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8 Ë (x i ) i I Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ð Ñ ÒØ E ÓÒ ÒÓØ sup i I x i = sup{x i : i I} Ö Ôº inf i I x i = inf{x i : i I}µ ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ü Ø Òغ ÈÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÖ ÓÒÒ (E, ) ÓÒ ÒÓØ [x,y] = {z E : x z y}, ]x,y] = {z E : x z y}, [x,y[ = {z E : x z y}, ]x,y[ = {z E : x z y}, [x,+ [ = {z E : x z}, ]x,+ [ = {z E : x z}, ],x] = {z E : x z}, ],x[ = {z E : x z}, Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Eº Ä ÔÖ Ñ Ö ÒÕÙ Ñ Ø ÔØ Ñ ÓÒØ Ð ÒØ Ö¹ Ú ÐÐ ÖÑ º Ä ÕÙ ØÖ Ñ Ü Ñ Ø Ù Ø Ñ ÓÒØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÙÚ ÖØ º ÍÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ð ÙÖ E Ø ÙÒ ÓÖ Ö Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò E ÓÒ Ø x y ÓÙ y xº ÇÒ ÒÓØ min{x,y} = x Ø max{x,y} = y x y Ø min{x,y} = y Ø max{x,y} = x y xº ÍÒ Ò Ñ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ð Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔРгÓÖ Ö Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ ÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ Ò Ñ Ð ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ðº ÍÒ ÓÖÔ ØÓØ Ð Ñ Òص ÓÖ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÖÔ ÓÑÑÙØ Ø µ K ÑÙÒ ³ÙÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ð Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y,z Ò K x y ÐÓÖ x+z y +z ÔÖÓÔÖ Ø ÓÑÔ Ø Ð¹ Ø Ð³ÓÖ Ö Ú Ð ØÖÙØÙÖ ÖÓÙÔ Ø Ù ÔÔ Ð ÒÚ Ö Ò Ð³ÓÖ Ö Ô Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ µ Ø x y Ø 0 z ÐÓÖ xz yz ÔÖÓÔÖ Ø ÓÑÔ Ø Ð Ø Ð³ÓÖ Ö Ú Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ù ÔÔ Ð ÒÚ Ö Ò Ð³ÓÖ Ö Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÔÓ Ø µº ÍÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖÔ ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð³ÓÖ Ö º ÆÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÓÒÒÙ Ò Ø ÜØ Ð ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ (R, ) Ø Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ º ÁÐ Ü Ø ÒÓÑ Ö Ù ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ R ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÓÙ½ Ì Áκ µ ÕÙ Ò Ø ÒØ ÔÐÙ ÓÙ ÑÓ Ò ØÖ Ú Ðº ÆÓÙ ÔÖ ÖÓÒ ÒØÖÓ Ù Ö R ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ö Ð Ô ÖÑ ØØÖ ÓÒÒ Ö Ü ÑÔÐ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ØÓÔÓÐÓ Ø Ò Ò ÐÝ ØÖ Ö Ô Ñ Òغ Ê ÔÔ ÐÓÒ ¹ Ò Ö Ð Ò³ Ø Ô Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÔÖ Ô Ö ØÓ Ö µ ÙÒ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ Ö Ù ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ (Q, )º ÍÒ ÓÙÔÙÖ Q Ø ÙÒ Ô ÖØ A Q Ö ÒØ Ø Q Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x Ò A Ø y Ò Q y x ÐÓÖ y Aº A Q R ÇÒ ÒÓØ R г Ò Ñ Ð ÓÙÔÙÖ Q Ø ÓÒ ÒÓØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÒÐÙ ÓÒ ÒØÖ ÓÙÔÙÖ ÕÙ Ø ÙÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ð ÙÖ R ÓÑÑ ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÜ ÓÙÔÙÖ A Ø B ÓÒ min{a,b} = A B Ø max{a,b} = A Bµº Ë Ù Ñ ÒØ ÓÒ ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ø ÜØ Ö ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Rº ÇÒ ÒØ Q Ú ÓÒ Ñ Ò R Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ r {x Q : x r} ÕÙ Ø ÙÒ Ò Ø ÓÒ ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð³ÓÖ Ö º Ë A Ø B ÓÒØ ÙÜ ÓÙÔÙÖ Q ÓÒ ÔÓ A+B = {x+y : x A, y B}

9 Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð Ñ ÒØ ÕÙ (R,+) Ø ÙÒ ÖÓÙÔ Ð Ò ³ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ Ð ÓÙÔÙÖ 0 = {x Q : x 0} Ø ³ÓÔÔÓ Ð ÓÙÔÙÖ A Ð ÓÙÔÙÖ A = {y Q : x A, y x}. Ë A Ø B ÓÒØ ÙÜ ÓÙÔÙÖ Q ÓÒ ÔÓ {z Q : x A,x > 0, y B,y > 0, z xy} si A,B > 0, (( A)B) si A < 0,B > 0, AB = (A( B)) si A > 0,B < 0, ( A)( B) si A,B < 0, 0 si A = 0 ou B = 0. ÇÒ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÕÙ (R, ) Ø ÙÒ ÓÖÔ ÓÑÑÙØ Ø µ ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð ÙÜ ÐÓ ¹ ٠г Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ ÔÓÙÖ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð ÓÙÔÙÖ 1 = {x Q : x 1} Ø Ð³ ÒÚ Ö Ð ÓÙÔÙÖ A > 0 Ø ÒØ Ð ÓÙÔÙÖ 1/A = {y Q : x A, x > 0 y 1/x}. ÇÒ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ó x = max{x, x} ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò Rµ Ù ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ R Ú Ö ÔÓÙÖ ØÓÙ A,B,C Ò R A = 0 Ø ÙÐ Ñ ÒØ A = 0 AB = A B A+B A + B ØØ ÖÒ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÒØ ÔÔ Ð Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö º ÁÐ Ø ÔÐÙ Ö Ñ Ò º º ÔÓÙÖ ØÓÙ A,B > 0 Ò R Ð Ü Ø n Ò N Ø Ð ÕÙ B na ÓÑÑ ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÑ A > 0 Ø B Q Ð Ü Ø Ð Ñ ÒØ p,q,r,s N {0} Ø Ð ÕÙ 0 < p/q A Ø B r/s Ø n = rq ÓÒÚ ÒØ Ö ps 1µº ÍÒ ÙØÖ ÔÖÓÔÖ Ø ÖÙ Ð Ø Ð Ù Ú ÒØ º Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÌÓÙØ Ô ÖØ Ñ ÓÖ Ö Ôº Ñ ÒÓÖ µ Ø ÒÓÒ Ú R Ñ Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ö Ôº Ò Ö ÙÖ µº ÈÖ ÙÚ º ËÓ Ø P ÙÒ Ô ÖØ Ñ ÓÖ ÒÓÒ Ú Rº ÐÓÖ S = A P A Ø ÙÒ ÓÙÔÙÖ Q Ö B Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ P ÐÓÖ S B Qº ÔÐÙ B Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ P ÐÓÖ A B ÔÓÙÖ ØÓÙØ A Ò P ÓÒ S B ÕÙ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Øº ÇÒ Ô ÙØ Ö ÓÒÒ Ö Ñ Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð Ñ ÒÓÖ ÒÓÒ Ú P ÓÙ Ö Ñ ÖÕÙ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð P Ð Ñ ÒØ ÓÔÔÓ Ð Ñ ÒØ P Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ñ ÓÖ ÒÓÒ Ú Ø ÕÙ S Ø Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ P ÐÓÖ S Ø Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Bº ÁÐ Ü Ø ØÖ ÒÓÑ Ö Ù Ö Ø Ö Ø ÓÒ R ÓÒØ ÐÐ ÒØ ÕÙ R Ø Ó¹ ÑÓÖÔ Ñ ÓÖÔ ÓÖ ÓÒÒ ÔÖ Ð³ÙÒ ÕÙ ÓÖÔ ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ Ö Ñ Ò Ò Ð ÕÙ Ð ØÓÙØ Ô ÖØ Ñ ÓÖ ÒÓÒ Ú Ñ Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÓÙ¾ Ôº Î ï¾ µº ½º¾ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð º ÍÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ E Ø ÙÒ Ò Ñ Ð O Ô ÖØ E Ø Ð ÕÙ ½µ ØÓÙØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ³ Ð Ñ ÒØ O ÔÔ ÖØ ÒØ O

10 ¾µ ØÓÙØ ÙÒ ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ O ÔÔ ÖØ ÒØ Oº È Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ô ÖØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø Ð E Ø ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ú Ô ÖØ E Ø Ð Ð Ô ÖØ Ú º ÓÒ Ø E ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ O O Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ Eº Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò µ Ô ÙØ ØÖ Ö ÑÔÐ Ò Ö ÑÑ ÒØ Ô Ö E ÔÔ ÖØ ÒØ O Ø A B ÔÔ ÖØ ÒØ O ÔÓÙÖ ØÓÙ A,B Ò Oº ÍÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð X ÑÙÒ ³ÙÒ ØÓÔÓÐÓ O ÙÖ Xº È Ö Ù ÓÒ ÒÓØ ÓÙÚ ÒØ X Ð ÓÙÔÐ (X,O)º Ä Ð Ñ ÒØ O ÓÒØ ÔÔ Ð Ð ÓÙÚ ÖØ X ÓÙ Ð ØÓÔÓÐÓ O ÕÙ Ò ÓÒ Ú ÙØ ÔÖ Öµº Ä ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÙÚ ÖØ ³ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ³ ÔÔ ÐÐ ÒØ Ð ÖÑ ØØ ØÓÔÓÐÓ¹ º ÌÓÙØ ÙÒ ÓÒ Ò ÖÑ Ø ÖÑ ØÓÙØ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÑ Ø ÖÑ ÓÒ Ø X ÓÒØ ÖÑ º Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð Ô ÖØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø Ð Ô Ö ÒØ Ö ¹ Ø ÓÒ Ø Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ Eº ÇÒ Ô ÙØ Ö ÑÔÐ Ö Ð Ø Ð Ø Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ô Ö Ð Ø ÓÒØ Ò Ö Ø ³ ØÖ Ø Ð Ô Ö Ð³ÙÒ ÓÒ ÙÜ Ð Ñ ÒØ º Ü ÑÔÐ ½ Ë E Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓÖ O = {,E} Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖE Ø ØÓÔÓÐÓ ÖÓ Ö º ij Ô (E,O) Ø ÐÓÖ Ø ÖÓ Öº Ä ÙÐ ÖÑ ³ÙÒ Ô ÖÓ Ö E ÓÒØ Ø Eº ij Ò Ñ Ð P(E) ØÓÙØ Ð Ô ÖØ E Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ E ÔÔ Ð ØÓÔÓÐÓ Ö Ø º ij Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ (E,P(E)) Ø ÐÓÖ Ø Ö Øº ÌÓÙØ Ô ÖØ ³ÙÒ Ô Ö Ø Ø ÓÙÚ ÖØ Ø ÖÑ º ÍÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø Ö Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ ØÓÙ Ò Ð ØÓÒ ÓÒØ ÓÙÚ ÖØ º Ü ÑÔÐ ¾ Ë E Ø F ÓÒØ Ò Ñ Ð O Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ E Ø f : F E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð f 1 (O) f 1 (A) ÐÓÖ ÕÙ A Ô ÖÓÙÖØ O Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÔÔ Ð ØÓÔÓÐÓ Ñ Ö ÔÖÓÕÙ ÙÖ F ÚÓ Ö Ù Ð Ô Ö Ö Ô ¾º µº ij Ò Ñ Ð ÖÑ f 1 (O) Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð Ñ Ö ÔÖÓÕÙ ÖÑ Oº Ü ÑÔРij ÒØ Ö Ø ÓÒ O = j J O j ³ÙÒ Ñ ÐÐ (O j ) j J ØÓÔÓÐÓ ÙÖ E Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ E ØØ Ñ ÐÐ Ø Ú Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ØØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ð³ Ò Ñ Ð ØÓÙØ Ð Ô ÖØ Eµº Ò Ø (U i ) i I Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ð Ñ ÒØ O ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙ i I Ø j J Ð Ô ÖØ U i ÔÔ ÖØ ÒØ O j Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ð Ô ÖØ i I U i I Ø Ò Ø i I U i ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ O j ÔÓÙÖ ØÓÙØ j Ò J ÓÒ ÐÐ ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ Oº ÆÓÙ ÙØ Ð ÖÓÒ Ø Ü ÑÔÐ Ò Ð Ô ØÖ ¾ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ð³ ÒÐÙ ÓÒµ ÓÑÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ú Ö ÒØ ÖØ Ò ÔÖÓÔÖ Ø º Ü Ö º½ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð Ô ÖØ Ú ÓÙ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ Ò E Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ Eº ÍÒ Ø ÓÒ f : X Y ÒØÖ ÙÜ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ð³ Ñ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö f Ð ØÓÔÓÐÓ Y Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Xº ÙÜ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ X Ø Y ÓÒØ ÓÑ ÓÑÓÖÔ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ X Ò Y º Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ f : X Y Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð³ ѹ Ö ÔÖÓÕÙ Ô Ö f ØÓÙØ ÓÙÚ ÖØ Y Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ X Ø Ð³ Ñ Ö Ø Ô Ö f ½¼

