Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

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1 Clcul intégrl. 15 décembre 2008

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3 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible Motivtions Cs des fonctions positives éfinitions de l intégrle de Riemnn Fonctions intégrbles Quelques propriétés Reltion de Chsles Linérité de l intégrle Positivité de l intégrle Intégrles et inéglités Formule de l moyenne Primitives et intégrles. Théorème fondmentl de l intégrtion éfinition Primitives d une fonction continue Primitives usuelles Trois techniques de clcul Intégrtion pr prties Chngement de vrible Primitives de frction rtionnelles Intégrles doubles Intégrtion sur les rectngles de R Motivtions éfinitions de l intégrle double u sens de Riemnn Quelques propriétés Intégrtion des fonctions continues (pr morceux). Liens vec les intégrles itérées et Théorème de Fubini Intégrtion sur les utres sous-ensembles de R éfinitions Propriétés Théorème de Fubini. omines de Fubini Chngement de vribles Exemples de chngement de vribles clssiques

4 4 TABLE ES MATIÈRES Chngement de vribles ffines

5 Première prtie Intégrles multiples 5

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7 Chpitre 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 1.1 Motivtions. Coment mesurer l ire d une surfce quelconque du pln? On sit clculer les ires délimitées pr des figures géométriques simples : rectngles, tringles. Pr suite, on sit ussi déterminer l ires des surfce qu il est possible de découper en un certin nombre de rectngles (et/ou de tringles, comme un trpèze pr exemple ). Le lecteur dmettr sns difficulté les règles suivntes, qu il utilise quotidiennement (...) pour clculer des ires : Règle 0 L ire d un point ou d un segment est nulle. Règle 1 L ire d un rectngle est A = L.l, où L et l sont les longueurs de 2 côtés consécutifs du rectngle. Règle 2 Si S 1 et S 2 sont deux surfces dont on peut mesurer l ire telles que S 1 S 2 lors A(S 1 ) 2 A(S 2 ). Règle 3 Si S 1 et S 2 sont deux surfces disjointes dont on peut mesurer l ire, on peut églement mesurer l ire de leur reunion S 1 S2. On lors : A(S 1 S2 ) = A(S 1 ) + A(S 2 ). Exercice Clculer l ire d un trpèze connissnt s huteur et les longueurs de ses deux côtés qui sont prllèles. Exercice Si S 1 et S 2 sont deux surfces dont on peut mesurer l ire, et si on peut mesurer celle de leur intersection on : A(S 1 S2 ) = A(S 1 ) + A(S 2 ) A(S 1 S 2 ) Cs des fonctions positives Nous nous intéressons ici à des surfces prticulières, dont l un des bords est l courbe représenttive d une fonction f : [, b] R que l on supposer dns un premier temps à vleurs positives sur [, b]. On veut mesurer l ire situé sous le grphe 7

8 8CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRALE ÉFINIE ES FONCTIONS UNE VARIABLE. de f c est à dire l ire de l surfce S = {(x, y) R 2, x b, 0 y f(x)} (cf. figure ci-dessous). L idée est de découper l surfce S en un certin nombre n de petits rectngles, on obtient une pproximtion de l ire de S en fisnt l somme des ires de ces rectngles. Il est clir que plus le nombre n de rectngles est grnd, plus ils sont petits plus l pproximtion est précise.il y beucoup de mnière de fire un tel découpge de S en rectngles, nous llons en décrire une prticulière. 1.2 éfinitions de l intégrle de Riemnn. Soit n un entier strictement positif. On considère une subdivision de l intervlle [, b] et n sous-intervlles de même longueur b n. On pose donc x j = + j b n, j = 0... n, (en prticulier x 0 = et x n = b). On recherche sur le j ième intervlle l borne supérieure M j et l borne inférieure m j de l fonction f. On note et n 1 I n = (x j+1 x j )m j j=0 n 1 I+ n = (x j+1 x j )M j j=0 Ces sommes sont ppelées sommes de rboux. Lorsque f est à vleurs positives et que l on peut mesurer l ire A(S) de l surfce S, on doit voir I n A(S) I + En effet le réel (x j+1 x j )m j est pr exemple l ire du rectngle dont l un des côtés est le segment [x j, x j+1 ] et dont l huteur est m j. Il est clir que l encdrement ci-dessus est d utnt plus précis que le nombre n de rectngles est grnd. Voici donc l définition nturelle de l ire de cette surfce. On utilise les nottions introduites jusque là : éfinition Soit f une fonction bornée sur un intervlle [, b]. On dit que f est intégrble (u sens de Riemnn) sur [, b] lorsque les suites I n et I n + convergent vers une même limite I. Ce nombre est ppelé l intégrle de l fonction f sur l intervlle [, b]. On le note I = f(t)dt.

