Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

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1 Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note F (x) = f(x). On dit que F est une primitive ou une intégrle de f et que l on intégré f. On dmettr que toute fonction continue sur K dmet des primitives sur K. L expression df = f(x) est l élément différentiel de l intégrle. 7. Propriétés des primitives. o Si F est une primitive de f, les utres primitives sont F + (Constnte). λ o f(x) + µ g(x) = λ f(x) + µ g(x) λ µ R. 7.3 Intégrle définie ou Intégrle de Riemnnn) Soit x f(x) une fonction bornée sur un intervlle borné ( b). On cherche à évluer, dns un repère orthonormé, l ire lgébrique de l surfce délimitée pr le grphe de f, l xe Ox et les droites x = et x = b. Pour ce fire, on considére les points x x... x n ( b) tels que = x < x < < x n < x n = b. On insi divisé ( b) en n intervlles prtiels. Soit ζ i [x i x i ] et considérons l somme, que l on ppelle somme de Riemnn : 54 S n = (x )f(ζ ) + (x x )f(ζ ) (b x n )f(ζ n )

2 y y=f(x) f(ζ i ) O =x x x x 3 x n =b x i x i x n x ζ i S n mesure donc l ire lgébrique totle des rectngles hchurés. Cette somme dépend de nombreux prmètres, comme les vleurs des x i, ou l position des ζ i. Si, qund n de sorte que les longueurs de tous les intervlles prtiels tendent simultnénent vers zéro, toutes les sommes de Riemnn S n ont une limite commune égle à, indépendnte du prtge de ( b), on dit que f est intégrble sur ( b) ; cette limite s ppelle : Intégrle définie de f sur ( b) et se note I = b f(x). Le nombre I insi défini résulte d opértions compliquées et l on pourrit douter de son existence. Le théoréme suivnt nous rssure : Théorème. Toute fonction bornée ynt un nombre fini de points de discontinuité sur un intervlle borné ( b) est intégrble u sens de Riemnn) sur ( b) Discontinuité de f Si l fonction f est discontinue u point x ( b) et si elle une limite finie à guche et une limite finie à droite de x, on poser pr définition : b f(x) = x f(x) + b x f(x) Propriétés de l intégrle définie o f(x) = R. b o f(x) + c f(x) = c b f(x) b c R. 55

3 b 3 o kf(x) = k b 4 o f(x) = b 5 o Si < b et f(x) lors b f(x) k R. f(x) b R. b Formule de l Moyenne. f(x). On ppelle vleur moyenne de l fonction f sur [ b] l expression : b b f(x) Théorème. Soit f définie et continue sur [ b]. Alors il existe c ] b[ tel que y f(c) y = f(x) f(c) = b b f(x) Ce résultt se déduit du théorème des ccroissements finis ppliqué à l fonction x x f(t) dt sur l intervlle [ b] Reltion entre intégrle définie et primitive Si f est une fonction continue sur l intervlle I de R et b c x I on démontre que l fonction F définie pr x F (x) = x c f(t) dt dmet une dérivée F ; de plus F = f. Une primitive de f est donc F et puisque b f(x) = b c f(x) b c O f(x) reltion de Chsles) : f(x) = F (b) F () = b F (x) c b x 7.4 Tbleu de primitives usuelles Lu à l envers, un tbleu de dérivées est un tbleu de primitives. Le clcul d une primitive consiste, souvent près quelques trnsformtions que nous llons étudier u prgrphe suivnt, à reconnître une des fonctions du tbleu qu il est donc conseillé de svoir pr coeur) : 56

4 TAB. 7.: Tbleu de primitives usuelles Définie sur Fonction f F (x) = f(x) R ou R + x α x α+ (α < α = ) α + + C R ou R + x α x α+ (α > ) α + + C R Arc tn x + C + x R \ { +} x ln + x x + C R R + x R x ( > ) ln x + C x ln + C R e x e x + C R sin(ωx + α) ω = cos(ωx + α) + C ω R cos(ωx + α) ω = sin(ωx + α) + C ω π R \ + kπ cos x = + tn x tn x + C R \ {kπ} π R \ + kπ sin x = + cotn x tn x + C tn x ln cos x + C ] +[ x Arcsinx + C 57

