ÆÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ä Ò ½ Å ËË ¹ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÐÙÐ ÓÖÑ Ðµ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô Ì ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ¹ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ ½ ÚÖ Ð ¾¼¼
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- André Dubé
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1 ÆÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ä Ò ½ Å ËË ¹ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÐÙÐ ÓÖÑ Ðµ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô Ì ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ¹ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ ½ ÚÖ Ð ¾¼¼
2 Ç Ø Ð Ò ½¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ Ö ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ Ö Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ Ù ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÓÙÖ ÓÑÑ ÒØ ÚÓ Ö ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ Ü
3 ÈÐ Ò ½ ¾
4 Ê Ô ÖÐÓÒ Ù Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒÚ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ø Ù ÙÜ ØÖÓÒ ÈÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÁÒ Ö ÒØ ÔÓÙÖ Ô Ö ÓÒÒ µ ¹ ½ ÔØ Ö ¹ ½ ¼ ÙÖ ¹ ½¼¼ ÙÖÖ ÓÒ Ù ¹ Ó Ù ¹ Ð Ù ÙÜ ØÖÓÒ º ÈÖ Ù Ö Ð ÓÙÖ ¾¼¼ º º Ö Ð ÔØ Ö º º ØØÖ Ð Ó Ù Ú Ð ÙÖ Ò ÔÓÙ Ö Ù ÕÙ³ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ð Ò ÑÓÙ Ùܺ º ÓÙØ Ö Ð Ù ØÖÓÒº º ÓÙØ Ö Ð ÙÖÖ ÓÒ Ùº º Ò ÓÙÖÒ Ö Ø Ð Ö Ù Ö ÒÚ ÖÓÒ ¼ ÑÒº º Ä ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Öº
5 Ê Ô ÖÐÓÒ Ù Ò ÉÙ Ò ÓÒ Ø ÑÓ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ô Ù Ù Ò ÔÐÙ ÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÑ Ò Ø ÑÔ Ùع Ð ÔÓÙÖ ÔÖ Ô Ö Ö ØØ Ö ØØ Ø¹ ÕÙ ³ Ð Ñ Ø Ö Ð Ø Ð ÔÐ ÔÓÙÖ Ö Ð Ö Ð Ö ØØ ÇÒ Ô ÙØ Ñ Ñ ÐÐ Ö ÔÐÙ ÐÓ Ò Ø¹ Ð Ö ØØ Ñ ÖÑ ØÓÒ Ø ÔÐÙ Ö Ô ÕÙ Ð Ö ØØ Ö Ò ¹Ñ Ö ÉÙ³ ع ÕÙ Ô ÙÜ Ö ÓÑÑ Ö ØØ Ú ÙÒ ÖÓÐÐ Ø ÙÒ ÔÓ ÐРع ÕÙ ³ Þ ÔÐ Ø ÔÓÙÖ Ö Ð Ö Ð Ö ØØ ÔÓÙÖ ½ Ô Ö ÓÒÒ Å Ñ Ö Ú ÒØ Ò ÙÒ ÙÖ Ø¹ ÕÙ ³ Þ Ø ÑÔ ÔÓÙÖ Ö ½¼¼ ÓÙÜ Ð Ö Ñ Ø¹ ÕÙ Ð Ö ØØ Ø ÓÒÒ ººº
6 ÉÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ò Ù Ò ÙÜ Ø ÙÖ Ò ÙØÖ ºººµ ÓÒØ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ä Ø ÑÔ ÓÒ ÔØ ÓÒ Ä³ Ô Ò Ö Ð ÓÒ ÔØ ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÑÔ Ø Ð³ Ô Ô Ò ÒØ Ù ÒÓÑ Ö Ô Ö ÓÒÒ º Ê Ö ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ó Ð ÓÒÒ ÓÒØ ÙÒ ÙØÖ Ú ÙÖººº
7 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ö Ö ½ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ < Ò ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ØÖÙ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ò Ò
8 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ö Ö ½ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ Ö < Ò Ò Ù Ø ÔÓÙÖÕÙÓ Ò Ô ÚÓ Ö Ø Ø Ö Ø[ ] = Ü