9 1.2. ÉFINITIONS E L INTÉGRALE E RIEMANN. 9 On l propriété :, si de plus f est à vleurs positives, lors l ire de l surfce S et égle à l intégrle de l fonction f sur l intervlle [, b]. Exemple Soit f l fonction constnte égle à k 0 sur l intervlle [, b]. L surfce S = {(x, y) R 2, x b, 0 y f(x)} n est utre qu un rectngle dont deux côtés consécutifs ont pour longueur b et k. Cette fonction est donc intégrble sur [, b] et l on f(t)dt = k(b ) Exemple On considère mintennt l fonction f : x x sur l intervlle [0, 1]. On pose x 0 = 0, x 1 = 1/n, x 2 = 2/n,... x k = k/n,..., x n = 1. Puisque f est croissnte, on m j = sup{f(x), x [x j, x j+1 ]} = f(x j ) = x j = j/n et M j = sup{f(x), x [x j, x j+1 ]} = f(x j+1 ) = (j + 1)/n. On donc n 1 σ n = (x j+1 x j )m j = j=0 n 1 et Σ n = (x j+1 x j )M j = j=0 n 1 j=0 n 1 j=0 1 j n n 1 j + 1 n n Le lecteur montrer fcilement que σ n = n(n 1) 2n 2 est intégrble sur cet intervlle vec et que σ n = n(n+1) 2n, et donc que f f(t)dt = 1 2. Bien entendu, ce résultt ne doit ps vous surprendre : même si on l clculé de mnière plutôt compliquée, il s git de déterminer l ire d un tringle! Exercice Il est encore plus musnt de clculer insi l ire de l surfce délimitée pr l prbole x x 2, pour x [ 1, 1] pr exemple. Le lecteur pourr insi retrouver le résultt qu énoncé Archimède : cette ire vut 4/3 de l ire du tringle inscrit. Il fut noter que l méthode d Archimède consiste à découper l surfce en tringles, plutôt qu en rectngles, mis l idée de Riemnn est l même que celle d Archimède! Fonctions intégrbles On voit isément que les fonctions en esclier sont intégrbles : on peut en effet choisir l subdivision de telle sorte que les sommes de rboux soient constntes, égles à l somme des ires des rectngles dessinés pr l courbe. L propostion suivnte, que nous dmettrons, donne une utre clsse bien plus importnte de fonctions intégrbles : Proposition Soit f une fonction continue sur l intervlle I = [, b]. Alors f est intégrble sur [, b]. Voici enfin une clsse plus générle de fonctions intégrbles qui regroupe les deux clsses précédentes :

10 10CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRALE ÉFINIE ES FONCTIONS UNE VARIABLE. éfinition Un fonction f est dite continue pr morceux sur l intervlle [, b] s il existe une subdivision finie { = x 0, x 1,..., x n = b} de cet intervlle, telle que f soit continue sur chque sous-intervlle ouvert ]x j, x j + 1[ et dmette une limite à guche et à droite en chque x j pour tout j {0,..., n 1} et tout j {1,..., n} respectivement. Proposition Toute fonction f continue pr morceux sur [, b] y est intégrble. Son intégrle sur [, b] est lors égle à l somme des intégrles de f sur chque sousintervlle oû elle est continue. 1.3 Quelques propriétés Soit f et g deux fonctions intégrbles sur l intervlle [, b] et λ un réel. Les propriétés qui suivent s obtiennent fcilement à prtir des xiomes et de l définition précédentes pour les fonctions à vleurs positives Reltion de Chsles Soit c [, b], on f(t)dt + c b f(t)dt = c f(t)dt Cette dernière églité porte le nom de reltion de Chsles pour les intégrles. Elles permettent u pssge de définir f(t)dt pour < b. On doit en effet voir b b f(t)dt = ce que l on pourr considérer comme une définition. f(t)dt Linérité de l intégrle Proposition L fonctions f + λg est intégrble sur [, b] et on (f + λg)(t)dt = f(t)dt + λ g(t)dt Positivité de l intégrle Intégrles et inéglités Proposition Si pour tout x [, b] on f(x) g(x), lors : f(t)dt g(t)dt

