Chapitre 3 Intégrale double

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1 Chpitre 3 Intégrle oule Nous llons supposer le pln usuel muni un repère orthonormé (O,i,j). 3. Aperçu e l éfinition formelle e l intégrle oule Soit =[, [, (<, <)unretngleferméupln ont les ôtés sont prllèles ux xes e ooronnées. Pr éfinition, = { (x, y) / x, y }. éfinition 3.. (Qurillge u retngle =[, [, (<, <)) Pour éfinir un qurillge u retngle fermé =[, [,(<, <), on se onne: une suivision = x <x < <x n = e l intervlle [,, une suivision = y <y < <y m = e l intervlle [,. Les retngles onstitutifs u qurillge sont les retngles ij =[x i,x i [y j,y j, ( i n, j m). Le qurillge est it régulier si pour tout ouple (i, j) ( i n, j m) on(x i x i )= n et (y j y j )= m. On pren lors pour ps e e qurillge régulier, le nomre h = mx { n, m }. éfinition 3.. (fontion en eslier sur un retngle fermé) Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln. On it qu une fontion f: est une fontion en eslier si f est ornée sur et s il existe un qurillge { ij } e en sous retngles ij =[x i,x i [y j,y j tel que: pour tout ouple (i, j), f est onstnte sur le retngle ouvert x i,x i [ y j,y j [. 9

2 Intégrle oule éfinition 3.3. (intégrle oule une fontion en eslier) Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f: une fontion en eslier ssoiée à un qurillge { ij } ( i n, j m) e. Si k ij est l vleur e f sur le retngle ouvert x i,x i [ y j, y j [, le nomre I (f )= k ij (x i x i )(y j y j ) i n, j m est ppelé intégrle oule e f sur et est noté f (x, y)xy. éfinition 3.4. Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f: une fontion. On it que f est intégrle sur si pour tout réel stritement positif ε, onpeuttrouvereux fontions en esliers f et f éfinies sur telles que: f f f f (x, y)xy f (x, y)xy < ε Théorème 3.5. Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f: une fontion intégrle sur. Pour tout qurillge régulier { ij } ( i n, j m) e, soient ij x i, x i [ y j,y j [, k ij = f( ij ) et V nm = k ij (x i x i )(y j y j ). i n, j m Alors, lorsque m et n tenent vers +, V nm met une limite ns. Cette limite est ppelée intégrle oule e f sur et notée f (x, y)xy. Nous mettrons le théorème suivnt. Théorème 3.6. Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f: fontion ontinue, lors f est intégrle sur. une Une liste e propriétés à onnître:. Soient f et g eux fontions intégrles sur un retngle fermé lors (f + g)(x, y)xy = f(x, y)xy + g(x, y)xy.. Soient f une fontion intégrle sur un retngle fermé et λ, lors λf(x, y)xy = λ f(x, y)xy. 3. Soient f et g eux fontions intégrles sur un retngle fermé telles que (x, y), f(x, y) g(x, y), lors: f(x, y)xy g(x, y)xy 4. Si f est une fontion intégrle sur un retngle fermé, lorslfontion f est intégrle sur et on l inéglité f(x, y)xy f(x, y) xy.

3 3. Suession intégrles simples - Théorème e Fuini 3. Suession intégrles simples - Théorème e Fuini Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f: une fontion ontinue. Pour x [, fixé, l fontion f(x, ): [, éfinie pr f(x, )(y)=f(x, y) est intégrle sur [,. Le nomre f (x, )(t)t épen e x. OnonunefontionA:[, éfinie pr A(x)= f(x,t)t. En intégrnt l fontion A sur l intervlle [,, onlformule [ ( ) : A(x)x = f(x, y)y x. éfinition 3.7. ns l expression [ f (x, y)y x e l formule ( ) i-essus, on it que l on or intégré pr rpport à y, etensuiteprrpportàx. [ e mnière nlogue, ns l expression f(x, y)x y, onitquel onintègre or pr rpport à x, puisprrpportày. Exemple 3.8. Consiérons le retngle =[, [, 3 ( x, y 3) etlfontionf éfinie sur pr f(x, y)=xy+ y +.Ii, =,=, = et =3. [ 3 on f(x, y)y = (xy + y +)y = xy + y=3 3 y3 + y = 9 x +, en intégrnt or y= pr rpport à y; intégrnt mintennt le résultt prééent pr rpport à x, onotient: [ 3 ( ) [ (xy + y 9 9 +)y x = x + x = 4 x + x = = 75 4 Aprésent,ommençonsprintégrerettemêmefontionprrpport à x, puisontinuonslelulen intégrnt pr rpport à y: [ x= on f(x, y)x = (xy + y +)x = x y +(y +)x = y + 3 y +,enintégrnt x= or pr rpport à x; en intégrnt le résultt i-essus pr rpport à y, onotient: [ 3 ( 3 (xy+ y +)x y = y + 3 ) [ y + y = 3 y y + y = = 75 4 ns l exemple 3.8 nous remrquons que les eux intégrtions suessives onnent le même résultt. Cei n est ps le fit u hsr mis est û u théorème suivnt quenousmettrons. une fontion on- Théorème 3.9. (Théorème e Fuini pour les retngles fermés) Soit =[, [, (<,<) un retngle fermé u pln et f : tinue, lorsf est intégrle sur et on : [ [ f(x, y)xy = f (x, y)y x = f (x, y)x y. Exemple 3.. Soit =[, [, et f: éfinie pr f(x, y)=ye xy. Clulons I = f(x, y)xy. [ près le théorème e Fuini, on I = (ye xy )x y. [ x= Or (ye xy )x = e xy = e y e y. x= [ On en éuit I = (e y e y )y = ey e y = e4 e + Note: En intégrnt or pr rpport à x, leprééentlulnousprisjusteeuxlignes.sinous ommençons pr intégrer or pr rpport à y, nous nousrenonsviteomptequelelulestmoinsévi- ent. Eneffet (ye xy )y néessite une intégrtion pr prties. [ y (ye xy )y = x exy y= ( x exy = e x y= x ) x + x. L intégrtion e ette ernière expression néessite mnifestement enore une intégrtion prprties:

