CONTRIBUTION No 33. H. GEMAN, R PORTAIT, T. d'archimbaud. France PAR / BY

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1 CONTRIBUTION No 33 PR / BY H. GEMN, R PORTIT, T. d'rchimbud France

2 3 12 EVLUTION ET RISQUE DE TUX DES INSTRUMENTS TUX VRIBLE OU REVISBLE OU REVISBLE : UNE NLYSE PR RBITRGE THOMS D'RCHIMBUD Directeur des march& francs au CMt du Nord HELYElTE GEMN Professeur associc & Finance h I'ESSEC Directeur & Caisse des Bp&s - Recherche Mveloppement ROLND FQRTlT Professeur de Finance h I'ESSEC BSTRCT The paper addresses the issues of valuation +nd risk analysis of the different types of floating-rates securities. In its most general covenants, a floater is defined as where a belongs to the interval (o,l), I is an index expressing either the carrent level of a market interest rate or a time-average value of market interet rates, k is a lag and a markup. The paper raises and attempts to answer the following questions : - What is the market value of such a floater? - What relation between pa and a prevails in an arbitragefree economy? - What is the sensitivity of a floater to market interest rates and markups? distinction will be made between two kinds of i n s ~ t s available on the French market, namely the whose coupon is predetermined (the most cammon in the US. market) and those whose coupon is postdetermined (fresuenfly enanmered in the French market)

3 EVLUTION ET RISQUE DE TUX DES INS'IRUMENTS TUX VWm W 313 -EU : UNE NLYSE PR RBITRCE INTRODUCTION Nous mxls intkessons au problkme de 1'6valuation et de la mesure du risque d'insauments a taux variable Qnt le coupon, pay6 en t, est de la forme : avec : a Coeficient multiplicatif E (0.1) I(t-k) un indice ddfini cornme un taux de march6 de we moyenne arithmdtique de taux sur un intervalle se terminant en t-k k un pardtre de retard une marge La mdlhode vaditio~elle consiste?i figer la conditions de march6 qui pr6valent; ce faisant on se ramhe au cas bien connu des instruments?i taux fure mais on hacue mpetement ce qui fait la sp&ificid des instruments il taux variable. Nous adoptons une aproche plus gdnerale en proddant par arbitrage. Nous montrons ainsi que tout instrument taux variable dont le coupon est de la forme d(t-k) + P peut Cut dupliqud au moyen d'instruments dont la valeur est amnue (&mcoupons, FR...). La valeur de l'instrument k taux variable, et la mesure de son risque, s'en dckluisent. On montre ainsi que la marge j3 d'un instrument a'taux variable "standard" l'hission (a = 1) est uniquernent d6fmie par la structure des taux. Nous explicitons donc la relation entre structure des taux et marge. Nous travaillolls pour cela avec une gamme de taux do&. Cela suppose des conditions de n6gociabiitt5, de signature et des caract6ristiqua contractuelles, homog&nes, entre tous les instruments considms. Dans le cas contraire (ex. Swap non ndgociable par opposition il obligation ti taux variable - rdgociable et plus sqre) il faut introduire des gammes de taux dbqentes avec des spreads entre gamma. Cette approche permet de montrer que la marge d'un instrument ti taux variable quelconque est fonction de a et de la structure des taux. Elle permet en outre, & situex les instruments taux variable dam l'ensemble &s instruments de marcjt inconditionnels (tau fixes, Swaps...). Des wnsiddrations sur le wilt & la liquidid bamahe s'en Muisent. SECTION 1 - DEFINITION Nous nous plaps l'instant t et nous nous inthssans aux titres in fine d'&m t + n donnant droit au paiernent rdgulier d'un coups dhmird par la relatian