11 1.4. FORMULE E LA MOYENNE 11 Pr exemple si m et M sont respectivement un minornt et un mjornt de f sur l intervlle [, b], on m(b ) 1.4 Formule de l moyenne f(t)dt M(b ) Soit f une fonction intégrble sur l intervlle [, b], lors il existe un réel c ], b[ tel que f(c) = 1 f(t)dt b 1.5 Primitives et intégrles. Théorème fondmentl de l intégrtion. Nous donnons dns ce prgrphe une interpréttion plus clcultoire de l notion d intégrle. Le lecteur doit voir à l esprit que c est essentiellement cet spect des choses qui lui ser utile éfinition éfinition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R. On dit que l fonction dérivble F est une primitive de f sur I si, pour tout x I on F (x) = f(x). On note F = f. Si une fonction dmet une primitive sur un intervlle, elle en dmet plusieurs. L proposition suivnte montre cependnt que ces primitives diffèrent entre elles d une constnte. Proposition Si F et G sont deux primitives d une même fonction f sur un intervlle I lors il existe un réel C tel que pour tout x de I on it F (x) = G(x) + C. Pr exemple l fonction x ln x est une primitive sur ]0, + [ de l fonction x 1/x, de même que l fonction x ln(3x) puisque ln(3x) = ln x + ln3. Pr contre x ln x est l seule primitive de x 1/x ]0, + [ qui s nnule en x = Primitives d une fonction continue Proposition Soit f une fonction continue sur un intervlle I = [, b]. On définit sur I l fonction A : x x f(t)dt. Cette fonction A est continue, dérivble sur I et c est une primitive de f sur cet intervlle ; c est l seule qui s nnule en. L formule de l moyenne fournit un moyen très simple de clcul de l intégrle d une fonction lorsqu on en connit une primitive. On en effet l

12 12CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRALE ÉFINIE ES FONCTIONS UNE VARIABLE. Proposition Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Si F est une primitive quelconque de l f sur [, b], lors on f(t)dt = F (b) F () =: [F ] b émonstrtion. L fonction G : x x f(t)dt est une primitive de f sur [, b] ; les fonctions F et G diffèrent donc d une constnte C. Or G() = F () + C = 0 donc C = F () et G(b) = F (b) + C = F (b) F (). On utilise les nottions désigner l ensemble des primitives de l fonction f. f(x)dx ou x f(t)dt (Attention : ps x f(x)dx) pour Primitives usuelles. Voici une tble des primitives qu il fut connître. L intervlle où ces primitives existent n est ps précisé, c est u lecteur d y réfléchir. On donne toutes les primitives de l fonction : dns les formules ci-dessous C désigne un nombre réel quelconque. f F = f x α, pour α 1 x α+1 α+1 + C 1 x+ ln x + + C sin x cos x + C cos x sin x + C e αx eαx α + C, pour α x 2 rcsin x + C 1 1+x 2 rctn x + C On en déduit pr théorème de composition des dérivées, le tbleu suivnt :

13 1.6. TROIS TECHNIQUES E CALCUL 13 f F = f U U α, pour α 1 U α+1 α+1 + C U U ln U + C U sin U cos U + C U cos U sin U + C U e U e U + C U 1 U 2 rcsin U + C U 1+U 2 rctn U + C 1.6 Trois techniques de clcul Intégrtion pr prties Il rrive que l on it à intégrer un produit de fonctions. Bien entendu le lecteur sit que le produit de primitives n est ps une primitive du produit. Plus précisément, pour deux fonctions u et v dérivbles, on (u.v) (x) = u (x).v(x) + u(x).v (x) On en déduit l formule d intégrtion pr prties : Proposition Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [, b]. On u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)] b u(x)v (x)dx Cette formule est évidement très utile lorsque l une des deux intégrles est beucoup plus simple à clculer que l utre. Soit pr exemple I = π/2 0 x cos xdx

