Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

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Maxence Joly
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1 Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.1/14

2 I. Cas exact Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.2/14

3 ÖÓØ dans Ò ¼ ¾ Ä, ¼ µ Ú ¾ ¼, Ò ¼, ¾ Ä ¾ µ Problèmes-modèle Dans un polyèdre à bord lipschitzien ( et Ê Ò simplement connexes)... Fluide incompressible Trouver Ù Ôµ ¾ À ½ ¼ µ Ä ¾ ¼ µ tel que Ù ÖÔ dans Ú Ù ¼dans Ù ¼ (viscosité ¼, et ¾ À ½ µ.) Quasi-électrostatique Trouver ¾ Ä ¾ µ tel que Ú dans Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.3/14

.. Fluide incompressible Trouver Ù Ôµ ¾ À ½ ¼ µ Ä ¾ ¼ µ tel que Ù ÖÔ dans Ú Ù ¼dans Ù

4 Õ ¾ É ¼ ÖÓØ ÖÓØ Ú Ú Ú Ú Ú ¾ ¼ Formulations variationnelles équivalentes Dans ¼ À ½ ¼ µ et É ¼ Ä ¾ ¼ µ, soit à résoudre Trouver Ù Ôµ ¾ ¼ É ¼ tel que ÖÙ ÖÚ Ô Ú Ú À ½ µ Ú À ½ ¼ µ Õ Ú Ù¼ Dans À ¼ ÖÓØ µ À Ú µ et É Ä ¾ µ, soit à résoudre Trouver Ô µ ¾ É tel que Ò Ó Ò ÖÓØ Ú Ú ÚÓ Ô Ú Ú Ú ¾ Õ Ú Õ ¾ É Õ Ô On trouve ¼. Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.4/14

Ù¼ Dans À ¼ ÖÓØ µ À Ú µ et É Ä ¾ µ, soit à résoudre Trouver Ô µ ¾ É tel que Ò Ó Ò ÖÓØ Ú Ú

5 Dans ¼ Dans ÖÓØ Ú ÖÓØ Û ÚÚ Ú Û Coercivité ÖÚ Ö Û est coercitive... Ú Ûµ (Inégalité de POINCARÉ.) Ú Ûµ est un produit scalaire dans, noté µ ; de plus, Ú Ûµ ÖÚ Ö Û, Ú Û ¾ À ½ µ. (cf. [Weber 80] ; [Costabel 91] et [Costabel-Dauge-Nicaise 99].) Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.5/14

6 Condition inf-sup dans ¼ É ¼ µ D où la condition inf-sup exacte dans ¼ É ¼ µ Ò ÙÔ ¾É ¼ Ú ¼ ¾ ¼ ¼ Õ Classiquement [Girault-Raviart 86], il existe ½ ¼ tel que : Õ ¼ ¾ ¼ Ú ¼ ¾ ¼ Ú Ú ¼ Õ ¼ et Ú ¼ ½ ½ Õ ¼ ¼ Õ ¼ Ú Ú ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ Ú Õ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.6/14

existe ½ ¼ tel que : Õ ¼ ¾ ¼ Ú ¼ ¾ ¼ Ú Ú ¼ Õ ¼ et Ú ¼ ½ ½ Õ ¼ ¼ Õ ¼ Ú

7 Condition inf-sup dans Éµ On conclut en choisissant «, puis «Ã ½ ¾ (On sait que Ú ¼ ½ Õ ¼). Soit une face donnée de : Lemme 1 ± ¾ ¾ µ telle que supp ± µ et ± ½. Soit ± ±Ò : ± ¾ ¾ µ et Ú ±½. On note Ã ½ ± ± ½. Théorème 1 La condition inf-sup exacte est vérifiée dans Éµ. Preuve. Décomposer Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ, oùõ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼. ½ ¾ ½ ¼ tel que µ Ú Ú ¼ Õ ¼,etÚ ¼ ¼ ½ Õ ¼ ¼ ½ ; on Ú «Ú pose Õ±. À ¼ Ú Ú Ú «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ Õ¾ ¼ ½ ½¾ Õ ¼ Õ ¼ Ú ± «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Ã ½ Õ¾ ¼ ½¾ Õ ¼ Õ ¼ ¼ Ã ½ ¾ ½ «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ¾ ¼ Õ¾ ¼ Õ¼ ¾ ¼ avec ¼ ¾ ¾ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.7/14

Théorème 1 La condition inf-sup exacte est vérifiée dans Éµ. Preuve. Décomposer Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ, oùõ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼.

8 II. Cas discret Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.8/14

9 Ý ¾ ¼ µ Ý Ì É ¼ Õ ¾ É Ò Discrétisation µ une première famille de triangulations régulière. Ì Chaque Ì tétraèdre est divisé en huit Ì sous-tétraèdres µ ½ (Ì ½ Ì ). Aux Ì tétraèdres correspond une seconde famille Ì régulière µ ¾. Les espaces discrets... É Õ ¾ ¼ µ Õ Ì ¾ È ½ Ì ¾Ì ¾ È ½ Ì ¾Ì ¾ Pression / Multiplicateur Õ ¼ É Vitesse / Champ électrique ¼ Ú ¾ Ú ¼ Ú ¾ Ú Ò ¼ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.9/14

Aux Ì tétraèdres correspond une seconde famille Ì régulière µ ¾. Les espaces discrets.

