l'arithmétique simple et utile

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1 Présentation de l'arithmétique simple et utile premier livrél de la collection S & U 41 pages 101 tests lequel s'acquiert sur le site des Publications de Georges Alain au prix de 2,30 euros In librelo sapientia Cette présentation comporte la Table des matières, l'introduction, deux débuts de chapitre ainsi que le système des réponses aux tests.

2 2 TABLE INTRODUCTION... 3 LES NOMBRES ET LES CHIFFRES LES NOMBRES ENTIERS, POUR COMPTER LES CHOSES... 4 Un numéral pour chaque nombre entier Deux échelles pour les grands nombres Les chiffres arabes, symboles pratiques LES NOMBRES FRACTIONNAIRES, POUR LES PORTIONS... 5 Fractions élémentaires et fractions multiples Amplification et simplification Le cas des fractions décimales LES NOMBRES DÉCIMAUX, POUR DES CALCULS COMMODES... 8 Écriture Les décimales La partie entière et la partie décimale Signification pratique LIRE ET ÉCRIRE EN CHIFFRES ROMAINS... 9 Règles d'écriture Usage combiné des règles SE JOUER DES CALCULS LES SYMBOLES D'USAGE COURANT Le signe d'égalité Les parenthèses MANŒUVRER AVEC LES OPÉRATIONS Addition et soustraction Multiplication et puissances Division CALCULER UN PEU DE TÊTE Adapter la démarche Intérêt pour les ordres de grandeur LA PRATIQUE DES POURCENTAGES POURCENTAGES ET CENTIÈMES Centièmes de... Appliquer directement un pourcentage Le pourcenteur LES PROBLÈMES INVERSES Trouver la valeur du pourcentage Trouver la quantité de départ.. AJOUTER OU RETRANCHER UN POURCENTAGE L'augmenteur Le diminueur.. LES PROPORTIONS, OMNIPRÉSENTES ET PRÉCIEUSES RAPPORTS ET PROPORTIONS ENTRE QUANTITÉS Rapport d'une quantité à une autre La règle de trois Proportion entre deux quantités Les problèmes inverses relativement à une partie GRANDEURS PROPORTIONNELLES Quantités déterminées et grandeurs indéterminées Les grandeurs proportionnelles Le coefficient de proportionnalité Utilisation inversée du coefficient de proportionnalité Comment déterminer le coefficient de proportionnalité LES INTÉRÊTS LES DEUX SORTES D'INTÉRÊTS ET LEUR CALCUL DIRECT Intérêts simples Intérêts composés CALCULS INVERSES EN INTÉRÊTS SIMPLES Déterminer la durée Déterminer le taux Déterminer la somme à place CALCULS INVERSES EN INTÉRÊTS COMPOSÉS Déterminer la durée Déterminer le taux Déterminer la somme à placer RÉPONSES AUX TESTS NOTE... 41

3 3 INTRODUCTION Le monde est plein de nombres et les apprivoiser n'est pas toujours aisé. Effectuer des opérations usuelles est à la portée de tous, grâce aux calculatrices. Mais fractions, pourcentages et intérêts ne vont pas toujours de soi. Ce livrél est fait pour s'initier seul à ces notions et à ces techniques, pour combler des lacunes ou encore pour accompagner les études. Compter et faire des opérations très simples est le seul savoir indispensable pour aborder cette lecture. Notions et méthodes sont exposées de manière à être comprises de tous et dans le souci des utilisations pratiques. L'abstraction n'est introduite qu'avec prudence et parcimonie. Aucune formule comportant des lettres n'est utilisée : toutes les explications sont accompagnées d'exemples chiffrés servant de modèles. Que l'exposition soit simple, c'est-à-dire évitant tout arsenal théorique superflu, ne dispense pas d'une lecture attentive et même active. Qui souhaite progresser effectivement et durablement trouvera profit à bien décortiquer les exemples. À chaque pas, un ou plusieurs tests permettent de s'assurer que les explications et les exemples sont compris. Pour faire apparaître la réponse à un test, cliquer sur Test. Faire de même pour revenir de la réponse au test. Une calculette élémentaire sera d'un usage précieux. Sans être tout à fait indispensable, un tableur, ou une calculatrice de lycéen, faciliterait certains calculs du dernier chapitre.