11 ØÓÙØ ÓÙÚ ÖØ X Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Y º Ä Ø ÓÒ ÒÚ Ö ³ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÒÓÖ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÙÒ ÓÑ Ó¹ ÑÓÖÔ Ñ º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒØ Ø ³ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ØÖ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÙÖ ØÓÙØ Ò Ñ Ð ³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º ÍÒ ÔÖÓÔÖ Ø (P) ÙÖ ÙÒ ÓÐÐ Ø ÓÒ C ³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ØÓÙØ Ð Ñ ÒØ C ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ Ð Ñ ÒØ C Ý ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø (P) Ñ Ø Ù Ð ÔÖÓÔÖ Ø (P)º ÆÓÙ Ò ÔÖ ÖÓÒ Ô C ÐÓÖ ÕÙ C Ø Ð ÓÐÐ Ø ÓÒ ØÓÙ Ð Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ º È Ö Ü ÑÔÐ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ ÖÓ Ö Ø ØÖ Ö Ø ÓÒØ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÍÒ ØÝÔ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ö ØÓÔÓÐÓ Ù Ø Ð Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÖ Ð Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ³ÙÒ ÓÐÐ Ø ÓÒ ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔÐ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØ n N Ð Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÖ Ð Ú Ö Ø ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ Ò ÓÒ n ÚÓ Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ô Ö Ö Ô ½º µ Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ú ÓÒ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ µ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÒÒ Ø ÐÐ ÕÙ ÓÑÔ Ø ÚÓ Ö Ð Ô ÖØ µ ÓÒÒ Ü ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º µ ººº È Ö Ü ÑÔÐ ÚÓ Ð Ð Ø ÓÒ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÙÖ ÓÑÔ Ø ÓÒÒ Ü ÓÖ ÒØ Ð ÒÓÙ Ò Ò ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ñ ³ Ø Ð Ô Ö ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÒÓÒ ØÖ Ú Ðµ ØÓÙØ Ð ÙÖ ÓÑÔ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò R 3 Ø Ð Ù Ø ÓÒ Ö Ö Ò ØØ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒµ ØÓÙØ ÙÖ ÓÑÔ Ø ÓÒÒ Ü ÓÖ ÒØ Ð Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÙÖ Ð Ð Ø ¹ ÓÙ Ò Ü Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö g N ÒØÖÓ Ù Ø Ô Ö Ê Ñ ÒÒ ÔÔ Ð ÒÖ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ö Ê Ý µ S 2 T 2 T 2 #T 2 T 2 #T 2 #...#T 2 Ô Ö ØÓÖ ÙÖ ÓÖ ÒØ Ð ÒÖ g Ä n = 3 Ò Ö Ø ÓÙÐ Ö ÙÓÙÔ ³ ÒÖ Ö ÑÑ ÒØ Ú Ð ØÖ Ú ÙÜ Ì ÙÖ ØÓÒ Ø È Ö ÐÑ Ò ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ µº ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÒ Ñ Ñ Ð ÙÖ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÖÙØÙ Ù ÓÒÒ ÒØ ÓÙÚ ÒØ Ð Ù Ð³ ÒÚ ÒØ ÓÒ ÓÙ ÓÙÚ ÖØ Ù Ú ÒØ Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÐÓ ÓÔ ÕÙ µ ³ ÒÚ Ö ÒØ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ð ÔÐÙ ÓÙ¹ Ú ÒØ Ñ Ô ÙÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ò ØÙÖ Ð Ö ÕÙ µ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÒÚ Ö ÒØ ØÓÔÓÐÓ Ð Ö ÕÙ ÚÓ Ö ÓÙÖ Ð³ ÒÒ ÔÖÓ Ò ºººµ ÓÙ Ð Ö ÒØ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò¹ Ø ÕÙ ÚÓ Ö ÓÙÖ ÓÒ ÒÒ Ñ Ø Ö µº ÆÓÙ Ø ÖÑ ÒÓÒ Ô Ö Ö Ô Ô Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ ³ÓÖ Ò Ð Ö ÕÙ º Ü ÑÔÐ ËÓ ÒØ k ÙÒ ÓÖÔ ÓÑÑÙØ Ø n ÙÒ Ð Ñ ÒØ N Ø A n (k) = k n º ÍÒ ÖÑ Ö A n (k) Ø ÙÒ Ô ÖØ Ð ÓÖÑ F = {x k n : i I,P i (x) = 0}, Ú (P i ) i I ÙÒ Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÑ ÙÖ k n º ij Ò Ñ Ð ÖÑ Ö Ø Ð³ Ò Ñ¹ Ð ÖÑ ³ÙÒ ÙÒ ÕÙ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ A n (k) ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ö º ÈÖ ÙÚ º ij Ò Ñ Ð Ú Ø ÙÒ ÖÑ Ö Ö ³ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Þ ÖÓ Ù ÔÓÐݹ ÒÑ ÓÒ Ø ÒØ 1º Ë F,F ÓÒØ ÖÑ Ö Ò Ñ Ð Þ ÖÓ ÓÑÑÙÒ ½½

12 Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÑ (P i ) i I,(Q j ) j J Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓÖ F F Ø Ð³ Ò Ñ Ð Þ ÖÓ ÓÑÑÙÒ Ð Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÑ (P i Q j ) (i,j) I J ÓÒ Ø ÙÒ ÖÑ Ö º Ë F j ÔÓÙÖj J Ø ÙÒ ÖÑ Ö Ò Ñ Ð Þ ÖÓ ÓÑÑÙÒ Ð Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÑ (P i,j ) i Ij ÐÓÖ j J F j Ø Ð³ Ò Ñ Ð Þ ÖÓ ÓÑÑÙÒ P i,j ÔÓÙÖ j J Ø i I j ÓÒ Ø ÙÒ ÖÑ Ö º Ê Ñ ÖÕÙ º Ò Ø Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ØÞ À Ð ÖØ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ È Ö µ ØÓÙØ ÖÑ Ö A n (k) Ø Ð³ Ò Ñ Ð Þ ÖÓ ÓÑÑÙÒ ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÑ º ÍÒ Ü ÑÔÐ ÖÙ Ð ÓÐÐ Ø ÓÒ ³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ò Ð Ô ÖØ Ù Ú¹ ÒØ º ½º Ô Ñ ØÖ ÕÙ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð º ÍÒ Ø Ò ÙÖ E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ d : E E [0,+ [ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y,z Ò E ½µ ÒÒÙÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ Ð µ ¾µ Ô Ö Ø ÓÒµ d(x,x) = 0 d(x,y) = 0 ÐÓÖ x = y µ ÝÑ ØÖ µ d(x,y) = d(y,x) µ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö µ Ë d Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ E ÐÓÖ d(x,y) d(x,z)+d(z,y)º d(x,y) d(x,z) d(z,y) ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y,z Ò E ØØ Ò Ð Ø ³ ÔÔ ÐРг Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÒÚ Ö µº ÍÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð X ÑÙÒ ³ÙÒ Ø Ò dº È Ö Ù ÒÓÙ ÒÓØ ÖÓÒ ÓÙÚ ÒØ X Ð ÓÙÔÐ (X,d) Ò ÒÓØ ÒØ ÔÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ d X Ð Ø Ò X Ò Ö Ð ÓÒØ ÜØ ÒØ Ð Ð³ Ø Ö Ö Ñ ÒØ Ø d Ò Ö Ô Ö ÙØ Ð Ø Ò ØÓÙØ Ô Ñ ØÖ ÕÙ ÓÒ Ö µº ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ f : X Y ÒØÖ ÙÜ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ x,y X, d(f(x),f(y)) = d(x,y). ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÒØ Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ú ÓÒ Ô ÖÐ Ö Ù ³ Ò Ø ÓÒ ÓÙ ÔÐÓÒ Ñ Òص ÓÑ ØÖ ÕÙ º ÍÒ ÓÑ ØÖ ÒØÖ ÙÜ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÒ ÒÚ Ö Ø ÐÓÖ Ù ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ º ÙÜ Ô Ñ ØÖ ÕÙ X Ø Y ÓÒØ ÓÑ ØÖ ÕÙ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑ ØÖ X Ò Y º ØÖ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÙÖ ØÓÙØ Ò Ñ Ð ³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º Ê Ñ ÖÕÙ º ÈÓÙÖ ÔÓÙÚÓ Ö Ò Ö ÙÒ Ø Ò ÒÓÙ ÚÓÒ Ù Ó Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0,+ [ R Ø ÔÖÓÔÖ Ø R ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º½µº Å Ð Ð Ø ÙÖ Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÙÐ ÔÖÓÔÖ Ø R ÙØ Ð Ò Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ Ø Ò Ø ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ ¹ Ò ÙÐ Ö ÒÚ Ö ÓÒØ ÐÐ ÖÓÙÔ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖÓÙÔ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ Λ ³ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÓÙ ÒÙÐ Λ + ÓÒ Ò Ø ÙÒ Λ¹ Ø Ò ÙÖ E ÓÑÑ ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ d : E E Λ + Ú Ö ÒØ Ð Ü ÓÑ ½µ µ ¹ Ù º ÆÓÙ Ö ÒÚÓÝÓÒ ÔÓÙÖ Ü ÑÔÐ ÒØ Ö ÒØ Λ¹ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÐÓÖ ÕÙ Λ = R R ÑÙÒ Ð³ÓÖ Ö Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ º ½¾