4 Intégrle oule ( ( e x x )+ ) x x x = Une intégrtion pr prties onne: [ x ex x = x ex ( ( e x x )+ ) x x x = On en éuit que [ x ex x x ex x + x ( x ex )x. [ x ex [ + x = e4 e +. Il fut retenir que ns l pplition u Théorème e Fuini, un hoix juiieux e l orre intégrtion s impose Intégrles oules sur es omines non retngles On onsière un omine orné u pln réel, f: éfinie) l intégrle f(x, y)xy. et on vourit luler (si elle est Si le omine onsiéré n est ps un retngle mis est orné, nous pouvons l inlurensunretngle, onsiérerunqurillgeuretngle et éfinir une somme oule e iemnn sur les retngles u qurillge qui sont entièrement ontenus ns le omine. Si l somme oule e iemnn ten vers une limite I lorsque le ps u qurillge ten vers, lorslfontionf est intégrle sur et on f(x, y)xy = I Intégrles sur un omine ompris entre les grphes eux fontions et eux roites vertiles Théorème 3.. Soient [, ( <)unintervlleferméornée, u et v eux fontions ontinues sur [, telles que x [,,u(x) v(x). Soit le omine e éfini pr = {(x, y) / x, u(x) y v(x)}. Si f: est une fontion ontinue, lors f est intégrle sur et on [ v(x) f(x, y)xy = f(x, y)y x. u(x) Exemple 3.. Soit le omine e ompris entre les roites équtions x =, x =4 et les eux proles équtions respetives y =(x ) 4, y = (x 3) +4.Ononsièresur l fontion f éfinie pr f(x, y)=3x y +.Nousllonslulerl intégrlei = f(x, y)xy. Posnt u(x) =(x ) 4 et v(x) = (x 3) +4,onvoitfilementquesurl intervlle[, 4, on u(x) v(x) quel que soit x. = {(x, y) / x 4, u(x) y v(x)}.

5 3.3 Intégrles oules sur es omines non retngles 3 Appliqunt le théorème 3., on otient: [ 4 x +6x 5 [ 4 f(x, y)xy = f(x, y)y x = (3x +)y y x 4x 4 ( On on I = (3x +)(v(x) u(x)) v(x) + u(x) ) x, 4 ( I = x 3 x + 55x 3 ) x =[ x4 3 x x 3x = 53. Exerie 3.. Cluler l surfe u omine érit ns l exemple 3. y=v(x) y=u(x) x Intégrles sur un omine ompris entre les grphes eux fontions et eux roites horizontles Les résultts e e prgrphe se éuisent e eux u prgrphe prééent en éhngent les rôles e x et y. On onsière un intervlle [, ( <)ferméornée, u et v eux fontions ontinues éfinies sur [, telles que y [,,u(y) v(y). Soit le omine u pln ontenu entre les grphes es fontions u, v et les roites horizontles éqution respetive y = et y =. Formellement, = {(x, y) / y, u(y) x v(y)}. Théorème 3.3. Soit f: [ f(x, y)xy = une fontion ontinue, lors f est intégrle sur et on v(y) u(y) f(x, y)x y Intégrles oules sur un omine -s générl Si n est ps un retngle et ne peut être éfini en utilisnt les grphes e eux fontions et eux roites vertiles (ou horizontles), on éompose si possile, en omines "élémentires" u type e eux éjà trités. On utilise ensuite l propriété suivnte pour fire le lul. Propriété: Soit un omine fermé orné e. On suppose que est réunion e eux omines fermés et ( = )etque et ont une intersetion vie, ou ontenue ns leur or (Autrement it, les intérieurs es eux omines ne se renontrent ps). ns e s, si f : est une fontion ontinue sur, f est intégrle sur et on f(x, y)xy = f(x, y)xy + f(x, y)xy Exemple 3.4. Soit = (x, y) x / 4 y + y 4 x +3 (voir le essin i-essous). On onsière f: une fontion ontinue et on veut luler I = f(x, y)xy. Posons = {(x, y) / y } et = {(x, y) / y }. et sont es omines qui sont éfinis à l ie e roites vertiles ou horizontlesetegrphesefontions omme ns le prgrphe prééent. L intersetion e et est un segment e roite. On = {(x, y) / x, y 4 x +3}, = {(x, y) / y, x 4 y +}.

6 4 Intégrle oule f(x, y)xy = f(x, y)xy + f(x, y)xy. Exerie 3.. Fire le lul e l intégrle oule I = f(x, y)xy ns l exemple 3.4 pour l fontion éfinie pr f(x, y)=x y. Corretion: [ 4 x +3 On I = f(x, y)xy = f(x, y)y x et 4 I = f(x, y)xy = y + f(x, y)x y. [ I = xy y= 4 x +3 y x = ( x 4 8x 3 + 4x + 3x 8)x = 3 y= 3 5. [ x= 4 y + I = x xy y = (y 4 8y 3 +8y 96y 48)y = 64 x= 3 5. On en éuit I + I = 3 3. f

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