4 314 D'RCHIMBUD GEMN PORTIT oil T &note la date de disuibution du prochain coupon (t<z<t + l).et (n + t) coupqns smt encore dgs. Cs est le coupon relatif - 1,s) et pay6 en s, I est un indice de r6fcrence. la p6riodc est d6finie m e l'intervalle s6parant &w coupons sudssifs. a et p sont respectivement un cocficient multiplicatif' 5 1 et une marge (dite faciale) fix& lors de 1'6rnission de tiw. Sur le march6 primaire, le pix d'drnission est contraint d'etre au pair et la marge P sur ces titres d6pend des conditions du march6 en t et des caracgristiques a, n, k, et I. Lorsque nous ponerons une attention particulikre a la relation liant j3 et a sur le march6 primaire et que les caractdristiques du titre (n, k, I) ne donnent lieu aucune ambiguitk, nous &xirolls cette "marge de march&' mat) avec dwda 4 Nous distinguerons sur le march6 primaire les titres pour lesquels a = 1 que nous qualifierons de "standard" et nous poserons P(l,t) = P(t). lors, un titre venant de distribuer un coupon et dont la marge est Kt) est au pair. d) est un indice calcul6 sur la base d'une moyenne arithmetique de taux de march6 sur une durk d. On put repn5senter cet indice sous la forme : Lorsque d est nul, l'indicc, not6 I(T - k) est dit "instanws. Dans ce cas : k est la dur& (mesunk en nombre de p6rides) &parant la date (z - k) & fmtion du coupon de la date de paiement du coupon (2). Le coupon pay6 en T &ant relatif b - 1, T), il y aura lieu de distinguer le cas oh k2 1 (taux "r6visable" : la valeur du coupon est connue au moment oil il commence il courir) du cas oil k<l (taux "variable": la valeur du coupon n'est pas encore fix& lasqu'il commence courir). Selon les valeurs de t-k-t (distance ~6parant la date & df&ence du pmhain coupon t-k et I'instant courant t) 0 ou 1 coupon est pr&ctermin& dans le cas du taux variable, 1 ou 2 sont pdddterrnin6 dam le cas du taux r6virsable nnexe : Nombre & coupon pr&dtermin&. Nous noterons 9 l'instant auquel commence (ou a cornmend) courir le premier coupon C ;r^+ 1 susceptible d'etre affect6 par une variation future des taux :

5 EVLUTlON FT R1SQUE DE TUX DES INSTRUMENTS TUX VRIBLE OU 315 RWISBLE : UNE NLYSE PR RB~GE Reprenons la distinction entre taux variable et taux rbvisable. a) k<l (taux variable) : deux conligurations Mbrentes sont h envisager,: k 7- (i) t a - k I I 1 & 1 T -k T 4 Tous les coupons a venir sont susceptibles de dvision (C a 2-1) k (ii) t2 T - k -, I I w r!l 1 % L premier Mupon C, est T -1 ; c'est le cas OII on est trks proche du coupon venir) b) k (taux rbvisablc) deux configurations sont encore a envisager : k (i)~+l -k>t I I I I b r- k I T f+l.k Seul le prochain coupon C, est prdddlermint (3 =t ) k +\ (ii)r+l-k<t, a f+l.k t T r+l Les deux premiers coupons. C, et C,+l * sont pru6terrninq (?n + 1) SECTION 2 : NLYSE CLSSIQUE PR CRISTLLISTION LC principe de base de l'analyse classique des titres h coupons variables est de figer les conditions de taux prbvalant sur le march6 en les "cristallisant". Ceci permet de deli& mute la squence des coupons futurs d'un instrument taux variable et don: &employer les formules classiques du calcul actuariel. On peut ainsi calculer pour chaque titre un taux de rendement et, en le cornparant au niveau de l'indice cristallis6, d bfi par Merence une "marque actuerielle cristallis6e"; la comparaison des prix de diffhnts instruments taux variables est alors rendue possible. On considkrera un titre taux variable ou dvisable, r6f6red sur l'index I, h is en 0, de a = 1, de marge faciale Po et de durh n l'instant t (n + t h l'origine); t &signera l'instam courant, It la valeur de l'index en t, Pt la valeur de la marge faciale pdvalant sur le march6 des times de dur6cs n indexds sur I. On appellera Wt la valeur d'un tiue h revenus fixes, in fine, de d& n qui disrribue un coupon, dont le taux nominal est It + po (It est "cristallisp) alors que le taux & rende- ment de marche sur ce type de titres est It + &