14 14CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRALE ÉFINIE ES FONCTIONS UNE VARIABLE. On pose u(x) = x et v (x) = cos x. On lors u (x) = 1 et l on peut prendre v(x) = sin x (un utre choix de primitive est tout à fit possible mis ne chnge ps le résultt du clcul). On obtient donc I = [x sin x] π/2 0 π/2 0 sin xdx = π 2 [ cos x]π/2 0 = π 2 1 Cette formule s ppplique ux intégrles des fonctions de l forme P (x) sin x, P (x) cos x, P (x)e x, vec P (x) un polynome Chngement de vrible L proposition qui suit est connue sous le nom de formule du chngement de vrible. Le lecteur doit noter que l églité ci-dessous peut être lue dns les deux sens, et qu elle sert utnt dns l un que dns l utre. Proposition Soit f une fonction continue sur l intervlle [, b]. Soit ussi ui une fonction continument dérivble de [α, β] dns [, b] vec u(α) = et u(β) = b). On f(x)dx = β α f(u(t))u (t)dt Cette formule très utile est fcile à prouver : si F est une primitive de f sur [, b], on, pour tout t de [α, β] et il suffit d intégrer : β α (F u) (t) = F (u(t)).u (t) = f(u(t)).u (t), f(u(t))u (t)dt = [F u(t)] β α = F (u(β)) F (u(α)) = F (b) F () ce qui prouve l proposition. Avec les nottions différentielles que l on déjà rencontrée, si x = u(t), on peut écrire dx dt = du dt = u (t), ou, en... du = u (t)dt. On peut donner un sens mthémtique à ce petit clcul, mis pour l instnt on doit se contenter d y voir un moyen de retenir cette formule, voir de l mettre en prtique. En effet, si l on note u l vrible notée x dns l formule ci-dessus (ce qui ne chnge rien), on lit f(u)du = β α f(u(t))u (t)dt. Voici des exemples oû l on pplique l formule du chngement de vrible dns chcun des deux sens.

15 1.6. TROIS TECHNIQUES E CALCUL 15 On veut d bord clculer I = 1 0 f(u)du = u2 du On v simplifier grndement le clcul en posnt u(t) = sin t. On du = u (t)dt = cos tdt et u(α) = 0 pour α = 0, u(β) = 1 pour β = π 2. L formule ci-dessus lue de guche à droite donne lors I = π/2 0 1 sin 2 t cos tdt. Or sur l intervlle [0, π/2], 1 sin 2 t = cos t, donc I = π 2 0 cos 2 tdt = 1 2 π 2 0 (1 + cos 2t)dt = 1 2 [ t + ] π/2 sin 2t = π On vient de clculer l surfce d un qurt de disque de ryon 1, donné pr l éqution y 2 = 1 x 2, vec x [0, 1]. Pour un disque de ryon R, on trouve de cette mnière l vleur de son ire : πr 2. Clculons mintennt l intégrle J = e 1 (ln(t)) 2 dt t On reconnit fcilement dns l fonction à intégrer une expression de l forme f(u(t))u (t) vec u(t) = ln t (et donc u (t) = 1/t) et f(x) = x 2. On u(1) = 0, u(e) = 1 et, en lisnt l formule de chngement de vrible de droite à guche, J = 1 0 u 2 du = Primitives de frction rtionnelles Lorsque f est une frction rtionnelle, il existe un procédé dit de décomposition en éléments simples qui permet de trouver ses primitives. Rppelons d bord que ces primitives n existent que sur chque intervlle inclus dns l ensemble de définition de f. On donne mintennt une idée de ce procédé pour les frctions rtionnelles du type Il fut distinguer trois cs : f(x) = αx + β x 2 + bx + c Cs 1 : le dénominteur dmet deux rcines réelles distinctes x 1 et x 2. ns ce cs on peut écrire f(x) = A + B, x x 1 x x 2 où A et B sont deux réels.