9 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö ¾ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö ÒØ Öµ ÓÓÐ Ò Ú Ö Ð ÒØ Ö ÙØ > ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÙÜ ÒÓÒ ( + )/¾ Ø[] = Ü ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÎÖ ÒÓÒ Ø[] < Ü ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ü Ø ½ µ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ü Ø ¹½µ Ò Ò Ò Ò
10 ÓÑÔ Ö ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ÉÙ Ø ÓÒ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ò Ù ÒÓÑ Ö ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ºººº ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÉÙ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ò Ñ Ò ÙÖ Ð ÕÙ Ð ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ Ü ÙØ ºººº ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ³ Ü ÙØ ÒØ ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ñ Ò Ö Ö Ò µ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÉÙ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ñ Ð ÔÓ ÓÒ Ô ÙØ Ñ Ò Ö Ø Ð ÙÜ ÙÖ Ð ÕÙ Ð ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ØÖ Ö Ô Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð³ ÙØÖ º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ò ÑÓÝ ÒÒ Ò Ð Ô Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ
11 ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÁÐ Ü Ø ÙÜ Ñ ÙÖ Ð³ Ø ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ô Ñ ÑÓ Ö Ò Ö ÔÓÙÖ Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ø ÑÔ Ò Ö ÔÓÙÖ Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÒ Ò ³ ÒØ Ö Ö ÙÐ Ñ ÒØ ÕÙ³ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø ÒØ Ò Ò Ö Ð ÑÓ Ò Ö Ø ÕÙ º ÈÓÙÖØ ÒØ ÓÙÚ ÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ô Ò ÒÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ø ÑÔÓÖ ÐÐ = ÓÒ Ø ÒØ
12 Å ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ º ÃÒÙØ µ ÈÓÙÖ Ö Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ ÙÖ Ð Ú Ø Ð Ñ Ò Ò ÙØÖ µ Ð ÙØ Ò Ö ÙÒ ÙÒ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ä³ Ø Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ø ÐÐ ÓÒÒ ÁÒØ Ö Ø Ø Ñ Ö Ð ÓÙØ Ò Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔ Ö ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ü ÙØ Ö
13 Å ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ º ÃÒÙØ Ò ½ ¼µ Ä Ø ÐÐ ÓÒÒ Ô ÙØ ØÖ Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ø Ð Ù Ð Ö Ò ÙÖ ÒÓÑ Ö Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ð Ø Ä ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ð ØÙÖ Ñ ÑÓ Ö Ø ÓÒ ÓÙØÖ Ø ÓÒ Øº Ø Ø ÐÓ ÕÙ Ä Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒØ ÓÙÚ ÒØ Ó Ø ½ ÙÒ Ø º
14 Î Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÙÖ Û Ô Ø ÆÓÑ ÌÖ Ò ØÓÖ Ñ ØÖ Ö Õº Ä Ö ÙÖ ½ ½ ¼¼ ¾ ¼¼» ½ ¼ ¼ ¼¼¼ ¾ÅÀÞ» ½ ¼ ¾ ¼¼¼ ÅÀÞ ½» ½ ¾ ¼¾ ½ ¼¼¼ ½ ÅÀÞ ½» ½ ½ ¼ ¾ ¼¼¼ ½ ½ ÅÀÞ ¾» ¾ ½ ¼ ½¾¼¼¼¼¼ ½ ¾ ÅÀÞ ¾» ¾ ½ È ÒØ ÙÑ ½¼¼¼¼¼ ¼ ¼ÅÀÞ ¾» ½ È ÒØ ÙÑÁÁ ¼¼¼¼¼ ¼ ¾ ÅÀÞ ¾» ½ È ÒØ ÙÑÁÁÁ ¼¼¼¼¼ ¼ ¾ ¼ÅÀÞ ¾» ¾¼¼¼ È ÒØ ÙÑ ¾¼¼¼¼¼¼ ¼ ½ ½ ÀÞ ¾» ¾¼¼ È ÒØ ÙÑ ÈÖ ÓØØ ½¾ ¼¼¼¼¼¼ ¼ ¼ ÀÞ ¾» ¾¼¼ ÓÖ ¾ ÙÓ ¾ ½¼¼¼¼¼¼ ¼ ¼ ¾ ÀÞ ¾»