13 ËÓ Ø (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º ËÓ ÒØ x X Ø r > 0º Ä ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÒØÖ x Ø Ö ÝÓÒ r Ø B(x,r) = {y X : d(x,y) < r}. Ä ÓÙÐ ÖÑ ÒØÖ x Ø Ö ÝÓÒ r Ø Ä Ô Ö ÒØÖ x Ø Ö ÝÓÒ r Ø B(x,r) = {y X : d(x,y) r}. S(x,r) = {y X : d(x,y) = r}. ÄÓÖ Õ٠гÓÒ Ú ÙØ ÔÖ Ö Ð Ø Ò ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ð Ñ ØØÖ Ò Ò Ø ÒÓØ Ö B d (x,r) B d (x,r) S d (x,r)º Ü Ö º¾ ËÓ Ø d ÙÒ Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð Xº ÐÐ Ø Ø ÙÐØÖ Ñ ØÖ ÕÙ ÓÒ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø Ö ÑÔÐ Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÔÐÙ ÓÖØ µ d(x,y) max{d(x,z),d(z,y)}, ÔÔ Ð Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÐØÖ Ñ ØÖ ÕÙ º Ë d Ø ÙÐØÖ Ñ ØÖ ÕÙ ÑÓÒØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ º ½µ ÈÓÙÖ ØÓÙ x,y,z Ò X si d(x,z) d(z,y), alors d(x,y) = max{d(x,z),d(z,y)}. ¾µ ÌÓÙØ ÔÓ ÒØ ³ÙÒ ÓÙÐ ÔÓÙÖ d Ò Ø ÙÒ ÒØÖ º µ ÌÓÙØ ÔÓ ÒØ ³ÙÒ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÔÓÙÖ d Ø ÙÒ ÒØÖ Ð Ô Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º µ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÓÙ Ò Ð³ÙÒ ÙÜ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ð³ ÙØÖ ÓÙ Ò ÐÐ ÓÒØ Ó ÒØ º ÌÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö ÙÒ Ø Ò Ä³ Ò Ñ Ð O Ô ÖØ U X Ø ÐÐ ÕÙ x U, ǫ > 0, B(x,ǫ) U Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ X ÔÔ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò dº Ë Ù Ñ ÒØ ÓÒ ÓÒØÖ Ö ØÓÙØ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ö ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ø Ò º Ä ÔÖ ÙÚ ÕÙ O Ø Ò ÙÒ ØÓÔÓÐÓ Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ ÐÐ ÔÓÙÖ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö ÒÓÖÑ º Ò Ø Ó Ø (U i ) i I ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ð Ñ ÒØ Oº Ë I Ø Ò Ø x i I U i Ó Ø ǫ i > 0 Ø Ð ÕÙ B(x,ǫ i ) U i ÐÓÖ ǫ = inf i I ǫ i > 0 Ø B(x,ǫ) i I U iº Ë x i I U i Ó Ø i 0 I Ø Ð ÕÙ x U i0 Ø ǫ > 0 Ø Ð ÕÙ B(x,ǫ) U i0 ÐÓÖ B(x,ǫ) i I U iº ÍÒ ÓÑ ØÖ ÒØÖ ÙÜ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø Ð Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò ÐÐ ÒÚÓ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÙÖ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ò ÕÙ ÓÒ ÒÚ Ö µº ÎÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô º ÔÓÙÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ º ÍÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ (X,O) Ø Ø Ñ ØÖ Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð X ÓÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ø Oº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ Ñ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ë Ð ÔÐÙÔ ÖØ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ö ÒÓÒØÖ ÓÒØ Ñ ØÖ Ð ½

14 Ð Ü Ø ÕÙ Ò Ñ Ñ Ò Ò ÐÝ Ü ÑÔÐ ÖÙ ÙÜ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô Ñ ØÖ Ð ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔРг Ü Ö º ¹ ÓÙ µº ÔÐÙ Ò ÒÓÑ Ö ÙÜ Ð Ò³ Ü Ø Ô Ø Ò Ò ØÙÖ ÐÐ º º ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ØÓÙØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Õ٠гÓÒ ÒÚ ³ ØÙ Öµ Ò Ù ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ ÓÒÒ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔРг Ô Ë Û ÖØÞ Ò Ð³ Ü ÑÔÐ Úµ ¹ ÓÙ µº ÁÐ Ø ÓÒ ÖÙ Ð ³ ØÙ Ö Ð Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÜ¹Ñ Ñ Ò Ð ÙÔÔÓ Ö ÐÓÖ ÕÙ ³ Ø ÔÓ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ Ø Ò Ü º ÙÜ Ø Ò d Ø d ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E ÓÒØ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ³ Ð Ü Ø c 1 Ø Ð ÕÙ 1 x,y E, c d(x,y) d (x,y) cd(x,y). Ä Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ø Ò ÙÖE Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú¹ Ð Ò º ÙÜ Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÒØ Ø ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÐ Ò Ù ÒØ Ð Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ º Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÔÐ ÕÙ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ Ð Ö ¹ ÔÖÓÕÙ Ø ÐÓ Ò ³ ØÖ ÚÖ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ö Ö Ò Ô ÓÒ ÓÒ Ö ÙÜ ÒÓØ ÓÒ f : X X Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ ³ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ X Ø d ÙÒ Ø Ò ÙÖ X Ò Ù ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ X ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ d : X X [0,+ [ Ò Ô Ö d (x,y) = d(f(x),f(y)) Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ X ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ d Ñ ÕÙ Ò³ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ d ÕÙ f Ø Ð Ô ØÔÞ ÒÒ ÚÓ Ö Ð Ô ÖØ º µº ËÓ Ø A ÙÒ Ô ÖØ Xº ÈÓÙÖ x X ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ø Ò x A Ð ÒÓÑ Ö d(x,a) = inf{d(x,y) : y A} Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ d(x,a) = + A Ø Ú µº È Ö Ö ÙÑ ÒØ ³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ô ÖØ ÒÓÒ Ú Ø 1¹ Ð Ô ØÞ ÒÒ ÚÓ Ö Ð Ô ÖØ º µ º º Ä r¹úó Ò ÓÙÚ ÖØ A Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ä r¹úó Ò ÖÑ A Ø Ð³ Ò Ñ Ð x,y X, d(x,a) d(y,a) d(x,y). V r (A) = {x X : d(x,a) < r}. V r (A) = {x X : d(x,a) r}. Ü Ö º ÈÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö ÙÒ Ø Ò ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ø Ð ÚÓ Ò ÓÙÚ ÖØ Ô ÖØ ÓÒØ ÓÙÚ ÖØ Ø ÕÙ Ð ÓÙÐ ÖÑ Ø Ð ÚÓ Ò ÖÑ Ô ÖØ ÓÒØ ÖÑ º Ë B Ø ÙÒ Ô ÖØ X ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ø Ò A B Ð ÒÓÑ Ö d(a,b) = inf{d(x,y) : x A, y B} = inf{d(x,b) : x A} = inf{d(y,a) : y B} Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ d(a,b) = + A ÓÙ B Ø Ú µº ½

15 Ä Ñ ØÖ A Ø Ð³ Ð Ñ ÒØ [0,+ ] Ò Ô Ö diama = sup x,y A d(x, y) A Ø ÒÓÒ Ú Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÕÙ diam = º Ë B Ø ÙÒ Ô ÖØ A ÐÓÖ diamb diamaº ÈÓÙÖ ØÓÙØ x Ò X Ø ØÓÙØ r > 0 Ð Ñ ØÖ V r (A) Ø Ô Ö Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ù ÔÐÙ 2r +diama Ø Ð Ñ ØÖ S(x,r) Ø Ù ÔÐÙ 2rº Ä Ô ÖØ A Ø ÓÖÒ ÐÐ Ø Ú ÓÙ ÓÒ Ñ ØÖ Ø Ò º Ë X Ø ÒÓÒ Ú ÕÙ Ú ÙØ Ô Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ù Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø x 0 X Ø r > 0 Ø Ð ÕÙ A Ó Ø ÓÒØ ÒÙ Ò B(x 0,r)º ÍÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ Ò X Ø ÓÖÒ ÓÒ Ñ Ø ÓÖÒ º ÁÐ Ø Ô Ö Ó ÙØ Ð Ö Ö ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÙÐ Ö ÝÓÒ Ñ Ò Ñ Ð ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ô ÖØ ÒÓÒ Ú ÓÖÒ ÓÒÒ ÚÓ Ö À ÔÓÙÖ ÙÒ ØÖ ÓÐ ÓÐÐ Ø ÓÒ ³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ò Ð ÕÙ Ð Ø ÔÓ Ð µº Ä Ú Ö Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ð Ò Ü Ö º Ü ÑÔÐ µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ò Ñ Ð E г ÔÔÐ Ø ÓÒ d Ò Ô Ö { 0 si x = y d(x,y) = 1 sinon Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ E ÔÔ Ð Ð Ø Ò Ö Ø º Ä ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö ØØ Ø Ò Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ö Ø Ð ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ö ÝÓÒ 1 2 ÓÒØ Ð Ò Ð ØÓÒ µº Ü ÑÔÐ µ ËÓ ÒØ (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø Y ÙÒ Ô ÖØ Xº Ä Ö ØÖ Ø ÓÒ d Y Y Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ Y Ø Ò Ù Ø º Ë Ù Ñ ÒØ ÓÒ ÜÔÐ Ø Ù ÓÒØÖ Ö ØÓÙØ Ô ÖØ ³ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ö ÑÙÒ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ø ÓÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ø Ò Ò Ù Ø ÕÙ ÒÓÙ Ö Ø Ö ÖÓÒ Ø ØÙ ÖÓÒ Ò Ð Ô ÖØ ¾º Ð Ø Ð ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ô ÖØ A Y Ø ÓÙÚ ÖØ ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Y Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ U X Ø Ð ÕÙ A = U Yµº Ü ÑÔÐ µ ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ Ð ÓÖÔ K = R ÓÙ K = Cº ÍÒ ÒÓÖÑ ÙÖ E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ E Ò [0,+ [ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò E Ø ØÓÙØ λ Ò K µ x = 0 Ø ÙÐ Ñ ÒØ x = 0 µ ÓÑÓ Ò Ø µ λx = λ x µ ÓÙ ¹ Ø Ú Ø µ x+y x + y º Ë f : E F Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ Ð Ò Ö ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð F ÙÖ K ÐÓÖ y f 1 (y) Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ F ÔÔ Ð Ð ÒÓÖÑ Ñ Ô Ö fº ÍÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ö Ð ÓÙ ÓÑÔÐ Ü µ Ø ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÓÙ ÓÑÔÐ Ü µ ÑÙÒ ³ÙÒ ÒÓÖÑ º È Ö Ü ÑÔÐ (R, ) Ø (C, ) ÓÒØ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ º Ë (E, ) Ø ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÓÙ ÓÑÔÐ Ü µ ÒÓÖÑ ÐÓÖ Ð Ø Ð Ú Ö Ö Ø Ð Ø Ø Ð³ ÒÒ ÖÒ Ö µ ÕÙ d(x,y) = x y Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð E Ø Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ º Ä ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö ÙÒ ÒÓÖÑ Ø ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö ØØ ÒÓÖÑ Ø Ø ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ð ÔÖ Ô Ö ØÓ Ö µº Ë Ù Ñ ÒØ ÓÒ ÓÒØÖ Ö ØÓÙØ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ö ÑÙÒ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö ÒÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓÙØ Ô ÖØ ³ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÙØ Ô ÖØ R Ø Cµ Ö ÑÙÒ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ø Ò Ò Ù Ø ºººµº ½