6 316 D'RCHIMBUD GEMN PORT~T Quisque le terme entre crochets repdsente la valeur d'un titre en pair) La variation & l'indice du titre s'krit donc La variation h la marge s'krit : (3) irnplique que la dkviation de la valeur d'un titre & taux variable par rapport a la parid est proportionnelle & I'kart &-J - Pt entre la rnarge faciale et la marge faciale & pratiqute & l'instant courant sur le march6 Outre l'effet habitue1 du coupon (non analyst! ici), seul cct Ccart peut expliquer une deviation de la valeur & march6 par ram a la paritk. (4) implique que la valeur du titre est sensible & une variation de I'indice de dfcrence si &-J # Pt* c'est-&-dire si le titre n'est pas au pair. Ceue sensibiiitk est en pratique frb faible (quelques millit?mes au maximum (1)). (5) implique que la variation la marge put &be approxhtk par le tern n 1 - Z J=1 ('+It+f',) dl Critique de la methode traditionnelle La m6thode traditiomelle de cristallisation procme en 6vacuant le caracthe alhtoire des instruments consid&&. J puisque le tennc ds faible -- dw peut em neglige Ce faisant, elle pemret de calculer un taux de rendement acturiel (cans paribus...) et de &fir une marge acturielle. Cette demiere a le m&te de permetoe la cornparaison entre les instruments relativement proches et d'indexation identique.mais, outre les limits bien connues d'une appmhe en taux de rendement acw, on peut s'interroger sur la rigueur de ce calcul qui suppose un envinxlnefnent catah dm que les instruments h taux variables n'auraient pas licu d'gtre dam un tel ccnkxte. (1) Pour un &can 4 - & = 0-38 et pour un time de 10 ans 6 d l, ceue mribilitt est & I'ordre & 0.01.

7 EVLUTION ET RISQUE DE TUX DES INSTRUMENTS TUX VRIBL~ ou 317 l&visbij3 : UNE NLXSE PR RBllRGE SECTION 3 - EVLUTION PR RBITRGE Considdrations un indice I (par exernple TM) et une fmde d'indexatioh a 14 J3 (par exemple 0,8 TM + 2%) l'instant courant t, la marge additive P qui pdvaut sur le march6 primaire pour des titres au pair depend & a, & I et de la durk n & I'instrument ; on l'hira (4 a, n) ou plus simplement P (t, a) quand on ne considkre qu'un seul indice et une durk n. On p r a en outre p (t) = P (t, 1) p (I)&signe donc la marge additive prklev~,t sur les produits au pair parfaemen! itukds (a = I ) que nous appellerons standarcis et &signerom par y (par exemple TM + 0,15). On consid?xera un instrument x du march& prrimaii ou secondaire, index6 selon la for- mule ai + p. Pour un instrument du march6 secondaire, on a, en gdn&al, p # Kt, a) Nous allons Ctudier les arbitrages possibles faisant intervenir x, S, et des titres a revenus fixes. La gamme des taux sera, dam la suite, souverlt caractdrisk par la garnme des ~rocoupons (U 1,..., UT); Ui est ddfi m e un titre donnant 1 franc dans et dont le u prix i- (1 + ri)i On considha aussi des titres donnant droit des euences constantes unitaires : z, n donnera n khdances de lf et sa valeur En = 2 i=l Ui Pour ce qui conceme des insmments index&, nous distinguerons l'insment taux dvisable de l'inslrument a taux variable. I - Intruments a taux revisable Considerom un instrument x taux rdvisable, index6 selon la formule : Cs=aI(s-k)+p=aI(s-1 -h) +P(k>l h>o) instrument in fine, ayant n 6chhces pleines instantan6 ou quasi instantad. courir. En g&cral, I dhignera un taux Ms lors, le prochaii coupon?, est pr&ctermid alas que 1s suivants sont sxep tibles de dvision. C(t +1) =I(t)+p(r) en t+i Le titre standard y distribuera {C(s) =Ih-1-h)+ p(r)en t+?,.- t f n il sera au pair en t. On remarquera que lepremier mpon & y, C(t+l), est calculd prtir de I (t) et nm de I (t-k) afin dincorpora toute I'infonnation disponible en t