15 Î Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÙÖ Û Ô Ø ÆÓÑ Ð Ö ÙÖ ÅÁÈË ½ ½ ¼¼ Ø» Ø ½ ¼ ¼ Ø» Ø ¼ ½ ¼ ½ Ø» Ø ¼ ½ ¾ ¼¾ ½ Ø» ½ Ø ½ ½ ¼ ¾ Ø» ¾ Ø ½ ¼ ¾ Ø» ¾ Ø ¾¼ ½ È ÒØ ÙÑ ¾ Ø» Ø ½¼¼ ½ È ÒØ ÙÑÁÁ ¾ Ø» Ø ¼¼ ½ È ÒØ ÙÑÁÁÁ ¾ Ø» Ø ½¼ ¾¼¼¼ È ÒØ ÙÑ ¾ Ø» Ø ½ ¼¼ ¾¼¼ È ÒØ ÙÑ ÈÖ ÓØØ ¾ Ø» Ø ¼¼¼ ¾¼¼ ÓÖ ¾ ÙÓ ¾ Ø» Ø ¾¾¼¼¼ ÅÁÈË Å ÐÐ ÓÒ ³ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ô Ö ÓÒ
16 Ò Ø ÓÒ ËÓ ÒØ Ø ÙÜ ÓÒØ ÓÒ ÁÆ Ò Áʺ ÓÖÒ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ (Ò) ³ Ð Ü Ø ÙÜ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ½ Ø ¾ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò Þ Ö Ò ¼ ½ (Ò) (Ò) ¾ (Ò) ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = Θ( (Ò)) c2 g(n) f(n) c1 g(n)
17 Ò Ø ÓÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ (Ò) ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò Þ Ö Ò ¼ (Ò) (Ò) ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) c g(n) f(n)
18 Ò Ø ÓÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÒÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÔÖÓ Ò Ð Ð µ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÒÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÔÖÓ (Ò) ÓÙ ÕÙ Ø Ò Ð Ð Ú ÒØ ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = Ó( (Ò)) (Ò) Ð Ñ Ò (Ò) = ¼
19 ÈÖÓÔÖ Ø (Ò) = Θ( (Ò)) ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) (Ò) = Ó( (Ò)) ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ã ÁÊ Θ(Ã + (Ò)) = Θ( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÁÊ Θ( (Ò)) = Θ( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ < Θ(Ò + Ò ) = Θ(Ò )
20 Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÈÓÙÖ Ò ÐÝ Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ø ÓÖ Ù Ú ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ Θ(½) Ü ÐÙÐ Ù Ñ Ü ÑÙÑ ÙÜ ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Θ(ÐÓ (Ò)) Ü Ö Ö ÓØÓÑ ÕÙ Ò ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö Θ(Ò) Ü Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÒ ÓÖ ÓÒÒ Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø ÕÙ ¹Ð Ò Ö Θ(Ò ÐÓ (Ò)) Ü ØÖ Ö Ô ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Θ(Ò ) Ú > ½ Ü ØÖ Ô Ö Ò ÖØ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÓÑÔÐ Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Θ( Ò ) Ú > ½ Ü ØÓÙÖ À ÒÓ
21 Ì ÙÜ ÖÓ Ò Ì(Ò) Ò = ½¼ Ò = ¾¼ Ò = ¼ Ò = ¼ Ò = ¼ ÐÓ (Ò) ½µ ½. µ ½. µ ½. µ ½. µ Ò ½¼µ ¾¼µ ¼µ ¼µ ¼µ Ò ÐÓ (Ò) ½¼µ ¾ µ µ µ ½¼ µ Ò ¾ ½¼¼µ ¼¼µ ¼¼µ ½. Ñ. Ñ Ò ½Ñ Ñ ¾ Ñ Ñ ¾½ Ñ ¾ Ò ½Ñ ½ ½ ÑÒ ½ ÓÙÖ Ð Ò ¼Ñ ½ Ò ¼¼ Ð ½. ½¼ ½ Ð Ú Ø Ö ³ Ö Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÓÑÔÐ Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ººº
22 Ø ³ÙÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ËÓ Ø Æ Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ø Ò ØÖ Ø Ð Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ö ÓÒÒ Ð ÉÙ ÐÐ Ø ÐÐ ÔÓÙÖÖ ¹Ø¹ÓÒ ØÖ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÖÓÒØ ½¼¼ Ø ½¼¼¼ ÔÐÙ Ö Ô Ü ÑÔÐ ½ Ì(Ò) = Θ(Ò ¾ ) Ù ÓÙÖ ³ Ù Ì(Æ) = Æ ¾ Ñ Ò Ì (Æ ) = Ì(Æ ) ½¼¼ Ü ÑÔÐ ¾ Ì(Ò) = Θ(¾ Ò ) Ù ÓÙÖ ³ Ù Ì(Æ) = ¾ Æ Ñ Ò Ì (Æ ) = ¾Æ ½¼¼ = Æ ¾ ½¼¼ ³Ó Æ = ½¼Æ ³Ó Æ = Æ +.
