Le spin ½ et la résonance magnétique nucléaire. Chapitre 12

Transcription

1 Le spin ½ et la résonance magnétique nucléaire Chapitre 12

2 1. Le spin ½

3 Le moment cinétique orbital n explique pas tout Valeurs propres : Pour une valeur de donnée, on s attend donc à valeurs possibles. Nombre impair L expérience de Stern et Gerlach On s attendrait à un nombre impair de taches. De plus, l hydrogène a un moment cinétique orbital nul dans son état fondamental, de même que l argent. Aucune déviation du faisceau d atomes n aurait donc dû être observée. L effet Zeeman Clivage des niveaux d énergie sous l action d un champ magnétique. Nombre impair de valeurs possibles. Pour certains atomes, on observe un nombre pair : effet Zeeman anormal. La structure fine de l hydrogène Raies spectrales dédoublées. Degré de liberté supplémentaire?

4 L hypothèse d Uhlenbeck et Goudsmit (1925) L électron possède un moment cinétique intrinsèque dû à sa rotation sur lui-même (spin). Mais, la théorie du moment cinétique nous dit qu un objet en rotation sur lui-même devrait avoir un moment cinétique entier et non demi-entier. Même si l image physique d une particule tournant sur elle-même est simpliste, les faits expérimentaux nous contraignent à postuler l existence d un moment cinétique intrinsèque, le spin, objet quantique sans équivalent classique.

5 Le spin de l électron : Le spin de l électron est décrit par un espace de Hilbert de dimension 2 correspondant à un moment cinétique intrinsèque, noté, associé à Base : ou encore :

6 Les matrices de Pauli (voir QCM) On introduit D après l amphi 3 : On peut aussi écrire : On pose sont les matrices de Pauli.

7 Opérateur rotation (PC3) De façon générale, on a pour une rotation d un angle infinitésimal autour de l axe la représentation suivante dans l espace de Hilbert: Pour une rotation d angle fini, on en déduit l équation différentielle (exercice) d où l on déduit Pour le spin :

8 Rotation d un spin ½ A. B. C. D. On applique une rotation d un angle à un spin ½ initialement dans l état, avec On appelle et l état du système et la valeur moyenne du spin après la rotation. Indiquez les égalités ci-contre qui sont correctes.

9 2. La précession de Larmor

10 Moment magnétique et moment cinétique En physique classique : avec charge de la particule masse de la particule En physique quantique, l invariance par rotation permet de montrer de façon générale que dans un sous-espace propre de, on a: Dans le cas de, le principe de correspondance impose : Pour le moment cinétique intrinsèque, cela dépend de la nature de la particule: Electron Proton Neutron

11 Spin ½ dans un champ magnétique uniforme (PC2) NB : pour le proton, est négatif. L évolution du système se ramène donc à un mouvement de rotation autour de l axe à la fréquence Précession de Larmor

12 La sphère de Bloch L état quantique d un spin ½ (ou d un système à deux niveaux) est entièrement déterminé à une phase globale près par la position d un point sur une sphère. La précession de Larmor correspond simplement à

13 3. La Résonance Magnétique Nucléaire (RMN)

14 Conditions de l expérience On superpose un champ fixe et un champ tournant En général, et

15 Hamiltonien du problème Problème : l Hamiltonien dépend du temps! Solution : On se place dans un référentiel géométrique tournant autour de l axe à la fréquence. Dans ce référentiel, le champ tournant sera fixe.

16 Etat du système dans le référentiel tournant Dans le référentiel fixe : Dans le référentiel tournant : Condition initiale :

17 Transformation unitaire (voir QCM)

18 Calcul de l hamiltonien effectif car car est un opérateur unitaire. hermitique conjugué

19 Champ magnétique effectif est indépendant du temps! Dans un référentiel tournant à, la fréquence de précession de Larmor autour de devient Dans le référentiel tournant, le champ tournant est fixe et reste aligné selon l axe avec Précession de Larmor autour de à la fréquence, appelée fréquence de Rabi.

20 Les oscillations de Rabi Temps

21 La Résonance Magnétique Nucléaire Lorentzienne de largeur à mi-hauteur.

22 La RMN : un exemple de processus résonnant Le phénomène de résonance magnétique nucléaire peut également s interpréter comme l interaction d une onde électromagnétique de fréquence w avec un système à deux niveaux. Lorentzienne de largeur à mi-hauteur. Se généralise à de nombreux autres types de spectroscopie : résonance électronique de spin, spectroscopie d absorption laser, etc.

23 Evolution du spin dans le référentiel fixe Combinaison d une précession (rapide) autour de l axe z et d une précession (lente) autour du champ tournant.

24 4. Aspects expérimentaux et applications

25 Mise en évidence expérimentale I. Rabi (prix Nobel de physique 1944) Préparation et détection de l état de spin à l aide d un appareil de Stern et Gerlach. F. Bloch & E. Purcell (prix Nobel de physique 1952) RMN en phase condensée Préparation : équilibre thermique ex : Détection : mesure de l absorption de l onde tournante en fonction de (ou plus souvent de ).

26 Absorption Le déplacement chimique Spectre RMN de l éthanol J.T. Arnold et al., J. Chem. Phys. 19, 507 (1951) Le champ magnétique appliqué est légèrement écranté par l environnement électronique du proton, ce qui déplace la résonance d une valeur relative de l ordre de quelques 10-6 (déplacement chimique), quantité caractéristique de la molécule considérée et de l emplacement du proton dans la molécule. La spectroscopie RMN est un puissant outil d analyse chimique

27 Imagerie par résonance magnétique (IRM) Paul Lauterbur et Peter Mansfield (prix Nobel de médecine 2003) Imagerie neurofonctionnelle : (Neurospin) On introduit un champ magnétique inhomogène en ajoutant au champ un gradient contrôlé à l aide de bobines additionnelles. Champ homogène pour un gradient selon Avec un gradient Résonance pour Relation affine entre et

28 Reconstruction tomographique (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

29 Spectre Aimantation La RMN par transformée de Fourier Au lieu d un champ tournant continu, on utilise une excitation percusionnelle dite impulsion p/2, qui amène le spin dans le plan équatorial. acquisition du signal Temps Temps Richard Ernst (prix Nobel de chimie 1991)

30 Avantages de la RMN par transformée de Fourier Acquisition plus rapide Pour l IRM : possibilité d appliquer des gradients séquentiels acquisition du signal Temps Sélection de coupe Codage de phase Lecture Imagerie 3D RMN à deux dimensions acquisition de Temps Richard Ernst (prix Nobel de chimie 1991) Kurt Wüthrich (prix Nobel de chimie 2003 : structure de biomolécules)