16 Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö f : E F ÒØÖ ÙÜ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ µ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÖ ÖÚ Ð ÒÓÖÑ º º x E, f(x) = x. ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÓÙ ÓÑÔÐ Ü º ÙÜ ÒÓÖÑ Ø ÙÖ E ÓÒØ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò E 1 c x x c x. Ä Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÒÓÖÑ ÙÖ E Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú¹ Ð Ò º ÙÜ ÒÓÖÑ ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ø Ò Ò Ù Ø ÓÒØ ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ Ø Ø Ò ÓÒØ ÐÓÖ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÆÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ ÔÐÙ ÐÓÒ Ù Ñ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ö Ô ¾º º Ø ÙÖØÓÙØ Ò Ð Ô ØÖ ÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ º ¹ ÓÙ ÒÓÙ ÒÓÒ Ð ÓÙÐ ÙÒ Ø ÔÓÙÖ n = 2 Ø Ú Ö Ú Ð ÙÖ p Ò [1,+ ] ÒÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ ÙÖ Ð³ Ô Ú ØÓÖ Ð R n Ó Ô Ö ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ( n ) (x 1,...,x n ) p = x i p 1/p i=1 (x 1,...,x n ) = max 1 i n x i. Ä ÒÓÖÑ 2 ÙÖ R n Ø ÔÔ Ð Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ø ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ ÙÖ R n º ÓÙÐ ÙÒ Ø ÓÙÐ ÙÒ Ø ÓÙÐ ÙÒ Ø ÓÙÐ ÙÒ Ø ÓÙÐ ÙÒ Ø Ü Ö º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙØ Ð ÓÑ ØÖ R n ÑÙÒ Ð Ø Ò d p Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ p º ij Ü Ö Ù Ú ÒØ Ø ÕÙ ØÓÙØ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÙÒ ÓÙ ¹ Ô ³ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ ÓÙ ¹ Ô Ø ÒØ ÑÙÒ Ð Ö ØÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ µº Å Ò³ Ø Ô ÙÒ Ö ÓÒ ÔÓÙÖ Ò ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÒÓÖÑ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ð ÓÑ ØÖ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÚ ÒØ ÔÔÓÖØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ ØÙ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÒ º ½

17 Ü Ö º Ì ÓÖ Ñ ³ Ö Ò ¹ ÐÐ µ ËÓ ÒØ X ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ x 0 ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü X F г Ò Ñ Ð Ô ÖØ Ò ÒÓÒ Ú X Ø B(F) г Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÒ f F Ò R ÑÙÒ Ð ÒÓÖÑ Ø ÙÒ ÓÖÑ f = sup f(a). A F ÈÓÙÖ ØÓÙØ x Ò X ÒÓØÓÒ f x : F R г ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ö f x : A d(x,a) d(x 0,A). ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x f x Ø ÙÒ ÓÑ ØÖ X ÙÖ ÓÒ Ñ Ò B(F)º Ò Ù Ö ÕÙ ØÓÙØ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÙÒ ÖÑ ³ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ º Ü ÑÔÐ Úµ Ë n N {0} Ø E 1,...,E n ÓÒØ Ô Ñ ØÖ ÕÙ ÐÓÖ Ð³ÙÒ Õ٠й ÓÒÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ d p ¹ ÓÙ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ù Ø E = E 1 E n ÔÓÙÖ ØÓÙØ p [1,+ ] Ø ÔÓÙÖ ØÓÙ x = (x 1,...,x n ),y = (y 1,...,y n ) Ò E { ( n ) 1/p d p (x,y) = i=1 d(x i,y i ) p si p + max 1 i n d(x i,y i ) sinon. ÔÐÙ Ø Ò d p ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ËÓ ÒØ n N {0} E 1,...,E n Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ø p [1,+ ]º ÐÓÖ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ p : E 1 E n [0,+ [ Ò Ô Ö p + Ø ( n ) (x 1,...,x n ) p = x i p 1/p i=1 (x 1,...,x n ) = max 1 i n x i ÓÒØ ÒÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ ÔÔ Ð ÒÓÖÑ ÔÖÓ Ù Ø ÙÖ Ð³ Ô Ú ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø E 1 E n Ø Ð Ø Ò Ó Ð ÒÓÖÑ p Ø Ð Ø Ò ÔÖÓ Ù Ø d p Ø Ò Ó ÙÜ ÒÓÖÑ E i º Ü ÑÔÐ Úµ ÍÒ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÓÙ Öص ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ d : E E [0,+ [ Ú Ö ÒØ Ð Ü ÓÑ ½µ µ Ø µ Ø Ò º ÇÒ Ò Ø Ð Ô Ù Ó¹ ÓÙÐ Ø Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÒ Ô ÖØ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ø Ò º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙ x E Ø ǫ > 0 ÓÒ ÒÓØ B(x,ǫ) = {y E : d(x,y) < ǫ}, Ø B d (x,ǫ) ÐÓÖ Õ٠гÓÒ Ú ÙØ ÔÖ Ö Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò µ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð Ô Ù Ó¹µ ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÒØÖ x Ø Ö ÝÓÒ ǫ ÔÓÙÖ Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò dº ÍÒ Ñ ÐÐ (d i ) i I Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø Ø Ô Ö ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ø ÒØ Ò E Ð Ü Ø i I Ø Ð ÕÙ d i (x,y) 0º Ê Ñ ÖÕÙ c > 0 Ø d Ø ÙÒ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ E ÐÓÖ cd, min{c,d}, ½ d 1+d

18 ÓÒØ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ E Ð ÙÜ ÖÒ Ö Ø ÒØ ÓÖÒ Ñ ÓÖ Ô Ö c Ø 1 Ö Ô Ø Ú Ñ Òص г ÔÔÐ Ø ÓÒ x x 1+x Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ [0,+ ] Ø ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y 0 x+y 1+x+y x 1+x + y 1+y. d Ë ÔÐÙ d Ø ÙÒ Ø Ò ÐÓÖ Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò cd,min{c,d}, 1+d ÓÒØ ¹ Ø Ò Ò Ù ÒØ Ð Ñ Ñ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ d ÙÖ Eº ÍÒ ÓÑÑ ÓÒÚ Ö ÒØ i I d i Ô Ù Ó¹ Ø Ò ³ÙÒ Ñ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d i ) i I Ø ÙÒ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÕÙ Ø ÙÒ Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ø Ô Ö ÒØ º ÍÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ò sup i I d i Ô Ù Ó¹ Ø Ò ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d i ) i I Ø ÙÒ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÕÙ Ø ÙÒ Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ø Ô Ö ÒØ º ÌÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ËÓ ÒØ E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø (d α ) α A ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ Eº ij Ò Ñ Ð O Ô ÖØ U E Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò U Ð Ü Ø ǫ > 0 Ø A ÙÒ Ô ÖØ Ò A Ø Ð ÕÙ α A B dα (x,ǫ) U Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ X ÕÙ Ø ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ô Ö Ð Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d α ) α A º Ë Ð Ñ ÐÐ (d α ) α A Ø ÓÑÔÓ ³ÙÒ ÙÐ Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÙÒ Ø Ò ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º Ä ÔÖ ÙÚ ÕÙ O Ø Ò ÙÒ ØÓÔÓÐÓ Ø Ñ Ð Ö ÐÐ ÔÓÙÖ Ð Ø Ò º Ò Ø Ó Ø (U i ) i I ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ð Ñ ÒØ Oº Ë I Ø Ò Ø x i I U i ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i I Ó ÒØ ǫ i > 0 Ø A i ÙÒ Ô ÖØ Ò A Ø Ð ÕÙ α A i B dα (x,ǫ i ) U i º ÐÓÖ ǫ = inf i I ǫ i Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø A = i I A i Ø Ò Ø α A B d α (x,ǫ) i I U iº ÓÒ O Ø Ø Ð Ô Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò º Ë x i I U i Ó Ø i 0 I Ø Ð ÕÙ x U i0 º ËÓ ÒØ ǫ > 0 Ø A ÙÒ Ô ÖØ Ò A Ø Ð ÕÙ α A B d α (x,ǫ) U i0 º ÐÓÖ α A B d α (x,ǫ) i I U iº ÓÒ O Ø Ø Ð Ô Ö ÙÒ ÓÒ º Ü Ö º ½µ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ö ÒØ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d n ) n N º ËÓ ÒØ (a n ) n N ÙÒ Ù Ø Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö + n=0 a n ÓÒÚ Ö Ø (b n ) n N ÙÒ Ù Ø Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö 0º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ δ(x,y) = sup n N δ (x,y) = n N min{b n,d n (x,y)} a n d n (x,y) 1+d n (x,y) δ (x,y) = n Na n min{1,d n (x,y)} ÓÒØ Ø Ò ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÖ E ÓÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ô Ö Ð Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d n ) n N º ½

19 ¾µ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ ³ Ò Ñ Ð E ÑÙÒ ³ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ö ÒØ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d n ) n N Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ø Ò δ(x,y) = sup n N Ò Ó ÒØ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ º min{1,d n (x,y)}, δ (x,y) = n N 2 n d n (x,y) 1+d n (x,y) ÍÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð E ÙÖ Ð ÓÖÔ K = R ÓÙ K = C Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ E Ò [0,+ [ Ú Ö ÒØ x,y E, λ K, 0 = 0, λx = λ x, x+y x + y, ³ ع¹ Ö Ú Ö ÒØ ØÓÙØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ³ÙÒ ÒÓÖÑ Ù Ô Ùع ØÖ Ð³ Ü ÓÑ Ô Ö Ø ÓÒ x = 0 = x = 0º Ë Ø ÙÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð E ÐÓÖ d(x,y) = x y Ø ÙÒ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð E Ø Ò Ù Ø Ô Ö º ÍÒ Ñ ÐÐ ( i ) i I Ñ ¹ÒÓÖÑ ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð E Ø Ø Ô Ö ÒØ Ð Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò Ó Ð³ Ø ÓÙ Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò E x α = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ α Ò A ÐÓÖ x = 0º ij Ô Ë Û ÖØÞ ÓÒØ ÓÒ ÖÓ Ò Ö Ô È Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ ØÓÙØ r N {0} ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ f г Ô ÙÐ Ò Ù Ù Ð R r Ò R ÕÙ Ø Ð º º Ð C µ Ø Ø ÖÓ Ò Ö Ô ÔÓÙÖ ØÓÙ k Ò N m = (m 1,...,m r ) N r Ø x = (x 1,...x r ) Ú Ñ Ò Ö Ù Ù ÐÐ m = m 1 + +m r Ø m f = г ÔÔÐ Ø ÓÒ x (1+ x k ) m f(x) m x m f µ x mr r Ø ÓÖÒ º ÆÓØÓÒ S(R r ) г Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ f R r Ò R Ð ÖÓ Ò Ö Ô º ÐÓÖ f k,m = sup x R r (1+ x k ) m f(x) Ø ÙÒ Ñ ¹ÒÓÖÑ ÙÖ S(R r )º ÆÓØÓÒ I = N N r Ø (d k,m ) (k,m) I Ð Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÙÖ S(R r ) Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ñ ¹ÒÓÖÑ k,m ÕÙ Ø Ô Ö ÒØ º ËÓ Ø ϕ : I [0,+ [ ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö i I 2 ϕ(i) ÓÒÚ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ϕ(k,m) = k+ m µº ÆÓØÓÒ d ϕ (x,y) = i I 2 ϕ(i) d i (x,y) 1+d i (x,y). ÐÓÖ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ d ϕ Ò ¹ Ù ÓÒØ Ô Ö Ð Ü ÑÔÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò ÔÖ ¹ ÒØ Ø Ò ÓÖÒ ÙÖ S(R r )º ÔÐÙ Ð Ø Ò d ϕ ÓÒØ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ð ÑÓÒØÖ Ñ ÒØ ÚÓ Ö Ð³ Ü Ö º ½µµº Ò Ð³ Ò Ñ Ð S(R r ) Ø ÑÙÒ ÒÓÑ Ö Ù Ø Ò ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ º ÆÓÙ Ò ÖÓÒ Ñ Ò Ö ÒØÖ Ò ÕÙ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ô Ö Ø Ò Ù Ô Ö Ö Ô ¾º¾º ½