10 Démarche... Coercivité discrète uniforme : toujours ok, puisque la discrétisation est conforme. Condition inf-sup discrète uniforme en trois étapes. (i) É Dans ¼ ¼ µ. (ii) Construction ± d une approximation de ±. (iii) É Dans µ Õ : ¾ É pour, écrire Õ ¼ Õ Õ, ¼, ¾ É Õ ¼ ¾ Ê ; Õ considérer ¾ ¼ associé à Õ ¼ réalisant la condition inf-sup du (i) ; Ú ¼ poser «Ú ¼ Õ ± et conclure. Ú Pour le point (i), on utilise le lemme de FORTIN [Fortin 77] : la condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée si, et seulement si, il existe un opérateur d approximation È ¾Ä ¼ ¼ µ tel que pour tout élément Ú ¾ ¼, Õ ¼ Ú È Úµ Úµ ¼ Õ ¼ ¾ É ¼ È Úµ ¾ Ú Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.10/14

(iii) É Dans µ Õ : ¾ É pour, écrire Õ ¼ Õ Õ, ¼, ¾ É Õ ¼ ¾ Ê ; Õ considérer ¾ ¼ associé à Õ ¼ réalisant la condition inf-sup du (i) ; Ú ¼ poser «Ú ¼ Õ ± et conclure.

11 Ú ½Ì Õ ¼Ì A Õ de É ¼, on associe la fonction Õ, telle que Õ Ì Õ Ì Soient É Õ Õ ¾ É et Ú ¾ Conclusion : La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans É µ... Une condition inf-sup locale Soient : µ ½ les milieux de chaque arête de Ì. µ ½ les vecteurs unitaires tangents à chaque arête de Ì. Alors (cf. [Girault-Scott 02]), Lemme 2 Pour chaque µ, il existe È ½ Ä ¾ ¼ Ì Ú qui est la restriction à Ì d un élément Õ de ¾ tel que : Ú Ò Ì ¼ Ú µ ÖÕ µ si ¾ ¼ sinon ½ µ Õ Ú Ú Õ ¾ ¼Ì Ì ½ Õ, Ì ¾Ì. Ì Ì Ú Ú ¼ Ì ¾Ì. Ì Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.11/14

µ ½ les vecteurs unitaires tangents à chaque arête de Ì. Alors (cf.

12 Condition inf-sup discrète uniforme dans ¼ É ¼ Ê Úµ Úµ Ò ¾É ÙÔ ¼ Ú ¼ Õ ¾ ¼ ¼ Ú ¼ Õ ¼ ¼ On définit l opérateur d approximation È en deux étapes... On construit un opérateur Ê ¾Ä ¼ ¼ µ quasi-local àla[scott-zhang 90], tel que ¼ sur toutes les faces de Ì Puis, on définit È en corrigeant Ê : È Úµ Ê Úµ Úµ, avec Úµ ¾ solution de Õ Ú Úµ Õ Ú Ú Ê Úµµ Õ ¾ É On en déduit le Théorème 2 La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans ¼ É ¼ µ. ¼ ¼, indépendante de telle que Õ ¼ Ú Ú¼ ¼ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.12/14

.. On construit un opérateur Ê ¾Ä ¼ ¼ µ quasi-local àla[scott-zhang 90], tel que ¼ sur toutes les faces de Ì Puis, on définit È en

13 Approximation de ± On introduit ±µ, où est l opérateur habituel d interpolation de Lagrange dans. Comme ne conserve pas ±µ ½, il faut le corriger... On construit par exemple une correction sur Æ les milieux des arêtes de (bord exclu), avec les fonctions de base de ³ µ ½ Æ associées. On ± définit ¾ par : ± ±µ Æ ³ où les µ ½ Æ dépendent linéairement de ± ±µ ; sont tels que ± ±µ ¼ ½ Ainsi Par construction, ± ½. ¼ indépendante de et ±, et donc Ã ¾ ¼ indépendante de, telles que ± ½ ± ¾ ± ¾ µ Ã ¾ On pose ± ± Ò ¾ (± ± ½ Ã ¾ ). Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.13/14

.. On construit par exemple une correction sur Æ les milieux des arêtes de (bord exclu), avec les fonctions de base de ³ µ ½ Æ associées.

14 Condition inf-sup discrète uniforme dans É µ Ò ÙÔ ¾É Ú Õ ¾ Ú Õ ¼ ½¾ Õ ¼ On conclut comme dans le cas exact. Théorème 3 La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans É µ. ½ ¼, indépendante de telle que Õ Ú Ú ½ Preuve. On décompose Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ,oùÕ ½ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼. Ú ¼ ¾ ¼ tel que Õ ¼ Ú Ú¼ Õ¼ ¾ ¼,etÚ ¼ ½ ½ ¼ Õ¼ ¼ ; on pose Ú «Ú ¼ Õ ±. ½ Õ ¼ Ú ± Õ Ú Ú «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ ¾ ¼ Ã ¾ ¾ ½ «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ¼ ¾ ¼ avec ¼ ¾ Õ ¾ ¼ Õ ¾ ¼ ¾ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.14/14

On décompose Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ,oùÕ ½ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼.

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