5 7.5 Méthodes de clcul des primitives et des intégrles 7.5. Chngement de vrible nturel Si f(x) peut se mettre sous l forme f(x) = ϕ[u(x)]u (x) où ϕ est une fonction continue dont Φ est une primitive et si u est à dérivée continue, lors : et f(x) = ϕ(u)u (x) = ϕ(u) du f(x) = ϕ(u) du = Φ(u(x)) + C Pour les intégrles définies, l formule devient : b f(x) = Exemples. o Clculer I = u(b) u() ϕ(u) du = Φ u(b) Φ u(). tn x = sin x cos x. Solution On pose u(x) = cos x dont l différentielle est du = sin x. du Alors I = = ln u(x) + C = ln cos x + C. u / o x Clculer J = x Solution. On pose u(x) = x donc u() =, u(/) = 3/4 et du = x. On obtient lors 3/4 du J = u = 3/4 3 u = Chngement de vrible forcé Pour obtenir une expression plus simple de l élément différentiel, il peut être utile de poser x = ϕ(t) dont l différentielle est = ϕ (t) dt ; dns ces conditions : f(x) = f(ϕ(t))ϕ (t) dt = g(t) dt = G(t) + C = G ϕ (x) + C. où G est une primitive de g. Notons que l fonction ϕ doit être inversible et à dérivée continue. Pour les intégrles définies, toujours vec x = ϕ(t) : b f(x) = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt = G(β) G(α). où α = ϕ () β = ϕ (b) ϕ étnt inversible sur [α β] et à dérivée continue sur ]α β[. 58

6 / Exemple. Clculer x Solution. On pose x = sin t vec t ] π π [ qui s inverse en t = Arc sin x ; les bornes deviennent Arc sin = Arc sin = π 6, l différentielle s écrit = cos t dt et x = cos t = cos t. Il s en suit : / π/6 = x dt = π 6 REMARQUE : Le tbleu de primitives donne (Arc sin x) = et l on retrouve : / x x = Arc sin x / = π Méthode d intégrtion pr prties De l formule de dérivtion du produit des fonctions u v = u v + u v u v : C On déduit u(x)v (x) = u(x)v(x) v(x)u (x) que l on écrit vec les différentielles : u dv = uv v du et si les intégrles sont définies, u et v ynt leurs dérivées continues sur ( b) : b udv = [uv] b b Exemples. o Clculer I = ln x. Solution. On pose u = ln x donc du = et dv = donc v = x et l on intègre x pr prties, ce qui donne : I = x ln x = x ln x x + C. 59 vdu

7 o Clculer J = xe x. Solution. On pose u = x d où du = et dv = e x qui donne v = e x. Alors : J = xe x e x = e x (x ) + C =. 7.6 Intégrtion des frctions rtionnelles Une frction rtionnelle est le quotient de deux fonctions polynômes P (x) et Q(x) donc de l forme f(x) = P (x) Q(x). Exceptés certins cs évidents comme celui où f(x) = P (x) on décompose P (x) d bord f(x) en éléments simples, puis on clcule les primitives de chcun des éléments simples. En SV5 de l I.B.F.A., on se limiter ux éléments simples de ère espèce à l ordre et de nde espèce à l ordre ; et l on pourr se contenter d exminer seulement les exemples trités dns les prgrphes suivnts : 7.6. Décomposition d une frction rtionnelle en éléments simples dns R On suppose l frction réduite, c est à dire P et Q sns fcteurs communs. On effectue lors l décomposition du dénominteur Q(x) en produit de polynômes irréductibles sur R donc du er ou du nd degré : Q(x) = (x ) α... (x l ) α l (x + p x + q ) β... (x + p k x + q k ) β k où p i 4q i < et α i β i N. Les rcines... l, de Q, s ppellent les pôles de l frction et l on démontre que f(x) s écrit de fçon unique sous l forme suivnte : fx) = Ex) + α x ) α + α x ) α + + x + B β x + C β x + p x + q ) β + B β x + C β x + p x + q ) β + + B x + C x + p x + q Les coefficients A... A α ; B... B β ; C... C β sont des nombres réels à déterminer. L fonction polynôme E(x) générlement obtenue pr division euclidienne de P pr Q est ppelée prtie entière de f ; remrquons que si d o P < d o Q lors E(x) =. 6