20 ÆÓÙ Ò ÖÓÒ Ò Ð Ô Ö Ö Ô º½ ÙÒ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ y Ò ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ (X,d) ÓÑÑ ÙÒ Ù Ø (x n ) n N Ø ÐÐ ÕÙ d(x n,y) 0º ÁÐ Ø Ð ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ø Ò d ϕ Ò ÒØ Ð Ñ Ñ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ò S(R r ) º º ÙÒ Ù Ø (f n ) n N Ò S(R r ) ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ g S(R r ) ÔÓÙÖ Ð³ÙÒ Ø Ò Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÐÐ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ñ Ñ Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙØÖ Ö ³ Ø Ð Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÙÔÐ (m,k) Ð Ù Ø Ö Ð f n g k,m ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 ÕÙ Ò n Ø Ò Ú Ö + µº Å Ð Ò³ Ø Ô Ð Ö Õ٠гÙÒ Ø Ò Ó Ø Ñ ÐÐ ÙÖ ÕÙ Ð ÙØÖ º ³Ó г ÒØ Ö Ø ³ÙÒ ÒÓØ ÓÒ Ò Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÚÓ Ö Ð Ô ÖØ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò³ Ø Ô ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ³ÙÒ Ø Ò Ñ ³ Ø ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ ÕÙ³ ÐÐ Ò Ù Øº Ü Ö º ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ Ð ÓÖÔ K = R ÓÙ K = C Ø O ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ Eº ÇÒ Ø ÕÙ O Ø ÒÓÖÑ Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ E ÓÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ø Oº Ë A Ø ÙÒ Ô ÖØ E Ø λ K ÓÒ ÒÓØ λa = {λx : x A}º ½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ O Ø ÒÓÖÑ Ð ÐÓÖ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ E E E (x,y) x y et K E E (λ, y) λy ÓÒØ ÓÒØ ÒÙ ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º ÔÓÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ð Ô Ö Ö Ô ¾º Ø Ð Ö Ñ ÖÕÙ µ Ù Ú ÒØ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º µ ÔÓÙÖ ÐÐ Ð ØÓÔÓÐÓ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ µº ¾µ Ë Ð ØÓÔÓÐÓ O Ø ÒÓÖÑ Ð Ø Ò Ô Ö ÙÒ Ø Ò d ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ǫ > 0 Ù ÑÑ ÒØ Ô Ø Ø Ð³ Ò Ñ Ð U = { 1 n+1b(0,ǫ) : n N} Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò ÓÙÚ ÖØ Ù Ú Ø ÙÖ ÒÙÐ ÔÓÙÖ O º º U O 0 ÔÔ ÖØ ÒØ ØÓÙØ Ð Ñ ÒØ U Ø ØÓÙØ ÓÙÚ ÖØ O ÓÒØ Ò ÒØ 0 ÓÒØ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ U ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º µº µ Ò Ù Ö Õ٠г Ô Ë Û ÖØÞ ÓÒØ ÓÒ ÖÓ Ò Ö Ô Ò³ Ø Ô ÒÓÖÑ Ð º Ü ÑÔÐ Ú µ Ä ÔÔÐ Ø ÓÒ d C C Ò [0,+ [ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ø Ò ÙÖ C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÔ Ð Ø Ò ËÆ Ø Ø Ò Ù Ô Ò { x y si x et y sont colinéaires sur R d(x,y) = x + y sinon Ø d(x,y) = { x y si Rex = Rey Imx + Imy + Rex Rey sinon. Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ø Ò ÓÒØ Ö ÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ù Ù ÐÐ Cº Ø Ò ËÆ Ø Ò Ù Ô Ò ¾¼

21 Ü ÑÔÐ Ú µ ËÓ Ø (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º ÍÒ Ñ Ò Ò X Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ γ [0,1] Ò X ÕÙ Ø ÓÒØ ÒÙ º º Ø ÐÐ ÕÙ ǫ > 0, t 0 [0,1], η > 0, t [0,1], t t 0 < η = d(γ(t),γ(t 0 )) < ǫ, ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô ½º µ º Ä ÜØÖ Ñ Ø ³ÙÒ Ñ Ò γ ÓÒØ Ð ÔÓ ÒØ γ(0) Ø γ(1)º Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÙÒ Ñ Ò γ X Ø n longγ = sup d(γ(t i ),γ(t i+1 )), i=0 Ó Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ø ÔÖ ÙÖ ØÓÙ Ð n Ò N Ø ØÓÙØ Ð Ù Ú ÓÒ t 0 = 0 < t 1 < < t n < t n+1 = 1 [0,1]º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö longγ d(γ(0),γ(1)). ÙÜ Ñ Ò γ,γ ÕÙ Ò Ö ÒØ ÕÙ Ô Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ð ÓÙÖ º º γ = γ ϕ Ó ϕ : [0,1] [0,1] Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ µ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÐÓÒ Ù ÙÖº Ë γ : [0,1] X Ø γ : [0,1] X ÓÒØ ÙÜ Ñ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ð ÕÙ γ(1) = γ (0) ÓÒ ÔÔ ÐÐ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ñ Ò γ Ø γ г ÔÔÐ Ø ÓÒ γ : [0,1] X ÒÓØ ÓÙÚ ÒØ γ γ Ò Ô Ö { γ γ(2t) si t [0, 1 (t) = 2 ] γ (2t 1) si t [ 1 2,1]. Ò Ð³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ (X,d) Ð Ø Ð Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ γ Ø ÒÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÓÒØ ÒÙµ γ(0) γ (1)º ÍÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ü Ô Ö Ö Ö Ø Ð ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò X Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ò ³ ÜØÖ Ñ Ø x,yº Ë X Ø ÓÒÒ Ü Ô Ö Ö Ö Ø Ð ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ d l ÕÙ Ù ÓÙÔÐ (x,y) ÔÓ ÒØ X Ó Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ò ³ ÜØÖ Ñ Ø x,y Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ X ÔÓÙÖ Ú Ö Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙØ Ð Ö Ð ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ð ÕÙ Ô Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ µº ÐÐ Ø ÔÔ Ð Ð Ø Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ò Ù Ø Ô Ö d Ø ÐÐ Ú Ö d l d et (d l ) l = d l. ØØ ÖÒ Ö Ð Ø Ò³ Ø Ô Ú ÒØ ÕÙ Ð Ö Ð Ø Ò d Ø d l Ò ÓÒØ Ô ØÓÙ ÓÙÖ ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÚÓ Ö ÖÓ½ Ô ºµ ÍÒ Ô ÐÓÒ Ù ÙÖ Ø ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ (X,d) Ø Ð ÕÙ d = d l Ø d Ø ÐÓÖ ÔÔ Ð ÙÒ Ø Ò ÐÓÒ Ù ÙÖº ÍÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ X Ø Ó ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò X Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ò ³ ÜØÖ Ñ Ø x,y ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð d(x,y)º Ò Ö ÙÒ Ô Ó ÕÙ Ø ÙÒ Ô ÐÓÒ Ù ÙÖº Ü ÑÔРij Ô ÙÐ Ò R 2 ÔÖ Ú 0 Ø ÙÒ Ô ÐÓÒ Ù ÙÖ ÕÙ Ò³ Ø Ô Ó ÕÙ º ÌÓÙØ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ØÓÙØ ÓÒÚ Ü ³ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ø ÙÒ Ô Ó ÕÙ Ô Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð Ð Ò ÖÓ Ø Ý Ø ÙÒ ÔÐÙ ÓÙÖØ Ñ Ò Ä³ Ò Ñ Ð C ÑÙÒ Ð Ø Ò ËÆ ÓÙ Ð Ø Ò Ù Ô Ò Ø ÙÒ Ô Ó ÕÙ º ËÙÖ Ð Ô Ö ÙÒ Ø S n г Ô ÙÐ Ò Ù Ù Ð R n+1 Ð Ø Ò d Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò ÙÐ ÒÒ R n+1 Ò³ Ø Ô ÙÒ Ø Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ø Ð Ø Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ d l Ò Ù Ø Ô Ö d ÕÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÙÐ Ö Ø Ó ÕÙ Ð Ö Ö Ò ÖÐ Ý ÓÒØ Ð ÔÐÙ ÓÙÖØ Ñ Ò º ¾½

22 d l (x,y) x d(x, y) y d(x,y) = y x 0 d l (x,y) = 2arcsin d(x,y) 2 S n Ü ÑÔÐ ³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ó ÕÙ ÔÔ Ö ÒØ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ö Ñ ÒÒ ÒÒ ÓÙ ¹Ö Ñ ÒÒ ÒÒ Ø Ð ÙÖ Ò Ö Ò ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÖÓ½ ÖÓ¾ µº Ü ÑÔÐ Ú µ ËÓ Ø (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø P c (X) г Ò Ñ Ð Ô ÖØ ÖÑ ÓÖÒ ÒÓÒ Ú º ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÙÒ Ö P c (X) ³ÙÒ Ø Ò ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Ð ÓÑ ØÖ Xº ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ ÙÜ Ò Ñ Ð E Ø F ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ R ÒØÖ E Ø F Ö ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ R Ø ÙÒ Ô ÖØ E F Õ٠гÓÒ ÒÓØ xry Ù Ð Ù (x,y) R Ø Õ٠гÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ x Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ú y ÔÓÙÖ Rµ Ø ÐÐ ÕÙ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ E Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÔÓÙÖ R Ú Ù ÑÓ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ F Ø Ö ÔÖÓÕÙ Ñ Òغ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾ ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ d H : P c (X) P c (X) [0,+ [ Ò Ô Ö { } d H (K,K ) = max supd(x,k ), sup d(x,k) x K x K = inf { ǫ > 0 : K V ǫ (K ) et K V ǫ (K) }, ÓÙ ÒÓÖ Ò Ñ Ò ÒØ ÕÙ d H (K,K ) Ó Ø Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ǫ > 0 Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò R ÒØÖ K Ø K Ø ÐÐ ÕÙ x,y K K, xry = d(x,y) < ǫ. ÐÓÖ d H Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ P c (X) ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Ð ÓÑ ØÖ X ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÑ ØÖ f X ÓÒ d H (f(k),f(k )) = d H (K,K )º ØØ Ø Ò ÕÙ Ô Ò Ò Ö d Ø ÔÔ Ð Ð Ø Ò À Ù ÓÖ ÙÖ P c (X)º Ü ÑÔÐ Ë X Ø Ð³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ [0,1] Ù Ù Ð Ø A n = { k ÐÓÖ 1 d H (X,A n ) = 2(n+1) n + 0. n+1,0 k n+1} ÈÓÙÖ ØÓÙ Ð n N {0} Ø p [1,+ ] ÒÓØÓÒ B p Ð ÓÙÐ ÙÒ Ø ÖÑ R n ÔÓÙÖ Ð ÒÓÖÑ p ÚÓ Ö Ð³ Ü ÑÔÐ µµº Ä B p ÓÒØ ÖÑ ÓÖÒ ÒÓÒ Ú R n ÑÙÒ Ð Ø Ò ÙÐ ÒÒ Ù Ù ÐÐ º ÈÓÙÖ ØÓÙØ p 0 Ò [1,+ ] Ð Ø Ð ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ d H (B p,b p0 ) Ø Ò Ú Ö 0 ÕÙ Ò p Ø Ò Ú Ö p 0 Ò [1,+ ]º ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø (K n ) n N Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ù ÔÐ Ò R 2 Ó K n Ø ÓÖÑ 4 n Ñ ÒØ ÓÒ ÙØ ÐÓÒ Ù ÙÖ 1 3 n ÕÙ Ø Ò Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò K 0 Ø ¾¾