16 16CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRALE ÉFINIE ES FONCTIONS UNE VARIABLE. Cs 2 : le dénominteur dmet une rcine double x 0. ns ce cs il existe A et B dns R tels que A f(x) = (x x 0 ) 2 + B x x 0 Cs 3 : le dénominteur ne s nnule ps : on écrit f(x) = A 2x + b x 2 + bx + c + B 1 (x + b 2 )2 + 2

17 Chpitre 2 Intégrles doubles. 2.1 Intégrtion sur les rectngles de R Motivtions. e mnière nlogue u cs des fonctions d une vrible, nous nous intéressons ici u clcul de certins volumes : volume situé sous le grphe d une fonction f : [, b] [c, d] R que l on supposer dns un premier temps à vleurs positives. En fit, on veut mesurer le volume de l prtie de R 3 V = {(x, y, z) R 3, x b, c y d, 0 z f(x, y)} (cf. figure ci-dessous). L idée est l même : découper V en n petits prllélépipèdes rectngles. On obtient une pproximtion du volume de V en fisnt l somme des volumes de ces prllélépipèdes rectngles éfinitions de l intégrle double u sens de Riemnn. Soit f une fonction de deux vribles définie et bornée sur un rectngle R = [, b] [c, d] de R 2. Soient n et m deux entiers strictement positifs. On considère : - une subdivision de l intervlle [, b] et n sous-intervlles de même longueur b n, on écrit : x i = + i b n, i = 0... n, I i = [x i 1, x i ], i = 1... n; - une subdivision de l intervlle [c, d] et m sous-intervlles de même longueur d c m, on écrit : y j = c + j d c m, j = 0... m, J j = [y j 1, y j ], j = 1... m. On en déduit une subdivision du rectngle R = [, b] [c, d] en nm sous-rectngles de même ire : R i,j := I i J j. 17

18 18 CHAPITRE 2. INTÉGRALES OUBLES. On recherche sur le R i,j borne supérieure M i,j et l borne inférieure m i,j de l fonction f. Pout tout couple (i, j), on considère les deux prllélépipèdes rectngles de bse R i,j : - P + i,j de huteur M i,j et - P i,j de huteur m i,j. On note I n + = i = 1,, n j = 1,, m vol(p + i,j ) = b d c n m i = 1,, n j = 1,, m M i,j et I n = i = 1,, n j = 1,, m vol(p i,j )) = b d c n m i = 1,, n j = 1,, m m i,j. Ces sommes sont ppelées sommes de rboux. Lorsque f est à vleurs positives et que l on peut mesurer le volume de V, on doit voir : I n vol(v) I n + éfinition Soit f une fonction bornée sur le rectngle R = [, b] [c, d]. On dit que f est intégrble (u sens de Riemnn) sur R lorsque les suites I n et I+ n convergent vers une même limite I. Ce nombre est ppelé l intégrle de l fonction f sur le rectngle R. On le note I = f(x, y)dxdy. Si de plus f est à vleurs positives, lors on l propriété : le volume de V égle l intégrle de l fonction f sur R Quelques propriétés R Soit f et g deux fonctions intégrbles sur le rectngle R et λ un réel. Les propriétés suivntes s obtiennent à prtir de l définition précédente. Linérité de l intégrle Proposition L fonction f + λg est intégrble sur R et on (f + λg)(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + λ g(x, y)dxdy R R R