8 Exemple. x 8 + x 5 + 8x 4 3x + (x + x + )(x ) 3 (x + ) = E(x) + A 3 (x ) + A 3 (x ) + A x + A x + + Bx + C x + x + Exemple. x 4 3x 3 + 4x 5x + 6 x + x + = x 5x x x + x +. A (x ) + A α (x ) + + A α est l prtie polire reltive u pôle α et x les différents termes s ppellent éléments de première espèce. B x + C (x + p x + q ) + + B β x + C β est l prtie reltive u fcteur irréductible β x + p x + q (x + p x + q ) et les différents termes s ppellent éléments de seconde espèce. Pour clculer les coefficients, il existe différents procédés, dont l identifiction ; on peut ussi s ider des remrques suivntes : Cs d un pôle simple. f(x) = P (x) (x )R(x) R() =. est un pôle simple, s prtie polire ne comporte donc qu un seul terme f(x) = A + g(x) où g(x) n dmet ps comme pôle ; x A x Exemple. (x )P (x) A = lim (x )f(x) = lim = x x Q(x) = P () Q (). lim x P () Q(x) Q() x f(x) = x (x )(x + )(x + 3) = A x + x Solution. A = lim (x )f(x) = lim x x x B = lim x (x )(x + 3) = 4 3 (x + )(x + 3) = ; B x + + x C = lim x 3 (x )(x + ) = 9 4. C x + 3 6

9 Cs d un pôle multiple d ordre α. Le clcul du coefficient A α de l élément simple A α = lim x (x ) α f(x). A α (x ) α donne : Cs d une frction pire ou impire. Si f est pire resp. impire) l décomposition est elle ussi pire resp. impire) ; cette remrque permet de diminuer le nombre des coefficients à clculer. Exemple. f(x) = x4 + 4 x 3 (x + ) = A 3 x + A 3 x + A x + Bx + C x +. Solution. f est impire donc f(x) = f( x) qui conduit à A 3 x + A 3 x + A x + Bx + C x + = A 3 x A 3 x + A x Bx + C x + et l identifiction donne A = C =. Puis on clcule : A 3 = lim x x 3 f(x) = 4 et B = lim x i (x + )f(x) = i4 + 4 i 3 = 5. Pour déterminer A remrquons A = 4 et finlement, lim xf(x) = A + B =, d où x + f(x) = 4 x 3 4 x + 5x x +. Conclusion : pour intégrer une frction rtionnelle, on est donc rmené dns le cs générl à intégrer trois types de fonctions : une fonction polynôme qui s intégre imméditement et des éléments simples de première ou seconde espèce Intégrtion des éléments simples de première espèce (x ) = + Cte p p ( p)(x ) p = ln x + Cte p =. (x ) Intégrtion des éléments simples de seconde espèce à l ordre Ax + B Ce sont les intégrles I(x) = x + px + q vec p 4q <. L technique consiste à fire pprître u numérteur l dérivée x + p du polynome x + px + q : 6

10 I(x) = A x + p x + px + q + B Ap = A J(x) + B Ap K x + px + q On clcule J(x) pr chngement de vrible nturel en posnt u(x) = x + px + q ce qui donne du J(x) = u = ln x + px + q + Cte. On clcule K(x) = pr deux chngements de vrible consécutifs x + px + q près voir mis le polynome irréductible sous forme cnonique. On trouve finlement : K(x) = x + p/ ω Arc tn + Cte ω et I(x) = A ln(x + px + q) + B p x A ω Arc tn ω + p + Cte. ω Exemples d intégrles se rmennt à l intégrtion d une frction rtionnelle Exemples. o Soit à clculer I = sin x. Solution. On pose t = tn x. Alors sin x = t dt tn I = t = ln t + C = ln x + C. e x o + Soit à clculer I = e x. + t et dt = (+t ) Finlement, Solution. On pose t = e x d où dt = t et l on est rmené u clcul de l intégrle d une frction rtionnelle en t, à svoir : t + dt I = t t REMARQUE. On dispose mintennt de clcultrices grphiques qui possèdent une fonction permettnt le clcul, u moins numérique, d intégrles définies ; elles se trouvent : pour les Csio dns option, clc, (fct b) pour les Ti dns Mth, fnint(fct vr b) pour les Ti89-9 F3 (fct vr b) sns b pour les clculs de primitives. 63