8 GEM N PORTIT Proposition 3.1 L'instmment x est Cquivalent B un portefeuille cornpod de :. g francs d'un titre standard y. j3 - a P (t) francs d'un titre Zn donnant n khdances constantes de 1 F (1 - a) francs $un zdo coupon un de valeur no& U,. -a I (t) - P francs d'un dro coupon u, de valeur U1,. et+l Le tableau des flux suivants montre l'&pivalence : Corollaire 3.1 En l'absence d'arbitrage, I'instrument x h taux r6visable considhe a une valeur oh Z, U1 ct U, ont la mcme signification que pr&demment et dhigne la gamme des taux spots Le corollaire dsulte directcmcnt de dla proposition 3.1 quand on remarque que y est au pair.

9 EVLU~ON JT RISQUE DE TUX DES INS'IRUMENTS TUX VRIBLE ou 319 RI!MSB~ : UNE NLYSE PR RB~GE L'kart de X par rapport h la paritt peut donc s'expliquer par deux Cltments :. p difrre de la marge P (t) appliquk par le march6 I'instant consi&rc. (Nous remarquons que la chronique des Ccarts P - P (t) doit etre actualis& aux uiux spots pr6valant sur le march6 (coefficients d'actualisation) et non avec un taux cristallid comme 1"indique la relation (3) section 2).. Le prochain coupon Ct+l disuibut par x est calcult h l'aide d'un indice I (t - h) tant des conditions passks si h>o Propositions 3.2 En notant p (t, a) la marge appliquk sur le nlarch6 primaire aux instrumants au pair de marge multiplicative a, de premier coupon a I(t) + P (t,a), de coupons suivants al (t + j - k) + P(t,a) (I), la relation suivante doit pdvaloir en l'absence d'arbiaage (8) P(t, a) = (1 - a) (1 - U,,) En + a P (0 Cette relation dhule irnm6diatcment du corollaire 3.1 puisque X (P (t, a), r)= I 1-u, < 0 pour toutes valeurs " normales " de p et des taux. Sur un march6 bien arbiut, on peut donc se limiter h considhr une seule marge de march6 p (1) I1 - Taux variable Consi&rons h I'instant t 1F de nominal d'un insaument x in fine, ayant n khhces pleines courir, index6 selon la &gle : et+l=a~(t+l)+fl C, = a I(S - k) + f3 ; k e +0,1[ pour s = t ,... t+n Remarques : - En gtntral I (1) est d6hi comrne une moyenne de taux instantan& dans la p&i& (t-1, t) ; (1) On s u ~ syotbnatiqument ue. sur le march6 primaire, la instruments au pair ont un pmier caupon $$!3$ calcult rur la base de I (1) a nm de9 (1-k).

10 320 D'RCHIMBUD GEM N PORTIT - La p6riode de rcf6rence du premier coupon de l'instrument x consid& est dincider avec celle du coupon, seuls les coupons ult6rieurs sont calculds avec un &alage k ; le cas oh le premier coupon est Cgalernent d&& par rappor ZL la,pq1ode de dfcrence sera examin6 plus loin. Proposition 3.3 x est 4quivalent au portefeuille c ome de :. a francs de nominal d'un titre standard y du march6 primaire indxt selon la &gle ct+l=i(t+l) + p(t) Cs=I(s-k)+P(t) pour s=t+ 2,... t+n (Pas & d6calage k sur Ic ler coupon de y a h que celui-ci ne soit pas calcul6 sur la base de taux "pass&").. f&-c$ (t) francs de nominal d'un titre Zn donnant n khanges constantes de 1E. (1 - a) francs d'un zkro-coupon un domant IF en t+n