19 2.1. INTÉGRATION SUR LES RECTANGLES E R 2 19 Positivité de l intégrle Intégrles et inéglités f 0 = R f(x, y)dxdy 0 Proposition Si pour tout (x, y) R on f(x, y) g(x, y), lors : f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy R Pr exemple si m et M sont respectivement un minornt et un mjornt de f sur R, on maire(r) = m(b )(d c) f(x, y)dxdy M(b )(d c) Formule de l moyenne Soit f une fonction intégrble sur R, lors il existe c R tel que 1 f(c) = f(x, y)dxdy =: l moyenne de f sur R. Aire(R) R Intégrtion des fonctions continues (pr morceux). Liens vec les intégrles itérées et Théorème de Fubini. Nous donnons dns ce prgrphe une interpréttion plus clcultoire de l notion d intégrle. Le lecteur doit voir à l esprit que c est essentiellement cet spect des choses qui lui ser utile. Soit f une fonction continue (pr morceux) sur un rectngle R = [, b] [c, d]. On définit : { [, b] R - pour tout y [c, d], l fonction f y : qui est continue pr x f(x, y) morceux sur [, b], donc intégrble sur [, b] et son intégrle est f y(x)dx =: F (y). e plus l ppliction y F (y) est intégrble sur [c, d] (d près les rppels vus dns le chpitre précédent) ; { [c, d] R - pour tout x [, b], l fonction f x : qui est continue pr y f(x, y) morceux sur [c, d] donc intégrble sur [c, d] et son intégrle est d c f x(y)dy =: G(x). e plus l ppliction x G(x) est intégrble sur [, b]. Theorème Soit f une fonction continue (pr morceux) sur un rectngle R = [, b] [c, d] lors : R R

20 20 CHAPITRE 2. INTÉGRALES OUBLES. 1. f est intégrble sur R et 2. f(x, y)dxdy = d ( ) b f y (x)dx dy = R c c ( ) d f x (y)dy dx Exemple Clculer R R 2xy 3y2 dxdy, où R = [0, 1] [1, 2]. Clculer le volume délimité pr le prboloïde d éqution x 2 + 2y 2 + z = 16 et les plns z = 0, x = 0, x = 2, y = 0, y = Intégrtion sur les utres sous-ensembles de R 2 Soit un sous-ensemble de R 2 contenu dns un rectngle R, utrement dit est borné (pr exemple est un disque, une courbe fermée...) éfinitions éfinition On ppelle (fonction) indictrice de l ppliction notée 1I : R 2 R définie pr : 1I (x, y) = 1 si (x, y) et 1I (x, y) = 0 si (x, y) / Remrque Pour tous les sous-ensembles de R 2 utres que R 2 et l ensemble vide, l fonction indictrice n est ps une fonction continue. éfinition On dit qu une fonction f : R 2 R définie sur (et étendue si besoin est pr l fonction nulle sur R) est intégrble sur si l fonction g(x, y) := 1I (x, y)f(x, y) est intégrble sur R u sens du prgrphe précédent et on pose : f(x, y)dxdy = R 1I (x, y)f(x, y)dxdy Propriétés. Soit f et g deux fonctions intégrbles sur le domine et λ un réel. Linérité de l intégrle. Proposition L fonctions f + λg est intégrble sur et on (f + λg)(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + λ g(x, y)dxdy

21 2.2. INTÉGRATION SUR LES AUTRES SOUS-ENSEMBLES E R 2 21 Positivité de l intégrle Intégrles et inéglités. f 0 = f(x, y)dxdy 0 Si pour tout (x, y) on f(x, y) g(x, y), lors : f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy Intégrle et ire. Formule de l moyenne. Aire() = 1dxdy Soit f une fonction intégrble sur, lors il existe c tel que 1 f(c) = f(x, y)dxdy =: l moyenne de f sur R. Aire() Comme conséquence, si m et M sont respectivement un minornt et un mjornt de f sur R, lors on maire() f(x, y)dxdy MAire() Ensembles d ire nulle. e l formule précédente, on déduit que si est un sous-ensemble de R 2 de ire nulle et f est une fonction continue (pr morceux) u voisinge de lors f(x, y)dxdy = 0 Un sous-ensemble de R 2 formé d un nombre fini de morceux de grphes de fonctions continues (y = h(x) ou x = k(y)) est d ire nulle. Pr exemple, un ensemble fini est d ire nulle, un cercle est d ire nulle. Les sous-ensembles de R 2 d ire nulle sont prfois ppelés ensembles négligebles. Additivité. f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy

22 22 CHAPITRE 2. INTÉGRALES OUBLES Théorème de Fubini. omines de Fubini. Theorème Soit un sous-ensemble de R 2 de l forme { } = {(x, y) R 2 x b : h 1 (x) y h 2 (x) où h 1 et h 2 sont des fonctions continues sur l intervlle [, b]. 2. Soit f une fonction continue (pr morceux) sur un rectngle contennt. Alors f est intégrble sur et éfinition. Remrque f(x, y)dxdy = ( ) h2(x) f(x, y)dy dx h 1(x) Un domine comme dns l hypothèse 2 du théorème précédent est ppelé domine de Fubini. L mjeure difficulté dns les clculs d intégrles multiples consiste à écrire un domine donné sous forme implicite ( c est à dire sous l forme {(x, y) R 2 : g(x, y) = 0}, pr exemple un disque ) comme une réunion finie de domines de Fubini. Exemples. Exemple Clculer (2xy + x)dxdy où est le demi-disque unité supérieur de R 2. Solution. On = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 et y 0}, écrivons comme un domine de Fubini. Pour celà nous devons : 1. déterminer les vritions de x (l vleur minimle m et l vleur mximle M de x sur ) on écrit lors m l eqx M ; 2. x étnt fixé, déterminer les vritions de y en fonction de cette vleurs de x : on écrit g(x) y h(x). Soit (x, y), on : x 2 + y 2 1 y x 2 y 1 + x 2 cr y 0. e plus, pour que l fonction 1 + x 2 soit bien définie j il fut et il suffit que x ff [ 1, 1]. Pr conséquent, le domine s écrit = {(x, y) R 2 1 x 1 : 0 y 1 + x 2 }, c est un domine de Fubini. On donc, pr le théorème de Fubini : Z Z 1 Z! 1+x 2 (2xy + x)dxdy = (2xy + x)dy dx = 1 0 Z 1 Z = ˆxy 2 + xy 1+x 2 1 dx = (x(1 + x 2 )+x p» x 0 2 )dx = x x3 + 1 « (1 + x2 ) Cr 2x 1 + x 2 = U U 1 2 pour primitive = U = 2 3 U 3 2. }

23 2.3. CHANGEMENT E VARIABLES Chngement de vribles Rppels en une vrible. Soit f une fonction continue sur l intervlle [, b] et une bijection dérivble { [α = φ φ : 1 (), β = φ 1 (b)] [, b] t x(t) Alors on : Theorème Hypothèses. f(x)dx = φ 1 (b) φ 1 () f(φ(t))φ (t)dt 1. f est une fonction continue sur un domine borné de R 2, 2. φ est un C 1 -difféomorphisme de dns : { φ : (u, v) (x(u, v), y(u, v)) Conclusion. On : f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) JACφ(u, v) dudv Exemples de chngement de vribles clssiques Chngement de vribles ffines. Proposition. éfinition L ppliction ffine ( ) φ : x(u, v) = (u, v) 1 u + b 1 v + c 1 y(u, v) = 2 u + b 2 v + c 2 où i, b i, c i sont des constntes réelles telles que 1 b 1 2 b 2 0 est un C 1 -difféomorphisme de dns = φ( ) dont le déterminnt jcobien est exctement 1 b 1 2 b 2. Le pssge en coordonnées polires. Proposition. éfinition L ppliction ]0, R] ]0, 2π] ( (0, R) \ {(0, 0)} ) φ : x(r, θ) = r cos θ (r, θ) y(r, θ) = r sin θ

24 24 CHAPITRE 2. INTÉGRALES OUBLES. est un C 1 -difféomorphisme dont le déterminnt jcobien est r. e plus, si f est une fonction continue sur (0, R) on f(x, y)dxdy = f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ ( (0,R) [0,R] [0,2π] ) ( = [0,2π] f(r cos θ, r sin θ)rdr [0,R] dθ = [0,R] r f(r cos θ, r sin θ)dθ [0,2π] Cr les ensembles {0} [0, 2π], [0, R] {0} et {(0, 0)} sont d ires nulles. Exemples. Exemple Clculer l ire de : le disque de centre 0 et de ryon R. Solution : on Z Z Z Aire() = 1dxdy = r dθ [0,R] [0,2π]! Z dr = 2πrdr = πr 2 [0,R] ) dr

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