23 г ÒØ ÖÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð [0,1] K n+1 Ø Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö K n Ò Ù Ú ÒØ Ò ØÖÓ ÙÒ 4 n Ñ ÒØ K n Ø Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ð Ø Ö Ù Ñ Ð Ù τ Ô Ö Ð ÙÜ ÙØÖ Ø Ù ØÖ Ò Ð ÕÙ Ð Ø Ö Ð Ý ÒØ τ ÓÑÑ Ø ØÙ Ù Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ K n Ò ÕÙ Ð Ò³ Ø Ù Ö ³ ÑÔÓÖØ Ò µº ÁÐ Ø Ð ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ d H (K n,k n+1 ) = Ø 3 n+1 ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÖÑ ÓÖÒ K Ù ÔÐ Ò Ø Ð ÕÙ d H (K n,k) ÓÒÚ Ö Ú Ö 0 ÕÙ Ò n Ø Ò Ú Ö + г ÔÔÐ Ø ÓÒ f n : [0,1] K n Ó Ø ÒÙ Ò ÓÙÔ ÒØ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0,1] Ò 4 n Ñ ÒØ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð ÔÙ Ò ÔÖ Ò ÒØ ÙÖ ÙÒ Ñ ÒØ ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ð Ñ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ K n Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ù Ý ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô º µ ÓÒ ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ [0,1] Ò R 2 ÓÒØ Ð³ Ñ Ø Kº ÖÑ ÓÖÒ K Ø ÔÔ Ð Ð ÓÙÖ ÚÓÒ ÃÓ º K 0 K 1 K 2 Ü Ö º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÙÖ ÚÓÒ ÃÓ Ø ÓÑ ÓÑÓÖÔ [0,1] ÓÒ Ø ÓÒÒ Ü Ô Ö Ö Ù Ò Ù Ô Ö Ö Ô ½º µ Ñ Ò³ Ø Ô ÓÒÒ Ü Ô Ö Ö Ö Ø Ð ÔÓÙÖ Ð Ø Ò Ù Ù ÐÐ R 2 µº Ä ÒÓØ ÓÒ Ð Ñ Ø ÚÓ Ö Ð Ô Ö Ö Ô º½µ ÔÓÙÖ Ð Ø Ò À Ù ÓÖ Ô ÖÑ Ø ÓÙÚ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö ØÖ ÓÐ Ó Ø Ö Ø Ð ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Å Ò Ð Å Ø µº ÈÖ ÙÚ º È Ö Ò Ø ÓÒ ǫ¹úó Ò ÓÙÚ ÖØ Ð ÙÜ ÒÐÙ ÓÒ K V ǫ (K ) Ø K V ǫ (K) ÓÒØ Ú Ö Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ xry Ò Ô Ö d(x,y) { < ǫ Ø ÙÒ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò ÒØÖ K Ø K º Ë K V ǫ (K ) Ø K V ǫ (K) ÐÓÖ ÓÒ max sup x K d(x,k ), } { } sup x K d(x,k) ǫº Ë max sup x K d(x,k ),sup x K d(x,k) < ǫ ÐÓÖ K V ǫ (K ) Ø K V ǫ (K)º ij Ð Ø ØÖÓ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÙÐ Ñ Òغ Ä ÓÒØ ÓÒ d H Ø Ò ÔÓÙÖ ØÓÙ K,K Ò P c (X) ÔÓÙÖ x K Ø x K ÓÒ d H (K,K ) diamk + d(x,x ) + diamk µ ÔÓ Ø Ú ÓÙ ÒÙÐÐ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø ÒÙÐÐ ÙÖ Ð ÓÒ Ð º È Ö Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒ V ǫ (V ǫ (A)) V ǫ+ǫ (A)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ A X Ø ØÓÙ ǫ,ǫ > 0º ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ d H Ú Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö º ÇÒ Ô ÙØ Ù ÓÑÔÓ Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò R Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ K Ø K Ø ÐÐ ÕÙ d(x,x ) < ǫ xrx Ø R Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ K Ø K Ø ÐÐ ÕÙ d(x,x ) < ǫ x R x ÐÓÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ R ÒØÖ K Ø K Ò Ô ÖxR x Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð Ü Ø x Ò K Ø Ð ÕÙ xrx Ø x R x Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ K Ø K Ø ÐÐ ÕÙ d(x,x ) < ǫ+ǫ xr x Ô Ö Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö µº Ë d H (K,K ) = 0 ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Ò K ÓÒ d(x,k ) < ǫ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ǫ > 0 ÓÒ d(x,k ) = 0º ÆÓÙ Ú ÖÖÓÒ Ò Ð Ô Ö Ö Ô ½º ÕÙ ÙÒ Ô ÖØ A X Ø ÖÑ ¾ K 3

24 ÐÓÖ d(x,a) = 0 Ø ÙÐ Ñ ÒØ x ÔÔ ÖØ ÒØ Aº ÓÒ K K º È Ö ÝÑ ØÖ ÑÓÒØÖ Ð³ Ü ÓÑ Ô Ö Ø ÓÒ d H º Ü ÑÔРܵ ËÓ Ø (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º ËÓ Ø B Ð ØÖ Ù ÓÖ Ð Ò Ø M(X) г Ò Ñ Ð Ñ ÙÖ ÓÖ Ð ÒÒ µ ÔÖÓ Ð Ø ÚÓ Ö Ð ÓÙÖ ³ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ ¹ Ð Ø µº ÁÐ Ü Ø ÙÖ M(X) ÔÐÙ ÙÖ ØÓÔÓÐÓ ÒØ Ö ÒØ Ø Ò ØÙÖ ÐÐ ÚÓ Ö Ð³ Ü ÑÔÐ µ Ù Ô Ö Ö Ô ¾º¾µ Ø ØÓÔÓÐÓ Ù ÒØ Ò Ò Ö Ðº Å ÔÓÙÖ Ð ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÕÙ ÐÕÙ Ù ÔÖ Ð Ü Ø Ù ÔÐÙ ÙÖ Ø Ò ÒØ Ö ÒØ Ø Ò ¹ ØÙÖ ÐÐ ÙÖ M(X) ÚÓ Ö È Ö Î Ð µº ÆÓÙ Ò³ Ò ÓÒÒÓÒ ÕÙ³ÙÒ ¹ ÓÙ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Î Ð Ôº ÔÓÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ø Ò Ï Ö Ø Ò d W,p ÒØÖ ÙÜ Ð Ñ ÒØ µ,ν M(X) ÔÓÙÖ p [0,+ [ ( d W,p (µ,ν) = inf m Π(µ,ν) X X d(x,y) p dm(x,y)) 1/p, Ó Π(µ,ν) Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ñ ÙÖ ÓÖ Ð ÒÒ µ ÔÖÓ Ð Ø m ÙÖ Ð³ Ô ØÓÔÓÐÓ ¹ ÕÙ ÔÖÓ Ù ØX X ÚÓ Ö Ô Ö Ö Ô ¾º µ Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ñ ÙÖ Ñ ÔÔ Ð Ñ Ö Ò Ð ÚÓ Ö Ð ÓÙÖ ³ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ø µ (pr 1 ) m Ø (pr 2 ) m m Ô Ö Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÒÓÒ ÕÙ pr 1 : (x,y) x Ø pr 2 : (x,y) y Ó ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ Ø νº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ d P : M(X) M(X) [0,+ [ Ò Ô Ö d P (µ,ν) = inf { ǫ > 0 : B B, µ(b) ν(v ǫ (B))+ǫ et ν(b) µ(v ǫ (B))+ǫ }. ÐÓÖ d P Ø ÙÒ Ø Ò ÙÖ M(X)º ØØ Ø Ò Ø ÔÔ Ð Ð Ø Ò ÈÖÓ ÓÖÓÚ ÙÖ M(X)º ÈÖ ÙÚ º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ d p Ø Ú Ð ÙÖ Ò Ñ ÓÖ Ô Ö 1µ ÔÓ Ø Ú ÓÙ ÒÙÐÐ ÐÐ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø ÒÙÐÐ ÙÖ Ð ÓÒ Ð Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº Ò ÙØ Ð ÒØ ÒÓÙÚ Ù Ð Ø ÕÙ V ǫ (V ǫ (A)) V ǫ+ǫ (A)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ A X Ø ØÓÙ ǫ,ǫ > 0 Ø ÕÙ³ÙÒ ÚÓ Ò ÓÙÚ ÖØ Ø ÓÙÚ ÖØ ÓÒ ÓÖ Ð Ò Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò ÓÙÐ º Ë B Ø ÙÒ ÖÑ X ÐÓÖ ( V 1(B) ) Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ÖÓ ÒØ ÓÖ Ð Ò n n N ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð x X Ø Ð ÕÙ d(x,b) = 0 ÕÙ Ø Ð B ³ ÔÖ Ð Ô Ö Ö Ô ½º º ÓÒ Ô Ö ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÚÓ Ö Ð ÓÙÖ ³ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ø µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ µ Ò M(X) Ð Ù Ø µ ( V 1(B) ) ÓÒÚ Ö Ú Ö µ(b)º ÁÐ Ò ÓÙÐ ÕÙ n d P (µ,ν) = 0 ÐÓÖ µ(b) = ν(b) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÑ B Xº ÓÑÑ Ð ÖÑ Ò Ò Ö ÒØ Ð ØÖ Ù ÓÖ Ð Ò ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ µ = ν ÕÙ ÑÓÒØÖ Ð³ Ü ÓÑ Ô Ö Ø ÓÒ d P º Ü ÑÔРܵ ÍÒ Ø Ò d ÙÖ ÙÒ ÖÓÙÔ G Ø Ø ÒÚ Ö ÒØ Ù Ö Ôº ÖÓ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð g,x,y Ò G ÒÓÙ ÚÓÒ d(gx,gy) = d(x,y) (resp. d(xg,yg) = d(x,y) ). ÍÒ Ø Ò Ø Ø ¹ ÒÚ Ö ÒØ ÐÐ Ø ÒÚ Ö ÒØ ÖÓ Ø Ø Ù º È Ö Ü ÑÔÐ Ð Ø Ò Ò Ù Ø Ô Ö ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ º ËÙÖ Ð ÖÓÙÔ (R +, ) Ð ÓÖÑÙÐ d(a,b) = log a b ¾

