, vous êes perda, o muliplie vore capial par, e l'o y prélève euro pour frais de gesio. La deuxième aée, c'es beaucoup mieux, o muliplie vore capial par 2 e l'o prélève oujours euro pour frais de gesio. La roisième aée, o muliplie vore capial par 3 e l'o prélève euro, e aisi de suie : la -ième aée, o muliplie vore capial par e l'o prélève euro. Au bou de 25 as, vous pouvez reirer vore arge. Iéressa, 'es-ce pas?» Prude Mosieur Logarihme décide de réserver sa répose. Nous ous proposos d aider Alfred à predre sa décisio. ) O appelle C le capial obeu par Alfred au bou de aées. Morer que : C0 e C C ) a) Uiliser la calcularice pour déermier le capial d Alfred au bou de 25 as. Quelle coclusio e irez-vous? C 2) a) Morer que pour ou, o peu écrire C. b) E déduire que si la suie (C ) coverge vers u réel, c es écessaireme vers 0. c) Ce résula es-il e coradicio avec ce que revoie la calcularice? 3) Ue éude mahémaique de la suie (C ) s impose. a) Morer que pour ou eier aurel, C e d. 0 b) E déduire que la suie (C ) es sriceme décroissae e miorée par 0. c) E déduire que la suie (C ) coverge vers 0. d) Morer pour ou eier aurel, + C e +. Rerouver la covergece de la suie (C ) vers 0. 4) O se propose d éudier la suie (C' ) défiie par où a es u ombre réel quelcoque. C' 0 a C ' C ' a) Morer que, pour ou eier aurel, C' = C +! (a + e). b) E déduire, suiva la valeur de a, la limie de la suie (C' ) quad ed vers l ifii. c) À parir des remarques précédees, expliquer le comporeme de la calcularice. 7 U suje rès proche a déjà éé posé au baccalauréa S mais je e suis pas l aueur Voir le suje Liba jui 2005 exercice 3. T³ Frace 200 / Phoocopie auorisée