11 EVLUnON RISQUE DE TUX DES INSTXUMENTS TUX VRIBLE OU 321 RI%WBIE : UNE NLYSE PR RBma D'apr8s la propositions 3.3, en l'absence d'arbiuage x (fh)=a~+[flap(t)] - ~,W+(l-a) u,(t) c m e y est par d6finition un titre au pair, sa valeur Y = 1 et le corollaire 3.3 est &rnontd. 1.d a=l.~(fi.r) - =l+[fi-p(d]~~(r) - L'kart & X par rapport au pair i un an est tgal a la valeur pdsente de la diff&eflce entre sa marge p et celle, p (t), qui prevaut sur le march6 pour des instruments Bquivalents. 2. Si on compare toujours dam le a = 1 mue m6thode avec la mdthode classique (6quation (3)). il apparait que P = fl - (t) est actualid ici aux taux spots et nan au taux cristallisc Cette r6solution est plus rigouseuse en &me temps que la probldmatique est plus &&- rale. 3. Dam le cas d'un insuurnent x du march6 seeondaire dont le pmhain coupon Ct+l est (contrairement au cas & l'instrument calcuy avec un dhlage k (C + I = a1 - k) + vendu sur le march6 primaire considdd en proposition 3.2) il y a lieu de prodder il l'ajustcment de la vale%r de X correspondant i la valeur pdsente de l'km k Q (t)] se produisant en t + 1 (ob I denote la valeur rnoyenne de i clans l'intervalle [t-k, t] ( 1) On aboutit donc au corollaire 3.3 g6n6ralid : Proposition 3.4 En l'absence d'arbifrage sur le march6 primaire Ceue relation est identique a celle qui pdvaut sur le march6 &s taux r6visables (Cf. p position 3.2) Sur le march6 primaire, l'inment x index6 selon la *gle a I + P(t,a) est par Minitian au pair. donc X (P(t,a), r) = 1 et la relation (9) implique la relation (11) On en d6duit donc P(t,a) =f (r' a, P (t)) et par considtkation &arbitrage, m pourra ne consid6rer qu'une seule marge p par couple (I, n) d'index et de rnaturit6. D& bn, 5 l'ins ad ansid&t wr k march6 scccmdain verse I't, sa vdau doit &he d&ak & cdle troud au d~33&~~-l(t)~lj~,~po~ant i-+(-kicx).

12 322 D'RCHIMBUD GEM N PORTIT SECTION 4 - EVLUTION DE P (t) L'IDE DE TUX FOWRD. I - Rappels et definitions Un FR d'echhnce T = t+n, de n5fcrence i et de dude 1 (une p6riode) est un instrument qui donne droit en T au flux '?&- oil les taux - p6riode i et f sont dcfis comrne i v) = valeur & la reference i en T (inconnue en t), fn (t) = taux prevalant en t pour les FR d'k- T = t+n, & 1, f" (t) s'interprcte aussi comme le taux forward (iplicite dam la gamrne &s taux idre coupon en t), relalif 2 (T, T + I). l'origine t, la valeur du conuat FR est nulle (2). Consid6rons maintenant y, l'instnrment standard h taux revisable sur la base d'un indice I rcflcter un taux de marche instantand L'instrument standard y h taux dvisable peut Ctre synlhctid par : - une chaine de RF de nominal 1 el de dude n - une chaine de n. ~Crecoupons u 1, u2,... Un de maturi& respectives 1.2,... n, en quad- & (1) + f1 (t) pour ul, P (t) + fj (t-k) POW Uj (i=2,... n - (t) + f" (t-k) + 1 POW Un -> Dkmnstration Consid6rons les flux g6ncds aux instants t + 1, t + 2,... t + n t+l -s I - O - ~ ~ ~ PP(t)tfl(t) O ~ Y I(t)+$(t) t+j(j=2,... n-1) j- k I - -(t),3(t)+t% I(t+j-k)+p(t) t + n ~ ( tn-u-f t $ (t) + fn - (t) n-k (t) I(t+n-k)+f3(t)+ 1 Corollaire 4.1 En l'absence d'arbitrage, la marge P (t) de l'instrument standard au pair s'krit : (1) Un FR peut h synth&isc par une op6ration foward-fowd usocice me optnticm ash 1 1'- (2) En act, le tnux d'un IR est fixc dc!elk sone que l'"achpt" ou la "vmre" du RF ne dame p a liar un mouvanent de fonds.