4 4 LES NOMBRES ET LES CHIFFRES LES NOMBRES ENTIERS, POUR COMPTER LES CHOSES Un numéral pour chaque nombre entier Les nombres se désignent dans chaque langue à l'aide d'une famille particulière de mots, les numéraux : «zéro», «un», «deux», «trois», etc. Cela concerne les nombres les plus simples, ceux que l'on qualifie d'entiers, par opposition à ceux qui traduisent un fractionnement (comme : tiers, quart). Pour un même nombre entier, des langues différentes emploient des numéraux généralement différents : un, uno, eins, one... Compter, c'est réciter la série des numéraux : un, deux, trois, etc. On la fait partir de zéro si l'on y trouve une utilité ; c'est souvent le cas à l'envers : trois, deux, un, zéro. Un numéral peut être employé comme adjectif : il y a quatre marches ; les grammaires appellent cela un adjectif cardinal. Il a pour compagnon un adjectif ordinal : la quatrième marche. Test 1. Un demi est-il un nombre entier? Deux échelles pour les grands nombres Pour les grands nombres, on va de mille en mille selon l'échelle million, milliard, billion, billiard, trillion, trilliard, quadrillion, etc. L'ossature en est la série million, billion, trillion, quadrillion, etc. Un billion est un million de millions. Un trillion est un million de billions, et ainsi de suite. Les autres sont des intermédiaires : un milliard vaut mille millions ; un billiard vaut mille billions, etc. Exemple. Comment dire mille milliards avec seul mot? Dans l'échelle complète, milliard vient après million, donc juste avant billion. Mille milliards font donc un billion. Exemple. Comment dire un million de milliards avec seul mot? Un million de milliards, c'est mille milliers de milliards, donc mille billions ; autrement dit un billiard. Test 2. Dire mille trillions avec un seul mot. Les pays anglophones ont adoptée une autre échelle : million, billion, trillion, etc., où l'on va de mille en mille et non de million en million (les italiques signalent ici les mots anglais). Leur million est bien notre million. Un billion vaut mille millions ; il s'agit de notre milliard. Un trillion vaut mille billions, donc mille milliards ; c'est donc notre billion. Certaines traductions de l'anglais au français négligent cette différence. Exemple. Un billionaire c'est un milliardaire. Test 3. Que comprendre par «trillion» dans un texte en français?

5 16 LA PRATIQUE DES POURCENTAGES Les pourcentages n'étant que des proportions parmi d'autres, leur étude relève en principe du chapitre suivant. Leur usage est toutefois si répandu que leur pratique mérite d'être étudiée à part. POURCENTAGES ET CENTIÈMES Centièmes de... Un pourcentage est un nombre de centièmes : 1 %, qui se lit «un pour cent», est une vieille tournure pour dire un centième. Encore faut-il qu'il y ait un complément, introduit par la préposition de, pour que cela ait un sens pratique. Un pour cent d'un mètre, c'est un centimètre. Par contre il n'y a aucun sens à dire une longueur de 1 % sans pouvoir préciser de quoi. Exemple. 8 % (de quelque chose), qui se lit «huit pour cent», veut dire huit centièmes (de cette chose). Exemple. Lorsqu'on lit qu'un livret d'épargne rapporte 3 % par an, il faut comprendre que les intérêts sont les trois centièmes de la somme en compte au début de la période d'un an considérée. Exemple. Lorsqu'on dit qu'une population a augmenté de 5 % en un an, on veut dire que le surcroît est égal aux cinq centièmes de ce qu'était la population initiale, celle du début de l'année. Test 60. Que signifie exactement «le prix de tel service va augmenter de 5 %»? Test 61. Que signifie exactement «la population de tel pays a diminué de 3 % en dix ans»? Faisons un petit pas dans l'abstraction. Tout comme 8 % de 100 mètres c'est 8 mètres, 8 % de 100 francs c'est 8 francs. Le résultat est numériquement le même, à savoir huit, qu'il s'agisse de mètres ou de francs. C'est ainsi que l'on se dégage des exemples pratiques pour dire, de manière plus abstraite, que 8 % de 100 c'est 8 : on sait que cette vérité s'applique aux francs comme aux mètres. Exemple. 1 % de 200 c'est 2 ; 1 % de 200 dinars c'est 2 dinars. Test 62. Qu'est-ce que 1 % de 1000? Test 63. Qu'est-ce que 1 % de 1000 litres? Les mathématiciens ne se préoccupent guère des pourcentages, trop utilitaires à leurs yeux, et les utilisateurs ne se soucient pas toujours d'employer un vocabulaire assez précis. Fixons le nôtre afin de nous y retrouver. Convenons que la quantité à laquelle on applique le pourcentage soit la quantité de départ. et que le résultat obtenu soit la quantité d'arrivée. Si 5 % est un pourcentage (on parle de taux dans certains contextes), le nombre 5 qui y figure peut être appelé la valeur du pourcentage. Exemple. En prenant 5 % de 200, on obtient 10. La quantité de départ est 200, la quantité d'arrivée est 10 et la valeur du pourcentage est 5.

6 28 RÉPONSES AUX TESTS Extraits pour présentation Voir l'introduction Lorsqu'on appelle la réponse à partir du test, elle apparaît en haut de l'écran. L'inversion de l'ordre ci-dessous sert à ce que la réponse au test suivant soit alors cachée. Test 63. Qu'est-ce que 1 % de 1000 litres? Test 62. Qu'est-ce que 1 % de 1000? Test 61. Que signifie exactement «tel effectif a diminué de 15 % en trois ans»? Test 60. Que signifie exactement «le prix de tel service augmente de 5 %»? Test 3. Que comprendre par «trillion» dans un texte en français? Test 2. Dire mille trillions avec un seul mot. Test 1. Un demi est-il un nombre entier?

7 Paris, mars 2011 Tous droits à Georges Alain BARTHÉLEMY