25 Ø ÙÒ Ø Ò ÒÚ Ö ÒØ Ù ÓÒ ÖÓ Ø Ô Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µº ËÙÖ Ð ÖÓÙÔ O(n) ÖÓØ Ø ÓÒ R n Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÙÒ Ø Ò ¹ ÒÚ Ö ÒØ º d(x,y) = ( trace t (y x)(y x) )1 2 ÆÓÙ Ö ÒÚÓÝÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÖÓ½ Î Ð Ôº ¾ ÔÓÙÖ ³ ÙØÖ ØÖ ÓÐ Ü ÑÔÐ ³ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º ½º ÌÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö Ø ³ÓÙÚ ÖØ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ Σ P(E) Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓÙÖ Ð³ ÒÐÙ ÓÒµ ÓÒØ Ò ÒØ Σº ³ Ø Ð³ Ò Ñ Ð O ÙÒ ÓÒ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ³ Ð Ñ ÒØ Σº ³ Ø Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÙØ Ð ØÓÔÓÐÓ ÓÒØ Ò ÒØ Σº ÇÒ Ø ÕÙ O Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö Ô Ö Σ Ø ÕÙ Σ Ø ÙÒ ÔÖ Oº ÈÖ ÙÚ º ij ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÙØ Ð ØÓÔÓÐÓ ÓÒØ Ò ÒØ Σ Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ Ð Ö Ñ ÒØ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓÙÖ Ð³ ÒÐÙ ÓÒº ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ ØÓÙØ ØÓÔÓÐÓ ÓÒØ Ò ÒØ Σ ÓÒØ ÒØ Oº ÁÐ Ù Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÓÒÐÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ O Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ º ÓÙÐ Ù Ø ÕÙ E O Ø Ð ØÖ ÙØ Ú Ø ( A i ) j JB j = (A i B j ). i I i I,j J ÍÒ ³ÓÙÚ ÖØ ³ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ (X,O) Ø ÙÒ Ô ÖØ B O Ø ÐÐ ÕÙ ØÓÙØ ÓÙÚ ÖØ X Ó Ø ÙÒ ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ Bº Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ (X,O) Ø ÙÒ Ô ÖØ B O Ø ÐÐ ÕÙ U O, x U, V B, x V U. ÍÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÒÓÑ Ö Ð ³ÓÙÚ ÖØ ³ Ð Ñ Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ ÕÙ Ø ÒÓÑ Ö Ð º Ë f : X Y Ø ÙÒ ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ B Ø ÙÒ ÔÖ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ µ ³ÓÙÚ ÖØ Ò Y ÐÓÖ f 1 (B) Ø ÙÒ ÔÖ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ µ ³ÓÙÚ ÖØ Ò Xº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ ÒÓÑ Ö Ð ³ÓÙÚ ÖØ Ø ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ñ º Ü ÑÔÐ º µ ij Ò Ñ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ³ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ ÔÖ Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ º µ Ë (X,d) Ø ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ ÐÓÖ {B(x,r) : x X,r > 0} Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò d Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÐÐ ¹ º µ Ë X Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ÑÙÒ ØÓÔÓÐÓ Ò Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d α ) α A ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ ØØ ØÓÔÓÐÓ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö Ô Ö Ð³ Ò Ñ Ð ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ ÔÓÙÖ Ô Ù Ó¹ Ø Ò d α º ÔÐ٠г Ò Ñ Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò n i=1 B d αi (x,ǫ) ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ñ Ñ ÒØÖ Ø Ö ÝÓÒµ ÔÓÙÖ Ô Ù Ó¹ Ø Ò Ó α 1,...,α n A x X Ø ǫ > 0 Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ ØØ ØÓÔÓÐÓ º µ ÍÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÒÓÖÑ Ñ Ò ÓÒ Ò Ø ÒÓÑ Ö Ð ³ÓÙÚ ÖØ Ò R k г Ò Ñ Ð Ô Ú Ý ÕÙ d i=1 ]x i r i,x i + r i [ Ú Ð x i Ø r i > 0 ¾

26 Ð ÓÖÑ n 2 Ú n,m Ò Z Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ð ³ÓÙÚ ÖØ ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ m г Ò Ñ Ð ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ö ÝÓÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ø ÒØÖ Ò ÔÓ ÒØ ÓÒØ ØÓÙØ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ò ÙÒ Ü ÓÒØ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ º È Ö Ò Ø ÓÒ ØÓÙØ Ò Ñ Ð Ô ÖØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ø ÙÒ ÔÖ ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö º Å Ô Ö ÓÒØÖ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ØÖ ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ ³ÙÒ ÖØ Ò ØÓÔÓÐÓ Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÒÓÒ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ÙÖ Ð Ò Ñ Ð Ô ÖØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ö Ø Ö ÔÓÙÖ ÕÙ³ÙÒ ÔÖ Ó Ø ÙÒ µ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð º ËÓ Ø B ÙÒ Ô ÖØ P(E) Ø ÐÐ ÕÙ B = E Ø Ø ÐÐ ÕÙ ( ) U,V B, x U V, W B, x W U V. ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð O ÙÒ ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ B Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö Ô Ö Bº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö B Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ ØÓÔÓÐÓ Ò Ò Ö º ÈÖ ÙÚ º ÁÐ Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ O Ø ÙÒ ØÓÔÓÐÓ º ÓÑÑ E O Ø Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ ØÖ ÙØ Ú Ø ¹ Ù Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö Õ٠г ÒØ Ö Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ ÒØ B Ø ÙÒ ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ Bº ÓÙÐ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ( )º Ò Ø Ð ØÓÔÓÐÓ ³ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ò Ù Ô Ö Ö Ô ½º¾ Ò ÔÖ Ò ÒØ ÔÓÙÖ B г Ò Ñ Ð ÓÙÐ ÓÙÚ ÖØ Ø Ò ÑÓÒØÖ ÒØ ÕÙ B Ø Ø Ù Ö Ø Ö ¹ Ù ÔÓÙÖ Ú Ö Ö ÕÙ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ø Ò Ø Ò ÙÒ ØÓÔÓÐÓ º ÁÐ Ò Ø Ø Ñ Ñ ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ò Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ô Ù Ó¹ Ø Ò Ü ÑÔÐ Úµ Ù Ô Ö Ö Ô ½º¾µº Ü ÑÔÐ ½µ Ð ÖÓ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø Ò Ù º ËÓ ÒØ + Ø ÙÜ Ò Ñ Ð Ø ÒØ Ò³ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ô Rº ij Ò Ñ Ð Ô Ö¹ Ø R {+, } Ð ÓÖÑ ]x 1 n,x+ 1 n [ ÓÙ { } ], n[ ÓÙ ]n,+ [ {+ } Ú x R Ø n N {0} Ø ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ ÔÓÙÖ ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ R {,+ }º Ø Ò Ñ Ð ÑÙÒ ØØ ØÓÔÓÐÓ Ø ÒÓØ Rº Ü ÑÔÐ ¾µ Ð ØÓÔÓÐÓ Ë Û ÖØÞ Ø Ï ØÒ Ý ÙÖ Ð³ Ô ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ð ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Øº ËÓ ÒØ K = R ÓÙ K = C r N {0} Ø Ω ÙÒ ÓÙÚ ÖØ ÒÓÒ Ú Ð³ Ô ÙÐ Ò Ù Ù Ð R r º Ò ÓÒ Ð ÙÔÔÓÖØ ³ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ f Ω Ò K ÓÑÑ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÖÑ Ω Ò ÓÖ ÙÕÙ Ð f Ø ÒÙÐÐ º º г ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÙ Ð ÖÑ Ò ÓÖ ÕÙ Ð f Ø ÒÙÐÐ ÓÙ Ò Ö ÒÚÓÝ ÒØ Ù Ô Ö Ö Ô ½º ÔÓÙÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ³ Ö Ò µ г Ö Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÔÓ ÒØ x Ω Ø Ð ÕÙ f(x) 0µº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÙÔÔÓÖØ f Ø ÖÑ º Ê ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÓÑÔ Ø R r Ø ÔÓÙÖ Ð³ Ò Ø ÒØ ÙÒ ÖÑ ÓÖÒ R r Ø ÙÒ ÓÑÔ Ø Ω ÙÒ ÓÑÔ Ø R r ÓÒØ ÒÙ Ò Ω ÒÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ Ò Ö ÐÓÒ Ù Ñ ÒØ ÙÖ ØØ ÒÓØ ÓÒ Ò Ð Ô ØÖ ÒÓÙ Ò³ ÙÖÓÒ Ó Ò ÔÓÙÖ Ð³ ØÙ ÙÐØ Ö ÙÖ Ø Ü ÑÔÐ ÕÙ Ù Ø ÕÙ ØÓÙØ ÖÑ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ÓÑÔ Ø Ø ÕÙ ØÓÙØ Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÖØ ³ÙÒ ÓÑÔ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÜØÖ Ö ÙÒ ÓÙ ¹Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ ÓÙÚ ÖØ Ò µº ËÓ Ø D(Ω) г Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ K ÔÔÐ Ø ÓÒ Ω Ò K Ð º º Ð C µ ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Ø Ò Ωº Ê Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ D(Ω) Ø Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÔÓÙÖ K Ô ÖÓÙÖ ÒØ ¾ U x W V

27 Ð ÓÑÔ Ø Ω ÓÙ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð D K (Ω) ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ Ð ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Øµ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Kº ËÓ Ø C0,+ 0 (Ω) г Ò Ñ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ω Ò R ÒÙÐÐ ÙÖ Ð ÖÓÒØ Ö Ω Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ò Ωº ÁÐ Ò³ Ø Ô Ú ÒØ ÕÙ Ð ÕÙ C0,+ 0 (Ω) Ø ÒÓÒ Ú Ø Ñ Ñ ÒÓÒ¹ ÒÓÑ Ö Ð Ñ ÒÓÙ Ú ÖÖÓÒ Ò Ð Ô Ö Ö Ô ½º ÕÙ ÔÙ ÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö c Ω Ω Ø ÖÑ Ø ³ Ð Ø ÒÓÒ Ú ÒÓÒ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÓÒÚ ÒÒ Òص ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ t > 0 г ÔÔÐ Ø ÓÒ x t d(x, c Ω) Ω Ò R Ø ÓÒØ ÒÙ ÒÙÐÐ ÙÖ Ð ÖÓÒØ Ö Ω Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ò Ω ÓÒ ÔÔ ÖØ ÒØ C0,+ 0 (Ω)º µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ f Ò D(Ω) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε Ò Ð³ Ò Ñ Ð C 0 0,+ (Ω) ÒÓØÓÒ B f,ε г Ò Ñ Ð g Ò D(Ω) Ø Ð ÕÙ m f(x) m g(x) < ε(x) ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð x Ò Ω Ø m N r Ø Ð ÕÙ m 1 ε(x) º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ij Ò Ñ Ð B B f,ε ÔÓÙÖ f D(Ω) Ø ε C0,+ 0 (Ω) Ø ÙÒ ³ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ D(Ω) ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ë Û ÖØÞº ÈÖ ÙÚ º ÔÔÐ ÕÙÓÒ Ð Ö Ø Ö ÔÖ Òغ ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÒÓÙ Ú ÖÖÓÒ Ò Ð Ô Ö Ö Ô ½º Ù Ú ÒØ ÕÙ Ω ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ε 0 : x d(x, Ω) Ø ÓÒØ ÒÙ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÙÖ Ω Ø ÒÙÐÐ ÙÖ Ωº Ë Ω = ÔÓ ÓÒ ε 0 : x 1º ÐÓÖ Ò Ð ÙÜ ε 0 C0,+ 0 (Ω)º ÓÑÑ f B f,ε 0 г Ò Ñ Ð B Ö ÓÙÚÖ D(Ω)º ËÓ Ø g B f,ε B f,ε º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ Ω Ò [0,1[ Ò Ô Ö x m f(x) m g(x) max, m N r : m 1/ε(x) ε(x) Ò ÕÙ ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ (f,ε) Ô Ö (f,ε ) Ø ÓÒØ ÒÙ ÒÙÐÐ Ò ÓÖ ³ÙÒ ÓÑÔ Ø Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ 1 ÓÒ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ η ÔÓÙÖ ÙÒ η ]0,1[º ËÓ Ø ε = (1 η)min{ε,ε } ÕÙ ÔÔ ÖØ ÒØ C0,+ 0 (Ω)º È Ö Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ ÓÒ Ú Ö ÕÙ B g,ε B f,ε B f,ε, ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ f Ò D(Ω) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ε Ò Ð³ Ò Ñ Ð C0,+ 0 (Ω) Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Ò N ÒÓØÓÒ B f,ε,k г Ò Ñ Ð g Ò D(Ω) Ø Ð ÕÙ ÙÖ Ω m f m g < ε ÔÓÙÖ ØÓÙØ m N d Ø Ð ÕÙ m kº Ñ Ñ Ð³ Ò Ñ Ð B f,ε,k ÔÓÙÖ f D(Ω) ε C0,+ 0 (Ω) Ø k N Ø ÙÒ ³ÙÒ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ D(Ω) ÔÔ Ð Ð ØÓÔÓÐÓ Ï ØÒ Ýº ÒÖ ØÓÔÓÐÓ ÙÖØÓÙØ ÐÐ Ë Û ÖØÞµ ÒØ ÖÚ ÒØ Ò Ð Ø ÓÖ ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ë µº ÆÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ ÑÓÙÐØ Ó ÙÖ Ø Ü ÑÔÐ ÕÙ ÒÓÙ ÖÚ Ö ³ ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÒÓÑ Ö Ù ÒÓØ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ø ³ Ò ÐÝ º Ü ÑÔÐ µ Ð ØÓÔÓÐÓ Ð³ÓÖ Ö º ¾