23 Ø ³ÙÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ì(Ò) Ù ÓÙÖ ³ Ù ½¼¼ Ó ÔÐÙ Ö Ô ½¼¼¼ Ó ÔÐÙ Ö Ô ÐÓ (Ò) Æ Æ ½¼¼ Æ ½¼¼¼ Ò Æ ½¼¼Æ ½¼¼¼Æ Ò ¾ Æ ½¼Æ ¾Æ Ò Æ. Æ ½¼Æ ¾ Ò Æ Æ + Æ + ½¼ Ò Æ Æ + Æ +
24 ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÈÓÙÖ ÕÙ Ò ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ Ó Ø Ö ÒØ ½ Ø Ø ÓÒ ½ ½ Ð ØÙÖ ¾ ½ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ½ Ø Ø Å ÓÒ ³ ÒØ Ö ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ³ ع¹ Ö Ù Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÔÖ º ÇÒ ÔÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ð Ó Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ Ñ Ø ÙÒ ÕÙ Ó Ø ÙÒ Ø Ö º ÎÓ Ö Ñ Ñ ÙÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ö Ô Ö Ð Ò Ó ººº
25 ÓÒ Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø ½ ÒÓÒ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø ¾ Ò Ä ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ø ÚÖ ½ + ½ Ø Ù ½ + ¾
26 ÁØ Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÔÓÙÖ Ä ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ ÓÙÐ ÔÓÙÖ Ø Ð ÓÑÑ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ö Ô Ø =
27 ÁØ Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ ½ Ò Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÔÓÙÖ ÄÓÖ ÕÙ = Ø ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ò
28 ÁØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÒØ ÕÙ ËÓ Ø Ð Ò Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÓÙÐ Ø ÒØ ÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÐÓÖ Ò =½
29 ÁØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÒØ ÕÙ Ä ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÓÙÚ ÒØ ÓÒÒ º ÇÒ ÙØ Ð ÐÓÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ô Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÑÓÝ ÒÒ ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ð
30 Ü ÑÔÐ ÓÑÔÐ Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÒ ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ö Ö Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ Ö < Ò Ò
31 ÐÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ µ ËÓ Ø Ì(Ò) Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Òº ÍÒ Ø Ø ÓÒ Ù ÙØ Ø ÙÒ Ø Ø Ð Ò ¾ ÕÙ Ø Ö Ø ÓÒ ¾ Ø Ø Ø ½ Ø Ø ÓÒ ÆÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ñ ÙÜ ½ Ù Ô Ö Ò Ò ÑÓÝ ÒÒ Ò/¾
32 ÐÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ µ ÓÑÔÐ Ü Ø Ù Ñ ÙÜ Ì(Ò) = Ì(Ò) = Θ(½) ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÑÓÝ ÒÒ Ì(Ò) = ¾ + Ò ¾ Ì(Ò) = Θ(Ò) ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ù Ô Ö Ì(Ò) = ¾ + Ò Ì(Ò) = Θ(Ò) ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö
33 ÓÑÔÐ Ü Ø ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä ÐÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ ÓÒ Ù Ø ÓÙÚ ÒØ Ð³ Ö ØÙÖ ³ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ö ÙÖÖ Ò º ØØ Ö ÙÖÖ Ò Ø Ó Ø ÙÒ Ð Ø Ó Ø ÙÒ Ò Ð Ø
34 Ü ÑÔРг Ü Ö Ð³ ÒØ ÖÖÓ Ø ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÕÙ ÔÖ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø Ò Ø ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ ÙÒ Ð Ø Ø ÐÐ Ò ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö ¼ Ò Ø Ô Ö Ø ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö ½ Ò Ø ÑÔ Öº È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ µ Ö ØÓÙÖÒ Ð Ð Ø (½, ¼, ½, ¼, ½) Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ µ Ö ØÓÙÖÒ Ð Ð Ø (¼, ½, ¼, ½, ¼, ½)
35 Ü ÑÔРг Ü Ö Ð³ ÒØ ÖÖÓ Ø ÓÒ ËÓÐÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÒØ Öµ Ð Ø ÙØ Ò = ¼ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø Î µ ÒÓÒ ÑÓ ÙÐÓ(Ò, ¾) = ¼ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ¼ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ½µµ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ½ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ½µµ Ò Ò Ò
36 ÐÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ì(Ò) ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ü ÙØ µ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ð Ø Ø ÐÐ Ò Ò = ¼ ÐÓÖ ½ Ø Ø Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ³ Ü ÙØ Ì(¼) = ¾ Ò > ¼ ÐÓÖ ¾ Ø Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ³ Ü ÙØ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÖ Ò ½ Ì(Ò) = + Ì(Ò ½) ³Ó Ì(Ò) = Ò + ¾= Θ(Ò) ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö
37 Ç Ø Ð Ò ½¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ Ö ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ Ö Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ Ù ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÓÙÖ ÓÑÑ ÒØ ÚÓ Ö ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ Ü
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Plus en détailÎ ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
Plus en détailÏ Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Plus en détailÊ ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Plus en détailP etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet
Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ
Plus en détailÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
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