13 EVLUTION ET RISQUE DE TUX DES INSTRUMENTS TUX VR~BLE ou 323 ~WSBLE : UNE NLYSE PR RBllRCE Puisque y a t au pair et la valeur en t des FR nulle, la valeur & y = Y slccrit : Remarques Puisque les taux forward sont contenus dans la gamme des taux spot en t, la marge P (t) put Cue explicitk en fonction de celleci. Pour ne pas alourdir les notaions, nous n'avons pas symbolid la ddpcndance & P px rapport b la dur6e n ; en fait, le corollaire 4.1 donne la "gamme des rnarges" des poduits standard en fonction de la garnme des taux spots. Pour pr6ciser et comger une id& largement rdpandue selon laquelle les anticipations de taux dbtenninent les marges, nous rernarquons que cette influence n'est en fait d'indirecte et ne se manifeste qu'a travcrs la gamme des taux foward ('1. En remarquant que le taux acturial an (t) d'h titre Zi taux fixe in fine, de dur& n, est dm& par la relation d'arbitrage (2) on peut expnmer la marge p (t) sous la forme SECTION 5 - LES SWPS On ne traitera ici que les swaps permettant d'khanger un taux fixe contre un taux variable reflctant des conditions instantan& ou quasi instantan& Rappels et definitions Un swap taux fixe - taux variable (ou swap ernprunteur) d'khhce T = t + n, & dfcrence i, est un instrument qui donne droit Zi la &pence de flux OS (s = t = 1,... s = t+n = T 0s =f(sbp (t) i (s) est la valeur de la dfdrence i en s p (t) est le taux (ou "pix") du swap de dur& n p (t) est fix6 lors de I'Cmission de swap, en t, de manibe ce que la valeur du cantrat soit nulle. (1) En associanl le cadlpire 4.1 i une *rie d'anticipatiau avec prima & liquiditc, on pcumit k rh B (t) en fcm& des lam spou anti*.

14 324 D'RCHIMBUD GEMN Proposition 5.1 En l'absence d'arbitrage Un franc d'insment a taux fixe de rendement a, est Quivalent a un franc & tew (au taux p) combiic 2i un franc de l'instrument h taux variable standard y. Bs lors p (t) = an (t) - p (t), et par substitution de la valeur de p (t) obtenue en (13), on obtient la &uxi6me CgalitC. Remarques 1. - Cette relation auraient pu Ctre d6montrce directement et a t valable pour les swaps taux variable / taux fixe (swaps prsteurs) 2. - La stratdgie consistant a emprunter a taux rdvisable (par exemple TMO) ou a emprunler a taux fixe puis a swapper le taux fixe come une r6fcrence variable ("I'M0 par exemple) revient a se procurer de la liquidit6 pure (sans supparter & risque & taux). Le coiit de cette liquidit6 est dorude par la marge P (t) (I), laquelle s'intwprtte donc cornme une prime de liquidit6 ; comme on l'a vu cette prime &pend uniquement (et de manibre explicite) de la suucture des taux en t. Dans un environnernant oa la saucnue des taux est "normale", la liquidit6 a un coqt plus ClevC que dam celui oil la structure des tau est plate, voire inver& Un swaps de taux variable (khange de deux indices) s'interprhnt cornme la combinaison de deux instrument a taux variable 1 et 2, la marge P = pl - P2 peut &re calcu- I& 2i partir de l'analyse prk6dcnte (appliquk a deux garnmes de taux forward diff6- rentes). SECTION 6 : RISQUE DE TUX ET RISQUE DE MRGE I - Marge considcrce comme exoghe a) Taux dvisable Le corollaire 3.1 donnait : Des petites variation dr.,., de la ganune et dj3 de la marge se mduisant par des variations %, di, du1, dun des grandeurs Z,,I, U1, Un et, par diffhtiation, on obtient :