28 ËÓ Ø (E, ) ÙÒ Ò Ñ Ð ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ º Ä ØÓÔÓÐÓ Ð³ÓÖ Ö Ø Ð ØÓÔÓÐÓ ÓÒØ ÙÒ ³ÓÙÚ ÖØ Ø Ð³ Ò Ñ Ð Ô ÖØ I E Ð ÓÖÑ I = E ÓÙ I = ]x,y[ = {z E : x z y} ou I = ],y[ = {z E : z y} ou I = ]x,+ [ = {z E : x z} ÔÓÙÖ Ð x,y Ò E г Ò Ñ Ð Ô ÖØ Ú Ö Ð Ö Ø Ö ÔÖ Ø ÕÙ ½º µº È Ö Ü ÑÔÐ Ð Ø Ð Ú Ö Ö ÕÙ Ø Ð³ÓÖ Ö Ù Ù Ð ÙÖ ØÓÙØ Ô ÖØ A R ÐÓÖ Ð ØÓÔÓÐÓ A Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Rµ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ð³ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ÙÖ A Ó Ò Òغ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÙÚ ÖØ R ÓÒØ ÓÙÚ ÖØ Ø Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÑ R ÓÒØ ÖÑ º ÆÓÙ Ö Ú Ò ÖÓÒ ÙÖ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð³ÓÖ Ö ÙÐØ Ö ÙÖ Ñ Òغ ÆÓÙ ÓÒ¹ ÒÓÒ ¹ ÓÙ ÕÙ ÐÕÙ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ ÓÖ Ö ÕÙ ÒÓÙ ÖÚ ÖÓÒØ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙ Ö Ü ÑÔÐ ³ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÔÐÙ Ø Ö º ÍÒ ÓÖ Ö ØÓØ Ð ÙÖ E Ø ÙÒ ÓÒ ÓÖ Ö ØÓÙØ Ô ÖØ ÒÓÒ Ú E Ñ Ø ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ º º A E A ÐÓÖ x A, y A, x yµº ÍÒ Ò Ñ Ð ÑÙÒ ³ÙÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ³ Ð Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÓÒÒ µº È Ö Ü ÑÔРг Ò Ñ Ð N ÑÙÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ù Ù Ð Ø Ò ÓÖ ÓÒÒ º È Ö Ü ÑÔÐ E,F ÓÒØ ÙÜ Ò Ñ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ù Ø E F ÑÙÒ Ð³ÓÖ Ö Ð Ü Ó Ö Ô ÕÙ Ò Ù Ô Ö Ö Ô ½º½µ Ø Ò ÓÖ ÓÒÒ º Ê ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ f : E F ÒØÖ ÙÜ Ò Ñ Ð ÓÖ ÓÒÒ E,F ÔÖ ÖÚ Ð³ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙ x,y Ò E x y ÐÓÖ f(x) f(y)º ÙÜ Ò Ñ Ð ÓÖ ÓÒÒ ÓÒØ Ø ÓÑÓÖÔ ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð³ÙÒ Ò Ð³ ÙØÖ ÔÖ ÖÚ ÒØ Ð³ÓÖ Ö º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ ÓÑÓÖÔ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò º ÍÒ ÓÖ Ò Ð Ø ÙÒ Ð ³ ÓÑÓÖÔ Ñ ³ Ò Ñ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ º ÓÑÑ ÙÒ Ö Ò Ð Ø ÙÒ Ð ³ ÕÙ Ú Ð Ò ³ Ò Ñ Ð ÔÓÙÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ð ³ÙÒ ÓÖ Ò Ð Ø Ò Ò º ÍÒ ÓÖ Ò Ð Ø Ø ÒÓÑ Ö Ð ÓÒ Ö Ò Ð Ð³ Ø º º ÓÒ Ö Ò Ð Ø Ð Ö Ò Ð ³ÙÒ Ô ÖØ Nµº È Ö ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÖÑ ÐÓ ÚÓ Ö ÃÖ µ ØÓÙØ Ò Ñ Ð Ñ Ø ÙÒ ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÖ Ò Ð ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ÚÓ Ö ¹ ÓÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ü ÑÔÐ Ò Ô Ò ÒØ Ô Ð³ Ü ÓÑ Ù Ó Üµº ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÓÖ ÓÒÒ º ÍÒ Ñ ÒØ Ò Ø Ð E Ø ÙÒ Ô ÖØ Ð ÓÖÑ {y E : y x} ÔÓÙÖ ÙÒ x Ò Eº ÅÙÒ Ð³ÓÖ Ö Ò Ù Ø ÐÙ E ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ø Ð E Ø Ò ÓÖ ÓÒÒ º ËÓ Ø α,β ÙÜ ÓÖ Ò ÙÜ ÓÒ Ø ÕÙ α β α Ø ÓÑÓÖÔ ÙÒ Ñ ÒØ Ò Ø Ð β ÕÙ Ò Ô Ò Ô Ó Ü Ö ÔÖ ÒØ ÒØ µº ÇÒ ÒÓØ α β α β ÓÙ α = βº ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØÓÙØ Ò Ñ Ð ³ÓÖ Ò ÙÜ ÑÙÒ Ø ÓÖ Ö Ø Ò ÓÖ ÓÒÒ º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ð ³ ÓÑÓÖÔ Ñ Ð³ Ò Ñ Ð ÕÙ Ò Ø Ò ÙÒµ Ò ÓÖ ÓÒÒ ÓÖ Ò ÙÜ ÒÓÑ Ö Ð Ø ÙÒ ÓÖ Ò Ð ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ÕÙ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÖ Ò Ð ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð º ½º ÎÓ Ò ËÓ Ø X ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø A ÙÒ Ô ÖØ Xº ¾

29 ÍÒ ÚÓ Ò A Ø ÙÒ Ô ÖØ X ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ò ÒØ Aº ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÚÓ Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ x X ÙÒ ÚÓ Ò {x}º ÍÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò A ÓÙ Ù ÔÓ ÒØ x A = {x}µ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð P ÚÓ Ò A Ø Ð ÕÙ ØÓÙØ ÚÓ Ò A ÓÒØ ÒÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØ Pº V x U ØØ ÒÓØ ÓÒ ÚÓ Ò Ô ÖÑ Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ð ØÓÔÓÐÓ º Ò Ø ÙÒ Ô ÖØ A X Ø ÓÙÚ ÖØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ö ÐÐ Ø ÐÓÖ Ð Ð Ö ÙÒ ÓÒ ÓÙÚ ÖØ ÕÙ³ ÐÐ ÓÒØ Òغ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÜ ØÓÔÓÐÓ ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ò Ñ Ð ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ð ÚÓ Ò ÔÓ ÒØ ÐÓÖ ÐÐ ÓÒØ Ð º Ë V (A) Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÚÓ Ò A ÓÒ ÒÓØ V (x) A = {x}µ ÐÓÖ ØÓÙØ Ô ÖØ X ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ V (A) ÔÔ ÖØ ÒØ V (A) ØÓÙØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ³ Ð Ñ ÒØ V (A) ÔÔ ÖØ ÒØ V (A)º Ë A Ø ÒÓÒ Ú ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ ÔÖÓÔÖ Ø ÐØÖ ÚÓ Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ Ü ÓÙ½ µ Ø ÓÒ Ô ÖÐ Ù ÐØÖ ÚÓ Ò Aºµ Ü ÑÔÐ ¼µ ij Ò Ñ Ð ÚÓ Ò ÓÙÚ ÖØ A Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò Aº ij Ò Ñ Ð ÚÓ Ò A ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ ÚÓ Ò ÓÒÒ V 0 A Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò A Ö V Ø ÙÒ ÚÓ Ò A ÐÓÖ V V 0 Ø ÙÒ ÚÓ Ò A ÓÒØ ÒÙ Ò V Ø Ò V 0 µº Ü ÑÔÐ ½µ ËÓ Ø (X,d) ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ º ÈÓÙÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ Ù Ø Ö Ð ØÖ Ø ¹ Ñ ÒØ ÔÓ Ø (r n ) n N Ø Ò ÒØ Ú Ö 0 г Ò Ñ Ð {B(x,r n ) : n N} Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ð µ ÚÓ Ò x Xº Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð ÓÙÐ ÖÑ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ñ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò ÖÑ º Å Ò³ Ø Ô ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÚÓ Ö Ð³ Ü Ö º½½µº È Ö ÓÒØÖ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ô ÖØ A X г Ò Ñ Ð {V ǫ (A) : ǫ > 0} Ò³ Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò Aº È Ö Ü ÑÔÐ A = {(x,y) R 2 : x > 0,xy = 1} Ø U = {(x,y) R 2 : x,y > 0} ÐÓÖ U Ø ÙÒ ÚÓ Ò ÓÙÚ ÖØ A ÕÙ Ò ÓÒØ ÒØ ÙÙÒ V ǫ (A)º ÎÓ Ö Ð³ Ü Ö º Ù Ô Ö Ö Ô º½ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÙÖ A ÔÓÙÖ ÕÙ {V ǫ (A) : ǫ > 0} Ò ÕÙ {V ǫ (A) : ǫ > 0} Ó Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò Aº Ñ Ñ Ó Ø X ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ø Ò Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò (d α ) α A º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x Ò X г Ò Ñ Ð Ô ÖØ α A B α(x,ǫ) X Ó ǫ > 0 Ø A Ø ÙÒ Ô ÖØ Ò A Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÚÓ Ò xº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ñ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÓѹ Ö Ð ÚÓ Ò º Ñ Ñ ØÓÙØ ÔÓ ÒØ ³ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ ÓÒØ Ð ØÓÔÓÐÓ Ø Ò Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ð Ô Ù Ó¹ Ø Ò Ñ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ð ÚÓ Ò º Ø ÓÒÒ ÙÒ Ö Ø Ö ÓÙÚ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ô ØÓÔÓÐÓ ÕÙ Ø ÒÓÒ Ñ ØÖ Ð Ð Ù Ø ³Ý Ü Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ ÕÙ Ò³ Ñ Ø Ô Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ð ÚÓ Ò º Ü ÑÔÐ ¾µ Ò Ö ÔÖ Ò ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ð³ Ü ÑÔÐ ¾µ Ù Ô Ö Ö Ô ½º ÔÓÙÖ ØÓÙØ f D(Ω) Ü Ð³ Ò Ñ Ð B f,ε,k ÔÓÙÖ ε C0 0,+ (Ω) Ø k N Ø ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð µ ÚÓ Ò f ÔÓÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ï ØÒ Ýº Ñ Ñ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ¾