11 7.6.5 Intégrles générlisées On étend l notion d intégrle à des fonctions non bornées sur ( b) ou à des intervlles [ [ ou ] ] à l ide des définitions suivntes : o Soit f continue sur [ b ε] non bornée en b. L nottion b f(x) représente, si elle existe l limite : lim ε b ε f(x). On dit que l intégrle est convergente et : b b ε f(x) = lim f(x) ε o Soit f continue sur l intervlle [ X]. L nottion + f(x) représente, si elle existe l limite : X lim X + f(x) On dit que l intégrle est convergente et : + f(x) = X lim X + f(x) Exemples : + o + x = lim Arc tn X = π/ X + o L intégrle e x / est convergente ; en effet puisque lim x + x e x / = il existe x tel que x > x x e x / < ou encore < e x / < x d où : X et en pssnt à l limite : + e x / < e x / = X x = X X lim e x / < X + 64

12 Exercices 7.. A l ide d un chngement de vrible pproprié, clculer les intégrles suivntes : ) d) g) j) x b) ln x e) x cos x h) x x4 + + x c) xe x f) sin 3 x i) Poser x = t) On suppose R +.) π x + x + x + cos x ( + sin x) 4 x (x + ) Clculer, pr prties, les intégrles suivntes : ) d) ln x b) x e) cos x x Arc sin x x c) e x cos(bx) f) x Arc tn x e x sin(bx) 7.3. Clculer les primitives des frctions rtionnelles suivntes : ) c) 3 x 3 b) x(x + ) x x 3 + x + 3x 5x 5 + 7x 3 + x 7 d) (x ) x 7.4. Primitives et intégrles extrites de sujets d exmens du SV5 : ) e cos x (cos x sin x) et xe x Arc sin x b) Pour quelles vleurs de x l fonction f : x est-elle définie et x continue? Pour ces vleurs, clculer les primitives de f en effectunt un chngement de vrible nturel. Après voir vérifié que cel est possible, clculer J = pr prties. c) Clculer les intégrles F (x) = (x ) cos x et J = π cos 3 x sin x. e sin(ln x) pr intégrtion 65

13 d) Clculer, b et c R tels que ( + t )(t ) = t + bt + c t + 3 dt puis l intégrle K = ( + t )(t ) e) Clculer les intégrles x e x3 et x e x puis u e u du. f) Clculer à l ide d une intégrtion pr prties : ue u du ; en déduire à l ide d un chngement de vrible convenble I = g) Déterminer et b réels tels que En déduire le clcul de l intégrle I = x 3 x 9 = x + x 3 x 9 Soit l intégrle J = (x + ) On effectue le chngement de vrible x = tn θ. Donner un intervlle pour θ tel que x. Montrer que J = h) Clculer K = π 4 i) Extrit T-8. Clculer b. Clculer les primitives t( + t )e +t dt. x cos θ dθ puis terminer le clcul de J. x ln x en intégrnt pr prties. π/ b x 3 x sin(x) Intégrtion pr prties.) x 4 e x5 /5 Chngement de vrible.) j). Utiliser un chngement de vrible pproprié pour clculer l intégrle : I = e x + x b. Utiliser une intégrtion pr prties pour clculer l intégrle : J = x ln x 7.5. Soit f : R R définie pr x e x sin x Déterminer l vleur moyenne de f sur l intervlle I = 3π 4 APPLICATIONS DU CALCUL INTÉGRAL 7.6. L quntité de chleur déggée dns une résistnce électrique R est proportionnelle u crré de l intensité du cournt qui l trverse à un instnt donné. Clculer l énergie déggée pendnt une période T pr un cournt lterntif sinusoidl. 66

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