15 EVLUllON ET RISQUE DE TUX DES INSlRUMENlS TUX VRIBLEi OU 325 IU%ISBL~~ : UNE NL. PR RB~GE et oii en gcncral I est un taux instantan6 Cgal h rl, ce qui dome : d X = - a ~ d [a+8-tt+j&, n(1-a)&, a- risque de ll-a ~ ( t ~ l d ~, risque & uux Nous allons supposer dam la suite du a) a = 1 pour faciliter l'kterpr~tation. On obtient alors : ce stade, il convient de prkiser la reprhtation de drl et G, nous a l l mius ~ placer dam deux configurations successives : 1 er car : Nous supposerom un placement parallele de la gamrne des taux drl = dr2 = =dq, = dr, on peut hire Le premier terme exprime la sensibilid?i la marge, le deuxik reflh la petite dficult6 pade par le premier coupon et discutk pd&rnment et le troisihe tern est l'expres- sion du risque de taux d'inket g6nd1-15 par la marge & que p # Kt) (Cf Yavitz - Kaufol et al ) Dam le cas particulier oii P # P (t), ce troisi&me tern disparaft & de se r&uit aux deux premiers termes. 22me car : de fapn plus gcdrale, suppons un &&le h deux factem 1, s de garnme des faux oti 1 est le taux long et s le spread. lors pour tout j = n, j = drj = I1 en r&ulte que variation de X par rapport au taux long

16 variation de X rapport au spread 3 - Taux variable D'aprks le corollaire 3.3 gcncralis6, la valeur de Iq'instrument x h taux variable s'krit : X(P,r)=a+[p-ap(t)lZnQ+(l risque de taux et on refait la mcme analyse quc dans le cas des taux revisables. 2. Cas ou la marge est exprime en fonction de la gamme des taux (taux rbvisables) Le corollaire 4.1 de la section 4 Ctablissait qu'en I'absence d'arbiuage, la marge p (t) s'krit : et dam ceue expression, les fkk (t) sont contenus dam la gamme des taux pdvalant h I"instant t puisqu'on a la relation fondamentale : En reprenant le modele de garnme de laux h deux parat~&oes introduit en section 6 partie 1, rs (t)=(~~(l,s,t)

17 EVLU~ON RISQUE DE TUX DES INSTRUMEN~S TUX VRIBLE ou 327 &VISBLE : UN6 NLYSB PR RBI'RUE et p (1) devient une fonction + (I, s, I) dont on peut deduire CONCLUSION On peut rernarquer qu'en associant Ics r6sultats rnis en evidence dam cct article aux propnms classiques de la structure par terns des taw d'intmt, les analyses conduites dam cet article pcuvcnt &re articul6es conformcment la repkentation de I'organisme suivant : P I Gamme 5 b l'instant t Calcul de arbitrage y / FR I 1 Sensibilit6 de I'instrument x aux taux long et spread modkle de gamme des taux Nous avons ainsi oblenu la valorisation & I'instrument h taux variable ou verisdable x h partir & la gamme des taux et sa sensibililb aux pardtres du d l e de gamme des tau choisis. 'Evaluation et risque dc taux des instruments h taux ou r6visables : une analyse par arbitrage" I

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